Etude De Fonctions Reelles
TERMINALE-STMG • MATHS — Learna
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Fiche ultra-synthèse — Étude de fonctions réelles
Fonctions usuelles • image • antécédent • représentation graphique • sens de variation • extremums.
Essentiel
Définition
Une fonction associe à chaque nombre \(x\) une unique valeur \(f(x)\).
Exemple :
\[
f(x)=2x+3
\quad\Rightarrow\quad
f(1)=5
\]
Point de la courbe
Si un point appartient à la courbe représentative de \(f\), alors ses coordonnées sont :
\[
(x ; f(x))
\]
Fonctions usuelles
Fonction affine
\[
f(x)=ax+b
\]
Si \(a>0\), la fonction est croissante.
Si \(a<0\), elle est décroissante.
Si \(a<0\), elle est décroissante.
Fonction carré
\[
f(x)=x^2
\]
Minimum en \(x=0\).
La fonction décroît puis croît.
La fonction décroît puis croît.
Fonction inverse
\[
f(x)=\frac{1}{x}
\]
Non définie pour \(x=0\).
Fonction racine carrée
\[
f(x)=\sqrt{x}
\]
Définie pour \(x\ge 0\).
Sens de variation
Fonction croissante
Si \(x_1 < x_2\), alors :
\[
f(x_1)\le f(x_2)
\]
Fonction décroissante
Si \(x_1 < x_2\), alors :
\[
f(x_1)\ge f(x_2)
\]
Une fonction n’est pas toujours croissante ou décroissante sur tout son domaine : cela dépend souvent de l’intervalle étudié.
Extremums
Maximum
La plus grande valeur prise par la fonction sur un intervalle.
Minimum
La plus petite valeur prise par la fonction sur un intervalle.
Exemple :
\[
f(x)=x^2
\]
admet un minimum égal à \(0\), atteint pour \(x=0\).
Méthodes rapides
Calculer une image
- Repérer l’expression de la fonction.
- Remplacer \(x\) par la valeur demandée.
- Calculer soigneusement.
Chercher un antécédent
- Poser \(f(x)=\text{valeur demandée}\).
- Résoudre l’équation obtenue.
\[
\text{Image de }a : f(a)
\]
\[
\text{Antécédent de }b : \text{ résoudre } f(x)=b
\]
Mini-tests corrigés
Test 1
Si \(f(x)=4x-1\), alors :
\[
f(3)=4\times 3-1=11
\]
donc \(\boxed{f(3)=11}\).
Test 2
Chercher l’antécédent de \(9\) par \(g(x)=x^2\), c’est résoudre :
\[
x^2=9
\]
donc \(\boxed{x=-3 \text{ ou } x=3}\).
Test 3
Pour \(r(x)=\sqrt{x}\), on a :
\[
r(16)=4
\]
donc \(\boxed{r(16)=4}\).
Test 4
Si \(f(x)=-2x+5\), comme le coefficient de \(x\) est négatif, la fonction est
\(\boxed{\text{décroissante}}\).