Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Fiche de révision

À connaître : formes paramétriques / cartésiennes, liens entre droites et plans, tests d’appartenance.

1. Droite dans l’espace

• Point \(A(x_A,y_A,z_A)\) et vecteur directeur \(\vec{u}=(a,b,c)\neq\vec{0}\).
• Forme paramétrique : \[ D:\quad \begin{cases} x = x_A + ta\\ y = y_A + tb\\ z = z_A + tc \end{cases},\quad t\in\mathbb{R}. \]
• Forme symétrique (si \(a,b,c\neq 0\)) : \[ \dfrac{x - x_A}{a} = \dfrac{y - y_A}{b} = \dfrac{z - z_A}{c}. \]
• Forme cartésienne : intersection de deux plans \[ \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0\\ a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0 \end{cases} \text{ avec } \vec{n}_1,\vec{n}_2 \text{ non colinéaires.} \]

2. Plan dans l’espace

• Point \(A(x_A,y_A,z_A)\) et vecteur normal \(\vec{n}=(a,b,c)\neq\vec{0}\).
• Équation cartésienne : \[ P : ax + by + cz + d = 0. \] Un point \(M(x,y,z)\) appartient à \(P\) ssi \(ax+by+cz+d=0\).
• Deux plans sont parallèles ssi leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

3. Lien entre paramétrique et cartésienne

• De paramétrique vers cartésienne (droite) :
  • on élimine le paramètre \(t\),
  • on obtient soit la forme symétrique, soit la droite comme intersection de deux plans.
• De cartésienne vers paramétrique (droite) :
  • on résout le système de deux plans pour trouver un point \(A\),
  • on trouve un vecteur directeur \(\vec{u}\) (produit vectoriel des normales ou autre méthode),
  • on écrit ensuite la forme paramétrique.

4. Tests d’appartenance

• Point sur un plan : on remplace \(x,y,z\) par les coordonnées du point dans l’équation du plan.
• Point sur une droite paramétrée : on cherche un paramètre \(t\) vérifiant les trois égalités.

5. Mini-exercices flash

Quelques questions rapides à résoudre sans brouillon si possible.

1. Donner une représentation paramétrique de la droite passant par \(A(1,2,3)\) de vecteur directeur \((2,-1,2)\).
2. Donner un vecteur normal au plan \(P: 3x - y + 2z + 1 = 0\).
3. Tester si \(B(1,1,1)\) appartient au plan \(P\) ci-dessus.