Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Exercices type bac
20 exercices d’entraînement de niveau bac sur les droites et plans : formes paramétriques, équations cartésiennes, tests d’appartenance, positions relatives et distances.
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Paramétrique depuis deux points
On considère les points \(A(1,2,3)\) et \(B(5,0,7)\).
a) Calculer \(\overrightarrow{AB}\).
b) Donner une représentation paramétrique de la droite \((AB)\).
c) Vérifier que le point \(C(3,1,5)\) appartient à \((AB)\). -
Point d’une droite paramétrée
Soit la droite \[ D:\; x=1+2t,\; y=2-t,\; z=3+2t. \] a) Donner les coordonnées du point correspondant à \(t=0\).
b) Donner les coordonnées du point correspondant à \(t=1\).
c) Vérifier que ces points appartiennent bien à \(D\). -
Test d’appartenance (droite paramétrique)
Soit la droite \[ D:\; x=-3+2t,\; y=1+t,\; z=4-t. \] On considère le point \(A(1,3,3)\).
a) Résoudre le système \[ \begin{cases} -3+2t = 1\\ 1+t = 3\\ 4-t = 3 \end{cases} \] b) Conclure si \(A\in D\) ou non. -
Équation cartésienne d’un plan
On considère le plan \(P\) de vecteur normal \(\vec{n}=(2,-1,3)\) passant par le point \(A(1,0,2)\).
a) Justifier qu’une équation de \(P\) est de la forme \(2x - y + 3z + d = 0\).
b) Déterminer \(d\).
c) Vérifier que le point \(B(2,1,1)\) appartient ou non à \(P\). -
De plan à direction de droite
Soient les plans \[ P_1 : x - y + z - 1 = 0,\quad P_2 : 2x + y - z + 2 = 0. \] a) Donner des vecteurs normaux à \(P_1\) et \(P_2\).
b) Ces plans sont-ils parallèles ou sécants ?
c) Justifier qu’ils sécant en une droite \(D\) et donner un vecteur directeur de \(D\). -
De cartésienne à paramétrique (droite)
On considère la droite \(D\) définie par \[ \begin{cases} x - y + z - 1 = 0\\ 2x + y - z + 2 = 0 \end{cases}. \] a) Résoudre le système pour trouver un point \(A\) appartenant à \(D\).
b) Déterminer un vecteur directeur \(\vec{u}\) de \(D\).
c) Donner une représentation paramétrique de \(D\). -
Représentation symétrique
Soit la droite \[ D:\; x=1+2t,\;y=2-t,\;z=3+2t. \] a) Exprimer \(t\) en fonction de \(x\), puis en fonction de \(y\).
b) En déduire la représentation symétrique \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{2}\).
c) Vérifier que le point \(M(3,1,5)\) appartient à \(D\). -
Famille de plans parallèles
Soit le plan \(P_\lambda : x - 2y + z + \lambda = 0\).
a) Montrer que tous les plans \(P_\lambda\) ont le même vecteur normal.
b) Pour quelle(s) valeur(s) de \(\lambda\) le point \(A(1,0,0)\) appartient-il à \(P_\lambda\) ?
c) Les plans \(P_0\) et \(P_3\) sont-ils parallèles, confondus ou sécants ? -
Alignement dans l’espace
On considère les points \(A(1,2,3)\), \(B(3,1,5)\), \(C(5,0,7)\).
a) Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
b) Montrer que \(A,B,C\) sont alignés en exhibant une représentation paramétrique de la droite qui les contient. -
Appartenance à un plan
Soit \(P : 2x - y + 3z - 5 = 0\).
a) Tester si \(A(1,1,1)\) appartient à \(P\).
b) Tester si \(B(2, -1, 2)\) appartient à \(P\).
c) Trouver un point \(C\) de \(P\) différent de \(A\) et \(B\). -
Droite orthogonale à un plan
On considère le plan \(P : x - 2y + z - 3 = 0\) et le point \(A(1,0,1)\).
a) Donner un vecteur normal \(\vec{n}\) au plan \(P\).
b) Donner une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par \(A\) et orthogonale à \(P\).
c) Déterminer le point \(H = \Delta \cap P\). -
Distance d’un point à un plan
Soit le plan \(P: 2x - y + 2z + 3 = 0\) et le point \(A(1,-1,2)\).
a) Vérifier que \(A\notin P\).
b) Rappeler la formule de la distance d’un point à un plan.
c) Calculer la distance \(d(A,P)\). -
Orthogonalité droite / plan
On considère le plan \(P: -x + 2y - z + 1 = 0\) et la droite \[ d:\; x = 2 + k,\;y = -1 + 2k,\;z = 3 - k,\quad k\in\mathbb{R}. \] a) Donner un vecteur normal \(\vec{n}\) à \(P\).
b) Donner un vecteur directeur \(\vec{u}\) de \(d\).
c) Montrer que \(d\) est orthogonale au plan \(P\). -
Deux plans : parallélisme ou sécance
On considère les plans \[ P_1 : x + 2y - z + 1 = 0,\quad P_2 : 2x + 4y - 2z - 3 = 0. \] a) Donner des vecteurs normaux \(\vec{n}_1\) et \(\vec{n}_2\).
b) Montrer que \(P_1\) et \(P_2\) sont parallèles.
c) Expliquer pourquoi ils ne sont pas confondus. -
Intersection de deux plans
On considère les plans \[ P_1 : x - y + z = 1,\quad P_2 : x + y - z = 3. \] a) Justifier que \(P_1\) et \(P_2\) sont sécants.
b) Déterminer un point \(A\) appartenant à \(P_1\cap P_2\).
c) Déterminer un vecteur directeur \(\vec{u}\) de la droite \(d=P_1\cap P_2\).
d) Donner une représentation paramétrique de \(d\). -
Droite parallèle à une droite donnée, contenue dans un plan
On considère la droite \[ d:\; x = -1 + 2t,\;y = 3 - t,\;z = 1 + 4t \] et le plan \(P: x - 2y + z - 4 = 0\).
a) Donner un vecteur directeur \(\vec{u}\) de \(d\).
b) Trouver un vecteur directeur \(\vec{v}\) d’une droite \(d'\) contenue dans \(P\) et parallèle à \(d\).
c) Déterminer un point \(A\in P\).
d) Donner une représentation paramétrique de \(d'\). -
Droite passant par un point et parallèle à une autre droite
On considère la droite \[ d:\; x = 2 - t,\;y = 1 + 2t,\;z = -1 + t \] et le point \(A(0,3,1)\).
a) Donner un vecteur directeur \(\vec{u}\) de \(d\).
b) Donner une représentation paramétrique de la droite \(d'\) passant par \(A\) et parallèle à \(d\).
c) Vérifier si \(d'\) est contenue dans le plan \(P: x - y + z - 1 = 0\). -
Position relative de deux droites
On considère les droites \[ d_1:\; x = 1 + t,\;y = -1 + 2t,\;z = 3 - t,\quad d_2:\; x = 3 + 2s,\;y = 1 + s,\;z = 1 + 4s. \] a) Donner des vecteurs directeurs de \(d_1\) et \(d_2\).
b) Tester le parallélisme.
c) Chercher un éventuel point d’intersection.
d) Conclure : \(d_1\) et \(d_2\) sont-elles parallèles, sécantes ou gauches ? -
Droite perpendiculaire à un plan et distance
On considère le plan \(P: 2x - y + 3z - 6 = 0\) et le point \(B(0,1,1)\).
a) Donner une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par \(B\) et orthogonale au plan \(P\).
b) Déterminer le point \(H = \Delta \cap P\).
c) En déduire la distance \(d(B,P)\). -
Représentation paramétrique d’un plan
On considère les points \(A(1,0,0)\), \(B(2,1,1)\) et \(C(0,1,2)\).
a) Montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont non colinéaires.
b) En déduire que \(A,B,C\) définissent un plan \(\Pi\).
c) Donner une représentation paramétrique de \(\Pi\) sous la forme \(\overrightarrow{AM} = \lambda\overrightarrow{AB} + \mu\overrightarrow{AC}\).
d) Déterminer une équation cartésienne de \(\Pi\). -
Problème type bac complet
Dans un repère orthonormé, on considère le plan \(P : x - y + 2z - 2 = 0\) et la droite \[ d:\; x = 2 + t,\;y = 1 + t,\;z = -1 + t,\quad t\in\mathbb{R}. \] 1) a) Justifier que \(d\) n’est pas contenue dans \(P\).
b) Montrer que \(d\) et \(P\) sont sécants.
2) a) Déterminer le point \(I = d\cap P\).
b) Donner une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) contenue dans \(P\) et passant par \(I\), de vecteur directeur \((1,-1,0)\).
3) a) Montrer que les droites \(d\) et \(\Delta\) sont perpendiculaires.
b) Interpréter géométriquement la distance du point \(I\) au plan \(P\).