Représentations paramétriques et équations cartésiennes
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1. Vecteurs, droites et plans dans l’espace
- Si \(A(x_A,y_A,z_A)\) et \(B(x_B,y_B,z_B)\), alors \[ \overrightarrow{AB} = (x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A). \]
- Une droite dans l’espace est déterminée par un point \(A\) et un vecteur directeur \(\vec{u} \neq \vec{0}\).
- Un plan est déterminé par un point \(A\) et un vecteur normal \(\vec{n}\neq\vec{0}\).
2. Représentations paramétriques d’une droite
Soient \(A(x_A,y_A,z_A)\) un point et \(\vec{u}=(a,b,c)\) un vecteur directeur non nul. Une représentation paramétrique de la droite \(D\) passant par \(A\) de direction \(\vec{u}\) est :
\[ D:\quad \begin{cases} x = x_A + ta\\ y = y_A + tb\\ z = z_A + tc \end{cases} \quad (t\in\mathbb{R}). \]- Pour chaque \(t\), on obtient un point \(M(x,y,z)\) sur la droite.
- Tout point de la droite s’écrit de cette façon (pour un certain \(t\)).
- Le vecteur directeur est \(\vec{u}=(a,b,c)\).
Exemple
On considère \(A(1,2,3)\) et \(B(3,1,5)\).
On a \(\overrightarrow{AB}=(2,-1,2)\), donc une représentation paramétrique de la droite \((AB)\) est
3. Équations cartésiennes d’un plan
Soit un plan \(P\) de vecteur normal \(\vec{n}=(a,b,c)\neq(0,0,0)\) passant par le point \(A(x_A,y_A,z_A)\).
Pour tout point \(M(x,y,z)\) du plan, le vecteur \(\overrightarrow{AM}\) est orthogonal à \(\vec{n}\), donc \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AM}=0\).
Cela conduit à une équation cartésienne de \(P\) :
\[ P : ax + by + cz + d = 0, \] avec \(d\in\mathbb{R}\). Un point \(M(x,y,z)\) appartient à \(P\) si et seulement si \(ax+by+cz+d=0\).Exemple
Le plan \(P\) de vecteur normal \((2,-1,3)\) passant par \(A(1,0,2)\) :
- On impose que \(A\) vérifie l’équation : \[ 2x_A - y_A + 3z_A + d = 0 \Rightarrow 2\cdot 1 - 0 + 3\cdot 2 + d = 0 \Rightarrow 2 + 6 + d = 0 \Rightarrow d = -8. \]
- Une équation cartésienne de \(P\) est donc \[ 2x - y + 3z - 8 = 0. \]
4. Équations cartésiennes d’une droite
Une droite dans l’espace peut aussi s’écrire comme l’intersection de deux plans :
\[ D = P_1 \cap P_2,\quad \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0\\[2pt] a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0 \end{cases} \] avec \(\vec{n}_1=(a_1,b_1,c_1)\) et \(\vec{n}_2=(a_2,b_2,c_2)\) non colinéaires.- La droite est formée des points qui vérifient simultanément les deux équations.
- Un vecteur directeur de \(D\) est parallèle à \(\vec{n}_1\times\vec{n}_2\) (produit vectoriel).
5. Passer de la représentation paramétrique à la forme cartésienne (et inversement)
5.1 De paramétrique vers cartésienne (droite)
Si l’on part d’une droite paramétrée \[ \begin{cases} x = x_A + ta\\ y = y_A + tb\\ z = z_A + tc \end{cases}, \] on peut :
- isoler \(t\) dans deux des trois lignes, par exemple \(t = \dfrac{x - x_A}{a} = \dfrac{y - y_A}{b}\) (si \(a\neq0, b\neq0\)),
- puis écrire l’égalité \[ \dfrac{x - x_A}{a} = \dfrac{y - y_A}{b} = \dfrac{z - z_A}{c}, \] ce qui donne une représentation symétrique de la droite.
- ou encore exprimer la droite comme intersection de deux plans en éliminant \(t\).
5.2 De cartésienne vers paramétrique (droite)
Si une droite est donnée comme intersection de deux plans \[ \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0\\ a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0 \end{cases}, \] on peut :
- chercher un point particulier \(A\) qui vérifie les deux équations (en résolvant le système),
- déterminer un vecteur directeur \(\vec{u}\) (produit vectoriel des normales, ou en trouvant une solution particulière du système homogène),
- écrire ensuite \[ \overrightarrow{AM} = t\vec{u} \Rightarrow \begin{cases} x = x_A + ta\\[2pt] y = y_A + tb\\[2pt] z = z_A + tc \end{cases}. \]
6. Vérifier qu’un point appartient à une droite ou à un plan
- Avec une représentation paramétrique : on teste s’il existe un paramètre \(t\) tel que les coordonnées du point vérifient les trois égalités.
- Avec une équation cartésienne de plan : on remplace \(x,y,z\) par les coordonnées du point et on vérifie si l’égalité est satisfaite.