Terminale spé — Orthogonalité et distances dans l’espace

Q1. Dans le repère \( (O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}) \), on considère \(\vec{u}(1,2,-1)\) et \(\vec{v}(2,4,-2)\).

On peut affirmer que :

\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux

\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires

\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont ni colinéaires ni orthogonaux

Q2. Quelle formule donne le produit scalaire dans l’espace ?

\(\vec{u}\cdot\vec{v} = aa' + bb' + cc'\)

\(\vec{u}\cdot\vec{v} = ab' + ac' + bc'\)

\(\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|\)

Q3. Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux ssi :

\(\vec{u}\cdot\vec{v} = 0\)

\(\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\)

\(\|\vec{u}\| = \|\vec{v}\|\)

Q4. Un vecteur normal au plan \(P : 3x - y + 2z + 1=0\) est :

\((3,-1,2)\)

\((1,3,2)\)

\((3,1,-2)\)

Q5. La projection orthogonale d’un point \(M\) sur un plan \(P\) est :

un point de \(P\) le plus proche de \(M\)

un point quelconque de \(P\)

l’intersection de \(P\) avec une droite parallèle à \(P\) passant par \(M\)

Q6. La distance d’un point \(M(x_0,y_0,z_0)\) à un plan \(P : ax+by+cz+d=0\) est donnée par :

\(\displaystyle |ax_0+by_0+cz_0+d|\)

\(\displaystyle \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

\(\displaystyle \sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

Q7. La projection de \(\vec{v}\) sur \(\vec{u}\neq\vec{0}\) est :

\(\displaystyle \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^2}\vec{v}\)

\(\displaystyle \frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|^2}\vec{u}\)

\(\vec{u}+\vec{v}\)

Q8. Si deux plans ont des vecteurs normaux colinéaires, alors ils sont :

toujours sécants

parallèles ou confondus

perpendiculaires

Q9. La distance d’un point à une droite est :

la longueur du segment reliant le point à n’importe quel point de la droite

la longueur du segment reliant le point à son projeté orthogonal sur la droite

toujours égale à 0

Q10. Dans \(\mathbb{R}^3\), une base orthonormée est une base :

de trois vecteurs de même norme

de trois vecteurs orthogonaux deux à deux et de norme 1

de deux vecteurs orthogonaux

QCM — Orthogonalité et distances dans l’espace