Ch. 3 — Orthogonalité et distances dans l’espace

1) Produit scalaire dans l’espace

• Repère orthonormé \( (O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}) \).
• \(\vec{u}(a,b,c)\), \(\vec{v}(a',b',c')\) : \[ \vec{u}\cdot\vec{v} = aa' + bb' + cc'. \]
• \(\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta\).
• \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) orthogonaux \(\iff \vec{u}\cdot\vec{v} = 0\).

2) Droites et plans orthogonaux

• Droites \(d_1,d_2\) de vecteurs directeurs \(\vec{u}_1,\vec{u}_2\).
  Si \(\vec{u}_1\cdot\vec{u}_2 = 0\) et elles sont coplanaires, alors elles sont orthogonales.
• Plan \(P\) : équation cartésienne \(ax+by+cz+d=0\).
  \(\vec{n}(a,b,c)\) est un vecteur normal à \(P\).
• Deux plans sont parallèles/confondus si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, sinon ils sont sécants (intersection = une droite).

3) Projection orthogonale

• Projection de \(\vec{v}\) sur \(\vec{u}\neq\vec{0}\) : \[ \vec{p} = \frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|^2}\,\vec{u}. \]
• Projeté orthogonal d’un point \(M\) sur une droite \(d\) : point \(H\in d\) tel que \(\overrightarrow{MH}\) est orthogonal à \(d\).
• Projeté orthogonal d’un point \(M\) sur un plan \(P\) : intersection de \(P\) avec la droite passant par \(M\) et dirigée par un vecteur normal à \(P\).

4) Distances

• Distance entre deux points : \[ AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}. \]
• Distance d’un point \(M\) à une droite \(d\) : longueur \(MH\), où \(H\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur \(d\).
• Distance d’un point \(M(x_0,y_0,z_0)\) à un plan \(P: ax+by+cz+d=0\) : \[ d(M,P) = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. \]