1) Produit scalaire dans l’espace

On travaille dans un repère orthonormé \( (O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}) \). Pour deux vecteurs \( \vec{u}(a,b,c) \) et \( \vec{v}(a',b',c') \), on définit le produit scalaire par :

\[ \vec{u}\cdot\vec{v} = aa' + bb' + cc'. \]

Avec la norme \( \|\vec{u}\| = \sqrt{a^2+b^2+c^2} \), on a la relation :

\[ \vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos(\theta), \]

où \(\theta\) est la mesure de l’angle orienté entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

Orthogonalité de deux vecteurs

Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si et seulement si \[ \vec{u}\cdot\vec{v} = 0. \]

2) Orthogonalité de droites et de plans

a) Droites orthogonales

Deux droites \(d_1\) et \(d_2\) de vecteurs directeurs \(\vec{u}_1\) et \(\vec{u}_2\) sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux : \[ \vec{u}_1\cdot\vec{u}_2 = 0. \] En général, on exige aussi que les deux droites soient coplanaires pour parler de perpendiculaire dans l’espace.

b) Plan et vecteur normal

Un vecteur \(\vec{n}(a,b,c)\) est normal à un plan \(P\) s’il est orthogonal à tout vecteur du plan. Une équation cartésienne de \(P\) est alors :

\[ ax + by + cz + d = 0. \]

On dit que la droite de vecteur directeur \(\vec{n}\) est orthogonale au plan \(P\).

c) Droite et plan

Soit une droite \(d\) de vecteur directeur \(\vec{u}\) et un plan \(P\) de vecteur normal \(\vec{n}\).

• Si \(\vec{u}\) est orthogonal à \(\vec{n}\), alors la droite est parallèle au plan (ou incluse dans le plan).
• Si \(\vec{u}\) n’est pas orthogonal à \(\vec{n}\), alors la droite est sécante au plan.

Deux plans de vecteurs normaux colinéaires sont parallèles ou confondus. Sinon, ils sont sécants.

3) Projection orthogonale

a) Projection d’un vecteur sur un autre

Soit \(\vec{u}\) un vecteur non nul et \(\vec{v}\) un vecteur quelconque. La projection orthogonale de \(\vec{v}\) sur \(\vec{u}\) est le vecteur \(\vec{p}\) colinéaire à \(\vec{u}\) tel que \(\vec{v}-\vec{p}\) soit orthogonal à \(\vec{u}\).

On a la formule : \[ \vec{p} = \frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|^2}\,\vec{u}. \]

b) Projection orthogonale d’un point sur une droite

Soit une droite \(d\) de vecteur directeur \(\vec{u}\) et un point \(M\) de l’espace. Le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \(d\) est le point de \(d\) tel que la droite \(MH\) soit orthogonale à \(d\).

En pratique :

• On écrit une représentation paramétrique de \(d\) : \[ d:\quad \begin{cases} x = x_A + at\\ y = y_A + bt\\ z = z_A + ct \end{cases} \] avec \(A\in d\) et \(\vec{u}(a,b,c)\).
• On note \(H(x_H,y_H,z_H)\) le point variable de \(d\), puis on impose \(\overrightarrow{MH}\cdot\vec{u} = 0\) pour déterminer le paramètre.

c) Projection orthogonale d’un point sur un plan

Soit un plan \(P\) de vecteur normal \(\vec{n}\) et un point \(M\) extérieur au plan. Le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \(P\) est l’intersection de \(P\) avec la droite passant par \(M\) de vecteur directeur \(\vec{n}\).

En pratique, on résout le système formé par :

• Les équations paramétriques de la droite \(d\) passant par \(M\) et de vecteur \(\vec{n}\).
• L’équation cartésienne du plan \(P\).

4) Distances dans l’espace

a) Distance entre deux points

Déjà vue au chapitre précédent : \[ AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}. \]

b) Distance d’un point à une droite

Soit un point \(M\) et une droite \(d\). La distance de \(M\) à \(d\) est la longueur \(MH\) où \(H\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur \(d\).

Méthode typique :

1. Écrire une représentation paramétrique de la droite \(d\).
2. Exprimer les coordonnées de \(H(t)\in d\).
3. Considérer la fonction \(f(t)=\| \overrightarrow{MH(t)} \|^2\) et minimiser \(f\).
4. La valeur minimale de \(\sqrt{f(t)}\) est la distance cherchée.

c) Distance d’un point à un plan

Soit un plan \(P: ax+by+cz+d=0\) et un point \(M(x_0,y_0,z_0)\). La distance de \(M\) à \(P\) est

\[ d(M,P) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}. \]

Cette formule découle de la projection orthogonale sur la direction du vecteur normal.