Vecteurs Droites Et Plans De Lespace
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Quiz — Vecteurs, droites et plans de l’espace (30 questions Bac solides — audit global)
Réponds puis clique Vérifier ou Tout vérifier. Version auditée • Terminale Spé • indices avec formules • explications détaillées • méthode Bac.
Q1. On considère les points \(A\coord{1}{2}{-1}\) et \(B\coord{4}{-1}{3}\). Donner \(\overrightarrow{AB}\).
Non vérifié
Indice
Formule :
\[
\overrightarrow{AB}=\coord{x_B-x_A}{y_B-y_A}{z_B-z_A}.
\]
Ici, on fait toujours arrivée − départ.
Correction
On applique la formule :
\[
\overrightarrow{AB}
=
\coord{4-1}{-1-2}{3-(-1)}
=
\coord{3}{-3}{4}.
\]
Donc :
\[
\boxed{\overrightarrow{AB}=\coord{3}{-3}{4}}.
\]
Q2. Avec \(A\coord{1}{2}{-1}\) et \(C\coord{0}{5}{1}\), donner \(\overrightarrow{AC}\).
Non vérifié
Indice
Formule :
\[
\overrightarrow{AC}=\coord{x_C-x_A}{y_C-y_A}{z_C-z_A}.
\]
Attention : le départ est \(A\), l’arrivée est \(C\).
Correction
\[
\overrightarrow{AC}
=
\coord{0-1}{5-2}{1-(-1)}
=
\coord{-1}{3}{2}.
\]
Donc :
\[
\boxed{\overrightarrow{AC}=\coord{-1}{3}{2}}.
\]
Q3. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), avec \(\overrightarrow{AB}=\coord{3}{-3}{4}\) et \(\overrightarrow{AC}=\coord{-1}{3}{2}\).
Non vérifié
Indice
Formule : si \(\vec u\coord{a}{b}{c}\) et \(\vec v\coord{a'}{b'}{c'}\), alors
\[
\vec u\cdot\vec v=aa'+bb'+cc'.
\]
Correction
\[
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}
=3\times(-1)+(-3)\times3+4\times2.
\]
Donc :
\[
-3-9+8=-4.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-4}.
\]
Q4. Le triangle \(ABC\) est-il rectangle en \(A\) ? Répondre OUI ou NON.
Non vérifié
Indice
Formule / critère :
\[
\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}
\iff
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0.
\]
Pour être rectangle en \(A\), il faut que le produit scalaire soit nul.
Correction
D’après la question précédente :
\[
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-4.
\]
Or :
\[
-4\neq 0.
\]
Donc \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas orthogonaux.
\[
\boxed{\text{Le triangle }ABC\text{ n’est pas rectangle en }A.}
\]
Q5. Calculer la norme du vecteur \(\vec u\coord{2}{-1}{3}\).
Non vérifié
Indice
Formule :
\[
\|\vec u\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}
\quad\text{si}\quad
\vec u\coord{a}{b}{c}.
\]
Correction
\[
\|\vec u\|
=
\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}
=
\sqrt{4+1+9}
=
\sqrt{14}.
\]
Donc :
\[
\boxed{\|\vec u\|=\sqrt{14}}.
\]
Q6. Les vecteurs \(\vec u\coord{2}{-1}{3}\) et \(\vec v\coord{4}{-2}{6}\) sont-ils colinéaires ? Répondre OUI ou NON.
Non vérifié
Indice
Critère :
\[
\vec u\parallel\vec v
\iff
\exists \lambda\in\mathbb R,\ \vec v=\lambda\vec u.
\]
Compare chaque coordonnée avec le même coefficient.
Correction
On remarque :
\[
\coord{4}{-2}{6}
=
2\coord{2}{-1}{3}.
\]
Donc :
\[
\vec v=2\vec u.
\]
Ainsi, les deux vecteurs sont colinéaires.
\[
\boxed{\text{OUI}}
\]
Q7. Les points \(A\coord{1}{2}{-1}\), \(B\coord{4}{-1}{3}\), \(D\coord{7}{-4}{7}\) sont-ils alignés ? Répondre OUI ou NON.
Non vérifié
Indice
Méthode : calculer deux vecteurs issus du même point, par exemple :
\[
\overrightarrow{AB}\quad\text{et}\quad \overrightarrow{AD}.
\]
Puis tester la colinéarité :
\[
\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{AB}.
\]
Correction
On calcule :
\[
\overrightarrow{AB}=\coord{4-1}{-1-2}{3-(-1)}=\coord{3}{-3}{4}.
\]
Puis :
\[
\overrightarrow{AD}=\coord{7-1}{-4-2}{7-(-1)}=\coord{6}{-6}{8}.
\]
Or :
\[
\coord{6}{-6}{8}=2\coord{3}{-3}{4}.
\]
Donc :
\[
\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}.
\]
Les vecteurs sont colinéaires, donc les points \(A\), \(B\), \(D\) sont alignés.
\[
\boxed{\text{OUI}}
\]
Q8. Une droite \((d)\) passe par \(A\coord{1}{0}{2}\) et a pour vecteur directeur \(\vec u\coord{2}{-1}{3}\). Dans une représentation paramétrique de \((d)\), quelle est la ligne de \(y\) ?
Non vérifié
Indice
Indice
Une droite \((d)\) passant par un point \(A\) et de vecteur directeur \(\vec u\) est l’ensemble des points \(M\) tels que :
\[ M\in(d) \iff \exists t\in\mathbb R,\quad \overrightarrow{AM}=t\vec u. \]Si \(A\coord{x_A}{y_A}{z_A}\), \(M\coord{x}{y}{z}\) et \(\vec u\coord{a}{b}{c}\), alors :
\[ \coord{x-x_A}{y-y_A}{z-z_A} = t\coord{a}{b}{c} \qquad (t\in\mathbb R). \]Donc une représentation paramétrique de \((d)\) est :
\[ \begin{cases} x=x_A+at\\ y=y_A+bt\\ z=z_A+ct \end{cases} \qquad (t\in\mathbb R). \]Ici, \(y_A=0\) et \(b=-1\), donc la ligne de \(y\) est \(y=0+(-1)t\).
Correction
La droite \((d)\) est définie par le point \(A\coord{1}{0}{2}\) et le vecteur directeur \(\vec u\coord{2}{-1}{3}\).
Par définition, un point \(M\) appartient à \((d)\) si et seulement s’il existe un réel \(t\) tel que :
\[ \overrightarrow{AM}=t\vec u \qquad (t\in\mathbb R). \]Donc la représentation paramétrique est :
\[ \begin{cases} x=1+2t\\ y=0-t\\ z=2+3t \end{cases} \qquad (t\in\mathbb R). \]La ligne demandée est donc :
\[ \boxed{y=-t}. \]
Q9. Pour la droite précédente, le point \(M\coord{5}{-2}{8}\) appartient-il à la droite ? Répondre OUI ou NON.
Non vérifié
Indice
Indice
Pour tester si un point \(M\) appartient à une droite \((d)\), on utilise la définition :
\[ M\in(d) \iff \exists t\in\mathbb R, \quad \overrightarrow{AM}=t\vec u. \]Ici, on peut aussi utiliser la représentation paramétrique obtenue :
\[ \begin{cases} x=1+2t\\ y=-t\\ z=2+3t \end{cases} \qquad (t\in\mathbb R). \]Trouve \(t\) avec une coordonnée, puis vérifie que le même \(t\) fonctionne dans les deux autres coordonnées.
Correction
On cherche s’il existe un réel \(t\) tel que les coordonnées de \(M\coord{5}{-2}{8}\) vérifient la représentation paramétrique de \((d)\).
Avec la coordonnée \(x\) :
\[ 5=1+2t \Rightarrow 2t=4 \Rightarrow t=2. \]On vérifie avec le même paramètre \(t=2\) :
\[ y=-t=-2 \]et :
\[ z=2+3t=2+3\times2=8. \]Le même réel \(t=2\) fonctionne pour les trois coordonnées.
\[ \boxed{M\in(d)}. \]
Q10. On considère le plan \(\mathcal P:2x-y+z-4=0\). Donner un vecteur normal à \(\mathcal P\).
Non vérifié
Indice
Formule : pour un plan
\[
ax+by+cz+d=0,
\]
un vecteur normal est :
\[
\vec n\coord{a}{b}{c}.
\]
Correction
Dans :
\[
2x-y+z-4=0,
\]
les coefficients de \(x\), \(y\), \(z\) sont \(2\), \(-1\), \(1\).
Donc un vecteur normal est :
\[
\boxed{\vec n\coord{2}{-1}{1}}.
\]
Q11. La droite de vecteur directeur \(\vec u\coord{2}{-1}{3}\) est-elle parallèle au plan \(\mathcal P:2x-y+z-4=0\) ? Répondre OUI ou NON.
Non vérifié
Indice
Critère : une droite de directeur \(\vec u\) est parallèle à un plan de normale \(\vec n\) si :
\[
\vec u\cdot\vec n=0.
\]
Ici, commence par lire \(\vec n\coord{2}{-1}{1}\).
Correction
Un vecteur normal au plan est :
\[
\vec n\coord{2}{-1}{1}.
\]
On calcule :
\[
\vec u\cdot\vec n
=
2\times2+(-1)\times(-1)+3\times1
=
4+1+3=8.
\]
Comme :
\[
8\neq 0,
\]
la direction de la droite n’est pas parallèle au plan.
\[
\boxed{\text{NON}}
\]
Q12. La droite de vecteur directeur \(\vec u\coord{2}{-1}{3}\) est-elle perpendiculaire au plan \(\mathcal P:2x-y+z-4=0\) ? Répondre OUI ou NON.
Non vérifié
Indice
Critère : une droite est perpendiculaire à un plan si son vecteur directeur est colinéaire à une normale du plan :
\[
\vec u\parallel\vec n.
\]
Compare \(\vec u\coord{2}{-1}{3}\) et \(\vec n\coord{2}{-1}{1}\).
Correction
Une normale du plan est :
\[
\vec n\coord{2}{-1}{1}.
\]
Pour que la droite soit perpendiculaire au plan, il faudrait :
\[
\vec u=\lambda\vec n.
\]
Mais les coordonnées ne sont pas proportionnelles :
\[
\frac{2}{2}=1,
\qquad
\frac{-1}{-1}=1,
\qquad
\frac{3}{1}=3.
\]
Le même coefficient ne convient pas. Donc la droite n’est pas perpendiculaire au plan.
\[
\boxed{\text{NON}}
\]
Q13. Déterminer une équation cartésienne du plan passant par \(A\coord{1}{-2}{3}\) et de normale \(\vec n\coord{2}{1}{-1}\).
Non vérifié
Indice
Indice
Un plan \(\mathcal P\) passant par un point \(A\coord{x_A}{y_A}{z_A}\) et de vecteur normal \(\vec n\coord{a}{b}{c}\) est l’ensemble des points \(M\coord{x}{y}{z}\) tels que :
\[ M\in\mathcal P \iff \overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0. \]En effet, si \(M\) est dans le plan, alors \(\overrightarrow{AM}\) est un vecteur du plan, donc il est orthogonal au vecteur normal \(\vec n\).
Or :
\[ \overrightarrow{AM} = \coord{x-x_A}{y-y_A}{z-z_A}. \]Donc :
\[ \coord{x-x_A}{y-y_A}{z-z_A} \cdot \coord{a}{b}{c} = 0. \]Ce qui donne la formule :
\[ a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0. \]Ici, remplace \(A\coord{1}{-2}{3}\) et \(\vec n\coord{2}{1}{-1}\).
Correction
Le plan passe par \(A\coord{1}{-2}{3}\) et a pour vecteur normal \(\vec n\coord{2}{1}{-1}\).
Soit \(M\coord{x}{y}{z}\) un point quelconque du plan. Comme \(M\in\mathcal P\), le vecteur \(\overrightarrow{AM}\) est un vecteur du plan.
Or \(\vec n\) est normal au plan, donc tout vecteur du plan est orthogonal à \(\vec n\). On a donc :
\[ \overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0. \]On calcule :
\[ \overrightarrow{AM} = \coord{x-1}{y-(-2)}{z-3} = \coord{x-1}{y+2}{z-3}. \]On impose alors :
\[ \coord{x-1}{y+2}{z-3} \cdot \coord{2}{1}{-1} = 0. \]Donc :
\[ 2(x-1)+1(y+2)-1(z-3)=0. \]On développe :
\[ 2x-2+y+2-z+3=0. \]Ainsi :
\[ 2x+y-z+3=0. \]Donc une équation cartésienne du plan est :
\[ \boxed{2x+y-z+3=0}. \]
Q14. Le point \(B\coord{0}{1}{4}\) appartient-il au plan \(\mathcal P:2x+y-z+3=0\) ? Répondre OUI ou NON.
Non vérifié
Indice
Méthode : remplacer \(x\), \(y\), \(z\) par les coordonnées du point dans l’équation du plan.
Si le résultat vaut \(0\), alors le point appartient au plan.
Correction
On remplace \(x=0\), \(y=1\), \(z=4\) :
\[
2\times0+1-4+3=0.
\]
L’égalité est vérifiée, donc :
\[
\boxed{B\in\mathcal P}.
\]
Q15. La droite
\[
(d):\begin{cases}
x=1+2t\\
y=3-t\\
z=2+t
\end{cases}
\]
coupe le plan \(\mathcal P:x+y+z-8=0\). Donner la valeur de \(t\) au point d’intersection.
Non vérifié
Indice
Indice
Le point d’intersection d’une droite et d’un plan est un point de la droite qui appartient aussi au plan.
Comme les points de la droite dépendent de \(t\in\mathbb R\), on remplace les expressions de \(x\), \(y\), \(z\) dans l’équation du plan :
\[ (1+2t)+(3-t)+(2+t)-8=0. \]Il suffit ensuite de résoudre cette équation en \(t\).
Correction
On remplace dans l’équation du plan :
\[
(1+2t)+(3-t)+(2+t)-8=0.
\]
On simplifie :
\[
6+2t-8=0.
\]
Donc :
\[
2t-2=0
\quad\Rightarrow\quad
\boxed{t=1}.
\]
Q16. Avec la question précédente, donner le point d’intersection \(I\) de la droite et du plan.
Non vérifié
Indice
Méthode : remplacer \(t=1\) dans la représentation paramétrique de la droite.
Correction
On remplace \(t=1\) :
\[
x=1+2\times1=3,
\quad
y=3-1=2,
\quad
z=2+1=3.
\]
Donc :
\[
\boxed{I\coord{3}{2}{3}}.
\]
Q17. On considère
\[
(d):\begin{cases}
x=2+t\\
y=1-2t\\
z=3+t
\end{cases}
\]
et \(\mathcal P:x+y+z-6=0\). La droite \((d)\) est-elle incluse dans \(\mathcal P\) ? Répondre OUI ou NON.
Non vérifié
Indice
Indice
Pour savoir si une droite est incluse dans un plan, il faut vérifier deux choses :
- sa direction est parallèle au plan ;
- au moins un point de la droite appartient au plan.
On lit :
\[ \vec u\coord{1}{-2}{1} \quad\text{et}\quad \vec n\coord{1}{1}{1}. \]Si \(\vec u\cdot\vec n=0\), la direction de la droite est parallèle au plan. Ensuite, teste le point obtenu pour \(t=0\).
Correction
Un vecteur directeur de \((d)\) est :
\[
\vec u\coord{1}{-2}{1}.
\]
Un vecteur normal du plan est :
\[
\vec n\coord{1}{1}{1}.
\]
On calcule :
\[
\vec u\cdot\vec n=1-2+1=0.
\]
Donc la direction de la droite est parallèle au plan.
Pour \(t=0\), un point de la droite est :
\[
A\coord{2}{1}{3}.
\]
On teste :
\[
2+1+3-6=0.
\]
Donc ce point appartient au plan. Ainsi toute la droite est incluse dans le plan.
\[
\boxed{\text{OUI}}
\]
Q18. Les droites
\[
(d):\begin{cases}x=1+t\\y=2-t\\z=3+2t\end{cases}
\quad\text{et}\quad
(d'):\begin{cases}x=2+s\\y=1+s\\z=5\end{cases}
\]
sont-elles sécantes ? Répondre OUI ou NON.
Non vérifié
Indice
Méthode : résoudre le système d’intersection :
\[
\begin{cases}
1+t=2+s\\
2-t=1+s\\
3+2t=5
\end{cases}
\]
S’il existe un couple \((t;s)\), les droites sont sécantes.
Correction
On résout :
\[
3+2t=5
\quad\Rightarrow\quad
2t=2
\quad\Rightarrow\quad
t=1.
\]
Puis :
\[
1+1=2+s
\quad\Rightarrow\quad
s=0.
\]
On vérifie la deuxième équation :
\[
2-1=1+0.
\]
Elle est vraie. Donc les droites sont sécantes.
\[
\boxed{\text{OUI}}
\]
Q19. Avec les deux droites précédentes, donner leur point d’intersection.
Non vérifié
Indice
Méthode : on a trouvé \(t=1\) pour la droite \((d)\). Remplace-le dans :
\[
x=1+t,
\quad
y=2-t,
\quad
z=3+2t.
\]
Correction
Avec \(t=1\) :
\[
x=1+1=2,
\quad
y=2-1=1,
\quad
z=3+2\times1=5.
\]
Le point d’intersection est donc :
\[
\boxed{I\coord{2}{1}{5}}.
\]
Q20. Les deux droites précédentes sont-elles perpendiculaires ? Répondre OUI ou NON.
Non vérifié
Indice
Critère : deux droites sont perpendiculaires si elles sont sécantes et si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
\[
\vec u\cdot\vec v=0.
\]
Correction
Un vecteur directeur de \((d)\) est :
\[
\vec u\coord{1}{-1}{2}.
\]
Un vecteur directeur de \((d')\) est :
\[
\vec v\coord{1}{1}{0}.
\]
Produit scalaire :
\[
\vec u\cdot\vec v=1\times1+(-1)\times1+2\times0=0.
\]
Les directions sont orthogonales. Comme les droites sont aussi sécantes, elles sont perpendiculaires.
\[
\boxed{\text{OUI}}
\]
Q21. On considère \(\mathcal P_1:x-2y+z-1=0\) et \(\mathcal P_2:2x-4y+2z+3=0\). Les plans sont-ils parallèles ? Répondre OUI ou NON.
Non vérifié
Indice
Critère : deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
\[
\vec n_1\parallel \vec n_2.
\]
Lis les normales dans les coefficients de \(x,y,z\).
Correction
Les normales sont :
\[
\vec n_1\coord{1}{-2}{1},
\qquad
\vec n_2\coord{2}{-4}{2}.
\]
Or :
\[
\vec n_2=2\vec n_1.
\]
Les normales sont colinéaires, donc les plans sont parallèles ou confondus.
La réponse à la question est donc :
\[
\boxed{\text{OUI}}.
\]
Q22. Les plans \(\mathcal P_1:x-2y+z-1=0\) et \(\mathcal P_2:2x-4y+2z+3=0\) sont-ils confondus ? Répondre OUI ou NON.
Non vérifié
Indice
Méthode : comparer tous les coefficients, y compris la constante.
Si on multiplie \(\mathcal P_1\) par \(2\), il faut obtenir exactement \(\mathcal P_2\).
Correction
En multipliant l’équation de \(\mathcal P_1\) par \(2\), on obtient :
\[
2x-4y+2z-2=0.
\]
Mais \(\mathcal P_2\) est :
\[
2x-4y+2z+3=0.
\]
Les constantes ne correspondent pas. Donc les plans ne sont pas confondus.
\[
\boxed{\text{NON}}
\]
Q23. On donne \(A\coord{1}{0}{2}\), \(B\coord{2}{1}{0}\), \(C\coord{0}{1}{1}\), \(D\coord{3}{m}{1}\). Donner \(\overrightarrow{AB}\).
Non vérifié
Indice
Formule :
\[
\overrightarrow{AB}=\coord{x_B-x_A}{y_B-y_A}{z_B-z_A}.
\]
Correction
\[
\overrightarrow{AB}
=
\coord{2-1}{1-0}{0-2}
=
\coord{1}{1}{-2}.
\]
Donc :
\[
\boxed{\overrightarrow{AB}=\coord{1}{1}{-2}}.
\]
Q24. Avec les mêmes points, donner \(\overrightarrow{AC}\).
Non vérifié
Indice
Formule :
\[
\overrightarrow{AC}=\coord{x_C-x_A}{y_C-y_A}{z_C-z_A}.
\]
Correction
\[
\overrightarrow{AC}
=
\coord{0-1}{1-0}{1-2}
=
\coord{-1}{1}{-1}.
\]
Donc :
\[
\boxed{\overrightarrow{AC}=\coord{-1}{1}{-1}}.
\]
Q25. Avec les mêmes points, donner \(\overrightarrow{AD}\).
Non vérifié
Indice
Formule :
\[
\overrightarrow{AD}=\coord{x_D-x_A}{y_D-y_A}{z_D-z_A}.
\]
Garde le paramètre \(m\) dans la coordonnée correspondante.
Correction
\[
\overrightarrow{AD}
=
\coord{3-1}{m-0}{1-2}
=
\coord{2}{m}{-1}.
\]
Donc :
\[
\boxed{\overrightarrow{AD}=\coord{2}{m}{-1}}.
\]
Q26. Pour que \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) soient coplanaires, on cherche
\[
\overrightarrow{AD}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}.
\]
Quelle valeur de \(m\) obtient-on ?
Non vérifié
Indice
Formule / critère :
\[
A,B,C,D\text{ coplanaires}
\iff
\overrightarrow{AD}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}.
\]
Avec :
\[
\coord{2}{m}{-1}=\alpha\coord{1}{1}{-2}+\beta\coord{-1}{1}{-1}.
\]
Résous les équations sur les coordonnées.
Correction
On écrit :
\[
\coord{2}{m}{-1}
=
\alpha\coord{1}{1}{-2}
+
\beta\coord{-1}{1}{-1}.
\]
Donc :
\[
\begin{cases}
\alpha-\beta=2\\
\alpha+\beta=m\\
-2\alpha-\beta=-1
\end{cases}
\]
De \(\alpha-\beta=2\), on obtient :
\[
\beta=\alpha-2.
\]
On remplace dans \(-2\alpha-\beta=-1\) :
\[
-2\alpha-(\alpha-2)=-1.
\]
Donc :
\[
-3\alpha+2=-1
\quad\Rightarrow\quad
-3\alpha=-3
\quad\Rightarrow\quad
\alpha=1.
\]
Alors :
\[
\beta=1-2=-1.
\]
Enfin :
\[
m=\alpha+\beta=1+(-1)=0.
\]
Donc :
\[
\boxed{m=0}.
\]
Q27. On considère \(M\coord{1}{2}{-1}\) et le plan \(\mathcal P:2x-y+2z+3=0\). Donner un vecteur normal au plan.
Non vérifié
Indice
Formule : pour
\[
ax+by+cz+d=0,
\]
une normale est :
\[
\vec n\coord{a}{b}{c}.
\]
Correction
Dans :
\[
2x-y+2z+3=0,
\]
les coefficients de \(x\), \(y\), \(z\) sont \(2\), \(-1\), \(2\).
Donc :
\[
\boxed{\vec n\coord{2}{-1}{2}}.
\]
Q28. Pour trouver le projeté orthogonal de \(M\coord{1}{2}{-1}\) sur \(\mathcal P:2x-y+2z+3=0\), on écrit \(H=M+t\vec n\) avec \(\vec n\coord{2}{-1}{2}\). Quelle est l’expression de \(H\) ?
Non vérifié
Indice
Formule :
\[
H=M+t\vec n.
\]
Ici :
\[
M\coord{1}{2}{-1},
\qquad
\vec n\coord{2}{-1}{2}.
\]
Correction
On calcule :
\[
H=M+t\vec n
=
\coord{1}{2}{-1}
+t\coord{2}{-1}{2}.
\]
Donc :
\[
\boxed{H\coord{1+2t}{2-t}{-1+2t}}.
\]
Q29. Dans la situation précédente, en imposant \(H\in\mathcal P\), quelle valeur de \(t\) obtient-on ?
Non vérifié
Indice
Méthode : remplace
\[
H\coord{1+2t}{2-t}{-1+2t}
\]
dans l’équation du plan :
\[
2x-y+2z+3=0.
\]
Correction
Comme \(H\in\mathcal P\), on remplace ses coordonnées dans l’équation du plan :
\[
2(1+2t)-(2-t)+2(-1+2t)+3=0.
\]
On développe :
\[
2+4t-2+t-2+4t+3=0.
\]
Donc :
\[
9t+1=0.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{t=-\frac19}.
\]
Q30. En déduire la distance de \(M\coord{1}{2}{-1}\) au plan \(\mathcal P:2x-y+2z+3=0\), en utilisant le projeté orthogonal. Donner seulement la valeur de la distance.
Non vérifié
Indice
Formule Bac : on ne donne pas une formule magique.
On construit le projeté orthogonal \(H\), puis :
\[
d(M,\mathcal P)=MH.
\]
Avec \(t=-\frac19\), on obtient :
\[
H\coord{\frac79}{\frac{19}{9}}{-\frac{11}{9}}.
\]
Correction
Avec \(t=-\frac19\), on a :
\[
H\coord{\frac79}{\frac{19}{9}}{-\frac{11}{9}}.
\]
On calcule :
\[
\overrightarrow{MH}
=
\coord{\frac79-1}{\frac{19}{9}-2}{-\frac{11}{9}-(-1)}
=
\coord{-\frac29}{\frac19}{-\frac29}.
\]
Donc :
\[
MH
=
\sqrt{\left(-\frac29\right)^2+\left(\frac19\right)^2+\left(-\frac29\right)^2}.
\]
Ainsi :
\[
MH
=
\sqrt{\frac4{81}+\frac1{81}+\frac4{81}}
=
\sqrt{\frac9{81}}
=
\sqrt{\frac19}
=
\frac13.
\]
Comme \(H\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur \(\mathcal P\), alors :
\[
\boxed{d(M,\mathcal P)=\frac13}.
\]