Vecteurs Droites Et Plans De Lespace
TERMINALE-SPE • MATHS — Learna
Quiz — Géométrie dans l’espace (Terminale Spé) : droites • plans • distances • projections (20 questions)
Réponds puis clique Vérifier (ou Tout vérifier). Solide • programme Tle Spé • notation officielle (x;y;z).
Q2. Avec \(A(1;2;-1)\) et \(B(4;-2;3)\), donner \(\vec{AB}\).
Non vérifié
Indice
Utiliser : \(\vec{AB}=(x_B-x_A;\;y_B-y_A;\;z_B-z_A)\).
Correction
\[
\vec{AB}=(4-1;\,-2-2;\,3-(-1))=(3;-4;4).
\]
Q3. Même points. Donner le milieu \(M\) de \([AB]\).
Non vérifié
Indice
Milieu = moyenne des coordonnées.
Correction
\[
M\left(\frac{1+4}{2};\frac{2+(-2)}{2};\frac{-1+3}{2}\right)
=\left(\frac52;0;1\right).
\]
Q4. Même points. Calculer la distance \(AB\).
Non vérifié
Indice
Formule de distance dans l’espace.
Correction
\[
AB=\sqrt{3^2+(-4)^2+4^2}=\sqrt{41}.
\]
Q5. Calculer \(\vec u\cdot\vec v\) avec \(\vec u=(2;-1;3)\) et \(\vec v=(1;5;1)\).
Non vérifié
Indice
Produit scalaire = somme des produits coordonnée à coordonnée.
Correction
\[
2\cdot1+(-1)\cdot5+3\cdot1=0.
\]
Q6. Avec les mêmes vecteurs, sont-ils orthogonaux ? (OUI/NON)
Non vérifié
Indice
Orthogonaux ⇔ produit scalaire nul.
Correction
Le produit scalaire est nul, donc les vecteurs sont orthogonaux.
Q7. Montrer que \(\vec u=(0;4;-2)\) et \(\vec v=(0;2;-1)\) sont colinéaires. Donner \(k\).
Non vérifié
Indice
Écrire \((0;4;-2)=k(0;2;-1)\).
Correction
\[
(0;4;-2)=k(0;2;-1)=(0;2k;-k)
\Rightarrow k=2.
\]
Q8. Avec \(\vec u=(1;1;0)\) et \(\vec v=(1;0;1)\), donner \(\cos\theta\).
Non vérifié
Indice
Utiliser la formule du cosinus avec le produit scalaire.
Correction
\[
\cos\theta=\frac{1}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac12.
\]
Q9. Avec les mêmes vecteurs, donner \(\theta\) en radians.
Non vérifié
Indice
Quel angle a un cosinus égal à 1/2 ?
Correction
\[
\theta=\frac{\pi}{3}.
\]
Q10. Avec \(A(1;0;2)\), \(B(3;1;0)\), \(C(4;3;-1)\), les points sont-ils alignés ? (OUI/NON)
Non vérifié
Indice
Tester la colinéarité de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
Correction
\[
\vec{AB}=(2;1;-2),\quad \vec{AC}=(3;3;-3).
\]
Pas de même coefficient → non alignés.
Q11. Ces trois points définissent-ils un plan unique ? (OUI/NON)
Non vérifié
Indice
Trois points non alignés.
Correction
Trois points non alignés définissent un plan unique.
Q12. Pour le plan \((P):2x-y+3z-8=0\), donner un vecteur normal.
Non vérifié
Indice
Les coefficients donnent un vecteur normal.
Correction
\[
\vec n=(2;-1;3).
\]
Q13. Le point \(A(1;0;2)\) appartient-il à ce plan ? (OUI/NON)
Non vérifié
Indice
Remplacer les coordonnées dans l’équation.
Correction
\[
2\cdot1-0+3\cdot2-8=0 \Rightarrow A\in(P).
\]
Clavier