Vecteurs Droites Et Plans De Lespace
TERMINALE-SPE • MATHS — Learna
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\def\coord#1#2#3{\begin{pmatrix}#1\\#2\\#3\end{pmatrix}}
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Fiche ultra-synthèse — Vecteurs, droites et plans de l’espace
Terminale Spécialité • Repérage • Droites • Plans • Produit scalaire • Orthogonalité • Projetés • Positions relatives.
1) Repérage et vecteurs
Coordonnées
Dans un repère \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\), on écrit :
\[
A\coord{x_A}{y_A}{z_A}
\qquad\text{et}\qquad
\vec u\coord{a}{b}{c}.
\]
Vecteur entre deux points
Si \(A\coord{x_A}{y_A}{z_A}\) et \(B\coord{x_B}{y_B}{z_B}\), alors :
\[
\overrightarrow{AB}
=
\coord{x_B-x_A}{y_B-y_A}{z_B-z_A}.
\]
Réflexe : arrivée − départ.
Norme
Si \(\vec u\coord{a}{b}{c}\), alors :
\[
\|\vec u\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.
\]
Distance entre deux points
\[
AB=\|\overrightarrow{AB}\|
=
\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.
\]
2) Alignement et coplanarité
Alignement
Les points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés si deux vecteurs construits avec ces points sont colinéaires :
\[
\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{AC}
\qquad
(\lambda\in\mathbb R).
\]
Coplanarité
Les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont coplanaires si :
\[
\overrightarrow{AD}
=
\alpha\overrightarrow{AB}
+
\beta\overrightarrow{AC}
\qquad
(\alpha,\beta\in\mathbb R).
\]
Attention : en géométrie dans l’espace, deux droites peuvent ne pas être parallèles et ne pas se couper. Elles sont alors non coplanaires.
3) Droite de l’espace
Définition vectorielle
Une droite \((d)\) passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec u\) est l’ensemble des points \(M\) tels que :
\[
M\in(d)
\iff
\exists t\in\mathbb R,
\quad
\overrightarrow{AM}=t\vec u.
\]
Représentation paramétrique
Si \(A\coord{x_A}{y_A}{z_A}\) et \(\vec u\coord{a}{b}{c}\), alors :
\[
\begin{cases}
x=x_A+at\\
y=y_A+bt\\
z=z_A+ct
\end{cases}
\qquad
t\in\mathbb R.
\]
Pour tester si un point \(M\) appartient à \((d)\), on cherche si le même réel \(t\) fonctionne dans les trois coordonnées.
4) Plan de l’espace
Plan avec normale
Si un plan \(\mathcal P\) passe par \(A\) et a pour vecteur normal \(\vec n\), alors :
\[
M\in\mathcal P
\iff
\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0.
\]
Équation cartésienne
Si \(A\coord{x_A}{y_A}{z_A}\) et \(\vec n\coord{a}{b}{c}\), alors :
\[
a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0.
\]
Après développement :
\[
ax+by+cz+d=0.
\]
Dans l’équation \(ax+by+cz+d=0\), un vecteur normal au plan est \(\vec n\coord{a}{b}{c}\).
5) Produit scalaire et orthogonalité
Produit scalaire
Si \(\vec u\coord{a}{b}{c}\) et \(\vec v\coord{a'}{b'}{c'}\), alors :
\[
\vec u\cdot\vec v
=
aa'+bb'+cc'.
\]
Orthogonalité
\[
\vec u\perp\vec v
\iff
\vec u\cdot\vec v=0.
\]
| Situation | Test essentiel |
|---|---|
| Deux droites | Produit scalaire des vecteurs directeurs. |
| Droite perpendiculaire à un plan | Le vecteur directeur de la droite est colinéaire à une normale du plan. |
| Deux plans perpendiculaires | Produit scalaire des deux vecteurs normaux égal à \(0\). |
6) Projetés orthogonaux et distances
Pour calculer une distance d’un point à une droite ou à un plan, on construit le projeté orthogonal \(H\), puis :
\[
d=MH.
\]
Point → droite
- On écrit \(H=A+t\vec u\), avec \(H\in(d)\).
- On impose : \[ \overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0. \]
- Alors \(H\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur \((d)\).
- La distance est \(MH\).
Point → plan
- On prend une normale \(\vec n\) au plan.
- On écrit \(H=M+t\vec n\).
- On impose \(H\in\mathcal P\).
- Alors \((MH)\perp\mathcal P\), donc \(H\) est le projeté orthogonal.
- La distance est \(MH\).
Méthode Bac : éviter les formules directes non démontrées. On construit \(H\), on prouve l’orthogonalité, puis on calcule \(MH\).
7) Positions relatives
| Objets | Méthode rapide | Conclusions possibles |
|---|---|---|
| Deux droites | Comparer les vecteurs directeurs, puis résoudre le système d’intersection. | Parallèles, confondues, sécantes, non coplanaires. |
| Droite et plan | Comparer \(\vec u\) et \(\vec n\), puis tester l’intersection. | Sécante, parallèle stricte, incluse, perpendiculaire. |
| Deux plans | Comparer les vecteurs normaux. | Parallèles, confondus, sécants, perpendiculaires. |
Pour deux droites : si les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires et que le système d’intersection n’a pas de solution, alors les droites sont non coplanaires.
8) Réflexes Bac à maîtriser
Questions fréquentes
- Calculer \(\overrightarrow{AB}\).
- Tester un alignement.
- Tester une coplanarité.
- Écrire une droite paramétrique.
- Écrire une équation de plan.
- Tester l’appartenance d’un point à une droite ou à un plan.
- Étudier l’intersection d’une droite et d’un plan.
- Déterminer un projeté orthogonal.
Pièges classiques
- Confondre vecteur directeur et vecteur normal.
- Oublier \(t\in\mathbb R\) dans une paramétrique.
- Dire “perpendiculaires” pour deux droites qui ne se coupent pas.
- Conclure “parallèle au plan” sans tester si la droite est incluse.
- Utiliser une formule de distance sans justifier le projeté.
Toujours finir par une phrase claire : « donc \(M\in(d)\) », « donc les droites sont sécantes », « donc \(H\) est le projeté orthogonal », etc.