Fiche de révision — Géométrie dans l’espace
Terminale Spécialité Maths • Conforme programme (sans produit vectoriel)
Vecteurs • Droites • Plans • Produit scalaire • Distances • Paramétriques & cartésiennes
Vecteurs • Droites • Plans • Produit scalaire • Distances • Paramétriques & cartésiennes
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Méthode Bac
Checklist Bac (ultra utile)
Réflexes
- Coordonnées : toujours écrire \((x; y; z)\).
- Droite : point + directeur → paramétrique.
- Plan : normal + point → cartésienne.
- Orthogonalité : test au produit scalaire.
- Projeté orthogonal : droite passant par \(M\) de direction normale, puis intersection.
- Conclusion propre : “donc …” + type (sécante/parallèle/incluse) + point/droite.
Pièges
- \(\vec u\cdot\vec n=0\) ⇒ la droite est parallèle au plan (ou incluse), pas “sécante”.
- Normaux colinéaires ⇒ plans parallèles ou confondus (test d’un point en plus).
- “Droites gauches” : montrer non parallèles + système sans solution.
1) Manipulation des vecteurs, des droites et des plans
Cette partie introduit le calcul vectoriel dans l’espace : translations, combinaisons linéaires,
indépendance linéaire, directions de droites et de plans. On s’appuie sur des solides (cube, pavé,
tétraèdre) et sur la représentation (géométrie dynamique) pour développer la vision dans l’espace.
Repère / vecteurs
Dans \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\), un point \(A\) : \(A(x_A;\,y_A;\,z_A)\).
Un vecteur \(\vec u(a;\,b;\,c)=a\vec i+b\vec j+c\vec k\).
Un vecteur \(\vec u(a;\,b;\,c)=a\vec i+b\vec j+c\vec k\).
| Formule | À savoir |
|---|---|
| \(\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;\,y_B-y_A;\,z_B-z_A)\) | “arrivée − départ” |
| \(\|\vec u(a;\,b;\,c)\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) | norme = longueur |
| \(\vec u\parallel \vec v \iff \exists\lambda,\ \vec u=\lambda\vec v\) | colinéarité |
Translations & combinaisons
- Translation de vecteur \(\vec u\) : \(A\mapsto B\) avec \(\overrightarrow{AB}=\vec u\).
- Combinaison linéaire : \(\vec w=\alpha\vec u+\beta\vec v\).
- Lecture sur cube : \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\).
- 2 vecteurs non colinéaires → direction d’un plan ; 3 vecteurs non coplanaires → base de l’espace.
Lecture sur figure : “décomposer” = écrire un chemin (somme de vecteurs) sur le solide.
Exercice 1 — Droite par deux points (paramétrique)
Soient \(A(1;\,0;\,2)\) et \(B(4;\,-1;\,5)\).
1) Donner un vecteur directeur de \((AB)\). 2) Donner une paramétrique. 3) \(M(7;\,-2;\,8)\in(AB)\) ?
1) Donner un vecteur directeur de \((AB)\). 2) Donner une paramétrique. 3) \(M(7;\,-2;\,8)\in(AB)\) ?
Correction détaillée
\[
\overrightarrow{AB}(4-1;\,-1-0;\,5-2)=(3;\,-1;\,3).
\]
Une paramétrique de \((AB)\) (avec point \(A\)) :
\[
\begin{cases}
x=1+3t\\
y=0-t\\
z=2+3t
\end{cases}\ (t\in\mathbb{R}).
\]
Appartenance : \(7=1+3t\Rightarrow t=2\). Alors \(y=0-2=-2\) et \(z=2+6=8\). Donc \(\boxed{M\in(AB)}\).
Exercice 2 — Plan par un point + deux directeurs (paramétrique)
On considère \(A(1;\,0;\,2)\), \(B(2;\,1;\,0)\), \(C(0;\,2;\,1)\).
Donner une représentation paramétrique du plan \((ABC)\).
Donner une représentation paramétrique du plan \((ABC)\).
Correction détaillée
\[
\overrightarrow{AB}(1;\,1;\,-2),\qquad \overrightarrow{AC}(-1;\,2;\,-1).
\]
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc ils dirigent le plan. Pour \(M(x;\,y;\,z)\in(ABC)\) :
\[
\overrightarrow{AM}=s\,\overrightarrow{AB}+t\,\overrightarrow{AC}.
\]
D’où :
\[
\begin{cases}
x=1+s-t\\
y=s+2t\\
z=2-2s-t
\end{cases}\ (s,t\in\mathbb{R}).
\]
2) Orthogonalité et distances dans l’espace
Le produit scalaire dans l’espace est un outil central pour l’orthogonalité et les distances :
orthogonalité de deux droites, droite/plan, projections orthogonales sur une droite ou un plan.
Produit scalaire (base orthonormée)
Si \(\vec u(a;\,b;\,c)\) et \(\vec v(a';\,b';\,c')\) :
\[
\vec u\cdot\vec v = aa' + bb' + cc'.
\]
\(\vec u\perp \vec v \iff \vec u\cdot\vec v = 0\).
\(\|\vec u\|=\sqrt{\vec u\cdot\vec u}\).
\(\|\vec u\|=\sqrt{\vec u\cdot\vec u}\).
\(\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2+2\vec u\cdot\vec v\) (et “−”).
Distances utiles
- Distance \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\).
- Distance point–plan, \((P):ax+by+cz+d=0\) : \[ d(M,(P))=\frac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. \]
- Projeté orthogonal sur un plan : droite passant par \(M\) de direction normale \(\vec n\), puis intersection.
Exercice 3 — Orthogonalité (vecteurs) + conclusion
\(\vec u(2;\,-1;\,1)\) et \(\vec v(1;\,1;\,-1)\).
1) Montrer que \(\vec u\perp \vec v\). 2) Conclure pour deux droites de directeurs \(\vec u\) et \(\vec v\) si elles se coupent.
1) Montrer que \(\vec u\perp \vec v\). 2) Conclure pour deux droites de directeurs \(\vec u\) et \(\vec v\) si elles se coupent.
Correction détaillée
\[
\vec u\cdot\vec v = 2\cdot1 + (-1)\cdot1 + 1\cdot(-1) = 2-1-1 = 0.
\]
Donc \(\boxed{\vec u\perp \vec v}\). Si deux droites se coupent et ont des directeurs orthogonaux, elles sont orthogonales.
Exercice 4 — Distance d’un point à un plan
Calculer la distance du point \(M(2;\,1;\,-1)\) au plan \((P): 2x-y+2z+3=0\).
Correction détaillée
Ici \(a=2\), \(b=-1\), \(c=2\), \(d=3\).\[ ax_M+by_M+cz_M+d = 2\cdot2 + (-1)\cdot1 + 2\cdot(-1) + 3 = 4-1-2+3 = 4. \] \[ \sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt9=3. \] \[ d(M,(P))=\frac{|4|}{3}=\boxed{\frac{4}{3}}. \]
3) Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Dans un repère (orthonormé), on relie la géométrie de l’espace et les calculs algébriques dans \(\mathbb{R}^3\).
Objectif : maîtriser les paramétriques de droites et les équations cartésiennes de plans, et traduire des situations
par des systèmes (puis interpréter).
Droite paramétrique
Droite passant par \(A(x_A;\,y_A;\,z_A)\) de directeur \(\vec u(a;\,b;\,c)\) :
\[
\begin{cases}
x=x_A+at\\
y=y_A+bt\\
z=z_A+ct
\end{cases}\ (t\in\mathbb{R}).
\]
Reconnaître : c’est l’ensemble des points \(A+t\vec u\).
Plan cartésien
Plan \((P): ax+by+cz+d=0\). Normal \(\vec n(a;\,b;\,c)\).
Si \((P)\) passe par \(A(x_A;\,y_A;\,z_A)\) : \[ a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0. \]
Si \((P)\) passe par \(A(x_A;\,y_A;\,z_A)\) : \[ a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0. \]
Attention : normal colinéaire ⇒ plans parallèles ou confondus (test d’un point pour trancher).
Exercice 5 — Équation d’un plan (point + normal)
Déterminer une équation cartésienne du plan \((P)\) passant par \(A(1;\,-2;\,3)\) et de normal \(\vec n(2;\,1;\,-1)\).
Correction détaillée
\[
2(x-1)+1(y+2)-1(z-3)=0
\]
\[
2x-2+y+2-z+3=0 \Rightarrow 2x+y-z+3=0.
\]
Donc \(\boxed{(P): 2x+y-z+3=0}\).
Exercice 6 — Projeté orthogonal sur un plan (méthode Bac)
Soit \((P): 2x-y+2z+3=0\) et \(M(2;\,1;\,-1)\).
Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \((P)\).
Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \((P)\).
Correction détaillée
Un normal du plan : \(\vec n(2;\,-1;\,2)\). La droite \(\Delta\) passant par \(M\) de direction \(\vec n\) :
\[
\Delta:\begin{cases}
x=2+2t\\
y=1-t\\
z=-1+2t
\end{cases}
\]
On impose \(H\in(P)\) : substitution dans \(2x-y+2z+3=0\) :
\[
2(2+2t)-(1-t)+2(-1+2t)+3=0
\]
\[
4+4t-1+t-2+4t+3=0 \Rightarrow 4+9t=0 \Rightarrow t=-\frac{4}{9}.
\]
Donc
\[
H\left(2+2\left(-\frac49\right);\ 1-\left(-\frac49\right);\ -1+2\left(-\frac49\right)\right)
=\boxed{H\left(\frac{10}{9};\ \frac{13}{9};\ -\frac{17}{9}\right)}.
\]
Traduction en système (repéré) : coplanarité, intersection, appartenance, etc. se traduisent souvent par
un système linéaire. On résout (cas simples) puis on interprète géométriquement.
Fin — À faire avant le Bac
Refaire chaque exercice sans regarder la correction, puis vérifier (bouton Afficher/Masquer).
Objectif : automatiser les tests + les conclusions propres.
Objectif : automatiser les tests + les conclusions propres.