Vecteurs Droites Et Plans De Lespace
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Cours — Vecteurs, droites et plans de l’espace
Repérage • vecteurs • droites • plans • produit scalaire • orthogonalité • projetés orthogonaux • distances • paramétriques • cartésiennes.
Objectifs Repérage Vecteurs Droites & plans Orthogonalité Distances Paramétrique Plan cartésien Positions relatives Compléments Formulaire Voir le PDF
1) Objectifs du chapitre
Capacités attendues
  • Repérer un point de l’espace et calculer les coordonnées d’un vecteur.
  • Manipuler colinéarité, coplanarité, parallélisme et intersection.
  • Utiliser le produit scalaire pour l’orthogonalité, les longueurs et les angles.
  • Déterminer le projeté orthogonal d’un point sur une droite ou sur un plan.
  • Déterminer une représentation paramétrique d’une droite.
  • Déterminer l’équation cartésienne d’un plan.
  • Traduire une configuration de l’espace par un système d’équations.
Méthode générale
On part d’une figure ou d’une situation géométrique, puis on traduit avec :
  • des vecteurs ;
  • une représentation paramétrique ;
  • une équation cartésienne ;
  • un système d’équations ;
  • un produit scalaire.
Toujours conclure explicitement : « donc les droites sont sécantes », « donc la droite est parallèle au plan », « donc \(H\) est le projeté orthogonal », etc.
2) Repérage dans l’espace
Points et vecteurs
Dans un repère \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\), on écrit : \[ A\coord{x_A}{y_A}{z_A} \qquad\text{et}\qquad \vec u\coord{a}{b}{c}. \]
Vecteur entre deux points
Si \(A\coord{x_A}{y_A}{z_A}\) et \(B\coord{x_B}{y_B}{z_B}\), alors : \[ \overrightarrow{AB} = \coord{x_B-x_A}{y_B-y_A}{z_B-z_A}. \]
Exemple
Si \(A\coord{1}{-2}{3}\) et \(B\coord{4}{0}{-1}\), alors : \[ \overrightarrow{AB} = \coord{4-1}{0-(-2)}{-1-3} = \coord{3}{2}{-4}. \]
3) Vecteurs dans l’espace
Opérations
\[ \coord{a}{b}{c} + \coord{a'}{b'}{c'} = \coord{a+a'}{b+b'}{c+c'}. \] \[ \lambda\coord{a}{b}{c} = \coord{\lambda a}{\lambda b}{\lambda c}. \]
Norme
Si \(\vec u\coord{a}{b}{c}\), alors : \[ \|\vec u\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}. \]
Colinéarité
Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires si l’un est un multiple de l’autre : \[ \vec u\parallel \vec v \iff \exists \lambda\in\mathbb{R},\ \vec u=\lambda\vec v. \]
Coplanarité
Trois vecteurs \(\vec u,\vec v,\vec w\) sont coplanaires si l’un peut s’écrire comme combinaison linéaire des deux autres : \[ \vec w=\alpha \vec u+\beta \vec v. \]
4) Droites et plans
Droite
Une droite \((d)\) passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec u\) est l’ensemble des points \(M\) tels que : \[ \overrightarrow{AM}=t\vec u \qquad (t\in\mathbb{R}). \]
Plan
Un plan passant par \(A\) et dirigé par deux vecteurs non colinéaires \(\vec u\) et \(\vec v\) est l’ensemble des points \(M\) tels que : \[ \overrightarrow{AM}=s\vec u+t\vec v \qquad (s,t\in\mathbb{R}). \]
Vecteur normal à un plan
Un vecteur \(\vec n\) est normal à un plan s’il est orthogonal à tous les vecteurs directeurs de ce plan.
5) Produit scalaire et orthogonalité
Produit scalaire
Si \(\vec u\coord{a}{b}{c}\) et \(\vec v\coord{a'}{b'}{c'}\), alors : \[ \vec u\cdot\vec v=aa'+bb'+cc'. \]
Critère d’orthogonalité
\[ \vec u\perp\vec v \iff \vec u\cdot\vec v=0. \]
Angle
\[ \vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\theta). \]
Objet Test Conclusion
Deux droites Produit scalaire de deux vecteurs directeurs Directions orthogonales si le produit scalaire vaut \(0\)
Droite et plan Directeur de la droite colinéaire à une normale du plan La droite est perpendiculaire au plan
Deux plans Produit scalaire de deux normales Plans perpendiculaires si le produit scalaire vaut \(0\)
6) Projetés orthogonaux et distances
Principe
La distance d’un point à une droite ou à un plan se calcule à l’aide du projeté orthogonal.

Si \(H\) est le projeté orthogonal de \(M\), alors : \[ d=MH. \]
Distance d’un point à une droite
  1. On cherche \(H\in(d)\).
  2. On écrit \(H=A+t\vec u\), où \(\vec u\) est un vecteur directeur de \((d)\).
  3. On impose : \[ \overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0. \]
  4. Cette condition prouve que \((MH)\perp(d)\).
  5. On calcule ensuite \(MH\).
Distance d’un point à un plan
  1. On prend la droite passant par \(M\) et dirigée par une normale \(\vec n\) du plan.
  2. On écrit un point \(H=M+t\vec n\).
  3. On impose \(H\in\mathcal P\).
  4. Comme \(\overrightarrow{MH}\) est colinéaire à une normale du plan, alors \((MH)\perp\mathcal P\).
  5. On calcule ensuite \(MH\).
Exemple — point et droite
Soit \((d)\) passant par \(A\coord{1}{0}{2}\) et de vecteur directeur \(\vec u\coord{2}{-1}{3}\), et \(M\coord{3}{2}{1}\).

On pose : \[ H=A+t\vec u = \coord{1+2t}{-t}{2+3t}. \] Donc : \[ \overrightarrow{MH} = \coord{1+2t-3}{-t-2}{2+3t-1} = \coord{2t-2}{-t-2}{3t+1}. \] On impose : \[ \overrightarrow{MH}\cdot \vec u=0. \] Donc : \[ (2t-2)\times2+(-t-2)\times(-1)+(3t+1)\times3=0. \] \[ 4t-4+t+2+9t+3=0. \] \[ 14t+1=0 \quad\Rightarrow\quad t=-\frac{1}{14}. \] On détermine alors \(H\), puis la distance : \[ d(M,(d))=MH. \]
Exemple — point et plan
Soit \[ \mathcal P:2x-y+2z+3=0 \] et \(M\coord{2}{1}{-1}\). Une normale du plan est : \[ \vec n\coord{2}{-1}{2}. \] On cherche \(H=M+t\vec n\), donc : \[ H\coord{2+2t}{1-t}{-1+2t}. \] On impose \(H\in\mathcal P\) : \[ 2(2+2t)-(1-t)+2(-1+2t)+3=0. \] \[ 4+4t-1+t-2+4t+3=0. \] \[ 4+9t=0 \quad\Rightarrow\quad t=-\frac49. \] On obtient le projeté orthogonal \(H\), puis : \[ d(M,\mathcal P)=MH. \]
7) Représentation paramétrique d’une droite
Forme générale
Si \((d)\) passe par \(A\coord{x_A}{y_A}{z_A}\) et a pour vecteur directeur \(\vec u\coord{a}{b}{c}\), alors : \[ \begin{cases} x=x_A+at\\ y=y_A+bt\\ z=z_A+ct \end{cases} \qquad (t\in\mathbb{R}). \]
Exemple
Si \[ \begin{cases} x=2-t\\ y=1+3t\\ z=4 \end{cases} \qquad (t\in\mathbb R), \] alors la droite passe par \(A\coord{2}{1}{4}\) et a pour vecteur directeur : \[ \vec u\coord{-1}{3}{0}. \]
8) Équation cartésienne d’un plan
Forme générale
Un plan admet une équation : \[ ax+by+cz+d=0. \] Un vecteur normal au plan est : \[ \vec n\coord{a}{b}{c}. \]
Plan passant par un point
Si le plan passe par \(A\coord{x_A}{y_A}{z_A}\) et a pour normale \(\vec n\coord{a}{b}{c}\), alors : \[ a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0. \]
Exemple
Plan passant par \(A\coord{1}{-2}{3}\) et de normale \(\vec n\coord{2}{1}{-1}\) : \[ 2(x-1)+(y+2)-(z-3)=0. \] \[ 2x+y-z+3=0. \]
9) Positions relatives et systèmes
Principe
On étudie une configuration en traduisant le problème par un système d’équations, puis on interprète le résultat.
Situation Ce qu’on regarde Conclusion
Deux droites Vecteurs directeurs + système d’intersection Parallèles, confondues, sécantes ou non coplanaires
Droite et plan Vecteur directeur / normale + intersection Parallèle au plan, incluse, sécante ou perpendiculaire
Deux plans Vecteurs normaux Parallèles, confondus, sécants ou perpendiculaires
Orthogonales / perpendiculaires
  • Directions orthogonales : le produit scalaire des vecteurs directeurs vaut \(0\).
  • Droites perpendiculaires : elles sont sécantes et leurs directions sont orthogonales.
Piège important
Deux droites peuvent avoir des directions orthogonales sans être perpendiculaires, si elles ne se coupent pas.
Méthode pour deux droites
  1. On compare les vecteurs directeurs.
  2. S’ils sont colinéaires : les droites sont parallèles ou confondues.
  3. S’ils ne sont pas colinéaires : on résout le système d’intersection.
  4. Si le système a une solution : les droites sont sécantes.
  5. Sinon : les droites sont non coplanaires.
10) Compléments utiles
Paramétrique d’un plan
Si un plan passe par \(A\coord{x_A}{y_A}{z_A}\) et est dirigé par deux vecteurs non colinéaires \(\vec u\coord{a}{b}{c}\) et \(\vec v\coord{a'}{b'}{c'}\), alors on peut écrire : \[ \begin{cases} x=x_A+sa+ta'\\ y=y_A+sb+tb'\\ z=z_A+sc+tc' \end{cases} \qquad (s,t\in\mathbb{R}). \]
Cette écriture est utile, mais elle reste ici en complément pour garder le cœur du cours centré sur les attendus principaux.
11) Mini-formulaire
Vecteurs
\[ \overrightarrow{AB} = \coord{x_B-x_A}{y_B-y_A}{z_B-z_A}. \] \[ \text{Si } \vec u\coord{a}{b}{c}, \quad \|\vec u\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}. \]
Produit scalaire
\[ \vec u\coord{a}{b}{c} \cdot \vec v\coord{a'}{b'}{c'} = aa'+bb'+cc'. \] \[ \vec u\perp\vec v \iff \vec u\cdot\vec v=0. \]
Droite paramétrique
\[ \begin{cases} x=x_A+at\\ y=y_A+bt\\ z=z_A+ct \end{cases} \qquad (t\in\mathbb R). \]
Plan cartésien
\[ ax+by+cz+d=0 \] avec une normale : \[ \vec n\coord{a}{b}{c}. \]
Distance
On détermine le projeté orthogonal \(H\), on prouve l’orthogonalité, puis : \[ d=MH. \]
Checklist Bac — copie solide
  • Je sais calculer un vecteur, une norme et un produit scalaire.
  • Je sais écrire une droite sous forme paramétrique.
  • Je sais reconnaître un vecteur directeur et une normale.
  • Je sais écrire l’équation cartésienne d’un plan.
  • Je sais déterminer un projeté orthogonal sur une droite ou sur un plan.
  • Je sais calculer une distance par \(MH\), après avoir justifié le projeté orthogonal.
  • Je sais traduire une configuration de l’espace par un système.
  • Je distingue bien directions orthogonales et droites perpendiculaires.
Rappel de présentation : dans ce chapitre, les coordonnées sont affichées en colonne pour les points et les vecteurs.