Vecteurs, droites et plans de l’espace

Repérage, équations paramétriques, positions relatives, intersections.

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Cours — Géométrie dans l’espace (Terminale Spé)
Vecteurs • Droites • Plans • Produit scalaire • Distances • Paramétriques & cartésiennes (méthode Bac).
On s’appuie sur la perception de l’espace (cube, pavé, tétraèdre) et sur des outils algébriques (vecteurs, produit scalaire) pour décrire et résoudre des problèmes de configuration dans \(\mathbb{R}^3\). Les représentations (et un logiciel de géométrie dynamique) aident à développer la vision spatiale.
Plan du chapitre (conforme programme)
Sections
  1. Manipulation : vecteurs, translations, combinaisons, droites/plans, bases.
  2. Orthogonalité & distances : produit scalaire dans l’espace, projections, mesures.
  3. Repérage algébrique : paramétriques de droites, équations cartésiennes de plans.
Capacités attendues (Bac)
  • Décomposer un vecteur sur une base et lire une base sur une figure.
  • Décrire des positions relatives : droites / droite-plan / plans.
  • Utiliser le produit scalaire pour orthogonalité, angle, longueur, distance.
  • Déterminer un projeté orthogonal (droite ou plan) dans un repère.
  • Traduire une configuration par un système et interpréter les solutions.
Cube / pavé / tétraèdre Calcul vectoriel Vision spatiale Systèmes
Section 1 — Manipulation des vecteurs, droites et plans de l’espace
Translations • Combinaisons linéaires • Indépendance linéaire • Directions • Bases et repères
1.1 Repérage : points et vecteurs
Points
Dans un repère \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\), un point s’écrit : \[ A(x_A;\,y_A;\,z_A). \]
Les coordonnées donnent la position selon les directions \(\vec i,\vec j,\vec k\).
Vecteurs
Un vecteur \(\vec u\) a des coordonnées \(\vec u(a;\,b;\,c)\) et : \[ \vec u=a\vec i+b\vec j+c\vec k. \] Pour deux points \(A\) et \(B\) : \[ \overrightarrow{AB}(x_B-x_A;\;y_B-y_A;\;z_B-z_A). \]
Phrase Bac : « arrivée − départ ».
Outil Formule Remarque
Somme \((a;\,b;\,c)+(a';\,b';\,c')=(a+a';\,b+b';\,c+c')\) Addition de déplacements (parallélogramme)
Produit par un réel \(\lambda(a;\,b;\,c)=(\lambda a;\,\lambda b;\,\lambda c)\) Étirement / inversion si \(\lambda<0\)
Norme \(\|\vec u(a;\,b;\,c)\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) Longueur de \(\vec u\)
Colinéarité \(\vec u\parallel\vec v\iff \exists\lambda,\ \vec u=\lambda\vec v\) Même direction
1.2 Translations & combinaisons linéaires
Translation
La translation de vecteur \(\vec u\) envoie \(A\) sur \(B\) tel que : \[ \overrightarrow{AB}=\vec u. \]
Elle conserve parallélisme, longueurs et angles (déplacement rigide).
Combinaison linéaire
\[ \vec w=\alpha\vec u+\beta\vec v. \]
Géométriquement : « étirer » \(\vec u,\vec v\) puis additionner.
Capacité attendue : exploiter une figure (cube/pavé) pour écrire un vecteur comme combinaison linéaire d’arêtes (vecteurs “de base”). Exemple clé : \[ \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}. \]

Exemple guidé — Cube : écrire des vecteurs

Dans un cube \(ABCDEFGH\), exprimer \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AF}\) et \(\overrightarrow{AG}\) avec \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\).
Correction
\[ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD},\qquad \overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE},\qquad \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}. \]
1.3 Indépendance linéaire & directions
Indépendance (2 vecteurs)
Deux vecteurs \(\vec u,\vec v\) sont linéairement indépendants s’ils ne sont pas colinéaires : \[ \vec u\not\parallel \vec v. \]
Ils “définissent” une direction de plan (ils engendrent un plan).
Base de l’espace (3 vecteurs)
Trois vecteurs \(\vec u,\vec v,\vec w\) forment une base de l’espace s’ils ne sont pas coplanaires.
Lecture figure : 3 directions “non dans le même plan” (pavé/cube : arêtes \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AE}\)).
Direction d’une droite : donnée par un vecteur directeur \(\vec u\).
Direction d’un plan : donnée par deux vecteurs non colinéaires \(\vec u,\vec v\) (toutes les combinaisons \(s\vec u+t\vec v\)).
1.4 Droites : vecteurs directeurs, colinéarité, caractérisation
Point + vecteur directeur
Une droite \((d)\) passant par \(A\) et de directeur \(\vec u(a;\,b;\,c)\) : \[ M\in(d)\iff \overrightarrow{AM}=t\vec u\ (t\in\mathbb{R}). \] Dans un repère : \[ (d):\;\begin{cases} x=x_A+at\\ y=y_A+bt\\ z=z_A+ct \end{cases} \]
Appartenance
Pour tester \(M(x_M;\,y_M;\,z_M)\in(d)\) :
  1. On cherche un réel \(t\) avec une équation (souvent \(x\)).
  2. On vérifie que le même \(t\) marche pour \(y\) et \(z\).
  3. Conclusion claire.
Deux droites parallèles : \((d_1)\parallel(d_2)\) ssi leurs directeurs \(\vec u_1,\vec u_2\) sont colinéaires : \[ \exists\lambda,\ \vec u_1=\lambda\vec u_2. \]

Exemple — Droite par deux points

Soient \(A(1;\,0;\,2)\) et \(B(4;\,-1;\,5)\). Donner une paramétrique de \((AB)\).
Correction
\(\overrightarrow{AB}(3;\,-1;\,3)\). Donc : \[ (AB):\;\begin{cases} x=1+3t\\ y=0-t\\ z=2+3t \end{cases}\quad(t\in\mathbb{R}). \]
1.5 Plans : direction, caractérisation (point + 2 vecteurs)
Plan par un point + deux directions
Un plan \((P)\) passant par \(A\) et dirigé par \(\vec u,\vec v\) non colinéaires : \[ M\in(P)\iff \overrightarrow{AM}=s\vec u+t\vec v \quad(s,t\in\mathbb{R}). \]
\(\vec u,\vec v\) décrivent la direction du plan (un “repère” dans le plan).
Plan défini par 3 points
Si \(A,B,C\) ne sont pas alignés, alors \((ABC)\) est un plan, avec \[ \vec u=\overrightarrow{AB},\quad \vec v=\overrightarrow{AC}\ (\vec u\not\parallel\vec v). \]
On obtiendra une équation cartésienne en Section 3 (normal + point).
1.6 Bases et repères : décomposition d’un vecteur
Décomposition sur une base
Dans une base \((\vec i,\vec j,\vec k)\), tout vecteur \(\vec u\) s’écrit de façon unique : \[ \vec u=x\vec i+y\vec j+z\vec k. \] On note alors \(\vec u(x;\,y;\,z)\).
Lecture sur une figure (pavé)
Sur un pavé \(ABCD.EFGH\), la base \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})\) est une base de l’espace. Beaucoup de vecteurs se lisent comme combinaisons de ces trois arêtes.

Exemple — Pavé : combinaisons

Dans \(ABCD.EFGH\), exprimer \(\overrightarrow{AH}\) et \(\overrightarrow{DG}\) avec \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\).
Correction
\[ \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE},\qquad \overrightarrow{DG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}. \]
Approfondissements (culture)
  • Barycentre (2 à 4 points), associativité, résolution de problèmes.
  • Fonction vectorielle de Leibniz (ouverture).
Section 2 — Orthogonalité et distances dans l’espace
Produit scalaire • Orthogonalité droites/plans • Projections • Distances • Mesures
2.1 Produit scalaire dans l’espace
Définition (dans une base orthonormée)
Dans une base orthonormée, si \(\vec u(a;\,b;\,c)\) et \(\vec v(a';\,b';\,c')\), alors : \[ \vec u\cdot\vec v=aa'+bb'+cc'. \]
Bilinéarité et symétrie : \(\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u\), \((\alpha\vec u+\beta\vec v)\cdot\vec w=\alpha(\vec u\cdot\vec w)+\beta(\vec v\cdot\vec w)\).
Norme et distance
\[ \|\vec u\|=\sqrt{\vec u\cdot\vec u}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}. \] Distance entre \(A(x_A;\,y_A;\,z_A)\) et \(B(x_B;\,y_B;\,z_B)\) : \[ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}. \]
Orthogonalité : \(\vec u\perp\vec v \iff \vec u\cdot\vec v=0\). Bac : pour prouver une orthogonalité, on calcule un produit scalaire et on conclut.
Développement et polarisation : \[ \|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2+2\vec u\cdot\vec v, \qquad \|\vec u-\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-2\vec u\cdot\vec v. \] Formules de polarisation : \[ \vec u\cdot\vec v=\frac12\Big(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\Big) =\frac14\Big(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2\Big). \]
2.2 Orthogonalité : droites, plan/droite
Objet Test Conclusion Bac
Deux droites \((d_1),(d_2)\) Directeurs \(\vec u_1,\vec u_2\) : calculer \(\vec u_1\cdot\vec u_2\) \(\vec u_1\cdot\vec u_2=0 \Rightarrow (d_1)\perp(d_2)\)
Droite \((d)\) et plan \((P)\) Directeur \(\vec u\) de \((d)\) et normal \(\vec n\) de \((P)\) \(\vec u\parallel\vec n \Rightarrow (d)\perp(P)\)
Deux plans \((P_1),(P_2)\) Normals \(\vec n_1,\vec n_2\) : calculer \(\vec n_1\cdot\vec n_2\) \(\vec n_1\cdot\vec n_2=0 \Rightarrow (P_1)\perp(P_2)\)

Exemple — Deux droites orthogonales

\(\vec u_1(2;\,-1;\,1)\) et \(\vec u_2(1;\,1;\,-1)\). Les droites de ces directions sont-elles orthogonales ?
Correction
\[ \vec u_1\cdot\vec u_2=2\cdot1+(-1)\cdot1+1\cdot(-1)=2-1-1=0. \] Donc les directions sont orthogonales, donc les droites (si elles se coupent) sont orthogonales.
2.3 Projections orthogonales et distances
Projeté sur une droite
Soit une droite \((d)\) passant par \(A\) et de directeur \(\vec u\). Le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \((d)\) vérifie :
  • \(H\in(d)\), donc \(\overrightarrow{AH}=t\vec u\).
  • \(\overrightarrow{MH}\perp \vec u\), donc \(\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0\).
On résout en \(t\) (système simple) dans un repère.
Projeté sur un plan (idée)
Si \((P)\) a pour normal \(\vec n\), le projeté \(H\) de \(M\) sur \((P)\) est l’intersection de :
  • la droite passant par \(M\) de direction \(\vec n\),
  • le plan \((P)\).
Démonstration (admis au programme)
Le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \((P)\) est le point de \((P)\) le plus proche de \(M\). (Propriété fondamentale d’une projection orthogonale.)
Distance point → plan (plan cartésien) : si \((P):ax+by+cz+d=0\) et \(M(x_M;\,y_M;\,z_M)\), alors : \[ d\big(M,(P)\big)=\frac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. \]
Attention : la distance point-plan suppose un repère orthonormé (cas usuel dans les exercices).
2.4 Grandeurs et mesures (longueur, angle, aire, volume)
Exemples typiques :
  • Longueur d’un segment : norme d’un vecteur.
  • Angle entre deux droites (directions \(\vec u,\vec v\)) : via \(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta\).
  • Aire/volume dans des cas simples : choix de repère, longueurs, orthogonalités.
Approfondissements (culture)
  • Intersection sphère/plan ; plan tangent à une sphère.
  • Sphère circonscrite à un tétraèdre.
  • Fonction scalaire de Leibniz.
Section 3 — Représentations paramétriques & équations cartésiennes
Lien géométrie ↔ calcul algébrique dans \(\mathbb{R}^3\) (repère orthonormé).
3.1 Représentation paramétrique d’une droite
Si \((d)\) passe par \(A(x_A;\,y_A;\,z_A)\) et a pour directeur \(\vec u(a;\,b;\,c)\), alors : \[ (d):\;\begin{cases} x=x_A+at\\ y=y_A+bt\\ z=z_A+ct \end{cases}\quad(t\in\mathbb{R}). \]
Reconnaître une droite : une représentation paramétrique décrit l’ensemble des points \(A+t\vec u\). Si \(\vec u\neq \vec 0\), c’est bien une droite.

Exemple — Droite donnée paramétriquement

\((d):\;\begin{cases}x=2-t\\y=1+3t\\z=4\end{cases}\). Donner un point et un vecteur directeur.
Correction
Pour \(t=0\) : \(A(2;\,1;\,4)\). Directeur \(\vec u(-1;\,3;\,0)\).
Donc \((d)\) passe par \(A\) et a pour direction \(\vec u\).
3.2 Équation cartésienne d’un plan
Forme
\[ (P):ax+by+cz+d=0 \] \(\vec n(a;\,b;\,c)\) est un vecteur normal.
Plan donné par point + normal
Si \(A(x_A;\,y_A;\,z_A)\) et \(\vec n(a;\,b;\,c)\neq \vec 0\), alors le plan passant par \(A\) et normal à \(\vec n\) : \[ a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0. \]
Démonstration (au programme) : équation du plan normal à \(\vec n\) passant par \(A\)
Un point \(M(x;\,y;\,z)\) appartient au plan si et seulement si \(\overrightarrow{AM}\) est orthogonal à \(\vec n\).
Donc \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0\). Or \(\overrightarrow{AM}(x-x_A;\,y-y_A;\,z-z_A)\), d’où : \[ a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0. \]
Reconnaître un plan : si l’équation est \(ax+by+cz+d=0\), alors \(\vec n(a;\,b;\,c)\) est un normal (à donner explicitement).

Exemple — Construire l’équation d’un plan

Plan passant par \(A(1;\,-2;\,3)\) et de normal \(\vec n(2;\,1;\,-1)\).
Correction
\[ 2(x-1)+(y+2)-(z-3)=0 \Rightarrow 2x+y-z+3=0. \]
3.3 Projeté orthogonal (coordonnées) sur une droite / un plan
Projeté sur une droite (méthode système)
  1. Écrire \(H\in(d)\) sous forme \(H=A+t\vec u\).
  2. Traduire \(\overrightarrow{MH}\perp\vec u\) par \(\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0\).
  3. Résoudre en \(t\), puis trouver \(H\).
Projeté sur un plan (méthode droite normale)
  1. Écrire la droite \(\Delta\) passant par \(M\) de direction \(\vec n\) (normal du plan).
  2. Trouver l’intersection \(H=\Delta\cap(P)\) (substitution).
  3. Alors \(H\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur \((P)\).

Exemple — Projeté d’un point sur un plan (repère orthonormé)

\((P):2x-y+2z+3=0\), point \(M(2;\,1;\,-1)\). Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \((P)\).
Correction (méthode)
Un normal du plan : \(\vec n(2;\,-1;\,2)\).
Droite \(\Delta\) passant par \(M\) et de direction \(\vec n\) : \[ \Delta:\;\begin{cases} x=2+2t\\ y=1-t\\ z=-1+2t \end{cases} \] Intersection avec \((P)\) : on remplace dans \(2x-y+2z+3=0\) : \[ 2(2+2t)-(1-t)+2(-1+2t)+3=0 \] \[ 4+4t-1+t-2+4t+3=0 \Rightarrow 4+9t=0 \Rightarrow t=-\frac{4}{9}. \] Donc : \[ H\Big(2+2\cdot(-\frac49);\;1-(-\frac49);\;-1+2\cdot(-\frac49)\Big) =\Big(\frac{10}{9};\;\frac{13}{9};\;-\frac{17}{9}\Big). \] Conclusion : \(H(\frac{10}{9};\frac{13}{9};-\frac{17}{9})\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur \((P)\).
3.4 Traduire une configuration par un système (et interpréter)
Dans un repère, on traduit souvent par des systèmes linéaires :
  • Décider si trois vecteurs forment une base (déterminant / système).
  • Trouver les coordonnées d’un vecteur dans une base.
  • Étudier une configuration : alignement, parallélisme, coplanarité, intersection, orthogonalité.
Dans des cas simples, on résout le système et on interprète géométriquement.
Approfondissements (culture)
  • Intersection de deux plans (obtenir une droite).
  • Déterminer un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (hors produit vectoriel “outil”).
  • Équation d’une sphère (centre + rayon) ; intersection sphère/droite.
Checklist Bac — ce que tu dois maîtriser
Essentiel
  • Passer point + directeur → paramétrique d’une droite ; reconnaître une paramétrique.
  • Point + normal → équation cartésienne d’un plan ; donner un normal d’un plan cartésien.
  • Positions relatives : \(\vec u\cdot\vec n\) (droite/plan), colinéarité des normals (plans).
  • Produit scalaire : orthogonalité, angle, longueurs ; normes & distances.
  • Projeté orthogonal sur une droite / un plan dans un repère.
  • Systèmes : intersection, coplanarité, coordonnées dans une base.
Pièges
  • \(\vec u\cdot\vec n=0\) ⇒ droite parallèle au plan (pas “sécante”).
  • Normals colinéaires ⇒ plans parallèles ou confondus (test d’un point).
  • Toujours conclure explicitement : “donc …” avec objet géométrique.