Utiliser : \[ \overrightarrow{AB}=\coord{x_B-x_A}{y_B-y_A}{z_B-z_A} \] puis : \[ \vec u\cdot\vec v=aa'+bb'+cc'. \] Deux directions sont orthogonales lorsque le produit scalaire vaut \(0\).

\[ \overrightarrow{AB}=\coord{4-1}{-1-2}{3-0}=\coord{3}{-3}{3}. \] \[ \overrightarrow{AC}=\coord{2-1}{1-2}{4-0}=\coord{1}{-1}{4}. \] Produit scalaire : \[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =3\times1+(-3)\times(-1)+3\times4=3+3+12=18. \] Le produit scalaire n’est pas nul, donc les directions \((AB)\) et \((AC)\) ne sont pas orthogonales. \[ AB=\sqrt{3^2+(-3)^2+3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt3. \] \[ AC=\sqrt{1^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2. \]

Une droite passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec u\) est définie par : \[ P\in(AB) \iff \exists t\in\mathbb R,\quad \overrightarrow{AP}=t\vec u. \] Si \(\vec u\coord{a}{b}{c}\), alors : \[ \begin{cases} x=x_A+at\\ y=y_A+bt\\ z=z_A+ct \end{cases} \qquad t\in\mathbb R. \]

On calcule : \[ \overrightarrow{AB}=\coord{3-1}{-5-(-2)}{-2-(-1)}=\coord{2}{-3}{-1}. \] Une représentation paramétrique de \((AB)\) est donc : \[ \begin{cases} x=1+2t\\ y=-2-3t\\ z=-1-t \end{cases} \qquad t\in\mathbb R. \] Pour \(M\coord{5}{-8}{-3}\), la première équation donne : \[ 5=1+2t\Rightarrow 2t=4\Rightarrow t=2. \] Avec \(t=2\) : \[ y=-2-3\times2=-8,\qquad z=-1-2=-3. \] Donc \(M\in(AB)\).

Pour \(N\coord{-1}{1}{0}\), la première équation donne : \[ -1=1+2t\Rightarrow t=-1. \] Avec \(t=-1\) : \[ y=-2-3(-1)=1, \qquad z=-1-(-1)=0. \] Donc \(N\in(AB)\).

Pour montrer un alignement, on teste la colinéarité : \[ A,B,C_m\ \text{alignés} \iff \exists \lambda\in\mathbb R, \quad \overrightarrow{AC_m}=\lambda\overrightarrow{AB}. \] Il faut que le même coefficient \(\lambda\) fonctionne dans les trois coordonnées.

\[ \overrightarrow{AB}=\coord{5-2}{2-(-1)}{-3-3}=\coord{3}{3}{-6}. \] \[ \overrightarrow{AC_m}=\coord{8-2}{5-(-1)}{m-3}=\coord{6}{6}{m-3}. \] On cherche \(\lambda\in\mathbb R\) tel que : \[ \coord{6}{6}{m-3}=\lambda\coord{3}{3}{-6}. \] Les deux premières coordonnées donnent : \[ 6=3\lambda\Rightarrow \lambda=2. \] La troisième coordonnée impose : \[ m-3=2\times(-6)=-12. \] Donc : \[ m=-9. \] Pour \(m=-9\), on a : \[ \overrightarrow{AC_m}=2\overrightarrow{AB}. \]

Si \(M\coord{x}{y}{z}\) appartient au plan passant par \(A\) et de normale \(\vec n\), alors : \[ M\in\mathcal P \iff \overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0. \] Ici : \[ \overrightarrow{AM}=\coord{x-1}{y+2}{z-3}. \]

Soit \(M\coord{x}{y}{z}\). Puisque \(\vec n\) est normal au plan : \[ M\in\mathcal P \iff \overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0. \] Or : \[ \overrightarrow{AM}=\coord{x-1}{y-(-2)}{z-3}=\coord{x-1}{y+2}{z-3}. \] Donc : \[ \coord{x-1}{y+2}{z-3}\cdot\coord{2}{1}{-1}=0. \] \[ 2(x-1)+(y+2)-(z-3)=0. \] En développant : \[ 2x-2+y+2-z+3=0 \] donc : \[ \mathcal P:2x+y-z+3=0. \] Pour \(B\coord{0}{1}{4}\) : \[ 2\times0+1-4+3=0. \] Donc \(B\in\mathcal P\).

Pour \(C\coord{2}{-1}{5}\) : \[ 2\times2+(-1)-5+3=1\neq0. \] Donc \(C\notin\mathcal P\).

Un vecteur normal \(\vec n\coord{a}{b}{c}\) au plan \((ABC)\) doit vérifier : \[ \vec n\cdot\overrightarrow{AB}=0 \qquad\text{et}\qquad \vec n\cdot\overrightarrow{AC}=0. \] Puis on utilise : \[ \overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0. \]

\[ \overrightarrow{AB}=\coord{3-1}{1-0}{0-2}=\coord{2}{1}{-2}. \] \[ \overrightarrow{AC}=\coord{0-1}{2-0}{1-2}=\coord{-1}{2}{-1}. \] Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, car les rapports \(2/(-1)\), \(1/2\), \((-2)/(-1)\) ne sont pas égaux. Donc \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés.

Cherchons \(\vec n\coord{a}{b}{c}\) normal au plan. On veut : \[ 2a+b-2c=0 \] et : \[ -a+2b-c=0. \] On peut choisir \(c=5\). Alors : \[ 2a+b=10, \qquad -a+2b=5. \] La solution est \(a=3\), \(b=4\). Donc : \[ \vec n\coord{3}{4}{5}. \] Le plan passant par \(A\coord{1}{0}{2}\) vérifie : \[ 3(x-1)+4(y-0)+5(z-2)=0. \] Donc : \[ 3x+4y+5z-13=0. \] Pour \(D\coord{2}{2}{-1}\) : \[ 3\times2+4\times2+5\times(-1)-13=6+8-5-13=-4\neq0. \] Donc \(D\notin(ABC)\).

Pour trouver l’intersection, remplacer \(x\), \(y\), \(z\) dans l’équation du plan par leurs expressions en fonction de \(t\). Une droite est perpendiculaire à un plan si son vecteur directeur est colinéaire à une normale du plan.

On remplace dans l’équation du plan : \[ (1+2t)+(3-t)+(2+t)-8=0. \] \[ 6+2t-8=0 \] donc : \[ 2t-2=0\Rightarrow t=1. \] Pour \(t=1\) : \[ x=1+2=3, \qquad y=3-1=2, \qquad z=2+1=3. \] Donc le point d’intersection est : \[ I\coord{3}{2}{3}. \] Le vecteur directeur de \((d)\) est : \[ \vec u\coord{2}{-1}{1}. \] Une normale à \(\mathcal P\) est : \[ \vec n\coord{1}{1}{1}. \] Les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec n\) ne sont pas colinéaires, donc la droite n’est pas perpendiculaire au plan.

Si \(\vec u\) est directeur de la droite et \(\vec n\) est normal au plan, alors : \[ \vec u\cdot\vec n=0 \] signifie que la direction de la droite est parallèle au plan. Ensuite, il faut tester un point de la droite dans l’équation du plan.

Un vecteur directeur de \((d)\) est : \[ \vec u\coord{1}{-2}{1}. \] Une normale à \(\mathcal P\) est : \[ \vec n\coord{1}{1}{1}. \] Produit scalaire : \[ \vec u\cdot\vec n=1-2+1=0. \] Donc la direction de la droite est parallèle au plan.

Pour \(t=0\), un point de la droite est : \[ A\coord{2}{1}{3}. \] On teste dans le plan : \[ 2+1+3-6=0. \] Donc \(A\in\mathcal P\). Comme la direction est parallèle au plan et qu’un point de la droite appartient au plan, toute la droite est incluse dans le plan.

Pour deux droites paramétrées par \(t\) et \(s\), on cherche une intersection en résolvant le système obtenu en égalant les coordonnées : \[ x_d(t)=x_{d'}(s),\qquad y_d(t)=y_{d'}(s),\qquad z_d(t)=z_{d'}(s). \] Pour parler de droites perpendiculaires, il faut deux conditions : elles doivent être sécantes et leurs directions doivent être orthogonales.

Pour \((d)\), un vecteur directeur est : \[ \vec u\coord{1}{-1}{2}. \] Pour \((d')\), un vecteur directeur est : \[ \vec v\coord{1}{1}{0}. \] Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles.

On cherche une intersection : \[ \begin{cases} 1+t=2+s\\ 2-t=1+s\\ 3+2t=5 \end{cases} \] La troisième équation donne : \[ 2t=2\Rightarrow t=1. \] La première donne alors : \[ 1+1=2+s\Rightarrow s=0. \] La deuxième est vérifiée : \[ 2-1=1+0. \] Donc les droites sont sécantes en : \[ I\coord{2}{1}{5}. \] Vérifions l’orthogonalité : \[ \vec u\cdot\vec v=1\times1+(-1)\times1+2\times0=0. \]

Deux droites de l’espace peuvent être non coplanaires. Pour le montrer, il suffit souvent de montrer qu’elles ne sont ni parallèles ni sécantes.

Pour \((d)\), un vecteur directeur est : \[ \vec u\coord{1}{1}{0}. \] Pour \((d')\), un vecteur directeur est : \[ \vec v\coord{1}{0}{1}. \] Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles.

Cherchons une intersection : \[ \begin{cases} t=1+s\\ 1+t=2\\ 2=s \end{cases} \] La deuxième équation donne : \[ t=1. \] La troisième donne : \[ s=2. \] Mais la première donnerait : \[ 1=1+2, \] ce qui est impossible. Donc les droites ne sont pas sécantes.

Une normale au plan \(ax+by+cz+d=0\) est : \[ \vec n\coord{a}{b}{c}. \] Pour construire le projeté orthogonal, on pose : \[ H=M+t\vec n, \qquad t\in\mathbb R, \] puis on impose \(H\in\mathcal P\). Ensuite la distance vaut \(MH\).

Le plan a pour vecteur normal : \[ \vec n\coord{2}{-1}{2}. \] On cherche \(H=M+t\vec n\), donc : \[ H\coord{1+2t}{2-t}{-1+2t}. \] On impose \(H\in\mathcal P\) : \[ 2(1+2t)-(2-t)+2(-1+2t)+3=0. \] En développant : \[ 2+4t-2+t-2+4t+3=0. \] \[ 9t+1=0\Rightarrow t=-\frac19. \] Donc : \[ H\coord{1-\frac29}{2+\frac19}{-1-\frac29} = \coord{\frac79}{\frac{19}{9}}{-\frac{11}{9}}. \] Justification : \(H\in\mathcal P\) et \(\overrightarrow{MH}=t\vec n\), donc \((MH)\) est perpendiculaire au plan. Ainsi \(H\) est bien le projeté orthogonal.

Distance : \[ \overrightarrow{MH} = \coord{\frac79-1}{\frac{19}{9}-2}{-\frac{11}{9}-(-1)} = \coord{-\frac29}{\frac19}{-\frac29}. \] \[ MH=\sqrt{\left(-\frac29\right)^2+\left(\frac19\right)^2+\left(-\frac29\right)^2} =\sqrt{\frac4{81}+\frac1{81}+\frac4{81}} =\frac13. \]

Comme \(H\in(d)\), on écrit : \[ H=A+t\vec u, \qquad t\in\mathbb R. \] Pour que \(H\) soit le projeté orthogonal de \(M\) sur \((d)\), on impose : \[ \overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0. \] La distance cherchée est ensuite \(MH\).

Puisque \(H\in(d)\), il existe \(t\in\mathbb R\) tel que : \[ H=A+t\vec u. \] Donc : \[ H\coord{t}{1+t}{1+2t}. \] Alors : \[ \overrightarrow{MH} = \coord{t-2}{1+t-0}{1+2t-3} = \coord{t-2}{1+t}{2t-2}. \] On impose l’orthogonalité : \[ \overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0. \] Donc : \[ (t-2)\times1+(1+t)\times1+(2t-2)\times2=0. \] \[ t-2+1+t+4t-4=0. \] \[ 6t-5=0\Rightarrow t=\frac56. \] Donc : \[ H\coord{\frac56}{1+\frac56}{1+2\times\frac56} = \coord{\frac56}{\frac{11}{6}}{\frac83}. \] Justification : \(H\in(d)\) et \(\overrightarrow{MH}\perp\vec u\), donc \(H\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur \((d)\).

Distance : \[ MH^2= \left(\frac56-2\right)^2+ \left(\frac{11}{6}-0\right)^2+ \left(\frac83-3\right)^2. \] \[ MH^2= \left(-\frac76\right)^2+ \left(\frac{11}{6}\right)^2+ \left(-\frac13\right)^2 = \frac{49}{36}+\frac{121}{36}+\frac4{36} = \frac{174}{36} = \frac{29}{6}. \] Donc : \[ MH=\sqrt{\frac{29}{6}}=\frac{\sqrt{174}}6. \]

Les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D_m\) sont coplanaires si : \[ \exists(\alpha,\beta)\in\mathbb R^2, \quad \overrightarrow{AD_m} = \alpha\overrightarrow{AB}+eta\overrightarrow{AC}. \] Il faut donc résoudre un système sur les coordonnées.

On calcule : \[ \overrightarrow{AB}=\coord{2-1}{1-0}{0-2}=\coord{1}{1}{-2}. \] \[ \overrightarrow{AC}=\coord{0-1}{1-0}{1-2}=\coord{-1}{1}{-1}. \] \[ \overrightarrow{AD_m}=\coord{3-1}{m-0}{1-2}=\coord{2}{m}{-1}. \] On cherche \(\alpha\) et \(\beta\) tels que : \[ \coord{2}{m}{-1} = \alpha\coord{1}{1}{-2} + \beta\coord{-1}{1}{-1}. \] Ce qui donne : \[ \begin{cases} \alpha-\beta=2\\ \alpha+\beta=m\\ -2\alpha-\beta=-1 \end{cases} \] De \(\alpha-\beta=2\), on obtient : \[ \beta=\alpha-2. \] On remplace dans \(-2\alpha-\beta=-1\) : \[ -2\alpha-(\alpha-2)=-1. \] \[ -3\alpha+2=-1 \Rightarrow -3\alpha=-3 \Rightarrow \alpha=1. \] Donc : \[ \beta=1-2=-1. \] La deuxième équation donne : \[ m=\alpha+\beta=1+(-1)=0. \] Pour \(m=0\), on a : \[ \overrightarrow{AD_m}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}. \]