Vecteurs, droites et plans de l’espace

1) \(3\vec u=(6;\,-3;\,9)\), \(-2\vec v=(-2;\,-4;\,2)\). Donc \[ 3\vec u-2\vec v=(6-2;\,-3-4;\,9+2)=(4;\,-7;\,11). \] Puis \(\vec a=(4;\,-7;\,11)+(3;\,1;\,2)=(7;\,-6;\,13)\). \[ \boxed{\vec a(7;\,-6;\,13)}. \]

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2) \(\vec w=\alpha\vec u+\beta\vec v\) donne \[ \begin{cases} 2\alpha+\beta=3\\ -\alpha+2\beta=1\\ 3\alpha-\beta=2 \end{cases} \] De \(2\alpha+\beta=3\Rightarrow \beta=3-2\alpha\). \[ -\alpha+2(3-2\alpha)=1 \Rightarrow -5\alpha=-5 \Rightarrow \alpha=1,\ \beta=1. \] Donc \(\boxed{\vec w=\vec u+\vec v}\).

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3) \(\vec w\) est combinaison de \(\vec u,\vec v\) ⇒ les trois vecteurs sont liés ⇒ \[ \boxed{(\vec u,\vec v,\vec w)\ \text{n’est pas une base de }\mathbb{R}^3.} \]

1) Vérifier \(A\in(d)\)
Sur \((d)\), on a \((x;\,y;\,z)=(2+3t;\,-1+2t;\,4-t)\).
On cherche un même \(t\) tel que : \[ \begin{cases} 2+3t=5\\ -1+2t=1\\ 4-t=3 \end{cases} \] 1re équation : \(3t=3\Rightarrow t=1\).
Vérification : \[ -1+2\cdot1=1\quad\text{OK},\qquad 4-1=3\quad\text{OK}. \]

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2) \((d_2)\) et \((d_3)\) parallèles et distinctes
Vecteurs directeurs : \[ \vec u_2(2;\,-1;\,3),\qquad \vec u_3(2;\,-1;\,3). \] Ils sont colinéaires ⇒ \(\boxed{(d_2)\parallel(d_3)}\).

Pour savoir si elles sont confondues, on teste si un point de \((d_3)\) appartient à \((d_2)\).
Prenons \(B\in(d_3)\) pour \(v=0\) : \(B(4;\,1;\,1)\).
Sur \((d_2)\) : \((x;\,y;\,z)=(1+2u;\,3-u;\,-2+3u)\). On cherche \(u\) tel que : \[ \begin{cases} 1+2u=4\\ 3-u=1\\ -2+3u=1 \end{cases} \] De \(1+2u=4\Rightarrow u=\frac{3}{2}\).
Alors \(3-u=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\neq1\) ⇒ impossible.

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3) \((d)\) et \((d_5)\) confondues
\((d_5)\) : \((x;\,y;\,z)=(2+r;\,-1+2r;\,4-r)\). Son directeur est \(\vec u_5(1;\,2;\,-1)\).
\((d)\) : directeur \(\vec u(3;\,2;\,-1)\).
Ici, ce n’est pas la même direction. Donc on ne conclut pas “confondues” ainsi…
MAIS observe que \((d_5)\) est exactement l’écriture de \((d)\) avec un changement de paramètre :
Si on pose \(\boxed{r=3t}\), alors : \[ x=2+r=2+3t,\quad y=-1+2r=-1+6t \ (\neq -1+2t) \] Donc ce n’est pas identique non plus.

Correction de l’énoncé : on remplace \((d_5)\) par : \[ (d_5):\begin{cases} x=2+3r\\ y=-1+2r\\ z=4-r \end{cases} \quad (r\in\mathbb{R}) \] Alors \((d_5)\) a le même directeur \(\vec u(3;\,2;\,-1)\) et le même point pour \(r=0\) : \((2;\,-1;\,4)\).

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4) \((d_3)\) et \((d_4)\) perpendiculaires + point d’intersection
Directeurs : \[ \vec u_3(1;\,2;\,-1),\qquad \vec u_4(2;\,4;\,-2)=2\vec u_3. \] Ils sont colinéaires ⇒ ces droites sont parallèles, donc elles ne peuvent pas être perpendiculaires.
Correction de l’énoncé : on remplace \((d_4)\) par : \[ (d_4):\begin{cases} x=-2+2s\\ y=5-s\\ z=1 \end{cases} \] Alors \(\vec u_4(2;\,-1;\,0)\).
Produit scalaire : \[ \vec u_3\cdot\vec u_4=(1;\,2;\,-1)\cdot(2;\,-1;\,0)=2-2+0=0 \] ⇒ droites orthogonales.

Cherchons un point commun : \[ \begin{cases} -2+w=-2+2s\\ 5+2w=5-s\\ 1-w=1 \end{cases} \] De \(1-w=1\Rightarrow w=0\). Alors 1re : \(-2=-2+2s\Rightarrow s=0\). 2e : \(5=5\) OK.
Point d’intersection : pour \(w=0\) dans \((d_3)\) : \[ I(-2;\,5;\,1). \]

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5) \((d)\) et \((d_6)\) orthogonales mais non perpendiculaires ⇒ non coplanaires
Directeur de \((d)\) : \(\vec u(3;\,2;\,-1)\).
Directeur de \((d_6)\) : \(\vec v(3;\,0;\,0)\) (car \(x=2+3k\), \(y\) et \(z\) constants).
Produit scalaire : \[ \vec u\cdot\vec v=(3;\,2;\,-1)\cdot(3;\,0;\,0)=9\neq0. \] Donc elles ne sont PAS orthogonales…
Correction de \((d_6)\) : on prend un directeur \(\vec v(1;\,-1;\,1)\) car \[ (3;\,2;\,-1)\cdot(1;\,-1;\,1)=3-2-1=0. \] Et on choisit un point avec un \(z\) constant différent pour empêcher l’intersection avec \((d)\).
Par exemple : \[ (d_6):\begin{cases} x=0+k\\ y=1-k\\ z=1+k \end{cases} \] Alors \(\vec v(1;\,-1;\,1)\) et \(\vec u\cdot\vec v=0\) ⇒ \(\boxed{\text{orthogonales}}\).

Vérifions qu’elles ne se coupent pas : résoudre \[ \begin{cases} 2+3t=k\\ -1+2t=1-k\\ 4-t=1+k \end{cases} \] De la 1re : \(k=2+3t\). Dans la 2e : \[ -1+2t=1-(2+3t)=-1-3t \Rightarrow 5t=0 \Rightarrow t=0. \] Alors \(k=2\). Dans la 3e : \(4-0=1+2\Rightarrow 4=3\), impossible.
Donc pas de point commun ⇒ pas sécantes. Elles ne sont pas parallèles non plus. Donc :

\(\vec u(3;\,-1;\,2)\), \(\vec n(2;\,1;\,-1)\) ⇒ \(\vec u\cdot\vec n=3\neq0\) ⇒ sécante.
Substitution : \[ 2(1+3t)+(2-t)-(-1+2t)-6=0 \Rightarrow -1+3t=0 \Rightarrow t=\frac13. \] \[ I\left(2;\ \frac53;\ -\frac13\right). \]

\[ d(M,(P))=\frac{|2\cdot2-1+2(-1)+3|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{4}{3}. \] Droite normale par \(M\), direction \(\vec n(2;\,-1;\,2)\) : \[ \Delta:\begin{cases} x=2+2t\\ y=1-t\\ z=-1+2t \end{cases} \] Condition \(H\in(P)\) : \[ 2(2+2t)-(1-t)+2(-1+2t)+3=0 \Rightarrow 4+9t=0 \Rightarrow t=-\frac49. \] \[ H\left(\frac{10}{9};\ \frac{13}{9};\ -\frac{17}{9}\right). \]

\(H(1+2t;\ -t;\ 2+t)\).
\(\overrightarrow{HM}=(2-2t;\ 1+t;\ -2-t)\). Condition \(\overrightarrow{HM}\cdot \vec u=0\) : \[ (2-2t)\cdot2+(1+t)(-1)+(-2-t)\cdot1=0 \Rightarrow 1-6t=0 \Rightarrow t=\frac16. \] \[ H\left(\frac{4}{3};\ -\frac{1}{6};\ \frac{13}{6}\right). \]

\(\overrightarrow{AB}(3;\,-1;\,3)\). Donc \[ (d):\begin{cases} x=1+3t\\ y=-t\\ z=2+3t \end{cases} \] Normal \(\vec n(2;\,-1;\,2)\). Produit scalaire : \[ (3;\,-1;\,3)\cdot(2;\,-1;\,2)=13\neq0 \Rightarrow (d)\ \text{sécante à}\ (P). \] Intersection : \[ 2(1+3t)-(-t)+2(2+3t)-8=0 \Rightarrow -2+13t=0 \Rightarrow t=\frac{2}{13}. \] \[ I\left(\frac{19}{13};\ -\frac{2}{13};\ \frac{32}{13}\right). \] Distance : \[ d(B,(P))=\frac{|2\cdot4-(-1)+2\cdot5-8|}{3}=\frac{11}{3}. \] Projeté : droite par \(B\) direction \(\vec n\) : \[ \Delta:\begin{cases} x=4+2s\\ y=-1-s\\ z=5+2s \end{cases} \] \[ 2(4+2s)-(-1-s)+2(5+2s)-8=0 \Rightarrow 11+9s=0 \Rightarrow s=-\frac{11}{9}. \] \[ H\left(\frac{14}{9};\ \frac{2}{9};\ \frac{23}{9}\right). \]

Normales : \(\vec n_1(2;\,-1;\,1)\), \(\vec n_2(4;\,-2;\,2)=2\vec n_1\) ⇒ colinéaires ⇒ plans parallèles ou confondus.

Test “confondus ?” : si \(P_2\) était \(2\times P_1\), on aurait constante \(2\times(-1)=-2\), or \(P_2\) a constante \(+3\). Donc pas confondus.
Donc \(\boxed{(P_1)\cap(P_2)=\varnothing}\) : pas de droite d’intersection.

On résout le système : \[ \begin{cases} x+y+z=2\\ 2x-y+z=1 \end{cases} \] On fixe \(z=t\). Alors \[ \begin{cases} x+y=2-t\\ 2x-y=1-t \end{cases} \] Addition : \(3x=3-2t\Rightarrow x=1-\frac{2}{3}t\).
Puis \(x+y=2-t\Rightarrow y=2-t-x=2-t-\left(1-\frac{2}{3}t\right)=1-\frac{1}{3}t\).
Donc \[ \Delta:\begin{cases} x=1-\frac{2}{3}t\\ y=1-\frac{1}{3}t\\ z=t \end{cases}\ (t\in\mathbb{R}). \] (Option) Vecteur directeur : \(\vec u\left(-\frac{2}{3};-\frac{1}{3};1\right)\sim(-2;\,-1;\,3)\).

Directeur \(\vec u(1;\,-2;\,1)\). Normal du plan \(\vec n(1;\,2;\,-1)\).
\[ \vec u\cdot\vec n=1\cdot1+(-2)\cdot2+1\cdot(-1)=1-4-1=-4\neq0 \] Donc \((d)\) est \(\boxed{\text{sécante à }(P)}\).

Intersection : on remplace dans \(x+2y-z+1=0\) : \[ (2+t)+2(1-2t)-(3+t)+1=0 \] \[ 2+t+2-4t-3-t+1=0 \Rightarrow 2-4t=0 \Rightarrow t=\frac{1}{2}. \] Point \(I\) : \[ I\left(2+\frac12;\ 1-2\cdot\frac12;\ 3+\frac12\right)=I\left(\frac{5}{2};\ 0;\ \frac{7}{2}\right). \]

On met d’abord les deux équations avec le même normal.
\((Q)\) : on divise par 2 : \(2x-y+2z+\frac{1}{2}=0\).
Ainsi \[ (P): 2x-y+2z-5=0,\quad (Q): 2x-y+2z+\frac12=0. \] Distance : \[ d((P),(Q))=\frac{\left|\frac12-(-5)\right|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} =\frac{\left|\frac{11}{2}\right|}{3}=\frac{11}{6}. \] \[ \boxed{d((P),(Q))=\frac{11}{6}}. \]

1) Orthogonalité : \(\vec u\cdot\vec v=0\) ? \[ (2;\,-1;\,2)\cdot(1;\,4;\,1)=2\cdot1+(-1)\cdot4+2\cdot1=2-4+2=0. \] Donc \(\boxed{(d_1)\perp(d_2)}\).

2) Normal du plan \(\vec n(1;\,-4;\,1)\). La droite \((d_2)\) est parallèle au plan si \(\vec v\cdot\vec n=0\). \[ (1;\,4;\,1)\cdot(1;\,-4;\,1)=1-16+1=-14\neq0. \] Donc \(\boxed{(d_2)\ \text{est sécante à }(P)}\).

\(H\in(d)\Rightarrow H(0+t;\ 1+2t;\ 2-t)\). Donc \(\overrightarrow{HM}=M-H=(2-t;\ -1-2t;\ -1+t)\).
Condition : \(\overrightarrow{HM}\perp \vec u\Rightarrow \overrightarrow{HM}\cdot\vec u=0\). \[ (2-t)\cdot1+(-1-2t)\cdot2+(-1+t)\cdot(-1)=0 \] \[ 2-t-2-4t+1-t=0 \Rightarrow 1-6t=0 \Rightarrow t=\frac{1}{6}. \] Donc \[ H\left(\frac16;\ 1+\frac{2}{6};\ 2-\frac16\right)=H\left(\frac16;\ \frac{4}{3};\ \frac{11}{6}\right). \] Distance : \[ d(M,(d))=\| \overrightarrow{HM}\|,\quad \overrightarrow{HM}=\left(2-\frac16;\ 0-\frac{4}{3};\ 1-\frac{11}{6}\right) =\left(\frac{11}{6};\ -\frac{4}{3};\ -\frac{5}{6}\right). \] \[ \|\overrightarrow{HM}\|=\sqrt{\left(\frac{11}{6}\right)^2+\left(\frac{4}{3}\right)^2+\left(\frac{5}{6}\right)^2} =\sqrt{\frac{121}{36}+\frac{16}{9}+\frac{25}{36}} =\sqrt{\frac{121+64+25}{36}}=\sqrt{\frac{210}{36}}=\frac{\sqrt{210}}{6}. \] \[ \boxed{d(M,(d))=\frac{\sqrt{210}}{6}}. \]