Exercices corrigés — Vecteurs, Droites Et Plans De L’espace (Tle spé)

Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère \(A\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\), \(B\begin{pmatrix}4\\-1\\3\end{pmatrix}\) et \(C\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
2. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
3. Les droites \((AB)\) et \((AC)\) sont-elles perpendiculaires ? Justifier.
4. Calculer les distances \(AB\) et \(AC\).

On considère \(A\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix}\) et \(B\begin{pmatrix}3\\-5\\-2\end{pmatrix}\).

1. Calculer un vecteur directeur de la droite \((AB)\).
2. Donner une représentation paramétrique de \((AB)\).
3. Déterminer si \(M\begin{pmatrix}5\\-8\\-3\end{pmatrix}\) appartient à \((AB)\).
4. Déterminer le point \(P\) de \((AB)\) dont l’abscisse vaut \(9\).

On considère \(A\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\), \(B\begin{pmatrix}5\\2\\-3\end{pmatrix}\) et \(C_m\begin{pmatrix}8\\5\\m\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC_m}\).
2. Déterminer \(m\) pour que \(A\), \(B\) et \(C_m\) soient alignés.
3. Pour cette valeur de \(m\), donner une représentation paramétrique de \((AB)\).
4. Déterminer le point \(P\) de \((AB)\) dont la cote vaut \(9\).

Le plan \(\mathcal P\) passe par \(A\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\) et admet \(\vec n\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\) pour vecteur normal.

1. Écrire la condition vectorielle caractérisant les points \(M\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) de \(\mathcal P\).
2. Déterminer une équation cartésienne de \(\mathcal P\).
3. Tester l’appartenance de \(B\begin{pmatrix}0\\1\\4\end{pmatrix}\) puis de \(C\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}\) à \(\mathcal P\).
4. Déterminer l’intersection de \(\mathcal P\) avec l’axe des cotes.

On considère \(A\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\), \(B\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}\) et \(C\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis justifier que les trois points ne sont pas alignés.
2. Déterminer un vecteur normal au plan \((ABC)\) sans utiliser de produit vectoriel.
3. En déduire une équation cartésienne de \((ABC)\), puis tester \(D\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\).
4. Déterminer le point d’intersection du plan \((ABC)\) avec l’axe des abscisses.

On considère la droite \((d)\) donnée par \(\begin{cases}x=1+2t\\y=3-t\\z=2+t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\), et le plan \(\mathcal P:x+y+z-8=0\).

1. Donner un vecteur directeur de \((d)\) et un vecteur normal à \(\mathcal P\).
2. Déterminer le point d’intersection de \((d)\) et \(\mathcal P\).
3. La droite \((d)\) est-elle parallèle à \(\mathcal P\) ?
4. La droite \((d)\) est-elle perpendiculaire à \(\mathcal P\) ?

On considère \((d):\begin{cases}x=1+t\\y=2-t\\z=1\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\), et \(\mathcal P:x+y+z-4=0\).

1. Vérifier que \(A\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\), point de \((d)\), appartient à \(\mathcal P\).
2. Montrer que le vecteur directeur de \((d)\) est parallèle au plan \(\mathcal P\).
3. En déduire la position relative de \((d)\) et \(\mathcal P\).
4. Déterminer le point de \((d)\) dont l’abscisse vaut \(4\).

On considère \((d_1)\) passant par \(A\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\) de vecteur directeur \(\vec u\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\), et \((d_2)\) passant par \(B\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\) de vecteur directeur \(\vec v\begin{pmatrix}2\\4\\-2\end{pmatrix}\).

1. Comparer \(\vec u\) et \(\vec v\).
2. Vérifier que \(B\notin(d_1)\).
3. En déduire la position relative de \((d_1)\) et \((d_2)\).
4. Déterminer une équation du plan contenant les deux droites.

On considère \((d_1)\) passant par \(A\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\) de vecteur directeur \(\vec u\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\), et \((d_2)\) passant par \(B\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}\) de vecteur directeur \(\vec v\begin{pmatrix}-2\\2\\-2\end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(\vec u\) et \(\vec v\) ne sont pas colinéaires.
2. Résoudre l’égalité \(A+t\vec u=B+s\vec v\).
3. En déduire la position relative des deux droites et leur point commun.
4. Calculer le cosinus de l’angle aigu formé par les deux droites.

On considère le plan \(\mathcal P:x+2y+2z-6=0\) et le point \(M\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}\).

1. Donner une représentation paramétrique de la droite passant par \(M\) et perpendiculaire à \(\mathcal P\).
2. Déterminer le paramètre du point d’intersection \(H\) de cette droite avec \(\mathcal P\).
3. Donner les coordonnées de \(H\).
4. Calculer la distance de \(M\) au plan \(\mathcal P\) et justifier pourquoi elle vaut \(MH\).

On considère \(\vec u\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\), \(\vec v\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec w\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\).

1. Montrer que \((\vec u,\vec v,\vec w)\) est une base de l’espace.
2. Décomposer \(\vec p\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}\) dans cette base.
3. Décomposer \(\vec q\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}\) dans cette base.
4. Déterminer une équation du plan vectoriel engendré par \(\vec u\) et \(\vec v\).

On considère \(A\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\), \(B\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\), \(C\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\) et \(D_m\begin{pmatrix}3\\m\\1\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AD_m}\), puis vérifier que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires.
2. Déterminer \(m\) pour que les quatre points soient coplanaires.
3. Pour cette valeur, exprimer \(\overrightarrow{AD_m}\) comme combinaison linéaire de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
4. Déterminer une équation du plan \((ABC)\) et vérifier directement que \(D_m\) y appartient pour la valeur trouvée.

On considère \(\vec u\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec v\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\|\vec u\|\) et \(\|\vec v\|\).
2. Calculer \(\vec u\cdot\vec v\).
3. En déduire le cosinus de l’angle \(\theta\in[0;\pi]\) entre les deux vecteurs.
4. Comparer \(\theta\) à \(60^\circ\) sans utiliser de calculatrice.

On considère \(A\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\) et \(B\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\). On cherche l’ensemble des points \(M\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) tels que \(MA=MB\).

1. Écrire l’égalité \(MA^2=MB^2\).
2. Développer et simplifier cette égalité pour obtenir une équation cartésienne.
3. Montrer que le milieu \(I\) de \([AB]\) appartient au plan obtenu.
4. Montrer que ce plan est perpendiculaire à \((AB)\) et conclure sur sa nature géométrique.

Le plan \(\mathcal P\) passe par \(A\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\) et a pour directions \(\vec u\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec v\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\).

1. Vérifier que \(\vec u\) et \(\vec v\) ne sont pas colinéaires.
2. Déterminer un vecteur normal \(\vec n\) à \(\mathcal P\) sans produit vectoriel.
3. Déterminer une équation cartésienne de \(\mathcal P\).
4. Déterminer le point d’intersection de \(\mathcal P\) avec la droite \(\Delta\) passant par l’origine et de vecteur directeur \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\).

Pour \(m\in\mathbb R\), on considère \((d_m):\begin{cases}x=1+t\\y=2+mt\\z=-1+2t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\), et \(\mathcal P:2x-y+z-1=0\).

1. Donner un vecteur directeur \(\vec u_m\) de \((d_m)\) et une normale \(\vec n\) à \(\mathcal P\), puis calculer \(\vec u_m\cdot\vec n\).
2. Déterminer la valeur de \(m\) pour laquelle \((d_m)\) est parallèle au plan.
3. Pour cette valeur, montrer que la droite est strictement parallèle au plan et non incluse.
4. Pour \(m=2\), déterminer le point d’intersection de \((d_m)\) avec \(\mathcal P\).

On considère \(\mathcal P:2x-y+2z-3=0\) et \(\mathcal Q:4x-2y+4z+5=0\).

1. Comparer des vecteurs normaux à \(\mathcal P\) et \(\mathcal Q\).
2. Montrer que les deux plans sont parallèles et distincts.
3. Choisir un point \(A\) simple de \(\mathcal P\) et écrire la droite passant par \(A\) perpendiculairement aux deux plans.
4. Déterminer son intersection \(H\) avec \(\mathcal Q\), puis calculer la distance entre les deux plans.

Dans un repère orthonormé, on considère \(A\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\), \(B\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}\), \(C\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}\) et \(D\begin{pmatrix}1\\1\\6\end{pmatrix}\).

1. Montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) et calculer son aire.
2. Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(D\) sur le plan \((ABC)\).
3. Calculer la distance de \(D\) au plan \((ABC)\).
4. Calculer le volume du tétraèdre \(ABCD\).

Dans un cube \(ABCDEFGH\) d’arête 1, on travaille dans le repère orthonormé \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})\).

1. Donner les coordonnées de \(C\), \(G\) et du vecteur \(\overrightarrow{AG}\).
2. Déterminer une équation du plan \((BDH)\).
3. Déterminer le point d’intersection de la diagonale \((AG)\) avec le plan \((BDH)\).
4. Déterminer le projeté orthogonal \(K\) de \(A\) sur \((BDH)\), puis calculer \(AK\).

La droite \((d)\) passe par \(A\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\) et a pour vecteur directeur \(\vec u\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\). On considère \(M\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix}\).

1. Paramétrer un point \(H\) de \((d)\).
2. Traduire la condition « \(H\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur \((d)\) » par une équation en \(t\).
3. Déterminer les coordonnées de \(H\).
4. Calculer la distance de \(M\) à \((d)\).

On considère \(M\begin{pmatrix}4\\-1\\5\end{pmatrix}\) et le plan \(\mathcal P:2x-y+2z-7=0\).

1. Écrire la droite \(\Delta\) passant par \(M\) et perpendiculaire à \(\mathcal P\).
2. Déterminer le point \(H=\Delta\cap\mathcal P\).
3. Calculer \(MH\) et en déduire la distance de \(M\) à \(\mathcal P\).
4. Pour un point quelconque \(N\in\mathcal P\), justifier géométriquement que \(MN\ge MH\).

Pour \(m\in\mathbb R\), on considère \(\mathcal P_m:x+my+z-2=0\) et la droite \((d):\begin{cases}x=1+t\\y=1-t\\z=t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).

1. Donner un vecteur directeur de \((d)\), une normale à \(\mathcal P_m\), puis calculer leur produit scalaire.
2. Déterminer \(m\) pour que \((d)\) soit parallèle à \(\mathcal P_m\), puis préciser s’il y a inclusion.
3. Pour \(m\neq2\), déterminer le paramètre du point d’intersection de \((d)\) avec \(\mathcal P_m\).
4. Pour \(m=0\), donner exactement le point d’intersection.

On considère \(\mathcal P:x-2y+2z+1=0\), la droite \((d)\) passant par \(A\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\) de vecteur directeur \(\vec u\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\), et le point \(M=A\).

1. Déterminer l’intersection de \((d)\) avec \(\mathcal P\).
2. Montrer que \((d)\) n’est ni parallèle ni perpendiculaire à \(\mathcal P\).
3. Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(A\) sur \(\mathcal P\).
4. Calculer \(d(A,\mathcal P)\) et comparer cette distance à \(AI\), où \(I=(d)\cap\mathcal P\).

On considère \(\vec u\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\), \(\vec v\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\), \(\vec w\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec p\begin{pmatrix}4\\1\\-2\end{pmatrix}\).

1. Montrer que \((\vec u,\vec v,\vec w)\) est une base de l’espace.
2. Décomposer \(\vec p\) dans cette base.
3. Déterminer une équation du plan \(\mathcal P\) passant par l’origine et engendré par \(\vec v\) et \(\vec w\).
4. Déterminer le projeté orthogonal de \(P\begin{pmatrix}4\\1\\-2\end{pmatrix}\) sur \(\mathcal P\) et la distance de \(P\) à \(\mathcal P\).

On considère \(A\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\), \(B\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\), \(C\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) et l’origine \(O\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\).

1. Déterminer une équation du plan \((ABC)\).
2. Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(O\) sur \((ABC)\).
3. Calculer la distance de \(O\) au plan \((ABC)\).
4. Montrer que \(H\) est équidistant de \(A\), \(B\) et \(C\), puis calculer cette distance commune.

On considère \((d_1):\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) et \((d_2):\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\), avec \(t,s\in\mathbb R\).

1. Montrer que les vecteurs directeurs des deux droites ne sont pas colinéaires.
2. Montrer que les deux droites ne sont pas sécantes.
3. En déduire leur position relative dans l’espace.
4. Déterminer un plan \(\mathcal P\) contenant \((d_1)\) et parallèle à \((d_2)\), puis calculer la distance de \((d_2)\) à \(\mathcal P\).

La droite \((d)\) est paramétrée par \(H(t)\begin{pmatrix}1+t\\2-t\\t\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb R\). On considère \(M\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}\).

1. Exprimer \(MH(t)^2\) en fonction de \(t\).
2. Déterminer la valeur de \(t\) qui minimise cette expression.
3. En déduire le point \(H_0\) de \((d)\) le plus proche de \(M\) et la distance \(MH_0\).
4. Vérifier par un produit scalaire que \(H_0\) est bien le projeté orthogonal de \(M\) sur \((d)\).

On considère \(A\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\), \(B\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\), \(C\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\) et \(D_m\begin{pmatrix}m\\1\\1\end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(A\), \(B\) et \(C\) définissent un plan.
2. Déterminer une équation cartésienne de \((ABC)\).
3. Déterminer \(m\) pour que \(D_m\in(ABC)\).
4. Pour cette valeur, exprimer \(\overrightarrow{AD_m}\) comme combinaison linéaire de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

La droite \((d)\) passe par \(A\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\) et a pour vecteur directeur \(\vec u\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\). On considère \(B\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\) et l’origine \(O\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(B\notin(d)\).
2. Déterminer un vecteur normal au plan \(\mathcal P\) contenant \((d)\) et \(B\).
3. Déterminer une équation cartésienne de \(\mathcal P\) et vérifier qu’elle contient toute la droite \((d)\).
4. Déterminer le projeté orthogonal de \(O\) sur \(\mathcal P\) et calculer la distance de \(O\) à \(\mathcal P\).

On considère le plan \(\mathcal P:2x+y-2z-3=0\), la droite \((d):\begin{cases}x=1+t\\y=t\\z=t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\), et le point \(M\begin{pmatrix}4\\0\\2\end{pmatrix}\).

1. Déterminer le point \(I=(d)\cap\mathcal P\).
2. Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \(\mathcal P\).
3. Calculer exactement \(d(M,\mathcal P)\).
4. Calculer \(MI\), comparer \(MI\) et \(MH\), puis expliquer géométriquement l’inégalité obtenue.