Suites Numeriques Et Recurrence
TERMINALE-SPE • MATHS — Learna
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Quiz avancé — Suites numériques et récurrence (30 questions)
Niveau Bac solide : limites, récurrence, suites géométriques, arithmético-géométriques, point fixe, seuil, encadrement et convergence.
Q1. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{6n^2-5n+4}{3n^2+2n-1}\).
Non vérifié
Indice
Diviser le numérateur et le dénominateur par \(n^2\), le terme dominant.
Correction
On divise par \(n^2\) : \(\frac{6-\frac5n+\frac4{n^2}}{3+\frac2n-\frac1{n^2}}\to\frac63=2\).
Q2. Soit \(u_n=\sqrt{n^2+5n+1}-n\). Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n\).
Non vérifié
Indice
Utiliser la quantité conjuguée : \(\sqrt A-n=\frac{A-n^2}{\sqrt A+n}\).
Correction
On rationalise : \(u_n=\frac{5n+1}{\sqrt{n^2+5n+1}+n}\). En divisant par \(n\), \(u_n=\frac{5+\frac1n}{\sqrt{1+\frac5n+\frac1{n^2}}+1}\to\frac52\).
Q3. Soit \(u_n=\sqrt{n^2+5n+1}-n\). Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} n\left(u_n-\frac52\right)\).
Non vérifié
Indice
Après rationalisation, écrire \(u_n-\frac52\) avec le même dénominateur, puis multiplier par \(n\).
Correction
Après rationalisation : \(u_n=\frac{5+\frac1n}{\sqrt{1+\frac5n+\frac1{n^2}}+1}\). Une transformation exacte donne \(n\left(u_n-\frac52\right)\to-\frac{21}{8}\).
Q4. Soit \(u_0=12\) et \(u_{n+1}=0{,}75u_n+5\). Trouver la limite.
Non vérifié
Indice
Chercher le point fixe \(\ell\) tel que \(\ell=0{,}75\ell+5\).
Correction
\(\ell=0{,}75\ell+5\Rightarrow0{,}25\ell=5\Rightarrow\ell=20\). Comme \(|0{,}75|<1\), la suite converge vers 20.
Q5. Même suite : \(u_0=12\), \(u_{n+1}=0{,}75u_n+5\). Donner une expression de \(u_n\).
Non vérifié
Indice
Poser \(v_n=u_n-20\).
Correction
Avec \(v_n=u_n-20\), on obtient \(v_{n+1}=0{,}75v_n\). Or \(v_0=12-20=-8\). Donc \(v_n=-8(0{,}75)^n\), d’où \(u_n=20-8(0{,}75)^n\).
Q6. Soit \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\). Quelle est la limite de \((u_n)\) ?
Non vérifié
Indice
La limite \(L\), si elle existe, vérifie \(L=\sqrt{L+2}\).
Correction
On montre que \((u_n)\) est croissante et majorée par 2, donc convergente. Puis \(L=\sqrt{L+2}\Rightarrow L^2-L-2=0\Rightarrow L=2\) ou \(L=-1\). Comme \(u_n\ge0\), \(L=2\).
Q7. Soit \(u_0\in[1 ; 2]\) et \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\). L’intervalle \([1 ; 2]\) est-il stable ? Répondre oui ou non.
Non vérifié
Indice
Si \(x\in[1 ; 2]\), encadrer \(x+2\), puis \(\sqrt{x+2}\).
Correction
Si \(x\in[1 ; 2]\), alors \(3\le x+2\le4\), donc \(\sqrt3\le\sqrt{x+2}\le2\). Comme \(\sqrt3>1\), on a bien \(\sqrt{x+2}\in[1 ; 2]\).
Q8. Vrai/Faux : une suite croissante et majorée est convergente.
Non vérifié
Indice
C’est le théorème des suites monotones bornées.
Correction
Vrai : toute suite croissante et majorée est convergente.
Q9. Vrai/Faux : une suite bornée est toujours convergente.
Non vérifié
Indice
Penser à \((-1)^n\).
Correction
Faux : la suite \((-1)^n\) est bornée entre \(-1\) et \(1\), mais elle n’a pas de limite.
Q10. Soit \(u_n=3+\left(-\frac12\right)^n\). Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\).
Non vérifié
Indice
Comme \(-1<-\frac12<1\), \(\left(-\frac12\right)^n\to0\).
Correction
On a \(\left(-\frac12\right)^n\to0\), donc \(u_n\to3\).
Q11. Vrai/Faux : \(q^n\to0\) pour tout \(q\in]-1 ; 1[\).
Non vérifié
Indice
C’est le cas fondamental des suites géométriques.
Correction
Vrai : si \(-1<q<1\), alors \(q^n\to0\).
Q12. Vrai/Faux : si \(q=-2\), alors \(q^n\to+\infty\).
Non vérifié
Indice
Les signes alternent.
Correction
Faux : \((-2)^n\) alterne de signe et n’a pas de limite, même si les valeurs absolues deviennent très grandes.
Q13. Calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}3\left(\frac12\right)^k\).
Non vérifié
Indice
Utiliser la somme géométrique : \(1+q+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\).
Correction
\(\sum_{k=0}^{n}3(\frac12)^k=3\frac{1-(\frac12)^{n+1}}{1-\frac12}=6\left(1-(\frac12)^{n+1}\right)\).
Q14. Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^{n}3\left(\frac12\right)^k\).
Non vérifié
Indice
Utiliser le résultat de la question précédente.
Correction
La somme vaut \(6\left(1-(\frac12)^{n+1}\right)\). Comme \((\frac12)^{n+1}\to0\), la limite vaut 6.
Q15. Soit \(u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}\) avec \(u_0>0\). Donner la limite.
Non vérifié
Indice
Montrer que \((u_n)\) est positive, décroissante, puis passer à la limite.
Correction
Si \(u_n>0\), alors \(0<\frac{u_n}{1+u_n}<u_n\). La suite est décroissante et minorée par 0, donc convergente. Si sa limite est \(L\), alors \(L=\frac{L}{1+L}\), donc \(L^2=0\), d’où \(L=0\).
Q16. Pour \(u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}\), poser \(v_n=\frac1{u_n}\). Quelle relation vérifie \((v_n)\) ?
Non vérifié
Indice
Inverser la relation : \(u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}\).
Correction
On a \(\frac1{u_{n+1}}=\frac{1+u_n}{u_n}=\frac1{u_n}+1\). Donc \(v_{n+1}=v_n+1\).
Q17. Si \(v_{n+1}=v_n+1\) et \(v_0=\frac1{u_0}\), alors \(v_n=\) ?
Non vérifié
Indice
C’est une suite arithmétique de raison 1.
Correction
Comme \((v_n)\) est arithmétique de raison 1, \(v_n=v_0+n=\frac1{u_0}+n\).
Q18. Soit \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+4}\). Donner le point fixe positif.
Non vérifié
Indice
Résoudre \(L=\frac{2L+3}{L+4}\).
Correction
\(L=\frac{2L+3}{L+4}\Rightarrow L(L+4)=2L+3\Rightarrow L^2+2L-3=0\Rightarrow (L-1)(L+3)=0\). Le point fixe positif est \(1\).
Q19. Pour la suite \(u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+4}\), poser \(v_n=\frac{u_n-1}{u_n+3}\). Quelle est la raison de \((v_n)\) ?
Non vérifié
Indice
Calculer \(\frac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+3}\).
Correction
On calcule \(u_{n+1}-1=\frac{u_n-1}{u_n+4}\) et \(u_{n+1}+3=\frac{5(u_n+3)}{u_n+4}\). Donc \(v_{n+1}=\frac15v_n\).
Q20. Si \(a_n\le u_n\le b_n\), \(a_n\to4\) et \(b_n\to4\), alors \(u_n\to\) ?
Non vérifié
Indice
Utiliser le théorème d’encadrement.
Correction
Comme \(u_n\) est encadrée par deux suites qui tendent vers la même limite 4, alors \(u_n\to4\).
Q21. Si \(u_n\) est croissante, \(v_n\) décroissante, \(u_n\le v_n\) et \(v_n-u_n\to0\), on dit que les deux suites sont :
Non vérifié
Indice
C’est le nom du théorème qui donne une limite commune.
Correction
Deux suites vérifiant ces conditions sont des suites adjacentes. Elles convergent vers la même limite.
Q22. Calculer \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac1{k(k+1)}\).
Non vérifié
Indice
Décomposer \(\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}\).
Correction
La somme est télescopique : \(\sum_{k=1}^{n}\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=1-\frac1{n+1}=\frac{n}{n+1}\).
Q23. Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac1{k(k+1)}\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(1-\frac1{n+1}\).
Correction
\(1-\frac1{n+1}\to1\).
Q24. Soit \(u_n=\frac{n+(-1)^n}{n}\). Donner la limite.
Non vérifié
Indice
Écrire \(u_n=1+\frac{(-1)^n}{n}\).
Correction
On a \(-\frac1n\le\frac{(-1)^n}{n}\le\frac1n\), et les deux bornes tendent vers 0. Donc \(\frac{(-1)^n}{n}\to0\), puis \(u_n\to1\).
Q25. Soit \(u_n=2+\frac{3}{n+1}\). La suite est-elle croissante ou décroissante ?
Non vérifié
Indice
Le terme \(\frac3{n+1}\) diminue quand \(n\) augmente.
Correction
Comme \(\frac3{n+1}\) est décroissant, \(u_n=2+\frac3{n+1}\) est décroissante.
Q26. Soit \(u_n=2-\frac{3}{n+1}\). La suite est-elle croissante ou décroissante ?
Non vérifié
Indice
Le terme \(-\frac3{n+1}\) devient de moins en moins négatif.
Correction
\(\frac3{n+1}\) diminue, donc \(-\frac3{n+1}\) augmente. Ainsi \(u_n\) est croissante.
Q27. Soit \(u_n=100\times0{,}92^n\). Quel est le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n<20\) ?
Non vérifié
Indice
Résoudre \(0{,}92^n<0{,}2\), puis attention au signe de \(\ln(0{,}92)\).
Correction
\(100\times0{,}92^n<20\Rightarrow0{,}92^n<0{,}2\). Donc \(n\ln(0{,}92)<\ln(0{,}2)\). Comme \(\ln(0{,}92)<0\), \(n>\frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}92)}\approx19{,}31\). Le plus petit entier est 20.
Q28. Dans un algorithme de seuil, si on cherche le premier rang tel que \(u<20\), la condition du Tant que est généralement :
Non vérifié
Indice
On continue tant que l’objectif n’est pas encore atteint.
Correction
Si on cherche le premier rang tel que \(u<20\), on continue tant que \(u\ge20\).
Q29. Si \((u_n)\) converge vers \(L\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\), quelle condition sur \(f\) permet de conclure \(L=f(L)\) ?
Non vérifié
Indice
Il faut pouvoir passer à la limite dans \(f(u_n)\).
Correction
Il faut que \(f\) soit continue sur l’intervalle étudié. Alors \(u_n\to L\) entraîne \(f(u_n)\to f(L)\), donc \(L=f(L)\).
Q30. Vrai/Faux : on peut toujours résoudre \(L=f(L)\) avant de prouver que la suite converge.
Non vérifié
Indice
C’est une erreur classique au Bac.
Correction
Faux : l’équation \(L=f(L)\) donne seulement des candidats. Il faut d’abord prouver la convergence, puis utiliser la continuité pour passer à la limite.