Quiz HARD — Suites numériques et récurrence (20 questions • 19–20/20)
Questions exigeantes : invariance d’intervalle • étude de \(f(x)-x\) • limites via point fixe • suites adjacentes • majorations d’erreur (sans DL).
Q2. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(2-\frac{3n}{n+2}\right)\).
Non vérifié
Indice
Factoriser par \(n\) au numérateur et au dénominateur.
Correction
On factorise par \(n\) : \(\frac{3n}{n+2}=\frac{n\cdot3}{n(1+\frac{2}{n})}=\frac{3}{1+\frac{2}{n}}\to3\). Donc \(2-\frac{3n}{n+2}\to 2-3=-1\).
Q3. Soit \(u_0\in[0 ; 1]\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n+1}{3}\). Trouver la limite \(\ell\).
Non vérifié
Indice
Si \(u_n\to\ell\), alors \(\ell=\frac{\ell+1}{3}\).
Correction
Point fixe : \(\ell=\frac{\ell+1}{3}\Rightarrow 3\ell=\ell+1\Rightarrow 2\ell=1\Rightarrow \ell=\frac12\).
Q4. Même suite : montrer \(|u_{n+1}-\ell|=\frac13|u_n-\ell|\). En déduire une expression de \(|u_n-\ell|\).
Non vérifié
Indice
Soustraire \(\ell=\frac12\) à la relation puis itérer.
Correction
On obtient \(u_{n+1}-\ell=\frac13(u_n-\ell)\). Donc par itération : \(|u_n-\ell|=\left(\frac13\right)^n|u_0-\ell|\).
Q5. Soit \(u_0\in[0 ; 1[\) et \(u_{n+1}=u_n^2\). Donner \(\lim u_n\).
Non vérifié
Indice
Sur \([0 ; 1]\), \(x^2\le x\) donc la suite décroît et est minorée par 0.
Correction
Pour \(0\le u_0<1\), \((u_n)\) est décroissante et minorée par 0 donc converge vers une limite \(\ell\ge 0\). En passant à la limite : \(\ell=\ell^2\) donc \(\ell\in\{0,1\}\). Comme \(u_n\le u_0<1\), on ne peut pas tendre vers 1, donc \(\ell=0\).
(À part : si \(u_0=1\), la suite est constante 1.)
(À part : si \(u_0=1\), la suite est constante 1.)
Q6. Soit \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}\) et \(u_0\ge 0\). Toute limite \(\ell\) vérifie :
Non vérifié
Indice
Élever au carré après passage à la limite.
Correction
Si \(u_n\to\ell\), alors \(\ell=\sqrt{\ell+1}\Rightarrow \ell^2=\ell+1\Rightarrow \ell^2-\ell-1=0\).
Q7. Dans la question précédente, la limite est \(\ell=\) ?
Non vérifié
Indice
La limite est \(\ge 0\).
Correction
Les solutions sont \(\frac{1\pm\sqrt5}{2}\). Comme \(u_n\ge 0\), on retient \(\ell=\frac{1+\sqrt5}{2}\).
Q8. Si \(a_n\le u_n\le b_n\), \(a_n\to\ell\) et \(b_n\to m\) avec \(\ell\), peut-on conclure à la convergence de \((u_n)\) ?
Non vérifié
Indice
Il faut la même limite pour les deux bornes.
Correction
Non : le théorème des gendarmes demande \(\lim a_n=\lim b_n\). Ici elles sont différentes.
Q9. On sait \(u_n\) croissante et \(u_n\le 2-\frac{1}{n+1}\). Peut-on conclure à la convergence ?
Non vérifié
Indice
Croissante + majorée ⇒ convergence.
Correction
Oui : \(u_n\le 2\) (donc majorée) et croissante ⇒ convergence.
Q10. Si \(u_{n+1}-u_n\to 0\), peut-on conclure que \((u_n)\) converge ?
Non vérifié
Indice
Exemple classique : \(u_n=\ln(n)\) ne converge pas mais les écarts tendent vers 0.
Correction
Non : \(u_n=\ln(n)\) diverge alors que \(u_{n+1}-u_n=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\to 0\).
Q11. Suites adjacentes : \((u_n)\) croissante, \((v_n)\) décroissante, \(u_n\le v_n\) et \(v_n-u_n\to 0\). Alors leur limite commune vaut :
Non vérifié
Indice
Elles convergent vers la même limite.
Correction
Par le théorème des suites adjacentes, \(\lim u_n=\lim v_n\) (même limite).
Q12. Télescopage : calculer \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\).
Non vérifié
Indice
Décomposer : \(\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\).
Correction
Somme télescopique : \(\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}\).
Q13. Avec \(u_n=1-\frac{1}{n+1}\), on a \(\lim u_n=\) ?
Non vérifié
Indice
\(\frac{1}{n+1}\to 0\).
Correction
\(u_n=1-\frac{1}{n+1}\to 1\).
Q14. Si \(u_{n+1}=a(u_n-1)+1\), alors \(u_n-1=\) ?
Non vérifié
Indice
Poser \(v_n=u_n-1\).
Correction
En posant \(v_n=u_n-1\), on a \(v_{n+1}=a v_n\) donc \(v_n=a^n v_0=a^n(u_0-1)\).
Q15. Si \(|a|<1\) dans la question précédente, alors \(u_n\to\) ?
Non vérifié
Indice
Car \(a^n\to 0\).
Correction
Comme \(u_n-1=a^n(u_0-1)\to 0\), on obtient \(u_n\to 1\).
Q16. Vrai/Faux : toute suite convergente est bornée.
Non vérifié
Indice
Propriété générale des limites.
Correction
Vrai : une suite convergente est forcément bornée.
Q17. Vrai/Faux : toute suite bornée est convergente.
Non vérifié
Indice
Penser à \((-1)^n\).
Correction
Faux : \((-1)^n\) est bornée mais n’a pas de limite.
Q18. Si \(u_n\le v_n\) et \(u_n\to\ell\), \(v_n\to\ell\), alors \(v_n-u_n\to\) ?
Non vérifié
Indice
Limite d’une différence.
Correction
Comme \(v_n\to\ell\) et \(u_n\to\ell\), alors \(v_n-u_n\to \ell-\ell=0\).
Q19. Si \(u_{n+1}\ge u_n\) et \(u_n\le 10\) pour tout \(n\), alors \((u_n)\) :
Non vérifié
Indice
Monotone + bornée.
Correction
Croissante et majorée ⇒ convergence.
Q20. On suppose \(u_n\to\ell\) et \(v_n\to m\). Limite de \(u_n v_n\) :
Non vérifié
Indice
Produit des limites.
Correction
Si les limites existent, alors \(u_n v_n\to \ell m\).
Q21. Soit \(u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}\) avec \(u_0>0\). Donner la limite.
Non vérifié
Indice
Comparer \(u_{n+1}\) à \(u_n\) et utiliser bornes.
Correction
Pour \(u_n>0\), \(u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}<u_n\) donc décroissante et minorée par 0 ⇒ converge.
Limite \(\ell\) : \(\ell=\frac{\ell}{1+\ell}\Rightarrow \ell(1+\ell)=\ell\Rightarrow \ell^2=0\Rightarrow \ell=0\).
Limite \(\ell\) : \(\ell=\frac{\ell}{1+\ell}\Rightarrow \ell(1+\ell)=\ell\Rightarrow \ell^2=0\Rightarrow \ell=0\).
Clavier