Terminale Spé — Suites numériques et récurrence

Cours — Suites numériques et récurrence

Terminale Spé Maths : suites explicites / récurrentes, variations, bornes, limites, convergence, méthodes Bac (comparaison, point fixe, récurrence).

1) Définition, modes de définition, vocabulaire

A

Définition

Une suite réelle \((u_n)\) associe à tout entier \(n\) (souvent \(n\ge 0\) ou \(n\ge 1\)) un réel \(u_n\).

\[ (u_n)_{n\ge n_0}\quad\text{avec}\quad u_n\in\mathbb{R}. \]

\(u_n\) : terme général, \(u_{n_0}\) : terme initial.
On étudie : signe, variations, bornes, limite, convergence, comportement asymptotique.

B

Deux grandes formes

Explicite : \(u_n = f(n)\) (ex : \(u_n=\frac{2n+1}{n+3}\)).
Récurrente : donnée de \(u_{n_0}\) et d’une relation \(u_{n+1}=F(u_n)\) ou \(u_{n+1}=F(n,u_n)\).

Objectif Bac

Savoir passer de la relation à des propriétés : sens de variation, encadrement, convergence, limite, et parfois expression explicite.

Type	Exemple	Ce qu’on fait (méthode)
Explicite	\(\displaystyle u_n = 3-\frac{5}{n+2}\)	Limite via \(\frac{1}{n}\to 0\). Variations via \(u_{n+1}-u_n\) ou monotonicité de \(f\).
Récurrence simple	\(\displaystyle u_{n+1}=\frac{u_n+2}{3}\), \(u_0=10\)	Point fixe, encadrement, convergence \(\Rightarrow\) limite \(L\) solution de \(L=\frac{L+2}{3}\).
Récurrence avec \(n\)	\(\displaystyle u_{n+1}=u_n+\frac{1}{(n+1)^2}\), \(u_0=2\)	Sommes \(\sum\), variations (croissante), bornes via série convergente.

2) Suites arithmétiques et géométriques (indispensable)

A — Suite arithmétique (raison \(r\))

\[ (u_n)\ \text{arithmétique}\ \Longleftrightarrow\ \exists r\in\mathbb{R},\ \forall n,\ u_{n+1}=u_n+r. \]

Raison : \(r=u_{n+1}-u_n\) (constante).
Reconnaître : si \(u_{n+1}-u_n\) ne dépend pas de \(n\), la suite est arithmétique.
Variation : \(r>0\Rightarrow\) croissante ; \(r<0\Rightarrow\) décroissante ; \(r=0\Rightarrow\) constante.

Formules explicites

\[ u_n=u_0+nr \quad\text{(si la suite commence à }0\text{)} \] \[ u_n=u_1+(n-1)r \quad\text{(si la suite commence à }1\text{)} \] \[ u_n=u_p+(n-p)r \quad\text{(formule générale)} \]

Sommes (indispensable)

\[ S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2} \] \[ \sum_{k=0}^{n} u_k=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2} \] \[ \sum_{k=p}^{n} u_k=\frac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2} \]

Astuce Bac

En arithmétique : la somme de deux termes symétriques est constante, et la moyenne des extrêmes donne le terme “du milieu”.

\[ u_p+u_q=u_{p+1}+u_{q-1}=\cdots \] \[ u_p+u_q=2u_{\frac{p+q}{2}}\quad\text{(si }p+q\text{ est pair)} \]

Exemple Bac — montrer arithmétique + somme indice + correction

Énoncé. \(u_n=5+3n\). Montrer que \((u_n)\) est arithmétique, donner \(r\) et calculer \(\sum_{k=0}^{n} u_k\).

Indice différence constante + formule de somme

Calcule \(u_{n+1}-u_n\).
Utilise \(\sum_{k=0}^{n}u_k=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}\).

Correction complète

\(u_{n+1}=5+3(n+1)=5+3n+3\) donc \(u_{n+1}-u_n=3\) constant : suite arithmétique de raison \(r=3\).

\(u_0=5\) et \(u_n=5+3n\). Donc \[ \sum_{k=0}^{n} u_k=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2} =\frac{(n+1)\big(5+(5+3n)\big)}{2} =\frac{(n+1)(10+3n)}{2}. \]

B — Suite géométrique (raison \(q\))

\[ (u_n)\ \text{géométrique}\ \Longleftrightarrow\ \exists q\in\mathbb{R},\ \forall n,\ u_{n+1}=q\,u_n. \]

Raison : \(q=\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) (constante), si \(u_n\neq 0\).
Reconnaître : si \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) ne dépend pas de \(n\), la suite est géométrique.
Cas clés :
- \(|q|<1\Rightarrow u_n\to 0\).
- \(q=1\Rightarrow\) constante.
- \(q=-1\Rightarrow\) alternance (pas de limite si \(u_0\neq 0\)).
- \(|q|>1\Rightarrow\) divergence (si \(u_0\neq 0\)).

Formules explicites

\[ u_n=u_0\,q^n \quad\text{(si la suite commence à }0\text{)} \] \[ u_n=u_1\,q^{n-1} \quad\text{(si la suite commence à }1\text{)} \] \[ u_n=u_p\,q^{n-p} \quad\text{(formule générale)} \]

Sommes géométriques (indispensable)

\[ 1+q+q^2+\cdots+q^{n}= \begin{cases} \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q} & \text{si }q\neq 1\\[6pt] n+1 & \text{si }q=1 \end{cases} \] \[ \sum_{k=0}^{n} u_0q^k= \begin{cases} u_0\,\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q} & \text{si }q\neq 1\\[6pt] u_0(n+1) & \text{si }q=1 \end{cases} \] \[ \sum_{k=p}^{n} u_p q^{k-p}= \begin{cases} u_p\,\dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q} & \text{si }q\neq 1\\[6pt] u_p(n-p+1) & \text{si }q=1 \end{cases} \]

Astuce Bac (pourcentages / évolutions)

Évolution de \(p\%\) \(\Rightarrow q=1+\frac{p}{100}\). Baisse de \(p\%\) \(\Rightarrow q=1-\frac{p}{100}\).

Exemple Bac — géométrique + somme indice + correction

Énoncé. \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=1{,}5\,u_n\). Donner \(u_n\) et calculer \(\sum_{k=0}^{n} u_k\).

Indice raison \(q\) + somme géométrique

Expression : \(u_n=u_0q^n\).
Somme : \(\sum_{k=0}^{n} u_0q^k=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\) si \(q\neq 1\).

Correction complète

Suite géométrique de raison \(q=1{,}5\). Donc \[ u_n=2\cdot 1{,}5^n. \]

Somme : \[ \sum_{k=0}^{n} u_k=2\cdot \frac{1-1{,}5^{n+1}}{1-1{,}5} =4(1{,}5^{n+1}-1). \]

C — Comment montrer qu’une suite est arithmétique / géométrique

Montrer “arithmétique”

Calculer \(u_{n+1}-u_n\).
Si \(u_{n+1}-u_n=r\) (constante), la suite est arithmétique de raison \(r\).
Conclusion : \(u_n=u_p+(n-p)r\).

\[ u_{n+1}-u_n=r\ \Rightarrow\ u_n=u_p+(n-p)r \]

Montrer “géométrique”

Calculer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) (si \(u_n\neq 0\)).
Si \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q\) (constante), la suite est géométrique de raison \(q\).
Conclusion : \(u_n=u_p\,q^{n-p}\).

\[ \frac{u_{n+1}}{u_n}=q\ \Rightarrow\ u_n=u_p\,q^{n-p} \]

3) Variations et bornes : outils Bac (à maîtriser)

Outil 1 — Étudier \(u_{n+1}-u_n\)

Réflexe n°1 pour la monotonie.

\[ u_{n+1}-u_n\ge 0 \ \forall n \Rightarrow (u_n)\ \text{croissante}. \]

Si tu peux factoriser : parfait.
Sinon : encadrements / signe via hypothèse \(u_n\in I\).

Outil 2 — Invariance d’un intervalle (stabilité)

Montrer : si \(u_n\in I\) alors \(u_{n+1}\in I\). Puis récurrence.

\[ u_0\in I,\ \forall x\in I,\ F(x)\in I \ \Rightarrow\ \forall n,\ u_n\in I. \]

Astuce Bac : choisir \(I=[a; b]\) avec un point fixe à l’intérieur et vérifier \(F(I)\subset I\).

Outil 3 — Suites monotones bornées ⇒ convergence

\[ (u_n)\ \text{croissante et majorée}\ \Rightarrow\ (u_n)\ \text{converge}. \] \[ (u_n)\ \text{décroissante et minorée}\ \Rightarrow\ (u_n)\ \text{converge}. \]

Ensuite, si on a convergence, on peut passer à la limite dans \(u_{n+1}=F(u_n)\) et résoudre \(L=F(L)\).

Outil 4 — Théorème des gendarmes

Encadrer \((u_n)\) entre deux suites convergentes vers la même limite.

\[ v_n \le u_n \le w_n\ \text{à partir d’un rang} \quad\Rightarrow\quad \big(v_n\to \ell\ \text{et}\ w_n\to \ell\big)\ \Rightarrow\ u_n\to \ell. \]

À écrire : « Par le théorème des gendarmes, \((u_n)\) converge vers \(\ell\). »

Outil 5 — Sous-suites paires / impaires

Utile si la suite oscille (ex : présence de \((-1)^n\)).

\[ u_{2n}\to \ell\ \text{et}\ u_{2n+1}\to \ell\ \Rightarrow\ u_n\to \ell. \]

Outil 6 — Équivalents (usage “Bac-safe”)

Si \(u_n\sim v_n\), alors \(u_n\) et \(v_n\) ont la même limite (si elle existe).

\[ u_n \underset{+\infty}{\sim} v_n \ \Rightarrow\ \frac{u_n}{v_n}\to 1. \]

⚠️ En pratique : on l’utilise surtout pour comparer des croissances (ex : \(n\), \(n^2\), \(a^n\), \(\ln n\)), sans développement limité.

Outil 7 — Suites adjacentes

Une croissante, une décroissante, et l’écart tend vers 0.

\[ \begin{cases} (u_n)\ \text{croissante}\\ (v_n)\ \text{décroissante}\\ u_n\le v_n\\ v_n-u_n\to 0 \end{cases} \Rightarrow u_n\to \ell\ \text{et}\ v_n\to \ell. \]

Outil 8 — Télescopage : \(\sum (u_{k+1}-u_k)\)

La somme partielle est exactement une différence.

\[ \sum_{k=0}^{N}(u_{k+1}-u_k)=u_{N+1}-u_0. \]

Piège classique

Une suite bornée n’est pas forcément convergente. Exemple : \(u_n=1+\sin(n)\) est bornée mais ne converge pas.

Exemple Bac — intervalle stable + monotonie + limite indice + correction

Énoncé. \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\). Montrer que \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.

Indice stabilité sur un intervalle + \(f(x)-x\)

Essaie \(I=[1; 2]\) et montre que \(u_n\in I\) pour tout \(n\).
Sur \(I\), compare \(\sqrt{2+x}\) et \(x\) pour obtenir \(u_{n+1}\ge u_n\).
Conclusion : monotone + bornée \(\Rightarrow\) convergence, puis \(L=\sqrt{2+L}\).

Correction complète

1) Encadrement (intervalle stable). On vise \(I=[1; 2]\).
Initialisation : \(u_0=1\in[1; 2]\).
Hérédité : si \(u_n\in[1; 2]\), alors \(2+u_n\in[3; 4]\) donc \[ u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\in[\sqrt3; 2]\subset[1; 2]. \] Donc \(\forall n,\ u_n\in[1; 2]\).

2) Monotonie. Pour \(x\in[1; 2]\), on a \(\sqrt{2+x}\ge x\) car : \[ \sqrt{2+x}\ge x \Longleftrightarrow 2+x\ge x^2 \Longleftrightarrow x^2-x-2\le 0 \Longleftrightarrow (x-2)(x+1)\le 0, \] vrai pour \(x\in[-1; 2]\). Donc si \(u_n\in[1; 2]\), alors \(u_{n+1}\ge u_n\). Ainsi \((u_n)\) est croissante et majorée par \(2\), donc convergente.

3) Limite. Si \(u_n\to L\), alors \(L=\sqrt{2+L}\) avec \(L\in[1; 2]\). \[ L^2=2+L\ \Rightarrow\ L^2-L-2=0\ \Rightarrow\ (L-2)(L+1)=0. \] Comme \(L\in[1; 2]\), on obtient \(L=2\).

4) Limites : règles pratiques et formes fréquentes

Si la suite est explicite

\(\frac{1}{n}\to 0\), \(n^\alpha\to +\infty\) (\(\alpha>0\)).
Fractions rationnelles : diviser numérateur et dénominateur par la plus grande puissance de \(n\).
\(\sqrt{n^2+an+b}=n\sqrt{1+\frac{a}{n}+\frac{b}{n^2}}\).

Si la suite est récurrente

Montrer convergence (monotone + bornée, contraction, comparaison).
Ensuite : passer à la limite dans \(u_{n+1}=F(u_n)\) pour obtenir \(L=F(L)\).
Choisir la bonne solution avec l’encadrement (intervalle stable).

Important : sans convergence, on n’a pas le droit d’imposer une limite.

Exemple Bac — fraction rationnelle : stabilité + limite indice + correction

Énoncé. \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}\). Étudier la convergence et trouver la limite.

Indice point fixe + intervalle stable

Résous \(L=\dfrac{2L+3}{L+4}\) (deux candidats).
Montre que \(F(x)=\dfrac{2x+3}{x+4}\) envoie \([0; 1]\) dans \([0; 1]\) (croissance + valeurs aux bornes).
Puis étudie \(u_{n+1}-u_n\) sur \([0; 1]\).

Correction complète

1) Point fixe. Si \(u_n\to L\), \[ L=\frac{2L+3}{L+4} \Rightarrow L(L+4)=2L+3 \Rightarrow L^2+2L-3=0 \Rightarrow (L+3)(L-1)=0. \] Candidats : \(L=1\) ou \(L=-3\).

2) Stabilité sur \([0; 1]\). \(u_0=0\in[0; 1]\). La fonction \(F(x)=\frac{2x+3}{x+4}\) vérifie \[ F'(x)=\frac{2(x+4)-(2x+3)}{(x+4)^2}=\frac{5}{(x+4)^2}>0, \] donc \(F\) est croissante sur \([0; 1]\). Ainsi \[ F([0; 1])=[F(0),F(1)] =\left[\frac{3}{4},1\right]\subset[0; 1]. \] Donc \(\forall n,\ u_n\in[0; 1]\) par récurrence, et la limite ne peut pas être \(-3\).

3) Monotonie. \[ u_{n+1}-u_n=\frac{2u_n+3}{u_n+4}-u_n =\frac{-(u_n-1)(u_n+3)}{u_n+4}. \] Or \(u_n\in[0; 1]\) donc \((u_n-1)\le 0\), \((u_n+3)>0\), \((u_n+4)>0\), donc \(u_{n+1}-u_n\ge 0\). La suite est croissante et majorée par \(1\), donc convergente.

4) Limite. La limite est donc \(L=1\).

5) La récurrence (preuve) — structure Bac + pièges

Schéma standard (à écrire proprement)

Initialisation : vérifier au rang de départ \(n_0\).
Hérédité : supposer vraie au rang \(n\), démontrer au rang \(n+1\).
Conclusion : « Donc, par récurrence, pour tout \(n\ge n_0\), … ».

Piège : ne jamais confondre “\(P(n)\Rightarrow P(n+1)\)” avec “\(P(n+1)\Rightarrow P(n)\)”.

Deux usages fréquents en suites

Encadrement : prouver \(a\le u_n\le b\).
Comparaison / monotonicité : prouver \(u_{n+1}\ge u_n\) ou \(u_n\le v_n\).

Souvent, l’encadrement sert ensuite à étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n\).

Exemple Bac — encadrement par récurrence indice + correction

Énoncé. \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}\). Montrer que \(\forall n,\ 0<u_n\le 2\).

Indice positivité + comparaison

Si \(u_n>0\), alors \(1+u_n>1\) et \(\frac{u_n}{1+u_n}>0\).
Et comme \(1+u_n\ge 1\), on a \(\frac{u_n}{1+u_n}\le u_n\).

Correction complète

Initialisation. \(u_0=2\Rightarrow 0<u_0\le 2\).

Hérédité. Supposons \(0<u_n\le 2\). Alors \(1+u_n>1\) et \[ u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}>0. \] De plus, comme \(1+u_n\ge 1\), \[ u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}\le u_n\le 2. \] Donc \(0<u_{n+1}\le 2\).

Conclusion. Par récurrence, \(\forall n,\ 0<u_n\le 2\).

6) Suites \(u_{n+1}=f(u_n)\) : méthode “point fixe” (très Bac)

Plan d’attaque (à apprendre)

Choisir un intervalle \(I=[a; b]\) tel que \(u_0\in I\) et \(f(I)\subset I\).
Monotonie : souvent via le signe de \(f(x)-x\) sur \(I\).
Convergence : monotone + bornée.
Limite : résoudre \(L=f(L)\) et garder la solution avec \(L\in I\).

Exemple Bac — \(u_{n+1}=\ln(1+u_n)\) indice + correction

Énoncé. \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\ln(1+u_n)\). Étudier la convergence.

Indice stabilité + inégalité \(\ln(1+x)\le x\)

Montre que si \(u_n\in[0; 1]\) alors \(u_{n+1}\in[0; 1]\).
Utilise \(\ln(1+x)\le x\) pour obtenir \(u_{n+1}\le u_n\).

Correction complète

Stabilité. \(u_0=0\in[0; 1]\). Si \(u_n\in[0; 1]\), alors \(1+u_n\in[1; 2]\) donc \[ u_{n+1}=\ln(1+u_n)\in[\ln1; \ln2]=[0; \ln2]\subset[0; 1]. \] Donc \(\forall n,\ u_n\in[0; 1]\).

Monotonie. Sur \([0; 1]\), \(\ln(1+x)\le x\), donc \(u_{n+1}\le u_n\). La suite est décroissante et minorée par \(0\), donc convergente.

Limite. Si \(u_n\to L\in[0; 1]\), alors \(L=\ln(1+L)\). \(L=0\) est solution et, sur \([0; 1]\), c’est l’unique (étudier \(h(x)=\ln(1+x)-x\), strictement décroissante). Donc \(u_n\to 0\).

7) Checklist “Méthodes Bac”

Suite explicite

Limite (diviser, factoriser, encadrer).
Monotonie : \(u_{n+1}-u_n\) ou étude d’une fonction \(f\).
Comparaison de croissances : \(n^p\), \(a^n\), \(\ln n\).

Suite récurrente

Points fixes \(L=f(L)\).
Intervalle stable \(f(I)\subset I\).
Monotonie via \(f(x)-x\) ou \(u_{n+1}-u_n\).
Convergence : monotone + bornée, puis limite.

Phrase-type Bac

\[ \text{On montre que }(u_n)\text{ est }\; \begin{cases} \text{croissante et majorée}\\ \text{ou décroissante et minorée} \end{cases} \;\text{donc convergente.} \] \[ \ \text{Si }u_n\to L,\ \text{alors }L=f(L). \ \text{Avec }L\in I,\ \text{on obtient }L=\cdots \]

8) Mini-banque d’entraînement (niveau Bac)

Clique pour voir indice puis correction.

Exercice 1 — Suite explicite : limite + variations indice + corrigé

Énoncé. \(u_n=\dfrac{3n^2-2n+1}{n^2+5}\). Déterminer \(\lim u_n\) et étudier la monotonie à partir d’un certain rang.

Indice diviser par \(n^2\) + comparer \(u_{n+1}-u_n\)

Pour la limite : divise numérateur et dénominateur par \(n^2\).
Pour la monotonie : calcule \(u_{n+1}-u_n\) et étudie son signe (à partir d’un rang si besoin).

Correction essentielle

Limite. En divisant par \(n^2\) : \[ u_n=\frac{3-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{5}{n^2}}\xrightarrow[n\to\infty]{}3. \]

Monotonie. Réflexe Bac : étudier \(u_{n+1}-u_n\) (calcul algébrique). On obtient un signe constant à partir d’un rang, d’où la monotonie “à partir d’un certain rang”.

Exercice 2 — Suite rationnelle : stabilité + limite indice + corrigé

Énoncé. \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}\). Étudier la convergence et trouver la limite.

Indice point fixe + intervalle stable

Résous \(L=\dfrac{2L+3}{L+4}\) (deux candidats).
Montre que \(F([0; 1])\subset[0; 1]\), puis étudie \(u_{n+1}-u_n\).

Correction complète

Point fixe. \[ L=\frac{2L+3}{L+4}\Rightarrow L(L+4)=2L+3\Rightarrow L^2+2L-3=0\Rightarrow (L+3)(L-1)=0. \] Candidats : \(1\) ou \(-3\).

Stabilité. Sur \([0; 1]\), \(F\) est croissante et \(F([0; 1])=[\frac34; 1]\subset[0; 1]\). Donc \(u_n\in[0; 1]\) pour tout \(n\).

Monotonie. \[ u_{n+1}-u_n=\frac{-(u_n-1)(u_n+3)}{u_n+4}\ge 0 \quad(\text{car }u_n\in[0; 1]). \] Donc \((u_n)\) est croissante et majorée par \(1\) \(\Rightarrow\) convergente.

Limite. La seule limite possible dans \([0; 1]\) est \(L=1\).

Exercice 3 — Télescopage (très classique) indice + corrigé

Énoncé. \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\). Montrer que \(\forall n,\ u_n<2\) et déterminer la limite.

Indice \(\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\)

\[ \frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}. \]

Ensuite : somme télescopique.

Correction complète

\[ u_n=1+\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right) =1+\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=2-\frac{1}{n+1}. \] Donc \(u_n<2\) et \(\lim u_n=2\).

Exercice 4 — Point fixe + expression explicite indice + corrigé

Énoncé. \(u_0\in[0; 1]\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n+1}{2}\). Étudier la convergence et donner une expression de \(u_n\).

Indice pose \(v_n=u_n-1\)

Le point fixe est 1. Décale : \(v_n=u_n-1\), tu obtiens une géométrique.

Correction complète

Point fixe. \(L=\frac{L+1}{2}\Rightarrow L=1\).

Poser \(v_n=u_n-1\). Alors \[ v_{n+1}=\frac{u_n+1}{2}-1=\frac{u_n-1}{2}=\frac{v_n}{2}, \] donc \(v_n=(u_0-1)\left(\frac12\right)^n\to 0\) et \[ u_n=1+(u_0-1)\left(\frac12\right)^n \to 1. \]