Cours — Suites numériques et récurrence (Tle spé)
- Reconnaître une suite explicite, récurrente, arithmétique ou géométrique.
- Étudier les variations d’une suite avec une différence ou un quotient.
- Montrer qu’une suite est majorée, minorée, ou bornée.
- Utiliser le théorème : suite monotone et bornée ⇒ convergente.
- Déterminer une limite de suite explicite ou récurrente.
- Rédiger une preuve par récurrence proprement.
- Traiter les suites de type \(u_{n+1}=f(u_n)\) avec la méthode du point fixe.
- Résoudre un problème de seuil avec un algorithme ou les logarithmes.
- Une suite bornée n’est pas forcément convergente.
- On ne peut pas résoudre \(L=f(L)\) sans avoir d’abord justifié la convergence.
- Pour passer à la limite dans \(u_{n+1}=f(u_n)\), il faut que \(f\) soit continue sur l’intervalle étudié.
- Si \(q<-1\), on ne dit pas que \(q^n\to +\infty\) : la suite n’a pas de limite.
- En récurrence, il faut toujours écrire : initialisation, hérédité, conclusion.
- Suite explicite : \(u_n=f(n)\).
- Suite récurrente : on donne un premier terme, puis une relation liant \(u_{n+1}\) à \(u_n\).
Exemple — reconnaître le type de suite
- \(u_n=5-3n\) : suite explicite.
- \(u_{n+1}=2u_n-4\) avec \(u_0=1\) : suite récurrente.
- \(u_{n+1}=u_n+7\) : suite arithmétique de raison \(7\).
- \(u_{n+1}=0{,}6u_n\) : suite géométrique de raison \(0{,}6\).
Définition. Une suite \((u_n)\) est arithmétique lorsqu’il existe un réel \(r\) tel que :
\[ u_{n+1}=u_n+r. \]Le réel \(r\) s’appelle la raison de la suite. Il faut aussi connaître un premier terme.
| Élément | Formule / propriété |
|---|---|
| Définition | \(u_{n+1}=u_n+r\) |
| Raison | \(r=u_{n+1}-u_n\) |
| Terme général depuis \(u_0\) | \(u_n=u_0+nr\) |
| Terme général depuis \(u_p\) | \(u_n=u_p+(n-p)r\) |
| Somme des entiers | \(1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\) |
| Somme des termes | \[ S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n=(n+1)\times\frac{u_0+u_n}{2}. \] Donc : \[ S_n=\text{nombre de termes}\times \frac{\text{somme des termes extrêmes}}{2}. \] |
| Variations | \(r>0\) : croissante ; \(r<0\) : décroissante ; \(r=0\) : constante. |
| Limite | \(r>0\Rightarrow u_n\to +\infty\) ; \(r=0\Rightarrow u_n=u_0\) ; \(r<0\Rightarrow u_n\to -\infty\). |
Définition. Une suite \((u_n)\) est géométrique lorsqu’il existe un réel \(q\) tel que :
\[ u_{n+1}=q\times u_n. \]Le réel \(q\) s’appelle la raison de la suite. Il faut aussi connaître un premier terme.
| Élément | Formule / propriété |
|---|---|
| Définition | \(u_{n+1}=q\times u_n\) |
| Raison | \(q=\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\), si \(u_n\neq0\) |
| Terme général depuis \(u_0\) | \(u_n=u_0\times q^n\) |
| Terme général depuis \(u_p\) | \(u_n=u_p\times q^{n-p}\) |
| Somme simple | \[ 1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \quad(q\neq1). \] Si \(q=1\), alors \(1+q+\cdots+q^n=n+1\). |
| Somme des termes | \[ S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n =u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \quad(q\neq1). \] Formule générale : \[ S=\text{1er terme}\times \frac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q} \quad(q\neq1). \] |
| Comportement de \(q^n\) | \[ \lim_{n\to+\infty}q^n= \begin{cases} 0 & \text{si } -1<q<1,\\ 1 & \text{si } q=1,\\ +\infty & \text{si } q>1,\\ \text{n'existe pas} & \text{si } q\le -1. \end{cases} \] |
Exemple — déterminer la nature d’une suite
1) \(u_n=7+4n\)
\[ u_{n+1}-u_n=(7+4(n+1))-(7+4n)=4. \] La différence est constante : la suite est arithmétique de raison \(4\).
2) \(v_n=3\times 2^n\)
\[ \frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{3\times2^{n+1}}{3\times2^n}=2. \] Le quotient est constant : la suite est géométrique de raison \(2\).
- \((u_n)\) est majorée s’il existe \(M\) tel que \(u_n\le M\).
- \((u_n)\) est minorée s’il existe \(m\) tel que \(u_n\ge m\).
- \((u_n)\) est bornée si elle est majorée et minorée.
- Une suite croissante et majorée est convergente.
- Une suite décroissante et minorée est convergente.
Exemple — étude de monotonie
Soit \(u_n=\dfrac{n}{n+1}\).
\[ u_{n+1}-u_n =\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1} =\frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)} =\frac{1}{(n+1)(n+2)} >0. \]
Donc \((u_n)\) est strictement croissante.
De plus, \[ 0\le \frac{n}{n+1}<1. \] Elle est majorée par \(1\), donc convergente.
- \(\dfrac{1}{n}\to 0\)
- \(n\to +\infty\)
- \(n^\alpha\to +\infty\) si \(\alpha>0\)
- \(q^n\to 0\) si \(-1<q<1\)
- \(q^n\to +\infty\) si \(q>1\)
- \(q^n\) n’a pas de limite si \(q\le -1\).
- si \(u_n\to \ell\) et \(v_n\to m\), alors \(u_n+v_n\to \ell+m\) ;
- si \(u_n\to \ell\) et \(v_n\to m\), alors \(u_nv_n\to \ell m\) ;
- si \(u_n\to \ell\), \(v_n\to m\) et \(m\neq0\), alors \(\dfrac{u_n}{v_n}\to \dfrac{\ell}{m}\).
Exemple — limite d’une suite explicite
Soit \[ u_n=\frac{3n^2-2n+1}{n^2+5}. \]
En divisant numérateur et dénominateur par \(n^2\), on obtient : \[ u_n=\frac{3-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{5}{n^2}}. \]
Quand \(n\to +\infty\), on a \(\frac{1}{n}\to 0\) et \(\frac{1}{n^2}\to 0\), donc \[ u_n\to \frac{3}{1}=3. \]
- Initialisation : on vérifie la propriété au rang de départ.
- Hérédité : on suppose la propriété vraie au rang \(n\), puis on la montre au rang \(n+1\).
- Conclusion : on conclut par récurrence.
- Montrer que \(u_n\in [a ; b]\) pour tout \(n\).
- Montrer que \(u_n\ge 0\) pour tout \(n\).
- Prouver un encadrement, une majoration ou une minoration.
- Montrer qu’un intervalle est stable par une fonction \(f\).
Exemple — montrer qu’une suite reste dans un intervalle
Soit \(u_0=2\) et \[ u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}. \] Montrons que, pour tout \(n\), \(0<u_n\le 2\).
Initialisation. \(u_0=2\), donc \(0<u_0\le 2\).
Hérédité. Supposons \(0<u_n\le 2\). Alors \(1+u_n>1\), donc \[ u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n} >0. \] De plus, comme \(1+u_n\ge 1\), \[ \frac{u_n}{1+u_n}\le u_n\le 2. \] Donc \(0<u_{n+1}\le 2\).
Conclusion. Par récurrence, \[ \forall n\in\mathbb{N},\quad 0<u_n\le 2. \]
- Choisir un intervalle stable \(I=[a ; b]\) tel que \(u_0\in I\) et \(f(I)\subset I\).
- Étudier la monotonie, souvent via le signe de \(f(x)-x\) sur \(I\).
- Déduire que la suite est monotone et bornée, donc convergente.
- Vérifier que \(f\) est continue sur l’intervalle étudié.
- Résoudre l’équation \(L=f(L)\).
- Garder la solution compatible avec l’intervalle \(I\).
Exemple complet — \(u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\)
Soit \(u_0=1\) et \[ u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}. \]
1) Intervalle stable. Montrons que \(u_n\in [1 ; 2]\) pour tout \(n\).
On a \(u_0=1\in [1 ; 2]\). Supposons \(u_n\in [1 ; 2]\). Alors \(2+u_n\in [3 ; 4]\), donc \[ u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\in [\sqrt3 ; 2]\subset [1 ; 2]. \] Par récurrence, \(\forall n,\ u_n\in [1 ; 2]\).
2) Monotonie. Pour \(x\in [1 ; 2]\), \[ \sqrt{2+x}\ge x \iff 2+x\ge x^2 \iff x^2-x-2\le 0 \iff (x-2)(x+1)\le 0, \] ce qui est vrai sur \([1 ; 2]\). Donc \(u_{n+1}\ge u_n\) : la suite est croissante.
3) Convergence. Elle est croissante et majorée par \(2\), donc convergente.
4) Limite. La fonction \(x\mapsto\sqrt{2+x}\) est continue sur \([1 ; 2]\). Si \(u_n\to L\), alors \[ L=\sqrt{2+L}. \] Donc \[ L^2=2+L \iff L^2-L-2=0 \iff (L-2)(L+1)=0. \] Comme \(L\in [1 ; 2]\), on obtient \(L=2\).
- On cherche \(\ell\) tel que \(\ell=a\ell+b\).
- On pose \(v_n=u_n-\ell\).
- On montre que \((v_n)\) est géométrique : \(v_{n+1}=a v_n\).
- On trouve \(v_n\), puis \(u_n=v_n+\ell\).
Exemple complet — transformer en suite géométrique
Soit \(u_0=1\) et \[ u_{n+1}=0{,}8u_n+4. \]
Le point fixe \(\ell\) vérifie : \[ \ell=0{,}8\ell+4 \iff 0{,}2\ell=4 \iff \ell=20. \]
On pose \(v_n=u_n-20\). Alors : \[ \begin{aligned} v_{n+1} &=u_{n+1}-20\\ &=0{,}8u_n+4-20\\ &=0{,}8u_n-16\\ &=0{,}8(u_n-20)\\ &=0{,}8v_n. \end{aligned} \]
Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}8\), et \[ v_0=u_0-20=-19. \] Ainsi : \[ v_n=-19(0{,}8)^n \qquad\text{donc}\qquad u_n=20-19(0{,}8)^n. \]
Exemple — seuil avec algorithme et logarithmes
Soit \[ u_n=100\times0{,}92^n. \] On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n<20\).
n ← 0
u ← 100
Tant que u ≥ 20
n ← n + 1
u ← 0,92 × u
Fin Tant que
Afficher nAvec les logarithmes :
\[ 100\times0{,}92^n<20 \iff 0{,}92^n<0{,}2. \]En appliquant le logarithme :
\[ n\ln(0{,}92)<\ln(0{,}2). \]Comme \(\ln(0{,}92)<0\), on inverse le sens de l’inégalité :
\[ n>\frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}92)}. \]Or :
\[ \frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}92)}\approx19{,}31. \]- Calculer les premiers termes si besoin.
- Calculer la limite par comparaison ou division par la plus grande puissance de \(n\).
- Étudier la monotonie via \(u_{n+1}-u_n\) ou via une fonction.
- Utiliser des encadrements simples si nécessaire.
- Chercher un intervalle stable.
- Montrer un encadrement par récurrence.
- Étudier \(u_{n+1}-u_n\) ou \(f(x)-x\).
- Conclure : monotone + bornée ⇒ convergente.
- Vérifier la continuité de \(f\).
- Enfin seulement : résoudre \(L=f(L)\).
Exercice 1 — suite explicite
Énoncé. Étudier la limite de \[ u_n=\frac{2n-1}{n+4}. \]
Correction. \[ u_n=\frac{2-\frac{1}{n}}{1+\frac{4}{n}}\xrightarrow[n\to+\infty]{}2. \]
Exercice 2 — géométrique
Énoncé. Soit \(u_0=5\) et \(u_{n+1}=0{,}8u_n\).
Correction. La suite est géométrique de raison \(q=0{,}8\), donc \[ u_n=5\cdot 0{,}8^n. \] Comme \(-1<0{,}8<1\), on a \[ u_n\to 0. \]
Exercice 3 — télescopage
Énoncé. Soit \(u_0=1\) et \[ u_{n+1}=u_n+\frac{1}{(n+1)(n+2)}. \] Déterminer \(u_n\).
Correction. \[ \frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}. \] Donc \[ u_n=1+\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right) =1+\left(1-\frac{1}{n+1}\right) =2-\frac{1}{n+1}. \]
Exercice 4 — point fixe
Énoncé. Soit \(u_0\in [0 ; 1]\) et \[ u_{n+1}=\frac{u_n+1}{2}. \] Étudier la convergence.
Correction. Le point fixe vérifie \[ L=\frac{L+1}{2}\iff L=1. \] Posons \(v_n=u_n-1\). Alors \[ v_{n+1}=\frac{u_n+1}{2}-1=\frac{u_n-1}{2}=\frac{v_n}{2}. \] Donc \[ v_n=(u_0-1)\left(\frac12\right)^n\to 0, \] ainsi \[ u_n\to 1. \]
- Je reconnais le type de suite : explicite, récurrente, arithmétique, géométrique.
- Je sais étudier \(u_{n+1}-u_n\) pour déterminer la monotonie.
- Je sais prouver un encadrement par récurrence.
- Je n’utilise \(L=f(L)\) qu’après avoir montré la convergence.
- Je vérifie la continuité de \(f\) avant de passer à la limite.
- Je rédige proprement : initialisation, hérédité, conclusion.
- Je pense toujours : intervalle stable, monotonie, bornes, convergence, limite.