Exercices corrigés — Suites numériques et récurrence (Tle spé)

1. Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).
2. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n>n^2\).
   2. Quelle est la limite de \((u_n)\) ?
3. Conjecturer une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\), puis démontrer la propriété ainsi conjecturée par récurrence.

1. Étudier la monotonie de \((u_n)\).
2. 1. Soit \(h(x)=x^2+x\). Étudier les variations de \(h\) sur \(\mathbb R\). En déduire que \(h(]-1;0[)\subset]-1;0[\).
   2. Démontrer par récurrence que \(-1<u_n<0\) pour tout \(n\).
3. Étudier la convergence de \((u_n)\) et déterminer sa limite si elle existe.

1. À l'aide d'une représentation de \(y=f(x)\) et \(y=x\) (à construire), placer les termes \(U_0,U_1,U_2,U_3,U_4\) sur l'axe horizontal par la méthode de l'escalier. Formuler des conjectures sur les variations et la convergence.
2. 1. Montrer que \(x<3\) implique \(\dfrac9{6-x}<3\). En déduire par récurrence que \(U_n<3\) pour tout \(n\).
   2. Étudier le sens de variation de \((U_n)\).
   3. En déduire ce que l'on peut affirmer sur sa convergence.
3. On pose \(V_n=\dfrac1{U_n-3}\).
   1. Démontrer que \((V_n)\) est arithmétique de raison \(-\dfrac13\).
   2. Déterminer \(V_n\), puis \(U_n\), en fonction de \(n\).
   3. Calculer \(\lim_{n\to+\infty}U_n\).

1. 1. Calculer \(u_1\).
   2. On donne \(u_2,\ldots,u_{11}\) : \(45;77;117;165;221;285;357;437;525;621\). Conjecturer la nature de la suite \((d_n)\) définie par \(d_n=u_{n+1}-u_n\).
2. Soit \((v_n)\) la suite arithmétique de raison \(8\) et de premier terme \(v_0=16\). Justifier que la somme de ses \(n\) premiers termes vaut \(4n^2+12n\).
3. Démontrer par récurrence que \(u_n=4n^2+12n+5\) pour tout \(n\ge0\).
4. Valider la conjecture de la question 1.b.

1. Étude de \(f\).
   1. Étudier ses variations sur \([0;+\infty[\).
   2. Résoudre \(f(x)=x\) sur cet intervalle et appeler \(\alpha\) la solution.
   3. Démontrer que \([0;\alpha]\) et \([\alpha;+\infty[\) sont stables par \(f\).
2. Cas \(u_0=0\).
   1. Construire (à partir du tracé de \(y=f(x)\) et \(y=x\)) les termes \(u_0\) à \(u_4\), et conjecturer variations et limite.
   2. Démontrer par récurrence que \(0\le u_n\le u_{n+1}\le\alpha\).
   3. En déduire la convergence de \((u_n)\) et déterminer sa limite.
3. Cas général. Décrire, selon \(u_0\ge0\), le sens de variation et la convergence de \((u_n)\). Justifier.

1. 1. Sur un graphique de \(f\) et de la droite \(y=x\) (à construire), représenter \(u_0,u_1,u_2,u_3\) par la méthode de l'escalier.
   2. Conjecturer les variations et la limite de \((u_n)\).
2. 1. Démontrer par récurrence que \(u_n-1>0\) pour tout \(n\).
   2. Prouver les conjectures émises en 1.b.
3. On pose \(v_n=\dfrac1{u_n-1}\).
   1. Démontrer que \((v_n)\) est arithmétique de raison \(\dfrac13\).
   2. Exprimer \(v_n\), puis \(u_n\), en fonction de \(n\).
   3. En déduire la limite de \((u_n)\).

1. 1. Construire graphiquement les termes \(u_0,u_1,u_2,u_3\) à l'aide de \(y=f(x)\) et de \(y=x\).
   2. Conjecturer variations et convergence.
2. 1. Démontrer par récurrence que \(u_n\ge1\) pour tout \(n\).
   2. Montrer que \(f\) est croissante sur \([0;+\infty[\), et en déduire que \(u_{n+1}\le u_n\).
   3. Prouver la convergence de \((u_n)\) et calculer sa limite.

1. Calculer \(u_2,u_3,u_4\).
2. 1. Démontrer par récurrence que \(u_n>0\) pour \(n\ge1\).
   2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante.
   3. Qu'en déduire sur la convergence de \((u_n)\) ?
3. On pose \(v_n=\dfrac{u_n}{n}\).
   1. Montrer que \((v_n)\) est géométrique ; préciser sa raison et \(v_1\).
   2. En déduire que \(u_n=\dfrac n{2^n}\).
4. Soit \(g(x)=\ln x-x\ln2\) pour \(x\ge1\).
   1. Déterminer \(\lim_{x\to+\infty}g(x)\).
   2. En déduire \(\lim_{n\to+\infty}u_n\).

def terme(N):
    U = 0
    for k in range(N):
        U = 3*U - 2*k + 3
    return U

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
2. 1. Démontrer par récurrence que \(u_n\ge n\) pour tout \(n\ge0\).
   2. En déduire \(\lim_{n\to+\infty}u_n\).
3. Démontrer que \((u_n)\) est croissante.
4. On pose \(v_n=u_n-n+1\).
   1. Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
   2. En déduire \(u_n=3^n+n-1\).
5. Soit \(p\) entier naturel non nul.
   1. Expliquer pourquoi il existe un entier \(n_0\) tel que, pour tout \(n\ge n_0\), \(u_n\ge10^p\). On cherche le plus petit de ces entiers.
   2. Justifier que \(n_0\le3p\).
   3. Déterminer \(n_0\) pour \(p=3\).
   4. Écrire une fonction Python seuil(p) retournant ce plus petit \(n_0\), puis justifier la terminaison du programme et l'exactitude du résultat.

from math import sqrt

def calcul(a, b, N):
    u, v = a, b
    for n in range(1, N + 1):
        nouveau_u = (u + v) / 2
        nouveau_v = sqrt((u*u + v*v) / 2)
        u, v = nouveau_u, nouveau_v
    return u, v

1. 1. Montrer par récurrence que \(u_n>0\) et \(v_n>0\) pour tout \(n\).
   2. Démontrer que \(v_{n+1}^2-u_{n+1}^2=\left(\dfrac{u_n-v_n}{2}\right)^2\), et en déduire \(u_n\le v_n\) pour tout \(n\).
2. 1. Démontrer que \((u_n)\) est croissante.
   2. Comparer \(v_{n+1}^2\) et \(v_n^2\), puis étudier les variations de \((v_n)\).
3. Démontrer que les deux suites convergent.

1. 1. Calculer \(u_1,u_2,u_3\) sous forme irréductible.
   2. Comparer ces termes et \(u_0\) aux quatre premiers termes de \(w_n=\dfrac n{n+1}\).
   3. Démontrer par récurrence que \(u_n=w_n\) pour tout \(n\in\mathbb N\).
2. Pour \(n\geq1\), on pose \(v_n=\ln\left(\dfrac n{n+1}\right)\).
   1. Montrer que \(v_1+v_2+v_3=-\ln4\).
   2. Soit \(S_n=v_1+\cdots+v_n\). Exprimer \(S_n\) en fonction de \(n\), puis déterminer sa limite.

1. Démontrer, pour tout \(n\geq1\), l'équivalence \(u_{n+1}\leq 0{,}95u_n\iff\left(1+\dfrac1n\right)^{10}\leq1{,}9\).
2. Soit \(f(x)=\left(1+\dfrac1x\right)^{10}\) définie sur \([1;+\infty[\).
   1. Étudier ses variations et sa limite en \(+\infty\).
   2. Prouver l'existence et l'unicité de \(\alpha\geq1\) vérifiant \(f(\alpha)=1{,}9\).
   3. Déterminer l'entier \(n_0\) tel que \(n_0-1\leq\alpha\leq n_0\).
   4. Démontrer que \(n\geq16\) entraîne \(f(n)\leq1{,}9\).
3. 1. Déterminer les variations de \((u_n)\) à partir du rang 16.
   2. Qu'en déduire sur la suite ?
4. Prouver par récurrence que, pour tout \(n\geq16\), \(0\leq u_n\leq0{,}95^{n-16}u_{16}\), puis déterminer la limite de \((u_n)\).

1. 1. Démontrer que \(u_n\geq0\) pour tout \(n\geq3\).
   2. En déduire que \(u_n\geq n-2\) pour tout \(n\geq4\).
   3. Déterminer la limite de \((u_n)\).
2. On pose \(v_n=4u_n-8n+24\).
   1. Montrer que \((v_n)\) est géométrique décroissante et donner sa raison et son premier terme.
   2. Démontrer que \(u_n=7\left(\dfrac12\right)^n+2n-6\).
   3. Écrire \(u_n=x_n+y_n\) avec \((x_n)\) géométrique et \((y_n)\) arithmétique ; préciser leurs premiers termes et raisons.
   4. Exprimer \(S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n u_k\) en fonction de \(n\).

1. 1. Étudier les variations de \(f\) et tracer sa courbe dans un repère orthonormé (unité graphique : 2 cm).
   2. Construire graphiquement, par itérations, les points d'abscisses \(u_0,u_1,u_2,u_3\).
2. 1. Montrer que \(u_n\geq\sqrt2\) pour tout \(n\geq1\).
   2. Démontrer que \(f(x)\leq x\) si \(x\geq\sqrt2\).
   3. En déduire la décroissance de \((u_n)\) à partir du rang 1.
   4. Prouver sa convergence.
3. Si \(\lambda\) est la limite de la suite, montrer que \(\lambda=\frac12\left(\lambda+\frac2\lambda\right)\) et en déduire \(\lambda\).

1. Soit \(\lambda\neq0\) et \(t_n=\lambda^n\). Montrer que \((t_n)\in E\) si et seulement si \(\lambda^2-\lambda-0{,}24=0\). En déduire les suites de ce type appartenant à \(E\).
2. On admet que les suites de \(E\) s'écrivent \(u_n=\alpha(1{,}2)^n+\beta(-0{,}2)^n\). Déterminer \(\alpha\) et \(\beta\) lorsque \(u_0=6\) et \(u_1=6{,}6\), puis établir \(u_n=\dfrac{39}{7}(1{,}2)^n+\dfrac37(-0{,}2)^n\).
3. Déterminer \(\lim_{n\to+\infty}u_n\).

1. Soit \(f(x)=1{,}4x-0{,}05x^2\).
   1. Étudier les variations de \(f\) sur \([0;8]\).
   2. Démontrer par récurrence que \(0\leq v_n<v_{n+1}\leq8\) pour tout \(n\geq0\).
2. En déduire que \((v_n)\) converge et déterminer sa limite.

1. Prouver par récurrence que \(u_n=1+\dfrac{12}{5^n}\), puis déterminer la limite de \((u_n)\).
2. 1. Étudier les variations de \((S_n)\).
   2. Calculer \(S_n\) en fonction de \(n\).
   3. Déterminer la limite de \((S_n)\).

1. Si \((x_n)\) converge, alors \((T_n)\) converge.
2. Les suites \((x_n)\) et \((T_n)\) ont toujours le même sens de variation.

1. On pose \(u_0=1\), \(u_{n+1}=\dfrac13u_n+4\) et \(v_n=u_n-6\).
   1. Exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\), puis préciser la nature de \((v_n)\).
   2. Démontrer que \(u_n=6-5\left(\dfrac13\right)^n\) pour tout \(n\).
   3. Étudier la convergence de \((u_n)\).
2. On pose \(w_0=1\) et, pour tout \(n\geq1\), \(nw_n=(n+1)w_{n-1}+1\). Les dix premières valeurs, pour \(n=0,\ldots,9\), sont \(1,3,5,7,9,11,13,15,17,19\).
   1. Calculer explicitement \(w_{10}\).
   2. Conjecturer puis justifier la nature de \((w_n)\), et calculer \(w_{2009}\).

1. Calculer \(u_1,u_2,u_3\).
2. 1. Montrer que \(u_n\geq0\) pour tout \(n\geq4\).
   2. En déduire \(u_n\geq n-3\) pour \(n\geq5\).
   3. Déterminer \(\lim_{n\to+\infty}u_n\).
3. On pose \(v_n=-2u_n+3n-\dfrac{21}{2}\).
   1. Montrer que \((v_n)\) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
   2. Déduire que \(u_n=\dfrac{25}{4}\left(\dfrac13\right)^n+\dfrac32n-\dfrac{21}{4}\).
   3. Déterminer \(S_n=\sum_{k=0}^n u_k\) en fonction de \(n\).

1. Calculer \(u_2\) et montrer que \((u_n)\) n'est ni arithmétique ni géométrique.
2. Soit \(v_n=u_{n+1}-\dfrac12u_n\).
   1. Calculer \(v_0\).
   2. Exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\).
   3. Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac12\).
   4. Donner \(v_n\) en fonction de \(n\).
3. Soit \(w_n=\dfrac{u_n}{v_n}\).
   1. Calculer \(w_0\).
   2. Exprimer \(w_{n+1}\) à partir de \(u_n,v_n\), en utilisant \(u_{n+1}=v_n+\frac12u_n\).
   3. Montrer que \(w_{n+1}=w_n+2\).
   4. En déduire \(w_n\).
4. Démontrer \(u_n=\dfrac{2n-1}{2^n}\) pour tout \(n\geq0\).
5. On pose \(S_n=\sum_{k=0}^n u_k\). Démontrer par récurrence que \(S_n=2-\dfrac{2n+3}{2^n}\).

1. 1. Placer \(A_0,\ldots,A_6\) sur une droite (10 cm par unité).
   2. Calculer \(a_2,\ldots,a_6\).
   3. Justifier \(a_{n+2}=\dfrac{a_n+a_{n+1}}2\).
2. Démontrer par récurrence que \(a_{n+1}=1-\dfrac12a_n\) pour tout \(n\geq0\).
3. Soit \(v_n=a_n-\dfrac23\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(-\dfrac12\).
4. En déduire la limite de \((v_n)\), puis celle de \((a_n)\).