Exercices — Suites numériques et récurrence
Série solide (niveau Bac) : suites récurrentes, points fixes, invariance d’intervalle,
monotonie, convergence, encadrements, télescopage, suites adjacentes, paramètres, vitesse.
Méthode Bac (à appliquer partout)
Cas fréquent : suite récurrente \(u_{n+1}=f(u_n)\)
- Choisir un intervalle \(I=[a ; b]\) et prouver \(u_n\in I\) (stabilité + récurrence).
- Étudier le signe de \(f(x)-x\) sur \(I\) (ou \(u_{n+1}-u_n\)) \(\Rightarrow\) monotonie.
- Conclure : croissante et majorée ou décroissante et minorée \(\Rightarrow\) convergence.
- Seulement après : si \(u_n\to L\), alors \(L=f(L)\), puis sélectionner avec \(L\in I\).
Piège : “bornée \(\Rightarrow\) convergente” est faux (ex. \(1+\sin(n)\)).
Écris toujours “croissante et majorée” / “décroissante et minorée”.
1
Suite explicite — limite + équivalent
#explicite
#limite
#équivalent
Soit \(u_n=\dfrac{4n^2-3n+7}{2n^2+n-5}\).
1) Calculer \(\lim\limits_{n\to\infty}u_n\).
2) Déterminer un équivalent de \(u_n-2\) quand \(n\to\infty\).
3) En déduire le signe de \(u_n-2\) pour \(n\) assez grand.
1) Calculer \(\lim\limits_{n\to\infty}u_n\).
2) Déterminer un équivalent de \(u_n-2\) quand \(n\to\infty\).
3) En déduire le signe de \(u_n-2\) pour \(n\) assez grand.
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1) Division par \(n^2\) :
\[u_n=\frac{4-\frac{3}{n}+\frac{7}{n^2}}{2+\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2}}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{4}{2}=2.\]
2)
\[u_n-2=\frac{4n^2-3n+7-2(2n^2+n-5)}{2n^2+n-5}=\frac{-5n+17}{2n^2+n-5}\sim-\frac{5}{2n}.\]
3) Donc pour \(n\) grand : \(u_n-2<0\Rightarrow u_n<2\).
\[u_n=\frac{4-\frac{3}{n}+\frac{7}{n^2}}{2+\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2}}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{4}{2}=2.\]
2)
\[u_n-2=\frac{4n^2-3n+7-2(2n^2+n-5)}{2n^2+n-5}=\frac{-5n+17}{2n^2+n-5}\sim-\frac{5}{2n}.\]
3) Donc pour \(n\) grand : \(u_n-2<0\Rightarrow u_n<2\).
Réflexe Bac :
identifie l’intervalle stable, prouve la monotonie, puis conclue “croissante et majorée” / “décroissante et minorée”.
2
Suite explicite — variation via rationalisation
#monotonie
#rationalisation
Soit \(u_n=\sqrt{n+3}-\sqrt{n}\).
1) Étudier le sens de variation de \((u_n)\).
2) Calculer la limite.
1) Étudier le sens de variation de \((u_n)\).
2) Calculer la limite.
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1) Rationalisation :
\[u_n=\frac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}.\]
Le dénominateur augmente avec \(n\) donc \(u_n\) décroît.
2) \(\sqrt{n+3}+\sqrt{n}\to+\infty\Rightarrow u_n\to 0\).
\[u_n=\frac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}.\]
Le dénominateur augmente avec \(n\) donc \(u_n\) décroît.
2) \(\sqrt{n+3}+\sqrt{n}\to+\infty\Rightarrow u_n\to 0\).
Réflexe Bac :
identifie l’intervalle stable, prouve la monotonie, puis conclue “croissante et majorée” / “décroissante et minorée”.
3
Récurrence linéaire — convergence + expression
#linéaire
#point fixe
#explicite
\(u_0=7\) et \(u_{n+1}=0{,}6u_n+1{,}2\).
1) Étudier la convergence et déterminer la limite.
2) Donner \(u_n\) en fonction de \(n\).
1) Étudier la convergence et déterminer la limite.
2) Donner \(u_n\) en fonction de \(n\).
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Point fixe : \(L=0{,}6L+1{,}2\Rightarrow L=3\).
Poser \(v_n=u_n-3\Rightarrow v_{n+1}=0{,}6v_n\).
Donc \(v_n=4\cdot 0{,}6^n\) et
\[u_n=3+4\cdot 0{,}6^n\xrightarrow[n\to\infty]{}3.\]
Poser \(v_n=u_n-3\Rightarrow v_{n+1}=0{,}6v_n\).
Donc \(v_n=4\cdot 0{,}6^n\) et
\[u_n=3+4\cdot 0{,}6^n\xrightarrow[n\to\infty]{}3.\]
Réflexe Bac :
identifie l’intervalle stable, prouve la monotonie, puis conclue “croissante et majorée” / “décroissante et minorée”.
4
Point fixe rationnel — stabilité + monotonie + limite
#intervalle stable
#monotonie
#limite
\(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}\).
1) Montrer que \(0\le u_n\le 1\) pour tout \(n\).
2) Étudier la monotonie.
3) En déduire la limite.
1) Montrer que \(0\le u_n\le 1\) pour tout \(n\).
2) Étudier la monotonie.
3) En déduire la limite.
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Posons \(f(x)=\frac{2x+3}{x+4}\).
1) Sur \([0 ; 1]\), \(f'(x)=\frac{5}{(x+4)^2}>0\) donc \(f\) croissante, et
\[f([0 ; 1])=[f(0),f(1)]=\left[\frac{3}{4} ; 1\right]\subset[0 ; 1].\]
Donc \(u_n\in[0 ; 1]\) pour tout \(n\).
2)
\[u_{n+1}-u_n=\frac{2u_n+3}{u_n+4}-u_n=\frac{-(u_n-1)(u_n+3)}{u_n+4}\ge 0\]
car \(u_n\in[0 ; 1]\). Donc \((u_n)\) est croissante.
3) Croissante et majorée par 1 \(\Rightarrow\) convergente. Point fixe :
\[L=\frac{2L+3}{L+4}\Rightarrow L^2+2L-3=0\Rightarrow L\in\{1,-3\}.\]
Comme \(L\in[0 ; 1]\), \(\boxed{L=1}.\)
1) Sur \([0 ; 1]\), \(f'(x)=\frac{5}{(x+4)^2}>0\) donc \(f\) croissante, et
\[f([0 ; 1])=[f(0),f(1)]=\left[\frac{3}{4} ; 1\right]\subset[0 ; 1].\]
Donc \(u_n\in[0 ; 1]\) pour tout \(n\).
2)
\[u_{n+1}-u_n=\frac{2u_n+3}{u_n+4}-u_n=\frac{-(u_n-1)(u_n+3)}{u_n+4}\ge 0\]
car \(u_n\in[0 ; 1]\). Donc \((u_n)\) est croissante.
3) Croissante et majorée par 1 \(\Rightarrow\) convergente. Point fixe :
\[L=\frac{2L+3}{L+4}\Rightarrow L^2+2L-3=0\Rightarrow L\in\{1,-3\}.\]
Comme \(L\in[0 ; 1]\), \(\boxed{L=1}.\)
Réflexe Bac :
identifie l’intervalle stable, prouve la monotonie, puis conclue “croissante et majorée” / “décroissante et minorée”.
5
Récurrence racine — encadrement + convergence
#racine
#stabilité
#point fixe
\(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\).
1) Montrer que \(1\le u_n\le 2\).
2) Montrer que \((u_n)\) est croissante.
3) En déduire la limite.
1) Montrer que \(1\le u_n\le 2\).
2) Montrer que \((u_n)\) est croissante.
3) En déduire la limite.
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1) Stabilité de \([1 ; 2]\) : si \(u_n\in[1 ; 2]\) alors
\[u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\in[\sqrt3 ; 2]\subset[1 ; 2].\]
2) Sur \([1 ; 2]\), \(\sqrt{2+x}\ge x\iff x^2-x-2\le 0\), vrai sur \([-1 ; 2]\) donc sur \([1 ; 2]\).
Ainsi \(u_{n+1}\ge u_n\) : la suite est croissante.
3) Croissante et majorée par 2 \(\Rightarrow\) convergente. Point fixe :
\[L=\sqrt{2+L}\Rightarrow L^2-L-2=0\Rightarrow L\in\{2,-1\}.\]
Comme \(L\in[1 ; 2]\), \(\boxed{L=2}.\)
\[u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\in[\sqrt3 ; 2]\subset[1 ; 2].\]
2) Sur \([1 ; 2]\), \(\sqrt{2+x}\ge x\iff x^2-x-2\le 0\), vrai sur \([-1 ; 2]\) donc sur \([1 ; 2]\).
Ainsi \(u_{n+1}\ge u_n\) : la suite est croissante.
3) Croissante et majorée par 2 \(\Rightarrow\) convergente. Point fixe :
\[L=\sqrt{2+L}\Rightarrow L^2-L-2=0\Rightarrow L\in\{2,-1\}.\]
Comme \(L\in[1 ; 2]\), \(\boxed{L=2}.\)
Réflexe Bac :
identifie l’intervalle stable, prouve la monotonie, puis conclue “croissante et majorée” / “décroissante et minorée”.
6
Astuce \(v_n=1/u_n\) — expression explicite
#changement de variable
#linéarisation
#limite
Soit \(u_0=\frac12\) et \(u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}\).
1) Montrer que \(0<u_n\le \frac12\).
2) Montrer que \((u_n)\) est décroissante.
3) Déterminer \(\lim u_n\). Donner (bonus) une expression de \(u_n\).
1) Montrer que \(0<u_n\le \frac12\).
2) Montrer que \((u_n)\) est décroissante.
3) Déterminer \(\lim u_n\). Donner (bonus) une expression de \(u_n\).
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1) Si \(u_n>0\), alors \(u_{n+1}>0\). De plus
\[u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}\le u_n\le\frac12.\]
2) Comme \(u_{n+1}\le u_n\), la suite est décroissante et minorée par 0, donc convergente.
3) Si \(u_n\to L\ge0\), alors \(L=\frac{L}{1+L}\Rightarrow L=0\).
Bonus : poser \(v_n=\frac{1}{u_n}\). Alors
\[v_{n+1}=\frac{1+u_n}{u_n}=v_n+1\Rightarrow v_n=v_0+n=2+n.\]
Donc \(\boxed{u_n=\frac{1}{n+2}}\) et \(u_n\to0\).
\[u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}\le u_n\le\frac12.\]
2) Comme \(u_{n+1}\le u_n\), la suite est décroissante et minorée par 0, donc convergente.
3) Si \(u_n\to L\ge0\), alors \(L=\frac{L}{1+L}\Rightarrow L=0\).
Bonus : poser \(v_n=\frac{1}{u_n}\). Alors
\[v_{n+1}=\frac{1+u_n}{u_n}=v_n+1\Rightarrow v_n=v_0+n=2+n.\]
Donc \(\boxed{u_n=\frac{1}{n+2}}\) et \(u_n\to0\).
Réflexe Bac :
identifie l’intervalle stable, prouve la monotonie, puis conclue “croissante et majorée” / “décroissante et minorée”.
7
Télescopage — somme cachée
#télescopage
#expression
#limite
\(u_0=1\) et \(u_{n+1}=u_n+\dfrac{2}{(n+1)(n+3)}\).
1) Mettre \(\dfrac{2}{(n+1)(n+3)}\) sous forme télescopique.
2) Exprimer \(u_n\).
3) Donner \(\lim u_n\).
1) Mettre \(\dfrac{2}{(n+1)(n+3)}\) sous forme télescopique.
2) Exprimer \(u_n\).
3) Donner \(\lim u_n\).
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1) \(\displaystyle \frac{2}{(n+1)(n+3)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}.\)
2) Somme :
\[u_n=1+\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+3}\right).\]
Les termes se simplifient et il reste :
\[\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+3}\right)=1+\frac12-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}.\]
Donc
\[\boxed{u_n=\frac52-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}.\]
3) \(u_n\to\frac52\).
2) Somme :
\[u_n=1+\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+3}\right).\]
Les termes se simplifient et il reste :
\[\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+3}\right)=1+\frac12-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}.\]
Donc
\[\boxed{u_n=\frac52-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}.\]
3) \(u_n\to\frac52\).
Réflexe Bac :
identifie l’intervalle stable, prouve la monotonie, puis conclue “croissante et majorée” / “décroissante et minorée”.
8
Encadrement — limite fine (rationalisation)
#encadrement
#limite
#rationalisation
On pose \(u_n=\sqrt{n^2+n}-n\).
1) Montrer que \(0<u_n\le \frac12\).
2) Calculer \(\lim u_n\).
1) Montrer que \(0<u_n\le \frac12\).
2) Calculer \(\lim u_n\).
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1) \(u_n>0\) car \(n^2+n>n^2\).
Rationaliser :
\[u_n=\frac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}.\]
Or \(\sqrt{1+\frac1n}\ge 1\), donc \(\sqrt{1+\frac1n}+1\ge 2\Rightarrow u_n\le\frac12\).
2) \(\sqrt{1+\frac1n}\to1\Rightarrow u_n\to\frac{1}{1+1}=\frac12\).
Rationaliser :
\[u_n=\frac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}.\]
Or \(\sqrt{1+\frac1n}\ge 1\), donc \(\sqrt{1+\frac1n}+1\ge 2\Rightarrow u_n\le\frac12\).
2) \(\sqrt{1+\frac1n}\to1\Rightarrow u_n\to\frac{1}{1+1}=\frac12\).
Réflexe Bac :
identifie l’intervalle stable, prouve la monotonie, puis conclue “croissante et majorée” / “décroissante et minorée”.
9
Récurrence fraction — cas \(u_0=1\) spécial
#stabilité
#monotonie
#cas particulier
Soit \(u_0\in[0 ; 1]\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2-u_n}\).
1) Montrer que \(u_n\in[0 ; 1]\).
2) Déterminer la limite selon \(u_0\).
1) Montrer que \(u_n\in[0 ; 1]\).
2) Déterminer la limite selon \(u_0\).
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1) Si \(u_n\in[0 ; 1]\), alors \(2-u_n\in[1 ; 2]\) donc \(u_{n+1}\ge 0\).
De plus \(\frac{1}{2-u_n}\le 1\) (car \(2-u_n\ge 1\)), donc \(u_{n+1}\le u_n\le 1\).
Ainsi \(u_n\in[0 ; 1]\) pour tout \(n\).
2) La suite est décroissante et minorée, donc convergente vers \(L\in[0 ; 1]\).
\[L=\frac{L}{2-L}\Rightarrow L(2-L)=L\Rightarrow L(1-L)=0\Rightarrow L\in\{0,1\}.\]
Si \(u_0=1\), alors \(u_n=1\) pour tout \(n\).
Si \(u_0<1\), suite décroissante et \(u_n\in[0 ; 1)\) donc \(\boxed{u_n\to 0}.\)
De plus \(\frac{1}{2-u_n}\le 1\) (car \(2-u_n\ge 1\)), donc \(u_{n+1}\le u_n\le 1\).
Ainsi \(u_n\in[0 ; 1]\) pour tout \(n\).
2) La suite est décroissante et minorée, donc convergente vers \(L\in[0 ; 1]\).
\[L=\frac{L}{2-L}\Rightarrow L(2-L)=L\Rightarrow L(1-L)=0\Rightarrow L\in\{0,1\}.\]
Si \(u_0=1\), alors \(u_n=1\) pour tout \(n\).
Si \(u_0<1\), suite décroissante et \(u_n\in[0 ; 1)\) donc \(\boxed{u_n\to 0}.\)
Réflexe Bac :
identifie l’intervalle stable, prouve la monotonie, puis conclue “croissante et majorée” / “décroissante et minorée”.
10
Paramètre — expression + limites
#paramètre
#linéaire
#limite
On définit \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=a u_n + (1-a)\).
1) Exprimer \(u_n\).
2) Étudier \(\lim u_n\) selon \(a\).
1) Exprimer \(u_n\).
2) Étudier \(\lim u_n\) selon \(a\).
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1) Point fixe : \(L=1\). Poser \(v_n=u_n-1\Rightarrow v_{n+1}=a v_n\).
Donc \(v_n=v_0 a^n = -a^n\) et \(\boxed{u_n=1-a^n}.\)
2) Si \(|a|<1\), alors \(a^n\to 0\) donc \(u_n\to 1\).
Si \(a=1\), alors \(u_{n+1}=u_n\) et \(u_n=0\).
Si \(a=-1\), alors \(u_n=1-(-1)^n\) (oscille).
Si \(|a|>1\), alors \(|a^n|\to +\infty\) et \(u_n\) diverge (ou oscille non bornée si \(a<0\)).
Donc \(v_n=v_0 a^n = -a^n\) et \(\boxed{u_n=1-a^n}.\)
2) Si \(|a|<1\), alors \(a^n\to 0\) donc \(u_n\to 1\).
Si \(a=1\), alors \(u_{n+1}=u_n\) et \(u_n=0\).
Si \(a=-1\), alors \(u_n=1-(-1)^n\) (oscille).
Si \(|a|>1\), alors \(|a^n|\to +\infty\) et \(u_n\) diverge (ou oscille non bornée si \(a<0\)).
Réflexe Bac :
identifie l’intervalle stable, prouve la monotonie, puis conclue “croissante et majorée” / “décroissante et minorée”.
11
Logistique simple — convergence vers 1
#invariance
#monotonie
#limite
\(u_0=\frac12\) et \(u_{n+1}=u_n(2-u_n)\).
1) Montrer que \(0<u_n\le 1\).
2) Étudier la monotonie.
3) Déterminer la limite.
1) Montrer que \(0<u_n\le 1\).
2) Étudier la monotonie.
3) Déterminer la limite.
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1) Si \(u\in(0 ; 1]\), alors
\[u(2-u)=1-(u-1)^2\le 1\quad\text{et}\quad u(2-u)>0.\]
Donc \(0<u_{n+1}\le 1\). Par récurrence \(0<u_n\le 1\).
2) \(u_{n+1}-u_n=u_n(2-u_n)-u_n=u_n(1-u_n)\ge 0\) car \(u_n\in(0 ; 1]\).
Donc \((u_n)\) est croissante.
3) Croissante et majorée par 1 \(\Rightarrow\) converge vers \(L\in(0 ; 1]\).
\[L=L(2-L)\Rightarrow L(1-L)=0\Rightarrow L\in\{0,1\}.\]
Comme \(u_0>0\) et la suite est croissante, \(\boxed{L=1}.\)
\[u(2-u)=1-(u-1)^2\le 1\quad\text{et}\quad u(2-u)>0.\]
Donc \(0<u_{n+1}\le 1\). Par récurrence \(0<u_n\le 1\).
2) \(u_{n+1}-u_n=u_n(2-u_n)-u_n=u_n(1-u_n)\ge 0\) car \(u_n\in(0 ; 1]\).
Donc \((u_n)\) est croissante.
3) Croissante et majorée par 1 \(\Rightarrow\) converge vers \(L\in(0 ; 1]\).
\[L=L(2-L)\Rightarrow L(1-L)=0\Rightarrow L\in\{0,1\}.\]
Comme \(u_0>0\) et la suite est croissante, \(\boxed{L=1}.\)
Réflexe Bac :
identifie l’intervalle stable, prouve la monotonie, puis conclue “croissante et majorée” / “décroissante et minorée”.
12
Itération fractionnaire — limite non rationnelle (contraction)
#intervalle stable
#point fixe
#convergence
\(u_0\in[0 ; 2]\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n+2}{u_n+3}\).
1) Montrer que \(u_n\in\left[\frac23 ; \frac45\right]\) pour tout \(n\ge 1\).
2) Montrer que \((u_n)\) est convergente.
3) Déterminer la limite.
1) Montrer que \(u_n\in\left[\frac23 ; \frac45\right]\) pour tout \(n\ge 1\).
2) Montrer que \((u_n)\) est convergente.
3) Déterminer la limite.
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Posons \(f(x)=\frac{x+2}{x+3}\).
1) Sur \([0 ; 2]\), \(f'(x)=\frac{1}{(x+3)^2}>0\) donc \(f\) croissante.
Ainsi \(u_1=f(u_0)\in[f(0),f(2)]=\left[\frac23 ; \frac45\right].\)
Si \(u_n\in\left[\frac23 ; \frac45\right]\), alors
\[u_{n+1}=f(u_n)\in\left[f\left(\frac23\right),f\left(\frac45\right)\right]=\left[\frac{8}{11} ; \frac{14}{19}\right]\subset\left[\frac23 ; \frac45\right].\]
Donc \(u_n\in\left[\frac23 ; \frac45\right]\) pour \(n\ge 1\).
2) Sur \(I=\left[\frac23 ; \frac45\right]\),
\[|f'(x)|=\frac{1}{(x+3)^2}\le \frac{1}{\left(\frac23+3\right)^2}=\frac{1}{\left(\frac{11}{3}\right)^2}=\frac{9}{121}<1.\]
Donc \(f\) est une contraction sur \(I\) : \((u_n)\) converge vers l’unique point fixe dans \(I\).
3) Point fixe :
\[L=\frac{L+2}{L+3}\Rightarrow L(L+3)=L+2\Rightarrow L^2+2L-2=0\Rightarrow L=-1\pm\sqrt3.\]
Comme \(u_n\in I\subset(0 ; 1)\), on retient
\[\boxed{L=\sqrt3-1}.\]
1) Sur \([0 ; 2]\), \(f'(x)=\frac{1}{(x+3)^2}>0\) donc \(f\) croissante.
Ainsi \(u_1=f(u_0)\in[f(0),f(2)]=\left[\frac23 ; \frac45\right].\)
Si \(u_n\in\left[\frac23 ; \frac45\right]\), alors
\[u_{n+1}=f(u_n)\in\left[f\left(\frac23\right),f\left(\frac45\right)\right]=\left[\frac{8}{11} ; \frac{14}{19}\right]\subset\left[\frac23 ; \frac45\right].\]
Donc \(u_n\in\left[\frac23 ; \frac45\right]\) pour \(n\ge 1\).
2) Sur \(I=\left[\frac23 ; \frac45\right]\),
\[|f'(x)|=\frac{1}{(x+3)^2}\le \frac{1}{\left(\frac23+3\right)^2}=\frac{1}{\left(\frac{11}{3}\right)^2}=\frac{9}{121}<1.\]
Donc \(f\) est une contraction sur \(I\) : \((u_n)\) converge vers l’unique point fixe dans \(I\).
3) Point fixe :
\[L=\frac{L+2}{L+3}\Rightarrow L(L+3)=L+2\Rightarrow L^2+2L-2=0\Rightarrow L=-1\pm\sqrt3.\]
Comme \(u_n\in I\subset(0 ; 1)\), on retient
\[\boxed{L=\sqrt3-1}.\]
Réflexe Bac :
identifie l’intervalle stable, prouve la monotonie, puis conclue “croissante et majorée” / “décroissante et minorée”.
13
Itération AM-GM — convergence vers 1
#inégalité
#monotonie
#point fixe
\(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n^2+1}{2u_n}\).
1) Montrer \(u_n\ge 1\) et \(u_{n+1}\le u_n\).
2) En déduire la limite.
1) Montrer \(u_n\ge 1\) et \(u_{n+1}\le u_n\).
2) En déduire la limite.
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On écrit
\[u_{n+1}=\frac{u_n^2+1}{2u_n}=\frac12\left(u_n+\frac{1}{u_n}\right).\]
1) Par AM-GM, pour \(u_n>0\) : \(\frac12\left(u_n+\frac{1}{u_n}\right)\ge 1\), donc \(u_{n+1}\ge 1\) et \(u_n\ge 1\) (récurrence).
De plus
\[u_{n+1}-u_n=\frac{1-u_n^2}{2u_n}\le 0\quad(\text{car }u_n\ge 1).\]
Donc \((u_n)\) est décroissante et minorée par 1 \(\Rightarrow\) convergente.
2) Limite \(L\ge 1\) : \(L=\frac12\left(L+\frac1L\right)\Rightarrow L^2=1\Rightarrow \boxed{L=1}.\)
\[u_{n+1}=\frac{u_n^2+1}{2u_n}=\frac12\left(u_n+\frac{1}{u_n}\right).\]
1) Par AM-GM, pour \(u_n>0\) : \(\frac12\left(u_n+\frac{1}{u_n}\right)\ge 1\), donc \(u_{n+1}\ge 1\) et \(u_n\ge 1\) (récurrence).
De plus
\[u_{n+1}-u_n=\frac{1-u_n^2}{2u_n}\le 0\quad(\text{car }u_n\ge 1).\]
Donc \((u_n)\) est décroissante et minorée par 1 \(\Rightarrow\) convergente.
2) Limite \(L\ge 1\) : \(L=\frac12\left(L+\frac1L\right)\Rightarrow L^2=1\Rightarrow \boxed{L=1}.\)
Réflexe Bac :
identifie l’intervalle stable, prouve la monotonie, puis conclue “croissante et majorée” / “décroissante et minorée”.
14
Somme logarithmique télescopique — expression exacte
#log
#télescopage
#produit
On définit \(u_1=0\) et \(u_{n+1}=u_n+\ln\left(1+\frac1n\right)\).
1) Exprimer \(u_n\).
2) En déduire l’identité \(\sum_{k=1}^{n-1}\ln\left(1+\frac1k\right)=\ln(n)\).
1) Exprimer \(u_n\).
2) En déduire l’identité \(\sum_{k=1}^{n-1}\ln\left(1+\frac1k\right)=\ln(n)\).
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1) En sommant :
\[u_n=\sum_{k=1}^{n-1}\ln\left(1+\frac1k\right)=\sum_{k=1}^{n-1}\ln\left(\frac{k+1}{k}\right).\]
Donc
\[u_n=\ln\left(\prod_{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{k}\right)=\ln(n).\]
2) On a bien \(\sum_{k=1}^{n-1}\ln\left(1+\frac1k\right)=\ln(n)\).
\[u_n=\sum_{k=1}^{n-1}\ln\left(1+\frac1k\right)=\sum_{k=1}^{n-1}\ln\left(\frac{k+1}{k}\right).\]
Donc
\[u_n=\ln\left(\prod_{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{k}\right)=\ln(n).\]
2) On a bien \(\sum_{k=1}^{n-1}\ln\left(1+\frac1k\right)=\ln(n)\).
Réflexe Bac :
identifie l’intervalle stable, prouve la monotonie, puis conclue “croissante et majorée” / “décroissante et minorée”.
15
Suite classique : \((1+1/n)^n\) — croissance + majoration
#ln
#monotonie
#bornes
Soit \(u_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\).
1) Justifier que \((u_n)\) est croissante.
2) Justifier qu’elle est majorée.
3) Conclure (limite).
1) Justifier que \((u_n)\) est croissante.
2) Justifier qu’elle est majorée.
3) Conclure (limite).
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On pose \(a_n=\ln(u_n)=n\ln\left(1+\frac1n\right)\).
1) On montre que \((a_n)\) est croissante (classique) puis \(u_n=e^{a_n}\) est croissante.
2) Inégalité : pour \(x>-1\), \(\ln(1+x)\le x\). Avec \(x=\frac1n\) :
\[a_n=n\ln\left(1+\frac1n\right)\le n\cdot\frac1n=1\Rightarrow u_n\le e.\]
3) \((u_n)\) est croissante et majorée \(\Rightarrow\) convergente. Sa limite vaut \(e\).
\[\boxed{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e}.\]
1) On montre que \((a_n)\) est croissante (classique) puis \(u_n=e^{a_n}\) est croissante.
2) Inégalité : pour \(x>-1\), \(\ln(1+x)\le x\). Avec \(x=\frac1n\) :
\[a_n=n\ln\left(1+\frac1n\right)\le n\cdot\frac1n=1\Rightarrow u_n\le e.\]
3) \((u_n)\) est croissante et majorée \(\Rightarrow\) convergente. Sa limite vaut \(e\).
\[\boxed{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e}.\]
Réflexe Bac :
identifie l’intervalle stable, prouve la monotonie, puis conclue “croissante et majorée” / “décroissante et minorée”.
16
Somme \(\sum 1/k^2\) — convergence + reste par intégrale
#somme
#intégrale
#encadrement
Soit \(u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}\).
1) Montrer que \((u_n)\) converge.
2) Encadrer \(\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\) par une intégrale.
1) Montrer que \((u_n)\) converge.
2) Encadrer \(\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\) par une intégrale.
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1) \(u_n\) est croissante (termes positifs) et majorée (la série \(\sum \frac1{k^2}\) converge), donc \((u_n)\) converge.
2) Pour \(x\mapsto \frac1{x^2}\) décroissante sur \([1,+\infty)\) :
\[\int_{n+1}^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx\le \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\le \int_{n}^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx.\]
Or \(\int_{A}^{\infty}\frac{1}{x^2}dx=\frac{1}{A}\). Donc
\[\boxed{\frac{1}{n+1}\le \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{n}}.\]
2) Pour \(x\mapsto \frac1{x^2}\) décroissante sur \([1,+\infty)\) :
\[\int_{n+1}^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx\le \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\le \int_{n}^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx.\]
Or \(\int_{A}^{\infty}\frac{1}{x^2}dx=\frac{1}{A}\). Donc
\[\boxed{\frac{1}{n+1}\le \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{n}}.\]
Réflexe Bac :
identifie l’intervalle stable, prouve la monotonie, puis conclue “croissante et majorée” / “décroissante et minorée”.
17
Transformer en produit — vitesse en \(1/n\)
#changement de variable
#produit
#limite
\(u_0=0\) et \(u_{n+1}=u_n+\frac{3-u_n}{n+2}\).
1) Montrer que \(u_n\le 3\).
2) Donner \(u_n\).
3) Limite.
1) Montrer que \(u_n\le 3\).
2) Donner \(u_n\).
3) Limite.
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Poser \(v_n=3-u_n\).
Alors
\[v_{n+1}=3-u_{n+1}=3-u_n-\frac{3-u_n}{n+2}=\left(1-\frac{1}{n+2}\right)v_n=\frac{n+1}{n+2}v_n.\]
Comme \(v_0=3\), on a \(v_n\ge 0\) donc \(u_n\le 3\).
Produit :
\[v_n=3\prod_{k=0}^{n-1}\frac{k+1}{k+2}=3\cdot\frac{1}{n+1}=\frac{3}{n+1}.\]
Donc
\[\boxed{u_n=3-\frac{3}{n+1}}\quad\Rightarrow\quad u_n\to 3.\]
Alors
\[v_{n+1}=3-u_{n+1}=3-u_n-\frac{3-u_n}{n+2}=\left(1-\frac{1}{n+2}\right)v_n=\frac{n+1}{n+2}v_n.\]
Comme \(v_0=3\), on a \(v_n\ge 0\) donc \(u_n\le 3\).
Produit :
\[v_n=3\prod_{k=0}^{n-1}\frac{k+1}{k+2}=3\cdot\frac{1}{n+1}=\frac{3}{n+1}.\]
Donc
\[\boxed{u_n=3-\frac{3}{n+1}}\quad\Rightarrow\quad u_n\to 3.\]
Réflexe Bac :
identifie l’intervalle stable, prouve la monotonie, puis conclue “croissante et majorée” / “décroissante et minorée”.
18
Suite auxiliaire — géométrique cachée
#auxiliaire
#géométrique
#limite
\(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n+4}{u_n+1}\).
On pose \(v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+2}\).
1) Montrer que \(v_{n+1}=\frac13v_n\).
2) En déduire \(\lim u_n\).
On pose \(v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+2}\).
1) Montrer que \(v_{n+1}=\frac13v_n\).
2) En déduire \(\lim u_n\).
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Calcul algébrique :
\[v_{n+1}=\frac{u_{n+1}-2}{u_{n+1}+2}
=\frac{\frac{u_n+4}{u_n+1}-2}{\frac{u_n+4}{u_n+1}+2}
=\frac{\frac{u_n+4-2u_n-2}{u_n+1}}{\frac{u_n+4+2u_n+2}{u_n+1}}
=\frac{2-u_n}{3u_n+6}
=\frac13\cdot\frac{2-u_n}{u_n+2}
=\frac13\cdot\frac{u_n-2}{u_n+2}
=\frac13 v_n.\]
Donc \(v_n=v_0\left(\frac13\right)^n\to 0\).
Or \(v_n\to 0\iff \frac{u_n-2}{u_n+2}\to 0\iff u_n-2\to 0\) (car \(u_n+2\) reste \(>0\)).
Ainsi \(\boxed{u_n\to 2}.\)
\[v_{n+1}=\frac{u_{n+1}-2}{u_{n+1}+2}
=\frac{\frac{u_n+4}{u_n+1}-2}{\frac{u_n+4}{u_n+1}+2}
=\frac{\frac{u_n+4-2u_n-2}{u_n+1}}{\frac{u_n+4+2u_n+2}{u_n+1}}
=\frac{2-u_n}{3u_n+6}
=\frac13\cdot\frac{2-u_n}{u_n+2}
=\frac13\cdot\frac{u_n-2}{u_n+2}
=\frac13 v_n.\]
Donc \(v_n=v_0\left(\frac13\right)^n\to 0\).
Or \(v_n\to 0\iff \frac{u_n-2}{u_n+2}\to 0\iff u_n-2\to 0\) (car \(u_n+2\) reste \(>0\)).
Ainsi \(\boxed{u_n\to 2}.\)
Réflexe Bac :
identifie l’intervalle stable, prouve la monotonie, puis conclue “croissante et majorée” / “décroissante et minorée”.
19
Suites adjacentes — définition + limite commune
#adjacentes
#encadrement
#limite
On définit deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) par :
\[a_0=0,\quad b_0=2,\quad a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},\quad b_{n+1}=\sqrt{a_{n+1}b_n}.\]
1) Montrer que \(0\le a_n\le b_n\le 2\).
2) Montrer que \((a_n)\) est croissante et \((b_n)\) décroissante.
3) Montrer que \(b_n-a_n\to 0\).
4) Conclure sur la convergence et l’égalité des limites.
\[a_0=0,\quad b_0=2,\quad a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},\quad b_{n+1}=\sqrt{a_{n+1}b_n}.\]
1) Montrer que \(0\le a_n\le b_n\le 2\).
2) Montrer que \((a_n)\) est croissante et \((b_n)\) décroissante.
3) Montrer que \(b_n-a_n\to 0\).
4) Conclure sur la convergence et l’égalité des limites.
Correction détaillée Afficher / Masquer
1) On a \(a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\in[a_n;b_n]\) donc \(a_n\le a_{n+1}\le b_n\).
Et \(b_{n+1}=\sqrt{a_{n+1}b_n}\) avec \(0\le a_{n+1}\le b_n\) donc \(a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n\) (car \(\sqrt{a_{n+1}b_n}\le \sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n\)).
Donc par récurrence : \(0\le a_n\le b_n\le 2\).
2) Déjà vu : \(a_{n+1}\ge a_n\) donc \((a_n)\) croissante. Et \(b_{n+1}\le b_n\) donc \((b_n)\) décroissante.
3) Noter l’inégalité (AM-GM) : pour \(x,y\ge0\), \(\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}\). Ici :
\[b_{n+1}=\sqrt{a_{n+1}b_n}\le \frac{a_{n+1}+b_n}{2}.\]
Mais \(a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+b_{n+1}}{2}\), donc on peut montrer que l’écart se contracte (classique des suites adjacentes) et que \(b_n-a_n\to 0\).
4) \((a_n)\) croissante et majorée \(\Rightarrow\) converge. \((b_n)\) décroissante et minorée \(\Rightarrow\) converge.
Comme \(b_n-a_n\to 0\), leurs limites sont égales : \(\boxed{\lim a_n=\lim b_n}.\)
Et \(b_{n+1}=\sqrt{a_{n+1}b_n}\) avec \(0\le a_{n+1}\le b_n\) donc \(a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n\) (car \(\sqrt{a_{n+1}b_n}\le \sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n\)).
Donc par récurrence : \(0\le a_n\le b_n\le 2\).
2) Déjà vu : \(a_{n+1}\ge a_n\) donc \((a_n)\) croissante. Et \(b_{n+1}\le b_n\) donc \((b_n)\) décroissante.
3) Noter l’inégalité (AM-GM) : pour \(x,y\ge0\), \(\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}\). Ici :
\[b_{n+1}=\sqrt{a_{n+1}b_n}\le \frac{a_{n+1}+b_n}{2}.\]
Mais \(a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+b_{n+1}}{2}\), donc on peut montrer que l’écart se contracte (classique des suites adjacentes) et que \(b_n-a_n\to 0\).
4) \((a_n)\) croissante et majorée \(\Rightarrow\) converge. \((b_n)\) décroissante et minorée \(\Rightarrow\) converge.
Comme \(b_n-a_n\to 0\), leurs limites sont égales : \(\boxed{\lim a_n=\lim b_n}.\)
Réflexe Bac :
identifie l’intervalle stable, prouve la monotonie, puis conclue “croissante et majorée” / “décroissante et minorée”.
20
Récurrence + TAF — contraction explicite
#TAF
#contraction
#vitesse
Soit \(u_0\in[0 ; 1]\) et \(u_{n+1}=\cos(u_n)\).
1) Montrer que \(u_n\in[0 ; 1]\) pour tout \(n\).
2) Montrer que \((u_n)\) converge.
3) Justifier que la limite \(\ell\) vérifie \(\ell=\cos(\ell)\) et donner un encadrement simple de \(\ell\) à \(10^{-2}\) près.
1) Montrer que \(u_n\in[0 ; 1]\) pour tout \(n\).
2) Montrer que \((u_n)\) converge.
3) Justifier que la limite \(\ell\) vérifie \(\ell=\cos(\ell)\) et donner un encadrement simple de \(\ell\) à \(10^{-2}\) près.
Correction détaillée Afficher / Masquer
1) Sur \([0 ; 1]\), on a \(\cos(x)\in[\cos(1);1]\subset[0;1]\). Donc \([0 ; 1]\) est stable : par récurrence \(u_n\in[0 ; 1]\).
2) Sur \([0 ; 1]\), \(f(x)=\cos x\) est \(\mathcal{C}^1\) et \(|f'(x)|=|\sin x|\le \sin(1)<1\).
Donc \(f\) est une contraction sur \([0 ; 1]\). Alors \((u_n)\) converge vers l’unique point fixe \(\ell\in[0;1]\).
3) En passant à la limite : \(\ell=\cos(\ell)\).
Encadrement : poser \(g(x)=\cos x-x\). On a \(g(0)=1>0\) et \(g(1)=\cos(1)-1<0\) donc \(\ell\in(0 ; 1)\).
Pour une valeur à \(10^{-2}\) :
\(g(0{,}73)=\cos(0{,}73)-0{,}73\approx 0{,}745-0{,}73>0\),
\(g(0{,}74)=\cos(0{,}74)-0{,}74\approx 0{,}739-0{,}74<0\).
Donc \(\boxed{\ell\in[0{,}73 ; 0{,}74]}\) (et \(\ell\approx 0{,}739\)).
2) Sur \([0 ; 1]\), \(f(x)=\cos x\) est \(\mathcal{C}^1\) et \(|f'(x)|=|\sin x|\le \sin(1)<1\).
Donc \(f\) est une contraction sur \([0 ; 1]\). Alors \((u_n)\) converge vers l’unique point fixe \(\ell\in[0;1]\).
3) En passant à la limite : \(\ell=\cos(\ell)\).
Encadrement : poser \(g(x)=\cos x-x\). On a \(g(0)=1>0\) et \(g(1)=\cos(1)-1<0\) donc \(\ell\in(0 ; 1)\).
Pour une valeur à \(10^{-2}\) :
\(g(0{,}73)=\cos(0{,}73)-0{,}73\approx 0{,}745-0{,}73>0\),
\(g(0{,}74)=\cos(0{,}74)-0{,}74\approx 0{,}739-0{,}74<0\).
Donc \(\boxed{\ell\in[0{,}73 ; 0{,}74]}\) (et \(\ell\approx 0{,}739\)).
Réflexe Bac :
identifie l’intervalle stable, prouve la monotonie, puis conclue “croissante et majorée” / “décroissante et minorée”.
Mini-check (avant de passer au quiz)
- Sais-tu écrire “\(u_{n+1}-u_n\)” et factoriser proprement (souvent en \((u_n-\alpha)(u_n-\beta)\)) ?
- As-tu toujours un intervalle \(I=[a ; b]\) stable avant de parler de limite ?
- As-tu évité le piège “bornée \(\Rightarrow\) convergente” ?