Série solide et bien avancée : récurrence, intervalle stable, monotonie, convergence,
point fixe, suites auxiliaires, télescopage, encadrements fins, seuils avec logarithmes et algorithmes type Bac.
ObjectifRédaction type Bac avec justification complète.
NiveauTerminale Spé — solide à très avancé.
MéthodesRécurrence, stabilité, point fixe, seuil.
CorrectionIndice puis correction complète.
Situation
Méthode
Point de vigilance
Suite définie par récurrence
Montrer un intervalle stable, puis raisonner par récurrence.
Ne pas supposer la limite avant d’avoir prouvé la convergence.
Monotonie
Étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n\) ou de \(f(x)-x\).
Le signe doit être justifié sur l’intervalle où vivent les termes.
Convergence
Utiliser : croissante majorée ou décroissante minorée.
Une suite bornée seule n’est pas forcément convergente.
Seuil
Résoudre une inégalité avec logarithmes.
Changer le sens si on divise par un logarithme négatif.
Exercice 1
Récurrence affine — point fixe et vitesse
#classique Bac#point fixe#géométrique
Bien avancé
On considère la suite \((u_n)\) définie par
\[
u_0=8,\qquad u_{n+1}=0{,}7u_n+1{,}2.
\]
1) Déterminer le point fixe de la relation.
2) Poser \(v_n=u_n-L\) et montrer que \((v_n)\) est géométrique.
3) Donner l’expression de \(u_n\), puis calculer sa limite.
4) Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(|u_n-L|<10^{-2}\).
Indice
Le point fixe \(L\) vérifie \(L=0{,}7L+1{,}2\). Ensuite, calcule \(u_{n+1}-L\).
Correction détaillée
1) Le point fixe vérifie
\[
L=0{,}7L+1{,}2 \Longleftrightarrow 0{,}3L=1{,}2 \Longleftrightarrow L=4.
\]
2) Posons \(v_n=u_n-4\). Alors
\[
v_{n+1}=u_{n+1}-4=0{,}7u_n+1{,}2-4=0{,}7u_n-2{,}8=0{,}7(u_n-4)=0{,}7v_n.
\]
Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}7\), avec \(v_0=8-4=4\).
3) Ainsi
\[
v_n=4\cdot 0{,}7^n,
\qquad
\boxed{u_n=4+4\cdot 0{,}7^n}.
\]
Comme \(0{,}7^n\to0\), on obtient \(\boxed{u_n\to4}\).
4) On cherche
\[
|u_n-4|=4\cdot0{,}7^n<10^{-2}.
\]
Cela équivaut à \(0{,}7^n<0{,}0025\). Avec les logarithmes :
\[
n\ln(0{,}7)<\ln(0{,}0025).
\]
Comme \(\ln(0{,}7)<0\), le sens change :
\[
n>\frac{\ln(0{,}0025)}{\ln(0{,}7)}\approx16{,}79.
\]
Donc le plus petit entier est \(\boxed{17}\).
Réflexe Bac :
intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → équation de la limite.
Exercice 2
Intervalle stable puis convergence
#récurrence#stabilité#limite
Bien avancé
Soit \((u_n)\) définie par
\[
u_0=0,\qquad u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+4}.
\]
1) Montrer que \(0\le u_n\le1\) pour tout \(n\).
2) Montrer que \((u_n)\) est croissante.
3) En déduire que \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.
Indice
Étudie la fonction \(f(x)=\dfrac{2x+3}{x+4}\) sur \([0 ; 1]\), puis calcule \(u_{n+1}-u_n\).
Correction détaillée
On pose \(f(x)=\dfrac{2x+3}{x+4}\).
1) Sur \([0 ; 1]\),
\[
f'(x)=\frac{5}{(x+4)^2}>0,
\]
donc \(f\) est croissante. Ainsi
\[
f([0 ; 1])=[f(0);f(1)]=\left[\frac34;1\right]\subset[0 ; 1].
\]
Comme \(u_0=0\in[0 ; 1]\), par récurrence \(u_n\in[0 ; 1]\) pour tout \(n\).
2) On calcule :
\[
u_{n+1}-u_n=\frac{2u_n+3}{u_n+4}-u_n
=\frac{-u_n^2-2u_n+3}{u_n+4}
=\frac{(1-u_n)(u_n+3)}{u_n+4}.
\]
Or \(u_n\in[0 ; 1]\), donc \(1-u_n\ge0\), \(u_n+3>0\), \(u_n+4>0\). Donc \(u_{n+1}-u_n\ge0\).
La suite est croissante.
3) Elle est croissante et majorée par \(1\), donc convergente. Si \(u_n\to L\), alors
\[
L=\frac{2L+3}{L+4}
\Longleftrightarrow L^2+2L-3=0
\Longleftrightarrow (L-1)(L+3)=0.
\]
Comme \(L\in[0 ; 1]\), on retient \(\boxed{L=1}\).
Réflexe Bac :
intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → équation de la limite.
Exercice 3
Racine carrée — récurrence et point fixe
#racine#majoration#convergence
Bien avancé
On définit
\[
u_0=1,\qquad u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}.
\]
1) Montrer que \(1\le u_n\le2\) pour tout \(n\).
2) Montrer que \((u_n)\) est croissante.
3) Déterminer sa limite.
Indice
Pour la monotonie, compare \(\sqrt{2+x}\) et \(x\) sur \([1 ; 2]\). Élever au carré est autorisé car les deux membres sont positifs.
Correction détaillée
1) Si \(u_n\in[1 ; 2]\), alors
\[
u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\in[\sqrt3 ; 2]\subset[1 ; 2].
\]
Comme \(u_0=1\), par récurrence \(1\le u_n\le2\).
2) Pour \(x\in[1 ; 2]\), on veut montrer \(\sqrt{2+x}\ge x\). Les deux membres sont positifs, donc
\[
\sqrt{2+x}\ge x
\Longleftrightarrow 2+x\ge x^2
\Longleftrightarrow x^2-x-2\le0
\Longleftrightarrow (x-2)(x+1)\le0.
\]
Cette inégalité est vraie sur \([1 ; 2]\). Donc \(u_{n+1}\ge u_n\).
3) La suite est croissante et majorée par \(2\), donc convergente. Si \(u_n\to L\), alors
\[
L=\sqrt{2+L}
\Longleftrightarrow L^2-L-2=0
\Longleftrightarrow (L-2)(L+1)=0.
\]
Comme \(L\in[1 ; 2]\), \(\boxed{L=2}\).
Réflexe Bac :
intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → équation de la limite.
Exercice 4
Suite auxiliaire \(v_n=1/u_n\)
#changement de variable#expression explicite
Bien avancé
Soit
\[
u_0=\frac12,\qquad u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}.
\]
1) Montrer que \(0<u_n\le\frac12\).
2) Montrer que \((u_n)\) est décroissante.
3) Poser \(v_n=\dfrac1{u_n}\). Déterminer \(v_n\), puis \(u_n\).
4) Donner la limite de \((u_n)\).
Indice
Le bon changement de variable est \(v_n=\dfrac1{u_n}\), car l’inverse de \(\dfrac{u_n}{1+u_n}\) se simplifie très bien.
Correction détaillée
1) Si \(u_n>0\), alors \(u_{n+1}>0\). De plus
\[
u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}\le u_n.
\]
Comme \(u_0=\frac12\), on a \(0<u_n\le\frac12\).
2) L’inégalité précédente donne directement \(u_{n+1}\le u_n\). Donc \((u_n)\) est décroissante.
3) Posons \(v_n=\frac1{u_n}\). Alors
\[
v_{n+1}=\frac{1+u_n}{u_n}=\frac1{u_n}+1=v_n+1.
\]
Donc \((v_n)\) est arithmétique de raison \(1\), avec \(v_0=2\). Ainsi
\[
v_n=n+2,
\qquad
\boxed{u_n=\frac1{n+2}}.
\]
4) Donc \(\boxed{u_n\to0}\).
Réflexe Bac :
intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → équation de la limite.
Exercice 5
Télescopage avancé
#somme#télescopage#limite
Bien avancé
On définit \(u_0=1\) et
\[
u_{n+1}=u_n+\frac{2}{(n+1)(n+3)}.
\]
1) Décomposer \(\dfrac{2}{(n+1)(n+3)}\) sous la forme \(\dfrac{a}{n+1}+\dfrac{b}{n+3}\).
2) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
3) Déterminer \(\lim u_n\).
Indice
Écris
\[
\frac{2}{(n+1)(n+3)}=\frac1{n+1}-\frac1{n+3}.
\]
Puis somme de \(k=0\) à \(n-1\).
Correction détaillée
1) On a
\[
\frac1{n+1}-\frac1{n+3}
=\frac{n+3-(n+1)}{(n+1)(n+3)}
=\frac2{(n+1)(n+3)}.
\]
2) Donc
\[
u_n=1+\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac1{k+1}-\frac1{k+3}\right).
\]
La somme télescope :
\[
\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac1{k+1}-\frac1{k+3}\right)
=1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}.
\]
Ainsi
\[
\boxed{u_n=\frac52-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}}.
\]
3) Donc
\[
\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=\frac52}.
\]
Réflexe Bac :
intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → équation de la limite.
Exercice 6
Encadrement fin par rationalisation
#rationalisation#limite fine
Bien avancé
On pose
\[
u_n=\sqrt{n^2+n}-n.
\]
1) Montrer que \(0<u_n\le\dfrac12\).
2) Calculer la limite de \((u_n)\).
3) Déterminer un équivalent de \(\dfrac12-u_n\).
Indice
Rationalise \(\sqrt{n^2+n}-n\). Pour la question 3, utilise l’expression
\[
u_n=\frac1{\sqrt{1+\frac1n}+1}.
\]
Correction détaillée
1) On rationalise :
\[
u_n=\frac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}
=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}
=\frac1{\sqrt{1+\frac1n}+1}.
\]
Donc \(u_n>0\). De plus \(\sqrt{1+\frac1n}\ge1\), donc
\[
u_n\le\frac12.
\]
2) Comme \(\sqrt{1+\frac1n}\to1\),
\[
\boxed{u_n\to\frac12}.
\]
3) On écrit
\[
\frac12-u_n
=\frac12-\frac1{\sqrt{1+\frac1n}+1}
=\frac{\sqrt{1+\frac1n}-1}{2\left(\sqrt{1+\frac1n}+1\right)}.
\]
Or
\[
\sqrt{1+\frac1n}-1
=\frac{\frac1n}{\sqrt{1+\frac1n}+1}\sim\frac1{2n}.
\]
Donc
\[
\frac12-u_n\sim\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2n}\cdot\frac12=\boxed{\frac1{8n}}.
\]
Réflexe Bac :
intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → équation de la limite.
Exercice 7
Paramètre — étude complète selon \(a\)
#paramètre#cas limites#suite affine
Bien avancé
On définit, pour un réel \(a\),
\[
u_0=0,\qquad u_{n+1}=a u_n+(1-a).
\]
1) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) et de \(a\).
2) Étudier la convergence de \((u_n)\) selon les valeurs de \(a\).
Indice
Le point fixe naturel est \(1\). Pose \(v_n=u_n-1\).
Correction détaillée
1) Posons \(v_n=u_n-1\). Alors
\[
v_{n+1}=u_{n+1}-1=a u_n+(1-a)-1=a(u_n-1)=av_n.
\]
Comme \(v_0=-1\), on obtient
\[
v_n=-a^n,
\qquad
\boxed{u_n=1-a^n}.
\]
2) Si \(|a|<1\), alors \(a^n\to0\), donc \(\boxed{u_n\to1}\).
Si \(a=1\), alors \(u_n=0\) pour tout \(n\), donc \(u_n\to0\).
Si \(a=-1\), alors \(u_n=1-(-1)^n\), donc la suite oscille entre \(0\) et \(2\) : elle ne converge pas.
Si \(|a|>1\), alors \(|a^n|\to+\infty\). La suite diverge.
Réflexe Bac :
intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → équation de la limite.
Exercice 8
Suite logistique — convergence vers 1
#invariance#monotonie#point fixe
Bien avancé
Soit
\[
u_0=\frac12,\qquad u_{n+1}=u_n(2-u_n).
\]
1) Montrer que \(0<u_n\le1\) pour tout \(n\).
2) Montrer que \((u_n)\) est croissante.
3) Déterminer sa limite.
Indice
Remarque que \(u(2-u)=1-(u-1)^2\). Cette forme donne directement une majoration par \(1\).
Correction détaillée
1) Si \(u\in(0 ; 1]\), alors
\[
u(2-u)>0
\]
et
\[
u(2-u)=1-(u-1)^2\le1.
\]
Donc \((0 ; 1]\) est stable. Comme \(u_0=\frac12\), on a \(0<u_n\le1\).
2) On calcule
\[
u_{n+1}-u_n=u_n(2-u_n)-u_n=u_n(1-u_n)\ge0.
\]
Donc \((u_n)\) est croissante.
3) Elle est croissante et majorée par \(1\), donc convergente. Si \(u_n\to L\), alors
\[
L=L(2-L)
\Longleftrightarrow L(1-L)=0.
\]
Donc \(L\in\{0;1\}\). Comme \(u_n\ge u_0=\frac12\), on ne peut pas avoir \(L=0\). Donc
\[
\boxed{L=1}.
\]
Réflexe Bac :
intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → équation de la limite.
Exercice 9
Fraction rationnelle — point fixe irrationnel
#intervalle stable#contraction#irrationnel
Bien avancé
Soit \(u_0\in[0 ; 2]\) et
\[
u_{n+1}=\frac{u_n+2}{u_n+3}.
\]
1) Montrer que \(u_n\in\left[\dfrac23 ; \dfrac45\right]\) pour tout \(n\ge1\).
2) Montrer que la suite converge.
3) Déterminer sa limite.
Indice
La fonction \(f(x)=\dfrac{x+2}{x+3}\) est croissante. Pour la convergence, tu peux utiliser que \(|f'(x)|\le q<1\) sur l’intervalle stable.
Correction détaillée
On pose \(f(x)=\dfrac{x+2}{x+3}\).
1) Comme
\[
f'(x)=\frac1{(x+3)^2}>0,
\]
\(f\) est croissante. Donc, pour \(u_0\in[0 ; 2]\),
\[
u_1=f(u_0)\in[f(0);f(2)]=\left[\frac23;\frac45\right].
\]
Puis on vérifie que
\[
f\left(\left[\frac23;\frac45\right]\right)
=\left[\frac{8}{11};\frac{14}{19}\right]
\subset\left[\frac23;\frac45\right].
\]
Donc \(u_n\in\left[\frac23;\frac45\right]\) pour \(n\ge1\).
2) Sur cet intervalle,
\[
|f'(x)|=\frac1{(x+3)^2}\le \frac1{(\frac23+3)^2}=\frac9{121}<1.
\]
Donc deux termes successifs se rapprochent du point fixe : la suite converge vers l’unique point fixe de \(f\) dans l’intervalle.
3) La limite \(L\) vérifie
\[
L=\frac{L+2}{L+3}
\Longleftrightarrow L^2+2L-2=0.
\]
Donc
\[
L=-1\pm\sqrt3.
\]
Comme \(L>0\),
\[
\boxed{L=\sqrt3-1}.
\]
Réflexe Bac :
intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → équation de la limite.
Exercice 10
Newton pour \(\sqrt2\)
#algorithme#racine carrée#convergence rapide
Bien avancé
On définit
\[
u_0=2,
\qquad
u_{n+1}=\frac12\left(u_n+\frac2{u_n}\right).
\]
1) Montrer que \(u_n\ge\sqrt2\) pour tout \(n\).
2) Montrer que \((u_n)\) est décroissante.
3) En déduire sa limite.
4) Montrer que l’erreur vérifie
\[
u_{n+1}-\sqrt2=\frac{(u_n-\sqrt2)^2}{2u_n}.
\]
Indice
Pour la question 1, utilise \(a+\dfrac2a\ge2\sqrt2\) pour \(a>0\). Pour la question 2, calcule \(u_{n+1}-u_n\).
Correction détaillée
1) Si \(u_n>0\), alors par l’inégalité AM-GM :
\[
\frac12\left(u_n+\frac2{u_n}\right)\ge\sqrt{u_n\cdot\frac2{u_n}}=\sqrt2.
\]
Donc \(u_{n+1}\ge\sqrt2\). Comme \(u_0=2\ge\sqrt2\), on a \(u_n\ge\sqrt2\) pour tout \(n\).
2) On calcule :
\[
u_{n+1}-u_n=\frac12\left(u_n+\frac2{u_n}\right)-u_n
=\frac{2-u_n^2}{2u_n}.
\]
Comme \(u_n\ge\sqrt2\), on a \(u_n^2\ge2\), donc \(u_{n+1}-u_n\le0\). La suite est décroissante.
3) Elle est décroissante et minorée par \(\sqrt2\), donc convergente. Si \(u_n\to L\), avec \(L>0\), alors
\[
L=\frac12\left(L+\frac2L\right)
\Longleftrightarrow 2L=L+\frac2L
\Longleftrightarrow L^2=2.
\]
Comme \(L>0\), \(\boxed{L=\sqrt2}\).
4) On calcule :
\[
u_{n+1}-\sqrt2
=\frac12\left(u_n+\frac2{u_n}\right)-\sqrt2
=\frac{u_n^2+2-2\sqrt2 u_n}{2u_n}
=\boxed{\frac{(u_n-\sqrt2)^2}{2u_n}}.
\]
Cela explique la convergence très rapide.
Réflexe Bac :
intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → équation de la limite.
Exercice 11
Suite auxiliaire homographique — correction du piège de signe
#homographique#auxiliaire#géométrique
Bien avancé
On définit
\[
u_0=3,
\qquad
u_{n+1}=\frac{u_n+4}{u_n+1}.
\]
On pose
\[
v_n=\frac{u_n-2}{u_n+2}.
\]
1) Montrer que \(v_{n+1}=-\dfrac13v_n\).
2) En déduire \(v_n\), puis la limite de \((u_n)\).
Indice
Attention : le signe est négatif. Dans le numérateur, \(u_{n+1}-2=\dfrac{2-u_n}{u_n+1}\).
Correction détaillée
1) On calcule :
\[
v_{n+1}=\frac{u_{n+1}-2}{u_{n+1}+2}
=\frac{\frac{u_n+4}{u_n+1}-2}{\frac{u_n+4}{u_n+1}+2}.
\]
Donc
\[
v_{n+1}
=\frac{u_n+4-2u_n-2}{u_n+4+2u_n+2}
=\frac{2-u_n}{3u_n+6}
=-\frac13\cdot\frac{u_n-2}{u_n+2}
=\boxed{-\frac13v_n}.
\]
2) Comme \(v_0=\dfrac{3-2}{3+2}=\dfrac15\),
\[
\boxed{v_n=\frac15\left(-\frac13\right)^n}.
\]
Donc \(v_n\to0\). Or
\[
v_n=\frac{u_n-2}{u_n+2}\to0.
\]
Comme \(u_n+2\) ne tend pas vers \(0\), on obtient
\[
\boxed{u_n\to2}.
\]
Réflexe Bac :
intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → équation de la limite.
Exercice 12
Suites adjacentes — encadrement d’une limite
#adjacentes#encadrement#preuve
Bien avancé
On considère deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) telles que
\[
a_0=1,
\qquad
b_0=3,
\qquad
a_{n+1}=\frac{2a_n+b_n}{3},
\qquad
b_{n+1}=\frac{a_n+2b_n}{3}.
\]
1) Montrer que \(a_n\le b_n\) pour tout \(n\).
2) Étudier les variations de \((a_n)\) et \((b_n)\).
3) Montrer que \(b_n-a_n\to0\).
4) En déduire que les deux suites convergent vers la même limite, puis la déterminer.
Indice
Calcule d’abord \(b_{n+1}-a_{n+1}\). Ensuite cherche une quantité conservée : \(a_{n+1}+b_{n+1}\).
Correction détaillée
1) On calcule :
\[
b_{n+1}-a_{n+1}
=\frac{a_n+2b_n}{3}-\frac{2a_n+b_n}{3}
=\frac{b_n-a_n}{3}.
\]
Comme \(b_0-a_0=2>0\), on a par récurrence \(b_n-a_n\ge0\), donc \(a_n\le b_n\).
2) Pour \((a_n)\) :
\[
a_{n+1}-a_n=\frac{2a_n+b_n}{3}-a_n=\frac{b_n-a_n}{3}\ge0.
\]
Donc \((a_n)\) est croissante.
Pour \((b_n)\) :
\[
b_{n+1}-b_n=\frac{a_n+2b_n}{3}-b_n=\frac{a_n-b_n}{3}\le0.
\]
Donc \((b_n)\) est décroissante.
3) On a
\[
b_{n+1}-a_{n+1}=\frac13(b_n-a_n).
\]
Donc
\[
b_n-a_n=\left(\frac13\right)^n(b_0-a_0)=2\left(\frac13\right)^n\to0.
\]
4) Les suites sont adjacentes, donc elles convergent vers une même limite \(\ell\). De plus
\[
a_{n+1}+b_{n+1}
=\frac{2a_n+b_n+a_n+2b_n}{3}=a_n+b_n.
\]
La somme est constante : \(a_n+b_n=a_0+b_0=4\). En passant à la limite :
\[
\ell+\ell=4 \Longleftrightarrow \boxed{\ell=2}.
\]
Réflexe Bac :
intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → équation de la limite.
Exercice 13
Seuil algorithmique — suite récurrente
#algorithme#seuil#Bac
Bien avancé
Soit
\[
u_0=50,
\qquad
u_{n+1}=0{,}82u_n+9.
\]
1) Montrer que \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.
2) Donner une expression explicite de \(u_n\).
3) Écrire un algorithme en Python qui renvoie le premier entier \(n\) tel que \(|u_n-L|<0{,}1\).
4) Déterminer ce rang par le calcul.
Indice
Le point fixe est \(L=50\). Ici, le choix \(u_0=50\) donne un cas particulier : vérifie bien avant de calculer.
Correction détaillée
1) Le point fixe vérifie
\[
L=0{,}82L+9
\Longleftrightarrow 0{,}18L=9
\Longleftrightarrow L=50.
\]
Comme \(u_0=50\), on obtient directement \(u_n=50\) pour tout \(n\). Donc la suite converge vers \(\boxed{50}\).
2) En posant \(v_n=u_n-50\), on a
\[
v_{n+1}=0{,}82v_n.
\]
Or \(v_0=0\), donc \(v_n=0\) et \(\boxed{u_n=50}\).
4) Comme \(|u_0-50|=0<0{,}1\), le premier rang est \(\boxed{n=0}\).
Réflexe Bac :
intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → équation de la limite.
Exercice 14
Seuil non trivial — même modèle
#algorithme#logarithme#seuil
Bien avancé
On définit
\[
u_0=20,
\qquad
u_{n+1}=0{,}82u_n+9.
\]
1) Déterminer la limite \(L\).
2) Donner \(u_n\) en fonction de \(n\).
3) Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(|u_n-L|<0{,}1\).
Indice
Reprends la même méthode que dans l’exercice précédent, mais cette fois \(u_0\ne L\).
Correction détaillée
1) Le point fixe est
\[
L=0{,}82L+9
\Longleftrightarrow L=50.
\]
2) Posons \(v_n=u_n-50\). Alors
\[
v_{n+1}=0{,}82v_n,
\qquad
v_0=20-50=-30.
\]
Donc
\[
\boxed{u_n=50-30\cdot0{,}82^n}.
\]
3) On cherche
\[
|u_n-50|=30\cdot0{,}82^n<0{,}1.
\]
Donc
\[
0{,}82^n<\frac1{300}.
\]
Avec les logarithmes :
\[
n\ln(0{,}82)<\ln\left(\frac1{300}\right).
\]
Comme \(\ln(0{,}82)<0\),
\[
n>\frac{\ln(1/300)}{\ln(0{,}82)}\approx28{,}74.
\]
Donc le plus petit entier est \(\boxed{29}\).
Réflexe Bac :
intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → équation de la limite.
Exercice 15
Monotonie difficile par factorisation
#factorisation#point fixe#Bac avancé
Bien avancé
On considère
\[
u_0=\frac12,
\qquad
u_{n+1}=\frac{3u_n+2}{u_n+4}.
\]
1) Montrer que \(\frac12\le u_n\le1\).
2) Étudier la monotonie.
3) Déterminer la limite.
Indice
Calcule \(u_{n+1}-u_n\), puis factorise le numérateur. Le point fixe positif attendu est \(1\).
Correction détaillée
On pose \(f(x)=\dfrac{3x+2}{x+4}\).
1) On a
\[
f'(x)=\frac{10}{(x+4)^2}>0,
\]
donc \(f\) est croissante. Sur \([\frac12 ; 1]\),
\[
f\left(\frac12\right)=\frac{\frac32+2}{\frac12+4}=\frac{7/2}{9/2}=\frac79,
\qquad
f(1)=1.
\]
Donc
\[
f\left([\frac12 ; 1]\right)=\left[\frac79 ; 1\right]\subset\left[\frac12 ; 1\right].
\]
Par récurrence, \(\frac12\le u_n\le1\).
2) On calcule :
\[
u_{n+1}-u_n=\frac{3u_n+2}{u_n+4}-u_n
=\frac{-u_n^2-u_n+2}{u_n+4}
=\frac{(1-u_n)(u_n+2)}{u_n+4}.
\]
Comme \(u_n\in[\frac12 ; 1]\), cette quantité est positive. Donc \((u_n)\) est croissante.
3) Croissante et majorée par \(1\), elle converge. Sa limite \(L\) vérifie
\[
L=\frac{3L+2}{L+4}
\Longleftrightarrow L^2+L-2=0
\Longleftrightarrow (L-1)(L+2)=0.
\]
Comme \(L\in[\frac12 ;1]\),
\[
\boxed{L=1}.
\]
Réflexe Bac :
intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → équation de la limite.
Exercice 16
Inégalité de Bernoulli et suite puissance
#Bernoulli#encadrement#limite
Bien avancé
Soit
\[
u_n=\left(1+\frac{2}{n}\right)^n.
\]
1) Montrer que \((u_n)\) est bornée.
2) Déterminer sa limite.
3) Donner une justification propre en utilisant le logarithme.
Indice
Travaille avec \(\ln(u_n)=n\ln\left(1+\frac2n\right)\). Utilise le résultat classique \(\ln(1+x)\sim x\) quand \(x\to0\).
Correction détaillée
On pose
\[
a_n=\ln(u_n)=n\ln\left(1+\frac2n\right).
\]
Comme \(\frac2n\to0\) et \(\ln(1+x)\sim x\) quand \(x\to0\), on obtient
\[
\ln\left(1+\frac2n\right)\sim\frac2n.
\]
Donc
\[
a_n=n\ln\left(1+\frac2n\right)\to2.
\]
Par continuité de l’exponentielle :
\[
\boxed{u_n\to e^2}.
\]
La convergence implique que la suite est bornée à partir d’un certain rang ; les premiers termes étant en nombre fini, \((u_n)\) est bornée.
Réflexe Bac :
intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → équation de la limite.
Exercice 17
Suite définie avec somme — moyenne de Cesàro simple
#somme#encadrement#moyenne
Bien avancé
On pose
\[
u_n=\frac1n\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n+k}.
\]
1) Montrer que pour tout \(k\in\{1;\ldots;n\}\),
\[
\frac{k}{2n}\le \frac{k}{n+k}\le\frac{k}{n}.
\]
2) En déduire un encadrement de \(u_n\).
3) Peut-on déterminer exactement la limite avec cet encadrement ?
Indice
Utilise \(n+k\le2n\) et \(n+k\ge n\). Puis somme les inégalités.
Correction détaillée
1) Comme \(1\le k\le n\), on a
\[
n\le n+k\le2n.
\]
En divisant \(k>0\) par ces quantités, on obtient
\[
\frac{k}{2n}\le\frac{k}{n+k}\le\frac{k}{n}.
\]
2) En sommant :
\[
\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2n}
\le
\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n+k}
\le
\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n}.
\]
Or \(\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2\). Donc
\[
\frac{n(n+1)}{4n}
\le
\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n+k}
\le
\frac{n(n+1)}{2n}.
\]
En divisant par \(n\) :
\[
\boxed{\frac{n+1}{4n}\le u_n\le\frac{n+1}{2n}}.
\]
3) L’encadrement donne
\[
\frac14\le \liminf u_n\le \limsup u_n\le\frac12.
\]
Il ne suffit pas pour donner exactement la limite. Il faut une méthode plus fine, par somme de Riemann, hors de cet exercice.
Réflexe Bac :
intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → équation de la limite.
Exercice 18
Suite implicite par encadrement
#encadrement#gendarmes#limite
Bien avancé
On suppose que \((u_n)\) vérifie, pour tout \(n\ge1\),
\[
2-\frac3n\le u_n\le2+\frac{5}{\sqrt n}.
\]
1) Montrer que \((u_n)\) converge.
2) Donner sa limite.
3) À partir de quel rang est-on sûr que \(|u_n-2|\le0{,}01\) ?
Indice
Utilise le théorème des gendarmes. Pour la question 3, contrôle séparément les deux côtés.
Correction détaillée
1) On a
\[
2-\frac3n\to2,
\qquad
2+\frac5{\sqrt n}\to2.
\]
Par le théorème des gendarmes,
\[
\boxed{u_n\to2}.
\]
2) La limite est donc \(\boxed{2}\).
3) Pour garantir \(|u_n-2|\le0{,}01\), il suffit d’avoir
\[
\frac3n\le0{,}01
\quad\text{et}\quad
\frac5{\sqrt n}\le0{,}01.
\]
La première donne \(n\ge300\). La deuxième donne
\[
\sqrt n\ge500 \Longleftrightarrow n\ge250000.
\]
Donc à partir du rang \(\boxed{250000}\), on est sûr que \(|u_n-2|\le0{,}01\).
Réflexe Bac :
intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → équation de la limite.
Exercice 19
Suite avec produit télescopique
#produit#télescopage#limite
Bien avancé
On définit
\[
u_n=\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac1k\right).
\]
1) Écrire les premiers facteurs.
2) Simplifier le produit.
3) Donner la limite de \((u_n)\).
Indice
Remplace \(1+\frac1k\) par \(\frac{k+1}{k}\).
Correction détaillée
On a
\[
1+\frac1k=\frac{k+1}{k}.
\]
Donc
\[
u_n=\prod_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k}
=\frac21\cdot\frac32\cdot\frac43\cdots\frac{n+1}{n}.
\]
Tous les facteurs intermédiaires se simplifient :
\[
\boxed{u_n=n+1}.
\]
Donc
\[
\boxed{u_n\to+\infty}.
\]
Réflexe Bac :
intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → équation de la limite.
Exercice 20
Récurrence avec valeur absolue — stabilité
#valeur absolue#stabilité#limite
Bien avancé
Soit
\[
u_0\in[-1 ; 1],
\qquad
u_{n+1}=\frac{|u_n|+u_n^2}{3}.
\]
1) Montrer que \(u_n\in[0 ; 1]\) pour tout \(n\ge1\).
2) Montrer que \(u_{n+1}\le\dfrac23u_n\) pour \(n\ge1\).
3) En déduire la limite.
Indice
À partir du rang 1, les termes sont positifs. Sur \([0 ; 1]\), on a \(u_n^2\le u_n\).
Correction détaillée
1) Pour tout réel \(x\), \(|x|+x^2\ge0\). Donc \(u_1\ge0\).
Si \(u_n\in[0 ; 1]\), alors
\[
u_{n+1}=\frac{u_n+u_n^2}{3}\ge0
\]
et comme \(u_n^2\le1\),
\[
u_{n+1}\le\frac{1+1}{3}=\frac23\le1.
\]
Donc \(u_n\in[0 ; 1]\) pour tout \(n\ge1\).
2) Pour \(n\ge1\), \(u_n\in[0 ; 1]\), donc \(u_n^2\le u_n\). Ainsi
\[
u_{n+1}=\frac{u_n+u_n^2}{3}\le\frac{2u_n}{3}.
\]
3) Par récurrence,
\[
0\le u_n\le u_1\left(\frac23\right)^{n-1}.
\]
Le membre de droite tend vers \(0\), donc par encadrement :
\[
\boxed{u_n\to0}.
\]
Réflexe Bac :
intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → équation de la limite.
Exercice 21
Étude complète avec fonction auxiliaire
#fonction#TAF#convergence
Bien avancé
On considère
\[
u_0\in[0 ; 1],
\qquad
u_{n+1}=\cos(u_n).
\]
1) Montrer que \(u_n\in[0 ; 1]\) pour tout \(n\).
2) Montrer qu’il existe une unique solution \(\ell\in[0 ; 1]\) de \(x=\cos x\).
3) Justifier que \((u_n)\) converge vers \(\ell\).
4) Donner un encadrement de \(\ell\) à \(10^{-2}\) près.
Indice
Pour l’unicité, pose \(g(x)=\cos x-x\). Pour la convergence, utilise \(|\cos a-\cos b|\le \sin(1)|a-b|\) sur \([0 ; 1]\).
Correction détaillée
1) Si \(x\in[0 ; 1]\), alors \(\cos x\in[\cos1 ; 1]\subset[0 ; 1]\). Donc \([0 ; 1]\) est stable.
2) Posons \(g(x)=\cos x-x\). Alors
\[
g'(x)=-\sin x-1<0
\]
sur \([0 ; 1]\). Donc \(g\) est strictement décroissante. De plus
\[
g(0)=1>0,
\qquad
g(1)=\cos1-1<0.
\]
Par le théorème des valeurs intermédiaires et la stricte décroissance, il existe une unique solution \(\ell\in[0 ; 1]\).
3) Sur \([0 ; 1]\), par le théorème des accroissements finis,
\[
|\cos a-\cos b|\le \sin(1)|a-b|,
\]
et \(\sin(1)<1\). Donc l’itération est contractante : les termes se rapprochent de l’unique point fixe. Ainsi \((u_n)\) converge vers \(\ell\).
4) On calcule :
\[
g(0{,}73)=\cos(0{,}73)-0{,}73>0,
\qquad
g(0{,}74)=\cos(0{,}74)-0{,}74<0.
\]
Donc
\[
\boxed{\ell\in[0{,}73 ; 0{,}74]}.
\]
Réflexe Bac :
intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → équation de la limite.
Exercice 22
Exercice synthèse type Bac
#synthèse#récurrence#limite#seuil
Bien avancé
On définit
\[
u_0=0,
\qquad
u_{n+1}=\frac{2+3u_n}{5}.
\]
1) Montrer que \(0\le u_n\le1\) pour tout \(n\).
2) Montrer que \((u_n)\) est croissante.
3) Déterminer la limite \(L\).
4) Montrer que
\[
|u_{n+1}-L|\le \frac35|u_n-L|.
\]
5) En déduire une majoration de \(|u_n-L|\), puis déterminer un rang à partir duquel \(|u_n-L|<10^{-3}\).
Indice
Le point fixe est \(1\). Pour la stabilité, vérifie que \(f([0 ; 1])\subset[0 ; 1]\), avec \(f(x)=\dfrac{2+3x}{5}\).
Correction détaillée
On pose
\[
f(x)=\frac{2+3x}{5}.
\]
1) Si \(x\in[0 ; 1]\), alors
\[
f(x)\in\left[\frac25 ; 1\right]\subset[0 ; 1].
\]
Comme \(u_0=0\in[0 ; 1]\), par récurrence :
\[
\boxed{0\le u_n\le1}.
\]
2) On calcule :
\[
u_{n+1}-u_n=\frac{2+3u_n}{5}-u_n=\frac{2-2u_n}{5}=\frac25(1-u_n).
\]
Comme \(u_n\le1\), on a \(u_{n+1}-u_n\ge0\). Donc \((u_n)\) est croissante.
3) La suite est croissante et majorée par \(1\), donc elle converge. Si \(u_n\to L\), alors
\[
L=\frac{2+3L}{5}
\Longleftrightarrow 5L=2+3L
\Longleftrightarrow L=1.
\]
Donc \(\boxed{L=1}\).
4) On a
\[
|u_{n+1}-1|
=\left|\frac{2+3u_n}{5}-1\right|
=\frac35|u_n-1|.
\]
Donc
\[
\boxed{|u_{n+1}-L|\le\frac35|u_n-L|}.
\]
5) Par récurrence,
\[
|u_n-1|\le\left(\frac35\right)^n|u_0-1|=\left(\frac35\right)^n.
\]
On veut
\[
\left(\frac35\right)^n<10^{-3}.
\]
Avec les logarithmes :
\[
n\ln\left(\frac35\right)<\ln(10^{-3}).
\]
Comme \(\ln\left(\frac35\right)<0\),
\[
n>\frac{\ln(10^{-3})}{\ln(3/5)}\approx13{,}52.
\]
Donc à partir du rang \(\boxed{14}\), on a \(|u_n-1|<10^{-3}\).
Réflexe Bac :
intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → équation de la limite.
Checklist finale : savoir initialiser une récurrence, prouver l’hérédité,
justifier un intervalle stable, étudier la monotonie, conclure la convergence, puis seulement résoudre
l’équation du point fixe. Pour un seuil, utiliser les logarithmes avec attention au signe.