Suites Numeriques Et Recurrence
TERMINALE-SPE • MATHS — Learna
📘 Cours 🧠 Fiche ✏️ Exercices ⚡ Quiz
← Retour à la classe Terminale Spé ↗ Voir tous les chapitres de maths
Suivez votre progression
Connectez-vous pour enregistrer votre progression et vos tentatives de quiz.
Login Register
Fiche ultra-synthèse — Suites numériques et récurrence
Terminale Spécialité Maths • Suites explicites • suites récurrentes • récurrence • limites • convergence • méthodes Bac.
Essentiel Méthodes Suites usuelles Limites Seuil Pièges Mini-tests Checklist
Essentiel — à savoir par cœur
1 Suite explicite / suite récurrente
Suite explicite : le terme général est donné directement en fonction de l’indice. \[ u_n=f(n) \] Suite récurrente : chaque terme dépend d’un ou plusieurs termes précédents. \[ u_{n+1}=f(u_n) \]
Exemple explicite : \[ u_n=\frac{2n+1}{n+3}. \] Exemple récurrent : \[ u_0=10, \qquad u_{n+1}=\frac{u_n+2}{3}. \]
Pour une suite récurrente, on ne résout pas directement une équation de limite sans avoir d’abord prouvé la convergence.
2 Convergence
Situation Conclusion
\((u_n)\) est croissante et majorée. \((u_n)\) converge.
\((u_n)\) est décroissante et minorée. \((u_n)\) converge.
\(v_n\leq u_n\leq w_n\), avec \(v_n\to\ell\) et \(w_n\to\ell\). \(u_n\to\ell\).
\(u_{2n}\to\ell\) et \(u_{2n+1}\to\ell\). \(u_n\to\ell\).
Faux : « bornée donc convergente ». Exemple : \((-1)^n\) est bornée mais ne converge pas.
3 Point fixe
Si \((u_n)\) converge vers \(L\), si \(u_{n+1}=f(u_n)\), et si \(f\) est continue sur l’intervalle étudié, alors : \[ L=f(L). \]
On utilise ensuite l’intervalle stable pour choisir la bonne solution. Par exemple, si \(u_n\in[1 ; 2]\), alors la limite appartient aussi à \([1 ; 2]\).
4 Télescopage
Si : \[ u_{n+1}-u_n=a_n, \] alors : \[ u_n=u_0+\sum_{k=0}^{n-1}a_k. \]
Décomposition classique : \[ \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}. \]
Méthodes Bac — procédures rapides
A Étudier les variations
  1. Calculer \(u_{n+1}-u_n\).
  2. Factoriser ou simplifier.
  3. Étudier le signe.
  4. Conclure : croissante, décroissante ou constante.
Si \(u_{n+1}-u_n\geq0\), alors \((u_n)\) est croissante. Si \(u_{n+1}-u_n\leq0\), alors \((u_n)\) est décroissante.
B Montrer un intervalle stable
Étape Ce qu’on montre
1 \(u_0\in[a ; b]\)
2 Si \(x\in[a ; b]\), alors \(f(x)\in[a ; b]\).
3 Par récurrence, \(u_n\in[a ; b]\) pour tout \(n\).
C’est souvent la première étape dans les exercices de type : \[ u_{n+1}=f(u_n). \]
C Étudier \(u_{n+1}=f(u_n)\)
  1. Identifier la fonction \(f\).
  2. Trouver un intervalle stable \(I\).
  3. Montrer par récurrence que \(u_n\in I\).
  4. Étudier le signe de \(f(x)-x\) sur \(I\).
  5. Conclure sur la monotonie.
  6. Utiliser le théorème des suites monotones bornées.
  7. Enfin seulement, résoudre \(L=f(L)\).
D Suite \(u_{n+1}=au_n+b\)
  1. Si \(a=1\), la suite est arithmétique : \(u_{n+1}=u_n+b\).
  2. Si \(a\neq1\), chercher le point fixe \(L\) :
\[ L=aL+b \quad\Longleftrightarrow\quad L=\frac{b}{1-a}. \]
  1. Poser \(v_n=u_n-L\).
  2. Alors \(v_{n+1}=av_n\), donc \((v_n)\) est géométrique.
Formule finale : \[ u_n=L+(u_0-L)a^n. \]
Suites usuelles — formules indispensables
1 Suite arithmétique
Définition : \[ u_{n+1}=u_n+r. \] Le réel \(r\) est la raison.
Formules : \[ u_n=u_0+nr, \qquad u_n=u_p+(n-p)r. \]
Somme : \[ \sum_{k=0}^{n}u_k = \frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}. \]
Si \(r>0\), la suite est croissante et tend vers \(+\infty\).
Si \(r=0\), elle est constante.
Si \(r<0\), elle est décroissante et tend vers \(-\infty\).
2 Suite géométrique
Définition : \[ u_{n+1}=qu_n. \] Le réel \(q\) est la raison.
Formules : \[ u_n=u_0q^n, \qquad u_n=u_pq^{n-p}. \]
Sommes : \[ 1+q+\cdots+q^n= \begin{cases} \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q} & \text{si } q\neq1,\\[6pt] n+1 & \text{si } q=1. \end{cases} \] \[ u_0+u_1+\cdots+u_n= \begin{cases} u_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q} & \text{si } q\neq1,\\[6pt] (n+1)u_0 & \text{si } q=1. \end{cases} \]
Limites — réflexes rapides
1 Limites usuelles
Suite Limite
\(n\), \(n^2\), \(n^k\) avec \(k>0\) \(+\infty\)
\(\dfrac1n\), \(\dfrac1{n^k}\) avec \(k>0\) \(0\)
\(q^n\), avec \(-1 \(0\)
\(q^n\), avec \(q=1\) \(1\)
\(q^n\), avec \(q>1\) \(+\infty\)
\(q^n\), avec \(q\leq -1\) n’a pas de limite
2 Rôle de \(u_0\) dans \(u_n=u_0q^n\)
  • Si \(u_0=0\), alors \(u_n=0\) pour tout \(n\).
  • Si \(-1
  • Si \(q>1\) et \(u_0>0\), alors \(u_n\to+\infty\).
  • Si \(q>1\) et \(u_0<0\), alors \(u_n\to-\infty\).
  • Si \(q<-1\), la suite n’a pas de limite en général : les signes alternent.
Attention : pour \(q<-1\), on ne doit pas écrire \(q^n\to+\infty\).
3 Opérations sur les limites
  • Si \(u_n\to\ell\) et \(v_n\to m\), alors \(u_n+v_n\to\ell+m\).
  • Si \(u_n\to\ell\) et \(v_n\to m\), alors \(u_nv_n\to\ell m\).
  • Si \(u_n\to\ell\), \(v_n\to m\), et \(m\neq0\), alors :
\[ \frac{u_n}{v_n}\to\frac{\ell}{m}. \]
4 Comparaison / encadrement
Si, à partir d’un certain rang : \[ a_n\leq u_n\leq b_n, \] et si : \[ a_n\to\ell \qquad\text{et}\qquad b_n\to\ell, \] alors : \[ u_n\to\ell. \]
Si \(0\leq u_n\leq v_n\) et \(v_n\to0\), alors \(u_n\to0\).
Recherche de seuil — méthode algorithme + logarithmes
1 Algorithme de seuil
Exemple : \[ u_n=100\times0{,}92^n. \] On cherche le plus petit entier \(n\) tel que : \[ u_n<20. \] 
n ← 0
u ← 100

Tant que u ≥ 20
    n ← n + 1
    u ← 0,92 × u
Fin Tant que

Afficher n
La condition du Tant que est souvent l’inverse de ce que l’on cherche.
2 Résolution avec logarithmes
On résout : \[ 100\times0{,}92^n<20. \] Donc : \[ 0{,}92^n<0{,}2. \] En appliquant \(\ln\) : \[ n\ln(0{,}92)<\ln(0{,}2). \] Comme \(\ln(0{,}92)<0\), on inverse le sens : \[ n>\frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}92)}. \] Or : \[ \frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}92)}\approx19{,}31. \] Donc : \[ \boxed{n=20}. \]
Pièges classiques — à éviter absolument
1 Bornée
Une suite bornée n’est pas forcément convergente. Exemple : \((-1)^n\).
2 Point fixe
Résoudre \(L=f(L)\) sans avoir prouvé la convergence est une erreur.
3 Continuité
Pour passer à la limite dans \(u_{n+1}=f(u_n)\), il faut utiliser la continuité de \(f\) sur l’intervalle étudié.
4 Géométrique
Pour \(q<-1\), \(q^n\) n’a pas de limite. Les signes alternent.
5 Logarithmes
Si on divise par \(\ln(q)<0\), le sens de l’inégalité change.
6 Arithmético-géométrique
Si \(a=1\), la suite \(u_{n+1}=au_n+b\) est simplement arithmétique.
Réflexe Bac : suite récurrente → intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → point fixe.
Mini-tests corrigés — 30 secondes chacun
Q1 Arithmétique
\(u_0=5\), \(r=3\). Donner \(u_n\).
Correction
\(u_n=5+3n\).
Q2 Géométrique
\(u_0=2\), \(q=\dfrac12\). Donner \(u_n\).
Correction
\(u_n=2\left(\dfrac12\right)^n\).
Q3 Monotonie
Si \(u_{n+1}-u_n\geq0\), que peut-on conclure ?
Correction
La suite \((u_n)\) est croissante.
Q4 Point fixe
Résoudre \(L=\dfrac{L+2}{3}\).
Correction
\(3L=L+2\), donc \(2L=2\), d’où \(L=1\).
Q5 Télescopage
Simplifier \(\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\).
Correction
\(\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\).
Q6 Seuil
Si \(n>19{,}31\), quel est le plus petit entier possible ?
Correction
Le plus petit entier est \(20\).
Checklist — avant contrôle / Bac
Je sais faire
  • Reconnaître une suite explicite, récurrente, arithmétique ou géométrique.
  • Calculer \(u_{n+1}-u_n\) pour étudier la monotonie.
  • Montrer qu’un intervalle \([a ; b]\) est stable.
  • Faire une récurrence propre : initialisation, hérédité, conclusion.
  • Utiliser : croissante et majorée / décroissante et minorée.
  • Résoudre une équation de point fixe après convergence.
  • Utiliser un changement de variable dans \(u_{n+1}=au_n+b\).
  • Résoudre un seuil avec logarithmes ou algorithme.
  • Repérer une somme télescopique.
Réflexes 20/20
1) Suite récurrente : commencer par l’intervalle stable.
2) Ne jamais calculer la limite avant de prouver la convergence.
3) Vérifier la continuité de \(f\) avant de passer à la limite.
4) Vérifier que la limite trouvée appartient à l’intervalle stable.
5) En logarithmes, faire attention au signe de \(\ln(q)\).
À bannir : “bornée donc convergente”, oublier la récurrence, résoudre \(L=f(L)\) trop tôt, ou écrire \(q^n\to+\infty\) pour \(q<-1\).