Fiche de révision — Suites numériques et récurrence
Bac-ready : stabilité, monotonie, convergence, point fixe, télescopage, suites adjacentes, vitesse (contraction / linéarisation).
Arithmétique & Géométrique (formules + sommes) inclus.
Checklist — Montrer qu’une suite converge
Méthodes classiques à reconnaître (et à citer dans la copie).
1
Monotone + (majorée ou minorée) ⇒ convergence
\[
\text{croissante et majorée}\ \ \text{ou}\ \ \text{décroissante et minorée}.
\]
2
Gendarmes : \(v_n\le u_n\le w_n\) et \(v_n,w_n\to \ell\)
\[
\Rightarrow\ u_n\to \ell.
\]
3
Paires/impaires : \(u_{2n}\to \ell\) et \(u_{2n+1}\to \ell\)
\[
\Rightarrow\ u_n\to \ell.
\]
4
Équivalent : \(u_n\sim v_n\) et \(v_n\to \ell\)
\[
\Rightarrow\ u_n\to \ell.
\]
5
Suites adjacentes : une ↑, une ↓, et \(v_n-u_n\to 0\)
6
Télescopage :
\[
\sum_{k=0}^{N}(u_{k+1}-u_k)=u_{N+1}-u_0
\]
Piège : « bornée ⇒ convergente » est faux. Exemple : \(1+\sin(n)\).
0) Routine Bac (à appliquer sans réfléchir)
- Identifier : explicite / récurrence linéaire / itération \(u_{n+1}=f(u_n)\) / somme-télescopage / suites couplées.
- Bornes : trouver un intervalle stable \(I\) et prouver \(u_n\in I\) par récurrence.
- Monotonie : signe de \(u_{n+1}-u_n\) (souvent via \(f(u_n)-u_n\)).
- Convergence : croissante et majorée / décroissante et minorée (ou gendarmes / comparaison / contraction).
- Limite : si converge, résoudre \(L=f(L)\) et sélectionner avec \(L\in I\).
- Vitesse : \(v_n=u_n-L\) (souvent géométrique) ou obtenir \(|u_{n+1}-L|\le q|u_n-L|\).
Piège Bac : écrire “\(u_n\to L\)” puis résoudre \(L=f(L)\) sans prouver la convergence = faute.
On résout \(L=f(L)\) pour deviner, puis on prouve, puis on conclut.
On résout \(L=f(L)\) pour deviner, puis on prouve, puis on conclut.
1) Suites arithmétiques et géométriques — formules + sommes (indispensable)
A — Suite arithmétique (raison \(r\))
Définition
\[
u_{n+1}=u_n+r
\]
Formules explicites (selon l’indexation)
\[
u_n=u_0+nr\quad (n\ge 0)
\]
\[
u_n=u_1+(n-1)r\quad (n\ge 1)
\]
\[
u_n=u_p+(n-p)r\quad (\text{formule générale})
\]
Reconnaître
\[
u_{n+1}-u_n=r\ \text{(constant)}\Rightarrow \text{arithmétique.}
\]
Sommes arithmétiques
\[
S_n=u_1+\cdots+u_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}
\]
\[
\sum_{k=0}^{n}u_k=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}
\]
\[
\sum_{k=p}^{n}u_k=\frac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2}
\]
Astuce Bac : somme de deux termes symétriques constante :
\[
u_p+u_q=u_{p+1}+u_{q-1}=\cdots
\]
et si \(p+q\) est pair :
\[
u_p+u_q=2u_{\frac{p+q}{2}}.
\]
B — Suite géométrique (raison \(q\))
Définition
\[
u_{n+1}=q\,u_n
\]
Formules explicites (selon l’indexation)
\[
u_n=u_0q^n\quad (n\ge 0)
\]
\[
u_n=u_1q^{n-1}\quad (n\ge 1)
\]
\[
u_n=u_pq^{n-p}\quad (\text{formule générale})
\]
Reconnaître (si \(u_n\neq 0\))
\[
\frac{u_{n+1}}{u_n}=q\ \text{(constant)}\Rightarrow \text{géométrique.}
\]
Sommes géométriques
\[
1+q+\cdots+q^n=
\begin{cases}
\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q} & \text{si } q\neq 1\\[6pt]
n+1 & \text{si } q=1
\end{cases}
\]
\[
\sum_{k=0}^{n}u_0q^k=
\begin{cases}
u_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q} & \text{si } q\neq 1\\[6pt]
u_0(n+1) & \text{si } q=1
\end{cases}
\]
\[
\sum_{k=p}^{n}u_pq^{k-p}=
\begin{cases}
u_p\dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q} & \text{si } q\neq 1\\[6pt]
u_p(n-p+1) & \text{si } q=1
\end{cases}
\]
Évolutions : hausse de \(p\%\Rightarrow q=1+\frac{p}{100}\),
baisse de \(p\%\Rightarrow q=1-\frac{p}{100}\).
Mini-exemples (arithmétique / géométrique) corrigés
Exemple 1 — Arithmétique
\(u_0=5\), \(r=3\).
\[
u_n=5+3n
\]
\[
\sum_{k=0}^{n}u_k=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}
=\frac{(n+1)\big(5+(5+3n)\big)}{2}
=\frac{(n+1)(10+3n)}{2}.
\]
Exemple 2 — Géométrique
\(u_0=2\), \(q=1{,}5\).
\[
u_n=2\cdot 1{,}5^n
\]
\[
\sum_{k=0}^{n}u_k
=2\cdot\frac{1-1{,}5^{n+1}}{1-1{,}5}
=4\left(1{,}5^{n+1}-1\right).
\]
C — Récurrence linéaire (réflexe n°1) : \(u_{n+1}=a u_n+b\)
Si \(a\neq 1\) :
\[
L=\frac{b}{1-a},\qquad v_n=u_n-L \Rightarrow v_{n+1}=a v_n
\]
\[
\Rightarrow\ u_n=L+(u_0-L)a^n
\]
Donc si \(|a|<1\), alors \(u_n\to L\) et l’erreur est géométrique.
2) Stabilité + monotonie (la combinaison qui tombe tout le temps)
Stabilité d’intervalle
Pour \(u_{n+1}=f(u_n)\) :
- Choisir \(I=[a; b]\).
- Montrer \(u_0\in I\).
- Montrer \(\forall x\in I,\ f(x)\in I\) (variations + images des bornes).
- Conclusion : \(\forall n,\ u_n\in I\) (récurrence).
Monotonie
- Méthode 1 : calculer \(u_{n+1}-u_n\) et étudier son signe.
- Méthode 2 : sur \(I\), étudier \(\varphi(x)=f(x)-x\).
Si \(u_n\in I\) et \(f(x)\ge x\) sur \(I\), alors \(u_{n+1}\ge u_n\) ⇒ croissante.
| Situation | Ce que tu fais | Conclusion |
|---|---|---|
| \((u_n)\) croissante et majorée | Montrer \(u_{n+1}-u_n\ge 0\) + \(u_n\le M\) | Convergente |
| \((u_n)\) décroissante et minorée | Montrer \(u_{n+1}-u_n\le 0\) + \(u_n\ge m\) | Convergente |
| Encadrement \(a_n\le u_n\le b_n\) | Montrer \(a_n\to \ell\) et \(b_n\to \ell\) | \(u_n\to \ell\) |
3) Point fixe : méthode + sélection (cohérence obligatoire)
Routine “propre” (4 lignes Bac)
- On résout \(L=f(L)\) (points fixes).
- On montre \(u_n\in I\) (stabilité) et la monotonie (signe de \(f(x)-x\) sur \(I\)).
- Donc \((u_n)\) converge vers un \(L\) tel que \(L=f(L)\).
- On choisit la solution compatible avec \(L\in I\).
Test de cohérence
- Si la “limite” n’appartient pas à l’intervalle stable : intervalle faux ou équation \(L=f(L)\) mal résolue.
4) Boîte à outils d’inégalités (à connaître)
Inégalités Bac
| Inégalité | Condition | Usage |
|---|---|---|
| \(\ln(1+x)\le x\) | \(x>-1\) | Décroissance si \(u_{n+1}=\ln(1+u_n)\). |
| \(\ln(1+x)\ge \dfrac{x}{1+x}\) | \(x>-1\) | Encadrements plus fins. |
| \(\sqrt{1+x}\le 1+\dfrac{x}{2}\) | \(x\ge 0\) | Contraction / vitesse. |
| \(x+\dfrac{1}{x}\ge 2\) | \(x>0\) | Bornes + décroissance (AM-GM). |
| \(2x-x^2=1-(x-1)^2\le 1\) | \(x\in\mathbb{R}\) | Stabilité / majoration pour \(u_{n+1}=u_n(2-u_n)\). |
Règle : une inégalité sert à enfermer \(u_n\) dans \(I\) ou à signer \(u_{n+1}-u_n\).
5) Vitesse de convergence (quand on te le demande)
Erreur géométrique
S’il existe \(q\in(0;1)\) tel que
\[
|u_{n+1}-L|\le q\,|u_n-L|
\]
alors
\[
|u_n-L|\le |u_0-L|\,q^n.
\]
Linéarisation
Si \(u_{n+1}=f(u_n)\), \(u_n\to L\) et \(|f'(L)|<1\), alors (idée)
\[
u_{n+1}-L \approx f'(L)(u_n-L).
\]
Piège : on ne parle de vitesse qu’après avoir prouvé la convergence.
6) Télescopage & transformations (réflexes)
Décomposition clé
\[
\frac{1}{(n+a)(n+b)}=\frac{1}{b-a}\left(\frac{1}{n+a}-\frac{1}{n+b}\right)
\]
Rationaliser
\[
\sqrt{n+a}-\sqrt{n+b}=\frac{a-b}{\sqrt{n+a}+\sqrt{n+b}}
\]
Transformations fréquentes
- \(u_{n+1}=a u_n+b\) ⇒ \(v_n=u_n-L\).
- \(u_{n+1}=f(u_n)\) ⇒ travailler sur \(u_n-L\).
- Terme en \(\frac{1}{u_n}\) ⇒ poser \(v_n=\frac{1}{u_n}\).
- Produit ⇒ log : \(v_n=\ln(u_n)\) (si \(u_n>0\)).
7) Mini-exemples type Bac (corrigés — courts)
Exemple A — linéaire (limite + expression) corrigé
\(u_{n+1}=0{,}8u_n+2\), \(u_0=5\).
\[ L=\frac{2}{1-0{,}8}=10,\quad v_n=u_n-10\Rightarrow v_{n+1}=0{,}8v_n \] \[ u_n=10+(u_0-10)\,0{,}8^n=10-5\cdot 0{,}8^n \Rightarrow u_n\to 10 \]Exemple B — stabilité + point fixe corrigé
\(u_0=1\), \(u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\).
- Stabilité : \(u_n\in[1; 2]\).
- Monotonie : \(\sqrt{2+x}\ge x\) sur \([1; 2]\) ⇒ croissante.
- Convergence : croissante et majorée ⇒ convergente.
Exemple C — télescopage corrigé
\(u_0=0\) et \(u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\).
\[ \frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \] \[ u_n=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right)=1-\frac{1}{n+1}\Rightarrow u_n\to 1 \]
Vitesse : \(1-u_n=\dfrac{1}{n+1}\sim \dfrac{1}{n}\).
Phrases Bac (à recopier dans ta copie)
- « On montre que \(u_n\in I\) par récurrence (stabilité de \(I\)). »
- « On étudie le signe de \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\) sur \(I\), d’où la monotonie. »
- « On montre que \((u_n)\) est croissante et majorée (ou décroissante et minorée), donc convergente. »
- « Si \(u_n\to L\), alors \(L=f(L)\). Avec \(L\in I\), on obtient \(L=\dots\). »