Fiche de révision — Suites numériques et récurrence (Tle spé)
Cette fiche de révision de maths en Terminale Spécialité résume le chapitre Suites numériques et récurrence. Elle aide à mémoriser les définitions, les formules, les méthodes et les points de vigilance avant un contrôle.
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Cours de mathématiques en Terminale Spécialité : Suites numériques et récurrence
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Fiche ultra-synthèse — Suites numériques et récurrence
Terminale Spécialité Maths • Suites explicites • suites récurrentes • récurrence • limites • convergence • méthodes Bac.
Essentiel — à savoir par cœur
1 Suite explicite / suite récurrente
Suite explicite : le terme général est donné directement en fonction de l’indice.
\[
u_n=f(n)
\]
Suite récurrente : chaque terme dépend d’un ou plusieurs termes précédents.
\[
u_{n+1}=f(u_n)
\]
Exemple explicite :
\[
u_n=\frac{2n+1}{n+3}.
\]
Exemple récurrent :
\[
u_0=10,
\qquad
u_{n+1}=\frac{u_n+2}{3}.
\]
Pour une suite récurrente, on ne résout pas directement une équation de limite sans avoir d’abord prouvé la convergence.
2 Convergence
| Situation | Conclusion |
|---|---|
| \((u_n)\) est croissante et majorée. | \((u_n)\) converge. |
| \((u_n)\) est décroissante et minorée. | \((u_n)\) converge. |
| \(v_n\leq u_n\leq w_n\), avec \(v_n\to\ell\) et \(w_n\to\ell\). | \(u_n\to\ell\). |
| \(u_{2n}\to\ell\) et \(u_{2n+1}\to\ell\). | \(u_n\to\ell\). |
Faux : « bornée donc convergente ». Exemple : \((-1)^n\) est bornée mais ne converge pas.
3 Point fixe
Si \((u_n)\) converge vers \(L\), si \(u_{n+1}=f(u_n)\), et si \(f\) est continue sur l’intervalle étudié, alors :
\[
L=f(L).
\]
On utilise ensuite l’intervalle stable pour choisir la bonne solution.
Par exemple, si \(u_n\in[1 ; 2]\), alors la limite appartient aussi à \([1 ; 2]\).
4 Télescopage
Si :
\[
u_{n+1}-u_n=a_n,
\]
alors :
\[
u_n=u_0+\sum_{k=0}^{n-1}a_k.
\]
Décomposition classique :
\[
\frac{1}{(n+1)(n+2)}
=
\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}.
\]
Méthodes Bac — procédures rapides
A Étudier les variations
- Calculer \(u_{n+1}-u_n\).
- Factoriser ou simplifier.
- Étudier le signe.
- Conclure : croissante, décroissante ou constante.
Si \(u_{n+1}-u_n\geq0\), alors \((u_n)\) est croissante.
Si \(u_{n+1}-u_n\leq0\), alors \((u_n)\) est décroissante.
B Montrer un intervalle stable
| Étape | Ce qu’on montre |
|---|---|
| 1 | \(u_0\in[a ; b]\) |
| 2 | Si \(x\in[a ; b]\), alors \(f(x)\in[a ; b]\). |
| 3 | Par récurrence, \(u_n\in[a ; b]\) pour tout \(n\). |
C’est souvent la première étape dans les exercices de type :
\[
u_{n+1}=f(u_n).
\]
C Étudier \(u_{n+1}=f(u_n)\)
- Identifier la fonction \(f\).
- Trouver un intervalle stable \(I\).
- Montrer par récurrence que \(u_n\in I\).
- Étudier le signe de \(f(x)-x\) sur \(I\).
- Conclure sur la monotonie.
- Utiliser le théorème des suites monotones bornées.
- Enfin seulement, résoudre \(L=f(L)\).
D Suite \(u_{n+1}=au_n+b\)
- Si \(a=1\), la suite est arithmétique : \(u_{n+1}=u_n+b\).
- Si \(a\neq1\), chercher le point fixe \(L\) :
\[
L=aL+b
\quad\Longleftrightarrow\quad
L=\frac{b}{1-a}.
\]
- Poser \(v_n=u_n-L\).
- Alors \(v_{n+1}=av_n\), donc \((v_n)\) est géométrique.
Formule finale :
\[
u_n=L+(u_0-L)a^n.
\]
Suites usuelles — arithmétiques et géométriques
Fiche express à connaître : pour reconnaître une suite arithmétique, on regarde une
différence constante. Pour reconnaître une suite géométrique, on regarde un
quotient constant lorsque les termes ne sont pas nuls.
5 Suites arithmétiques
Définition : une suite \((u_n)\) est arithmétique lorsqu’il existe un réel \(r\) tel que :
\[ u_{n+1}=u_n+r. \]Le réel \(r\) s’appelle la raison de la suite. Il faut aussi connaître un premier terme.
Propriété de reconnaissance :
\[ u_{n+1}-u_n=\mathrm{constante}\qquad \forall n\in\mathbb{N}. \]Si cette constante vaut \(r\), alors la suite est arithmétique de raison \(r\).
Terme général :
\[ u_n=u_0+nr \qquad\text{ou}\qquad u_n=u_p+(n-p)r. \]Somme des premiers entiers :
\[ 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}. \]Somme des termes d’une suite arithmétique :
\[ S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n =(n+1)\times\frac{u_0+u_n}{2}. \]Autrement dit :
\[ S_n=\text{nombre de termes}\times \frac{\text{somme des termes extrêmes}}{2}. \]
Variations :
Si \(r>0\), la suite est croissante. Si \(r=0\), elle est constante. Si \(r<0\), elle est décroissante. \[ r>0\Rightarrow u_n\to +\infty, \qquad r=0\Rightarrow u_n=u_0, \qquad r<0\Rightarrow u_n\to -\infty. \]
Si \(r>0\), la suite est croissante. Si \(r=0\), elle est constante. Si \(r<0\), elle est décroissante. \[ r>0\Rightarrow u_n\to +\infty, \qquad r=0\Rightarrow u_n=u_0, \qquad r<0\Rightarrow u_n\to -\infty. \]
6 Suites géométriques
Définition : une suite \((u_n)\) est géométrique lorsqu’il existe un réel \(q\) tel que :
\[ u_{n+1}=q\times u_n. \]Le réel \(q\) s’appelle la raison de la suite.
Propriété de reconnaissance : lorsque \(u_n\neq0\),
\[ \frac{u_{n+1}}{u_n}=\mathrm{constante}\qquad \forall n\in\mathbb{N}. \]Si cette constante vaut \(q\), alors la suite est géométrique de raison \(q\).
Terme général :
\[ u_n=u_0\times q^n \qquad\text{ou}\qquad u_n=u_p\times q^{\,n-p}. \]Somme géométrique simple : si \(q\neq1\),
\[ 1+q+q^2+\cdots+q^n =\frac{1-q^{n+1}}{1-q}. \]Si \(q=1\), alors :
\[ 1+q+q^2+\cdots+q^n=n+1. \]Somme des termes d’une suite géométrique : si \(q\neq1\),
\[ S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n =u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}. \]Formule générale à retenir :
\[ S=\text{1er terme}\times \frac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}. \]
Cas particulier : si \(q=1\), alors la suite est constante et
\[
S_n=(n+1)u_0.
\]
Limites — réflexes rapides
1 Limites usuelles
| Suite | Limite |
|---|---|
| \(n\), \(n^2\), \(n^k\) avec \(k>0\) | \(+\infty\) |
| \(\dfrac1n\), \(\dfrac1{n^k}\) avec \(k>0\) | \(0\) |
| \(q^n\), avec \(-1<q<1\) | \(0\) |
| \(q^n\), avec \(q=1\) | \(1\) |
| \(q^n\), avec \(q>1\) | \(+\infty\) |
| \(q^n\), avec \(q\leq -1\) | n’a pas de limite |
2 Rôle de \(u_0\) dans \(u_n=u_0q^n\)
- Si \(u_0=0\), alors \(u_n=0\) pour tout \(n\).
- Si \(-1<q<1\), alors \(u_n\to0\), quel que soit \(u_0\).
- Si \(q>1\) et \(u_0>0\), alors \(u_n\to+\infty\).
- Si \(q>1\) et \(u_0<0\), alors \(u_n\to-\infty\).
- Si \(q<-1\), la suite n’a pas de limite en général : les signes alternent.
Attention : pour \(q<-1\), on ne doit pas écrire \(q^n\to+\infty\).
3 Opérations sur les limites
- Si \(u_n\to\ell\) et \(v_n\to m\), alors \(u_n+v_n\to\ell+m\).
- Si \(u_n\to\ell\) et \(v_n\to m\), alors \(u_nv_n\to\ell m\).
- Si \(u_n\to\ell\), \(v_n\to m\), et \(m\neq0\), alors :
\[
\frac{u_n}{v_n}\to\frac{\ell}{m}.
\]
4 Comparaison / encadrement
Si, à partir d’un certain rang :
\[
a_n\leq u_n\leq b_n,
\]
et si :
\[
a_n\to\ell
\qquad\text{et}\qquad
b_n\to\ell,
\]
alors :
\[
u_n\to\ell.
\]
Si \(0\leq u_n\leq v_n\) et \(v_n\to0\), alors \(u_n\to0\).
Recherche de seuil — méthode algorithme + logarithmes
1 Algorithme de seuil
Exemple :
\[
u_n=100\times0{,}92^n.
\]
On cherche le plus petit entier \(n\) tel que :
\[
u_n<20.
\]
n ← 0
u ← 100
Tant que u ≥ 20
n ← n + 1
u ← 0,92 × u
Fin Tant que
Afficher n
La condition du Tant que est souvent l’inverse de ce que l’on cherche.
2 Résolution avec logarithmes
On résout :
\[
100\times0{,}92^n<20.
\]
Donc :
\[
0{,}92^n<0{,}2.
\]
En appliquant \(\ln\) :
\[
n\ln(0{,}92)<\ln(0{,}2).
\]
Comme \(\ln(0{,}92)<0\), on inverse le sens :
\[
n>\frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}92)}.
\]
Or :
\[
\frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}92)}\approx19{,}31.
\]
Donc :
\[
\boxed{n=20}.
\]
Pièges classiques — à éviter absolument
1 Bornée
Une suite bornée n’est pas forcément convergente.
Exemple : \((-1)^n\).
2 Point fixe
Résoudre \(L=f(L)\) sans avoir prouvé la convergence est une erreur.
3 Continuité
Pour passer à la limite dans \(u_{n+1}=f(u_n)\), il faut utiliser la continuité de \(f\) sur l’intervalle étudié.
4 Géométrique
Pour \(q<-1\), \(q^n\) n’a pas de limite. Les signes alternent.
5 Logarithmes
Si on divise par \(\ln(q)<0\), le sens de l’inégalité change.
6 Arithmético-géométrique
Si \(a=1\), la suite \(u_{n+1}=au_n+b\) est simplement arithmétique.
Réflexe Bac : suite récurrente → intervalle stable → récurrence → monotonie → convergence → point fixe.
Mini-tests corrigés — 30 secondes chacun
Q1 Arithmétique
\(u_0=5\), \(r=3\). Donner \(u_n\).
Correction
\(u_n=5+3n\).
Q2 Géométrique
\(u_0=2\), \(q=\dfrac12\). Donner \(u_n\).
Correction
\(u_n=2\left(\dfrac12\right)^n\).
Q3 Monotonie
Si \(u_{n+1}-u_n\geq0\), que peut-on conclure ?
Correction
La suite \((u_n)\) est croissante.
Q4 Point fixe
Résoudre \(L=\dfrac{L+2}{3}\).
Correction
\(3L=L+2\), donc \(2L=2\), d’où \(L=1\).
Q5 Télescopage
Simplifier \(\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\).
Correction
\(\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\).
Q6 Seuil
Si \(n>19{,}31\), quel est le plus petit entier possible ?
Correction
Le plus petit entier est \(20\).
Checklist — avant contrôle / Bac
Je sais faire
- Reconnaître une suite explicite, récurrente, arithmétique ou géométrique.
- Calculer \(u_{n+1}-u_n\) pour étudier la monotonie.
- Montrer qu’un intervalle \([a ; b]\) est stable.
- Faire une récurrence propre : initialisation, hérédité, conclusion.
- Utiliser : croissante et majorée / décroissante et minorée.
- Résoudre une équation de point fixe après convergence.
- Utiliser un changement de variable dans \(u_{n+1}=au_n+b\).
- Résoudre un seuil avec logarithmes ou algorithme.
- Repérer une somme télescopique.
Réflexes 20/20
1) Suite récurrente : commencer par l’intervalle stable.
2) Ne jamais calculer la limite avant de prouver la convergence.
3) Vérifier la continuité de \(f\) avant de passer à la limite.
4) Vérifier que la limite trouvée appartient à l’intervalle stable.
5) En logarithmes, faire attention au signe de \(\ln(q)\).
2) Ne jamais calculer la limite avant de prouver la convergence.
3) Vérifier la continuité de \(f\) avant de passer à la limite.
4) Vérifier que la limite trouvée appartient à l’intervalle stable.
5) En logarithmes, faire attention au signe de \(\ln(q)\).
À bannir : “bornée donc convergente”, oublier la récurrence,
résoudre \(L=f(L)\) trop tôt, ou écrire \(q^n\to+\infty\) pour \(q<-1\).
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