Quiz de maths Terminale Spécialité : Primitives & équations différentielles
Ce quiz de mathématiques en Terminale Spécialité permet de vérifier rapidement tes acquis sur Primitives & équations différentielles. Les questions ciblent notamment mise en équation, résolution étape par étape, vérification des solutions, problèmes rédigés pour repérer les points à revoir.
Réponds puis clique Vérifier. Les indices donnent la formule exacte à utiliser, notamment pour les fonctions composées, et la méthode attendue.
Utiliser la formule \(\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\), puis intégrer terme à terme.
On intègre chaque terme : \(4x^3\mapsto x^4\), \(-6x^2\mapsto -2x^3\), \(2x\mapsto x^2\), \(-5\mapsto -5x\). Une primitive est donc \(\boxed{x^4-2x^3+x^2-5x}\).
Écrire \(\frac3{x^2}=3x^{-2}\), puis appliquer la formule des puissances.
\(\int 3x^{-2}\,dx=3\cdot\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac3x\). Une primitive est \(\boxed{-\frac3x}\).
Formule : \(\int e^{ax+b}\,dx=\frac1a e^{ax+b}+C\).
Ici \(a=3\), donc une primitive est \(\boxed{\frac13e^{3x-1}}\).
Reconnaître la forme \(\frac{u'}u\) avec \(u=x^2+5\).
On a \(u=x^2+5\) et \(u'=2x\). Donc \(\int\frac{2x}{x^2+5}\,dx=\ln(x^2+5)+C\). Une primitive est \(\boxed{\ln(x^2+5)}\).
Utiliser \(u=3x^2+4\), donc \(u'=6x\), et \(\int\frac{u'}{\sqrt u}\,dx=2\sqrt u+C\).
Avec \(u=3x^2+4\), on obtient directement une primitive : \(\boxed{2\sqrt{3x^2+4}}\).
Écrire \(xe^{x^2}=\frac12(2x)e^{x^2}\).
Avec \(u=x^2\), \(u'=2x\). Donc \(\int xe^{x^2}\,dx=\frac12e^{x^2}+C\).
Primitive classique à connaître ou à vérifier : \((x\ln x-x)'=\ln x\).
\((x\ln x-x)'=\ln x+1-1=\ln x\). L’ensemble des primitives est \(\boxed{x\ln x-x+C}\).
\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\). Utiliser \(u=\cos x\), donc \(u'=-\sin x\).
\(\int\tan x\,dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx=-\ln(\cos x)+C\), car \(\cos x>0\) sur l’intervalle donné.
Commencer par \(F(x)=4\ln(x+1)+C\), puis utiliser \(F(0)=2\).
\(F(x)=4\ln(x+1)+C\). Or \(F(0)=4\ln1+C=C=2\). Donc \(\boxed{F(x)=4\ln(x+1)+2}\).
Primitive générale : \(F(x)=\ln(x^2+9)+C\).
\(F(0)=\ln9+C=0\), donc \(C=-\ln9\). Ainsi \(\boxed{F(x)=\ln(x^2+9)-\ln9}\).
Forme \(y'=ay\) : \(y(x)=Ce^{ax}\).
Ici \(a=-4\). La solution générale est \(\boxed{y(x)=Ce^{-4x}}\), avec \(C\in\mathbb R\).
Partir de \(y(x)=Ce^{-4x}\), puis imposer \(y(0)=3\).
\(y(0)=C=3\). Donc \(\boxed{y(x)=3e^{-4x}}\).
Chercher une solution constante \(k\) : \(0=3k-6\).
\(0=3k-6\Rightarrow k=2\). L’homogène donne \(Ce^{3x}\). Donc \(\boxed{y(x)=Ce^{3x}+2}\).
Utiliser \(y(x)=Ce^{3x}+2\), puis imposer \(y(0)=1\).
\(C+2=1\Rightarrow C=-1\). Donc \(\boxed{y(x)=2-e^{3x}}\).
Une solution constante vérifie \(y'=0\).
On pose \(0=-2k+8\), donc \(k=4\). La valeur d’équilibre est \(\boxed{4}\).
Solution générale : homogène \(Ce^{-2x}\) + équilibre \(4\).
La solution constante vaut \(4\). La solution générale est donc \(\boxed{y(x)=Ce^{-2x}+4}\).
Dans \(Ce^{-2x}+4\), utiliser \(y(0)=7\).
\(C+4=7\Rightarrow C=3\). Donc \(\boxed{y(x)=3e^{-2x}+4}\).
Si \(y'=b\), alors \(y(x)=bx+C\).
Ici \(b=-6\), donc \(\boxed{y(x)=-6x+C}\).
Partir de \(y(x)=-6x+C\), puis imposer \(y(2)=5\).
\(-12+C=5\Rightarrow C=17\). Donc \(\boxed{y(x)=-6x+17}\).
Calculer \(y'\), puis utiliser \(e^{-3x}=\frac{y-2}{4}\).
\(y'=-12e^{-3x}\). Comme \(e^{-3x}=\frac{y-2}{4}\), alors \(y'=-12\frac{y-2}{4}=-3y+6\).
Solution générale : \(y=Ce^{2x}\). Utiliser \(y(1)=3\).
\(Ce^2=3\Rightarrow C=3e^{-2}\). Donc \(y=3e^{2x-2}=\boxed{3e^{2(x-1)}}\).
L’équilibre vaut \(2\), donc \(y=Ce^{-5x}+2\).
\(C+2=0\Rightarrow C=-2\). Donc \(\boxed{y(x)=2-2e^{-5x}}\).
Poser \(T'=0\), donc \(0=-0{,}2T+4\).
\(0,2T=4\), donc \(T=20\). L’équilibre est \(\boxed{20}\).
Utiliser \(u=x^2+x\), donc \(u'=2x+1\).
On reconnaît \(u'e^u\). Une primitive est \(\boxed{e^{x^2+x}}\).
Calculer \(y'=10e^{2x}\), puis exprimer \(e^{2x}=\frac{y+3}{5}\).
\(y'=10e^{2x}=10\frac{y+3}{5}=2y+6\). Donc \(\boxed{y'=2y+6}\).