Primitives Et Equations Differentielles
TERMINALE-SPE • MATHS — Learna
Quiz — Primitives & équations différentielles (Terminale Spé) : primitives usuelles • \(\tan\) • ED • CI (20 questions)
Réponds puis clique Vérifier (ou Tout vérifier). Solide • programme Tle Spé • réponses exactes (avec +C quand demandé).
Q2. Donner une primitive de \(f(x)=3x^2-4x+5\).
Non vérifié
Indice
Intégrer terme à terme : \(\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\).
Correction
\[
\int (3x^2-4x+5)\,dx
= x^3-2x^2+5x+C.
\]
Une primitive possible est \(F(x)=x^3-2x^2+5x\).
Q3. Donner l’ensemble des primitives de \(f(x)=\frac{1}{x}\) (sur un intervalle où \(x\neq 0\)).
Non vérifié
Indice
Formule : \(\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\).
Correction
Sur tout intervalle ne contenant pas 0 : \(\boxed{\ln|x|+C}\).
Q4. Donner une primitive de \(f(x)=\frac{1}{x^2}\) (sur \(x\neq 0\)).
Non vérifié
Indice
Écrire \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\).
Correction
\[
\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x}+C.
\]
Donc une primitive : \(\boxed{-\frac{1}{x}}\).
Q5. Donner une primitive de \(f(x)=e^{5x}\).
Non vérifié
Indice
Formule : \(\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C\).
Correction
\[
\int e^{5x}dx=\frac{1}{5}e^{5x}+C.
\]
Primitive : \(\boxed{\frac{1}{5}e^{5x}}\).
Q6. Donner une primitive de \(f(x)=\cos x\).
Non vérifié
Indice
La dérivée de \(\sin x\) est \(\cos x\).
Correction
Primitive : \(\boxed{\sin x}\).
Q7. Donner une primitive de \(f(x)=\sin x\).
Non vérifié
Indice
La dérivée de \(\cos x\) est \(-\sin x\).
Correction
Primitive : \(\boxed{-\cos x}\).
Q8. Donner une primitive de \(f(x)=\frac{6}{3x-2}\).
Non vérifié
Indice
Mettre sous forme \(k\cdot\frac{1}{ax+b}\).
Correction
\[
\int \frac{6}{3x-2}dx=6\cdot\frac{1}{3}\ln|3x-2|+C=2\ln|3x-2|+C.
\]
Primitive : \(\boxed{2\ln|3x-2|}\).
Q9. Sur \(I=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\), donner l’ensemble des primitives de \(f(x)=\tan x\).
Non vérifié
Indice
Sur cet intervalle, \(\cos x>0\) donc \(|\cos x|=\cos x\).
Correction
\[
\int \tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C.
\]
Sur \(I\), \(|\cos x|=\cos x\), donc \(\boxed{-\ln(\cos x)+C}\).
Q10. Sur \(]0,+\infty[\), trouver la primitive \(F\) de \(f(x)=2x+\frac{1}{x}\) telle que \(F(1)=0\).
Non vérifié
Indice
Primitive générale : \(x^2+\ln x + C\), puis utiliser \(F(1)=0\).
Correction
\[
F(x)=x^2+\ln x + C.
\]
\[
F(1)=1+\ln 1+C=1+0+C=0\Rightarrow C=-1.
\]
Donc \(\boxed{F(x)=x^2+\ln x-1}\).
Q11. Donner \(\int_0^1 (2x+1)\,dx\).
Non vérifié
Indice
Primitive : \(x^2+x\), puis calculer \([x^2+x]_0^1\).
Correction
\[
\int_0^1 (2x+1)dx = [x^2+x]_0^1=(1+1)-0=2.
\]
Q12. Résoudre \(y'=-3y\) : donner la solution générale.
Non vérifié
Indice
Forme \(y'=ay\Rightarrow y(x)=Ce^{ax}\).
Correction
Ici \(a=-3\) donc \(\boxed{y(x)=Ce^{-3x}}\).
Q13. Même équation. Avec \(y(0)=2\), donner la solution.
Non vérifié
Indice
Dans \(Ce^{-3x}\), imposer \(y(0)=2\Rightarrow C=2\).
Correction
\[
y(x)=Ce^{-3x},\ y(0)=C=2 \Rightarrow \boxed{y(x)=2e^{-3x}}.
\]
Q14. Résoudre \(y'=2y-4\) : donner la solution générale.
Non vérifié
Indice
Pour \(y'=ay+b\), une solution particulière constante vaut \(-\frac{b}{a}\).
Correction
\[
a=2,\ b=-4\Rightarrow -\frac{b}{a}=2.
\]
Donc \(\boxed{y(x)=Ce^{2x}+2}\).
Q15. Même équation. Avec \(y(0)=1\), donner la solution.
Non vérifié
Indice
Dans \(Ce^{2x}+2\), imposer \(y(0)=1\Rightarrow C=-1\).
Correction
\[
y(x)=Ce^{2x}+2,\ y(0)=C+2=1\Rightarrow C=-1.
\]
\[
\boxed{y(x)=2-e^{2x}}.
\]
Q16. Pour \(y'=4y-12\), donner la valeur d’équilibre (solution particulière constante).
Non vérifié
Indice
Chercher \(y_p\) constant : \(0=4y_p-12\).
Correction
\[
0=4y_p-12\Rightarrow y_p=3.
\]
Q17. Même équation. Donner la solution générale.
Non vérifié
Indice
Solution : \(y(x)=Ce^{ax}+y_p\).
Correction
\[
y_p=3\Rightarrow \boxed{y(x)=Ce^{4x}+3}.
\]
Q18. Même équation. Avec \(y(0)=5\), donner la solution.
Non vérifié
Indice
Dans \(Ce^{4x}+3\), imposer \(C+3=5\Rightarrow C=2\).
Correction
\[
y(x)=Ce^{4x}+3,\ y(0)=C+3=5\Rightarrow C=2.
\]
\[
\boxed{y(x)=2e^{4x}+3}.
\]
Q19. Cas \(a=0\) : résoudre \(y'=-5\) (solution générale).
Non vérifié
Indice
Si \(y'=b\), alors \(y(x)=bx+C\).
Correction
\[
y'=-5\Rightarrow \boxed{y(x)=-5x+C}.
\]
Q20. Même équation. Avec \(y(2)=7\), donner la solution.
Non vérifié
Indice
Dans \(-5x+C\), imposer \(-10+C=7\).
Correction
\[
y(x)=-5x+C,\ y(2)=7\Rightarrow -10+C=7\Rightarrow C=17.
\]
\[
\boxed{y(x)=-5x+17}.
\]
Q21. On pose \(y(x)=5e^{-2x}+3\). Donner une équation différentielle de la forme \(y'=ay+b\) vérifiée par \(y\). (répondre : \(y'=...\))
Non vérifié
Indice
Exprimer \(e^{-2x}\) en fonction de \(y\) : \(y-3=5e^{-2x}\).
Correction
\[
y'(x)=5\cdot(-2)e^{-2x}=-10e^{-2x}.
\]
Or \(e^{-2x}=\frac{y-3}{5}\). Donc
\[
y'=-10\cdot\frac{y-3}{5}=-2(y-3)=-2y+6.
\]
\[
\boxed{y'=-2y+6}.
\]
Clavier