Primitives Et Equations Differentielles
TERMINALE-SPE • MATHS — Learna
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Cours — Primitives et équations différentielles
Primitives usuelles • Linéarité • Équations différentielles \(y'=ay\) et \(y'=ay+b\) •
Conditions initiales • Vérification • Méthodes Bac.
1) Objectifs et idées essentielles
Compétences attendues
- Reconnaître qu’une fonction \(F\) est une primitive de \(f\) sur un intervalle \(I\).
- Déterminer une primitive de fonctions usuelles et écrire l’ensemble des primitives sous la forme \(F(x)+C\).
- Utiliser la linéarité pour intégrer une somme ou un multiple.
- Résoudre une équation différentielle de type \(y'=ay\) ou \(y'=ay+b\).
- Exploiter une condition initiale pour déterminer la constante.
- Vérifier une solution en dérivant puis en remplaçant dans l’équation.
Pièges fréquents
- Oublier le \(+C\) lorsqu’on demande l’ensemble des primitives.
- Confondre dérivée et primitive : \(\int f(x)\,dx\) ne se traite pas comme \(f'(x)\).
- Oublier les conditions sur le domaine, par exemple pour \(\ln|x|\) ou \(\ln|ax+b|\).
- Donner une solution particulière au lieu de la solution générale.
- Ne pas vérifier la solution obtenue.
Réflexe Terminale : identifier la forme, appliquer la formule adaptée, déterminer la constante éventuelle, puis vérifier proprement.
2) Définition d’une primitive
Définition
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\).
Une fonction \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si :
\[
F'(x)=f(x)\quad \text{pour tout }x\in I.
\]
Ensemble des primitives
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), alors toutes les primitives de \(f\) sur \(I\) sont :
\[
\boxed{F(x)+C\quad \text{avec } C\in\mathbb{R}}.
\]
Pourquoi un \(+C\) ?
Car deux fonctions qui ne diffèrent que d’une constante ont la même dérivée.
En effet :
\[
(F(x)+C)'=F'(x)=f(x).
\]
Exemple 1 — Primitive d’une fonction polynomiale
Chercher toutes les primitives de \(f(x)=3x^2\).
- On sait que la dérivée de \(x^3\) est \(3x^2\).
- Donc une primitive de \(3x^2\) est \(x^3\).
- L’ensemble des primitives est : \[ \boxed{x^3+C \quad \text{avec } C\in\mathbb{R}}. \]
3) Règles de calcul — Linéarité
Somme
\[
\int \bigl(f(x)+g(x)\bigr)\,dx
=
\int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx
\]
Constante multiplicative
\[
\int kf(x)\,dx
=
k\int f(x)\,dx
\qquad (k\in\mathbb{R})
\]
Attention : la linéarité permet de séparer une somme, mais pas de “distribuer” une primitive sur un produit ou un quotient.
Exemple 2 — Utiliser la linéarité
Déterminer toutes les primitives de
\[
f(x)=4x^3-2e^x.
\]
- Une primitive de \(4x^3\) est \(x^4\).
- Une primitive de \(-2e^x\) est \(-2e^x\).
- Donc : \[ \boxed{x^4-2e^x+C} \] est l’ensemble des primitives.
4) Formulaire — Primitives usuelles
Toutes les primitives suivantes sont à comprendre avec \(+C\).
Les formules avec \(\ln|\cdot|\) sont valables sur tout intervalle où l’expression ne s’annule pas.
| Fonction \(f(x)\) | Une primitive | Remarque |
|---|---|---|
| Constante \(1\) | \(x\) | Cas de base |
| \(x^n\), avec \(n\neq -1\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | Très important |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | Sur \(x\neq 0\) |
| \(\dfrac{1}{ax+b}\) | \(\dfrac{1}{a}\ln|ax+b|\) | \(a\neq 0\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | Fonction égale à sa dérivée |
| \(e^{ax}\) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax}\) | \(a\neq 0\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | Car \((\sin x)'=\cos x\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | Car \((-\cos x)'=\sin x\) |
| \((ax+b)^n\), \(n\neq -1\) | \(\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}\) | \(a\neq 0\) |
Formules importantes — fonctions composées
Le principe à retenir est : si \(u\) est dérivable et si \(F\) est une primitive de \(f\), alors :
\[
\int u'(x)\,f\bigl(u(x)\bigr)\,dx
=
F\bigl(u(x)\bigr)+C.
\]
Autrement dit, on reconnaît une fonction \(u\) et presque sa dérivée \(u'\).
| Forme de \(f(x)\) | Une primitive | Condition |
|---|---|---|
| \(u'(x)\,u(x)^n\) | \(\dfrac{u(x)^{n+1}}{n+1}\) | \(n\neq -1\) |
| \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) | \(\ln|u(x)|\) | \(u(x)\neq 0\) |
| \(u'(x)e^{u(x)}\) | \(e^{u(x)}\) | sur tout intervalle où \(u\) est définie |
| \(\dfrac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}\) | \(2\sqrt{u(x)}\) | \(u(x)>0\) |
| \(u'(x)\cos(u(x))\) | \(\sin(u(x))\) | trigonométrie simple |
| \(u'(x)\sin(u(x))\) | \(-\cos(u(x))\) | trigonométrie simple |
Attention : si le facteur \(u'(x)\) n’apparaît pas exactement, on cherche s’il apparaît à une constante multiplicative près.
Exemple : \(xe^{x^2}=\dfrac12(2x)e^{x^2}\).
Exemple 3 — Primitive d’une fonction affine composée
Déterminer toutes les primitives de
\[
f(x)=(2x-5)^4.
\]
- On utilise la formule : \[ \int (ax+b)^n\,dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C. \]
- Ici \(a=2\) et \(n=4\).
- Donc : \[ \boxed{\frac{(2x-5)^5}{10}+C}. \]
Exemple 4 — Reconnaître \(u'f(u)\)
Déterminer une primitive de
\[
f(x)=(2x+1)e^{x^2+x}.
\]
On pose \(u(x)=x^2+x\). Alors \(u'(x)=2x+1\). Donc :
\[
f(x)=u'(x)e^{u(x)}.
\]
Une primitive est donc :
\[
\boxed{e^{x^2+x}}.
\]
Vérification :
\[
\left(e^{x^2+x}\right)'=(2x+1)e^{x^2+x}.
\]
5) Méthode Bac — Trouver une primitive
Étapes
- Reconnaître la forme de la fonction.
- Mettre si besoin sous une forme plus simple.
- Appliquer la bonne formule du formulaire.
- Ajouter \(+C\) si on demande toutes les primitives.
- Relire le domaine si une valeur absolue ou un logarithme intervient.
Rédaction propre
« Une primitive de \(f\) sur \(I\) est la fonction \(F\) définie par …
Donc l’ensemble des primitives de \(f\) sur \(I\) est :
\[
F(x)+C,\quad C\in\mathbb{R}.
\]
»
Exemple 4 — Primitive avec logarithme
Déterminer toutes les primitives de
\[
f(x)=\frac{3}{3x+1}.
\]
- On reconnaît la forme \(\dfrac{1}{ax+b}\).
- Une primitive de \(\dfrac{1}{3x+1}\) est \(\dfrac{1}{3}\ln|3x+1|\).
- Comme le numérateur vaut \(3\), on obtient : \[ 3\times \frac{1}{3}\ln|3x+1|=\ln|3x+1|. \]
- Donc l’ensemble des primitives est : \[ \boxed{\ln|3x+1|+C}. \]
6) Équations différentielles — Définition et cadre du chapitre
Définition générale
Une équation différentielle est une équation dans laquelle l’inconnue est une fonction et où intervient sa dérivée.
Formes à connaître en Terminale
\[
\boxed{y'=ay}
\qquad \text{et} \qquad
\boxed{y'=ay+b}
\]
où \(a\) et \(b\) sont des réels.
Principe de résolution
- Reconnaître le type d’équation.
- Écrire la solution générale.
- Utiliser la condition initiale si elle est donnée.
- Vérifier la solution finale.
Attention : on ne résout pas ici des équations différentielles plus compliquées. Le programme se limite aux types usuels ci-dessus.
7) Formulaire — Solutions générales
| Type | Équation | Solution générale |
|---|---|---|
| Type 1 | \(y'=ay\) | \(\boxed{y(x)=Ce^{ax}}\) |
| Type 2 | \(y'=ay+b\), avec \(a\neq 0\) | \(\boxed{y(x)=Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}}\) |
| Cas particulier | \(y'=b\) | \(\boxed{y(x)=bx+C}\) |
Justification du type \(y'=ay\)
Si \(y(x)=Ce^{ax}\), alors :
\[
y'(x)=aCe^{ax}=ay(x).
\]
Donc la forme est correcte.
Justification du type \(y'=ay+b\)
Si \(y(x)=Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}\), alors :
\[
y'(x)=aCe^{ax}
\]
et
\[
ay(x)+b=a\left(Ce^{ax}-\frac{b}{a}\right)+b=aCe^{ax}.
\]
Donc \(y'=ay+b\).
8) Condition initiale et solution particulière
Principe
Une condition initiale, par exemple \(y(x_0)=y_0\), permet de déterminer la constante \(C\) et donc d’obtenir une solution unique.
Pour \(y'=ay\)
On part de
\[
y(x)=Ce^{ax}.
\]
Si \(y(x_0)=y_0\), alors :
\[
y_0=Ce^{ax_0}
\quad\Longrightarrow\quad
C=y_0e^{-ax_0}.
\]
Pour \(y'=ay+b\)
On part de
\[
y(x)=Ce^{ax}-\frac{b}{a}.
\]
Si \(y(x_0)=y_0\), alors :
\[
y_0=Ce^{ax_0}-\frac{b}{a}
\quad\Longrightarrow\quad
C=\left(y_0+\frac{b}{a}\right)e^{-ax_0}.
\]
Exemple 5 — Résoudre \(y'=2y\) avec \(y(0)=5\)
- Équation du type \(y'=ay\) avec \(a=2\).
- Solution générale : \[ y(x)=Ce^{2x}. \]
- Condition initiale \(y(0)=5\) : \[ 5=Ce^0=C. \]
- Donc : \[ \boxed{y(x)=5e^{2x}}. \]
Exemple 6 — Résoudre \(y'=3y-6\) avec \(y(0)=1\)
- On reconnaît le type \(y'=ay+b\) avec \(a=3\) et \(b=-6\).
- Solution générale : \[ y(x)=Ce^{3x}-\frac{-6}{3}=Ce^{3x}+2. \]
- Condition initiale \(y(0)=1\) : \[ 1=C+2 \quad\Longrightarrow\quad C=-1. \]
- La solution particulière est donc : \[ \boxed{y(x)=2-e^{3x}}. \]
9) Vérifier une solution
Méthode
- On dérive la fonction proposée.
- On calcule le second membre de l’équation.
- On compare les deux expressions.
- Si elles sont égales pour tout \(x\) considéré, la fonction est bien solution.
Exemple 7 — Vérification complète
Vérifier que
\[
y(x)=2-e^{3x}
\]
est solution de
\[
y'=3y-6.
\]
- On dérive : \[ y'(x)=-3e^{3x}. \]
- On calcule : \[ 3y(x)-6=3(2-e^{3x})-6=6-3e^{3x}-6=-3e^{3x}. \]
- On obtient bien : \[ y'(x)=3y(x)-6. \]
Conclusion : la fonction proposée est bien solution de l’équation différentielle.
10) Synthèse rapide — À retenir absolument
Primitives
- \(F\) primitive de \(f\) si \(F'=f\).
- Toutes les primitives s’écrivent \(F(x)+C\).
- Connaître les primitives usuelles : puissances, \(\dfrac1x\), exponentielle, trigonométrie simple.
- Utiliser la linéarité.
Équations différentielles
- \(y'=ay \Rightarrow y=Ce^{ax}\).
- \(y'=ay+b \Rightarrow y=Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}\) si \(a\neq 0\).
- Utiliser la condition initiale pour trouver \(C\).
- Toujours vérifier la solution finale.
Checklist “copie parfaite”
- Je sais définir correctement une primitive sur un intervalle.
- Je pense à écrire \(+C\) quand on demande l’ensemble des primitives.
- Je connais les primitives usuelles du chapitre.
- Je reconnais immédiatement \(y'=ay\) et \(y'=ay+b\).
- Je sais calculer la constante avec une condition initiale.
- Je termine par une vérification claire.
Dernier rappel Bac : une réponse correcte doit être identifiée, rédigée proprement, puis vérifiée.