Primitives & équations différentielles
Terminale Spécialité Maths • Cours complet premium • Formulaire + méthodes Bac
Primitives usuelles • Résolution de \(y'=ay\) et \(y'=ay+b\) • Conditions initiales
Primitives usuelles • Résolution de \(y'=ay\) et \(y'=ay+b\) • Conditions initiales
Objectifs
- Savoir déterminer une primitive (polynômes, inverse, exponentielle, trig usuelles).
- Savoir écrire l’ensemble des primitives : \(F(x)+C\).
- Résoudre et vérifier une équation différentielle \(y'=ay\) ou \(y'=ay+b\).
- Utiliser une condition initiale pour obtenir une solution unique.
1. Définition d’une primitive
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\). Une fonction \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si :
\[
F'(x)=f(x)\quad \text{pour tout }x\in I.
\]
Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors toutes les primitives de \(f\) sont :
\[
F(x)+C \quad \text{avec } C\in\mathbb{R}.
\]
Phrase Bac (propre) :
« Une primitive de \(f\) sur \(I\) est la fonction \(F\) définie par … ; ainsi l’ensemble des primitives est \(F(x)+C\). »
« Une primitive de \(f\) sur \(I\) est la fonction \(F\) définie par … ; ainsi l’ensemble des primitives est \(F(x)+C\). »
2. Règles de calcul (linéarité)
Pour \(k\in\mathbb{R}\) et des fonctions \(f,g\) :
\[
\int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx
\]
\[
\int k\,f(x)\,dx = k \int f(x)\,dx
\]
3. Formulaire premium — Primitives usuelles (à connaître)
✅ Toutes les primitives ci-dessous sont à comprendre « \(+C\) ».
⚠️ Les formules avec \(\ln|\cdot|\) sont valables sur tout intervalle où l’expression ne s’annule pas.
| Fonction \(f(x)\) | Une primitive \(F(x)\) | Domaine / note |
|---|---|---|
| Puissances & constantes | ||
| \(1\) | \(x\) | — |
| \(x^n\) \((n\neq -1)\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(n\in\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}\) | \(-\dfrac{1}{x}\) | \(x\neq 0\) |
| Logarithme | ||
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x\neq 0\) |
| \(\dfrac{1}{ax+b}\) | \(\dfrac{1}{a}\ln|ax+b|\) | \(a\neq 0\) |
| Exponentielles | ||
| \(e^x\) | \(e^x\) | — |
| \(e^{ax}\) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax}\) | \(a\neq 0\) |
| Trigonométrie | ||
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | — |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | — |
| \(\tan x\) | \(-\ln|\cos x|\) | \(\cos x\neq 0\) |
| Formes composées (affines) | ||
| \((ax+b)^n\) \((n\neq -1)\) | \(\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}\) | \(a\neq 0\) |
4. Méthode Bac — Trouver une primitive
- Mettre la fonction sous une forme connue.
- Utiliser le tableau des primitives.
- Ajouter \(+C\).
- Si on demande toutes : écrire \(F(x)+C\).
5. Équations différentielles
On traite :
\[
\boxed{y'=ay}\qquad \text{et}\qquad \boxed{y'=ay+b}
\quad (a,b\in\mathbb{R}).
\]
Vérification : dériver la solution puis remplacer dans l’équation.
6. Formulaire premium — Équations différentielles
✅ Étapes Bac : forme → solution générale → condition initiale → vérification.
| Équation | Solution générale | Condition initiale (CI) |
|---|---|---|
| Type 1 \(y'=ay\) | \(y(x)=Ce^{ax}\) |
Si \(y(x_0)=y_0\) : \(C=y_0e^{-ax_0}\) donc \(y(x)=y_0e^{a(x-x_0)}\) |
| Type 2 \(y'=ay+b\) (\(a\neq 0\)) | \(y(x)=Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}\) |
Si \(y(x_0)=y_0\) : \(C=\left(y_0+\dfrac{b}{a}\right)e^{-ax_0}\) |
| Cas \(a=0\Rightarrow y'=b\) | \(y(x)=bx+C\) |
Si \(y(x_0)=y_0\) : \(C=y_0-bx_0\) |
| Vérification Toujours dériver puis remplacer dans l’équation ✅ | ||
7. Exemple type Bac (résolution + CI + vérification)
Résoudre :
\[
y'=3y-6 \quad \text{avec } y(0)=1.
\]
Solution générale :
\[
y(x)=Ce^{3x}+2.
\]
Condition initiale :
\[
1=C+2 \Rightarrow C=-1.
\]
\[
\boxed{y(x)=2-e^{3x}}.
\]
Vérification :
\[
y'(x)=-3e^{3x}
\quad\text{et}\quad
3y(x)-6=-3e^{3x}.
\]
✅ OK.
Checklist Bac
- J’ajoute \(+C\) si on demande l’ensemble des primitives.
- Je sais intégrer : polynômes, \(1/x\), \(1/(ax+b)\), \(e^{ax}\), \(\sin\), \(\cos\).
- Je connais les formes : \(y'=ay\) et \(y'=ay+b\).
- Je calcule \(C\) avec la condition initiale.
- Je vérifie toujours en dérivant.