Fiche de révision — Primitives & équations différentielles
Terminale Spécialité Maths • Formulaire complet • Méthodes Bac • Vérifications attendues
Primitives usuelles • \(y'=ay\) • \(y'=ay+b\) • Conditions initiales
Primitives usuelles • \(y'=ay\) • \(y'=ay+b\) • Conditions initiales
À savoir absolument
- Une primitive \(F\) de \(f\) vérifie \(F'(x)=f(x)\).
- L’ensemble des primitives : \(\boxed{F(x)+C}\) avec \(C\in\mathbb{R}\).
- Équations différentielles au programme : \(\boxed{y'=ay}\) et \(\boxed{y'=ay+b}\).
- Au Bac : on donne une solution, puis on vérifie en dérivant et en remplaçant.
Formulaire — Primitives usuelles
✅ Toutes les primitives ci-dessous sont à comprendre « \(+C\) ».
⚠️ Les formules avec \(\ln|\cdot|\) sont valables sur tout intervalle où l’expression ne s’annule pas.
| Fonction \(f(x)\) | Une primitive \(F(x)\) | Domaine / note |
|---|---|---|
| Puissances & constantes | ||
| \(1\) | \(x\) | — |
| \(x^n\) \((n\neq -1)\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(n\in\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}\) | \(-\dfrac{1}{x}\) | \(x\neq 0\) |
| Logarithme | ||
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x\neq 0\) |
| \(\dfrac{1}{ax+b}\) | \(\dfrac{1}{a}\ln|ax+b|\) | \(a\neq 0\) |
| Exponentielles | ||
| \(e^x\) | \(e^x\) | — |
| \(e^{ax}\) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax}\) | \(a\neq 0\) |
| Trigonométrie | ||
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | — |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | — |
| \(\tan x\) | \(-\ln|\cos x|\) | \(\cos x\neq 0\) |
| Formes composées (affines) | ||
| \((ax+b)^n\) \((n\neq -1)\) | \(\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}\) | \(a\neq 0\) |
Mini check : dériver ta primitive : si tu retrouves \(f(x)\), c’est bon ✅.
Méthode Bac — trouver une primitive
- Réécrire \(f(x)\) sous une forme connue (puissance, exponentielle, inverse, trig…).
- Appliquer la formule du tableau.
- Ajouter \(\,+C\) si on demande l’ensemble des primitives.
- Vérifier en dérivant (phrase Bac attendue).
Phrase Bac : « On reconnaît une fonction de la forme … donc une primitive est … ; on vérifie en dérivant. »
Formulaire — Équations différentielles
✅ Étapes Bac : forme → solution générale → CI → vérification.
| Équation | Solution générale | Avec condition initiale |
|---|---|---|
| Type 1 \(y'=ay\) | \(y(x)=Ce^{ax}\) |
Si \(y(x_0)=y_0\) : \(C=y_0e^{-ax_0}\) donc \(y(x)=y_0e^{a(x-x_0)}\) |
| Type 2 \(y'=ay+b\) (\(a\neq 0\)) | \(y(x)=Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}\) |
Si \(y(x_0)=y_0\) : \(C=\left(y_0+\dfrac{b}{a}\right)e^{-ax_0}\) |
| Cas \(a=0\Rightarrow y'=b\) | \(y(x)=bx+C\) |
Si \(y(x_0)=y_0\) : \(C=y_0-bx_0\) |
| Vérification Toujours dériver puis remplacer dans l’équation ✅ | ||
Astuce Bac : dans \(y'=ay+b\), la constante \(-\dfrac{b}{a}\) est la « valeur d’équilibre » (solution particulière constante).
Méthode Bac — résoudre une équation différentielle
- Identifier le type : \(y'=ay\) ou \(y'=ay+b\).
- Écrire la solution générale (formulaire).
- Utiliser la condition initiale pour calculer \(C\).
- Vérifier : calculer \(y'(x)\) puis comparer au membre de droite.
Exemples express (type Bac)
(1) \(y'=-2y\) et \(y(0)=3\)
\(y(x)=Ce^{-2x}\). CI : \(3=C\). \[ \boxed{y(x)=3e^{-2x}}. \]
\(y(x)=Ce^{-2x}\). CI : \(3=C\). \[ \boxed{y(x)=3e^{-2x}}. \]
(2) \(y'=3y-6\) et \(y(0)=1\)
\(y(x)=Ce^{3x}+2\). CI : \(1=C+2 \Rightarrow C=-1\). \[ \boxed{y(x)=2-e^{3x}}. \]
\(y(x)=Ce^{3x}+2\). CI : \(1=C+2 \Rightarrow C=-1\). \[ \boxed{y(x)=2-e^{3x}}. \]
Pièges classiques
- Oublier le \(\,+C\) quand on demande l’ensemble des primitives.
- Écrire \(\ln(x)\) au lieu de \(\ln|x|\) (ou oublier le domaine).
- Confondre \(y'=ay+b\) avec une primitive : ici on résout une équation, on ne “met pas +C” pareil.
- Ne pas vérifier la solution (au Bac, c’est souvent demandé explicitement).
Checklist Bac
- Je connais le tableau des primitives.
- Je sais traiter \(1/x\) et \(1/(ax+b)\) avec \(\ln|\cdot|\) et domaine.
- Je sais résoudre \(y'=ay\) et \(y'=ay+b\).
- Je sais utiliser une condition initiale pour trouver \(C\).
- Je vérifie en dérivant et en remplaçant.