Fiche de révision maths Terminale Spécialité : Primitives & équations différentielles
TERMINALE-SPE • MATHS — Learna
Cette fiche de révision de maths en Terminale Spécialité résume le chapitre Primitives & équations différentielles. Elle aide à mémoriser les définitions, les formules, les méthodes et les points de vigilance avant un contrôle.
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Fiche ultra-synthèse — Primitives et équations différentielles
Primitives usuelles • linéarité • résolution de \(y'=ay\) et \(y'=ay+b\) •
condition initiale • vérification.
Objectif : zéro faute + méthodes rapides (niveau solide / Bac).
Essentiel (à savoir par cœur)
1 Primitive
\(F\) est une primitive de \(f\) sur un intervalle \(I\) si
\[
F'(x)=f(x)\quad \text{pour tout }x\in I.
\]
Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors toutes les primitives de \(f\) sont
\[
F(x)+C \quad \text{avec } C\in\mathbb{R}.
\]
Piège : oublier le \(+C\) quand on demande l’ensemble des primitives.
2 Primitives usuelles
| Fonction | Une primitive |
|---|---|
| \(1\) | \(x\) |
| \(x^n\), \(n\neq -1\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(e^{ax}\) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax}\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) |
Cas utile :
\[
\int \frac{1}{ax+b}\,dx=\frac{1}{a}\ln|ax+b|+C \quad (a\neq 0).
\]
3 Fonctions composées
Si \(u\) est dérivable et si \(F\) est une primitive de \(f\), alors :
\[
\int u'(x)\,f(u(x))\,dx
=
F(u(x))+C.
\]
| Forme | Une primitive |
|---|---|
| \(u'u^n\) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\), \(n\neq-1\) |
| \(\dfrac{u'}u\) | \(\ln|u|\) |
| \(u'e^u\) | \(e^u\) |
| \(\dfrac{u'}{\sqrt u}\) | \(2\sqrt u\), si \(u>0\) |
| \(u'\cos u\) | \(\sin u\) |
| \(u'\sin u\) | \(-\cos u\) |
Toujours vérifier que le facteur \(u'\) est présent, éventuellement multiplié par une constante.
4 Linéarité
\[
\int \bigl(f(x)+g(x)\bigr)\,dx
=
\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx
\]
\[
\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx
\]
Exemple :
\[
\int (3x^2-2e^x)\,dx = x^3-2e^x+C.
\]
On peut séparer une somme, pas un produit en général.
5 Équations différentielles
Formes à connaître :
\[
y'=ay
\qquad \text{et} \qquad
y'=ay+b
\]
Solutions générales :
\[
y'=ay \Rightarrow y(x)=Ce^{ax}
\]
\[
y'=ay+b \Rightarrow y(x)=Ce^{ax}-\frac{b}{a}
\quad (a\neq 0)
\]
Méthodes (procédures rapides 20/20)
A Trouver une primitive
- Reconnaître la forme : puissance, inverse, exponentielle, trigonométrie.
- Appliquer la bonne formule.
- Ajouter \(+C\) si on demande toutes les primitives.
- Vérifier rapidement par dérivation mentale.
\[
\int (2x-3)^4\,dx
=
\frac{(2x-3)^5}{10}+C
\]
B Primitive d’une forme affine
| Forme | Primitive |
|---|---|
| \((ax+b)^n\), \(n\neq -1\) | \(\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C\) |
| \(\dfrac{1}{ax+b}\) | \(\dfrac{1}{a}\ln|ax+b|+C\) |
| \(e^{ax+b}\) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax+b}+C\) |
Toujours repérer le coefficient de \(x\).
C Résoudre \(y'=ay\)
- Reconnaître le type \(y'=ay\).
- Écrire : \[ y(x)=Ce^{ax}. \]
- Utiliser la condition initiale si elle est donnée.
\(y'=2y,\ y(0)=5\)
\(\Rightarrow y(x)=Ce^{2x}\)
\(y(0)=5 \Rightarrow C=5\)
\(\Rightarrow \boxed{y(x)=5e^{2x}}\)
\(\Rightarrow y(x)=Ce^{2x}\)
\(y(0)=5 \Rightarrow C=5\)
\(\Rightarrow \boxed{y(x)=5e^{2x}}\)
D Résoudre \(y'=ay+b\)
Si \(a\neq 0\),
\[
y(x)=Ce^{ax}-\frac{b}{a}.
\]
\(y'=3y-6,\ y(0)=1\)
\(\Rightarrow y(x)=Ce^{3x}+2\)
\(1=C+2 \Rightarrow C=-1\)
\(\Rightarrow \boxed{y(x)=2-e^{3x}}\)
\(\Rightarrow y(x)=Ce^{3x}+2\)
\(1=C+2 \Rightarrow C=-1\)
\(\Rightarrow \boxed{y(x)=2-e^{3x}}\)
Réflexe final : dériver puis remplacer dans l’équation.
Pièges classiques (à éviter)
1 Oubli du \(+C\)
Si on demande toutes les primitives, il faut écrire
\[
F(x)+C.
\]
2 Logarithme
\[
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C
\]
et pas seulement \(\ln x\) sans précaution.
3 Vérification absente
Une solution d’équation différentielle doit être vérifiée en dérivant.
Rédaction Bac : identifier la forme, écrire la formule, déterminer la constante, conclure proprement.
Mini-tests (30 secondes chacun) — corrigés
Q1 Primitive
Donner toutes les primitives de \(f(x)=4x^3\).
Corrigé : \(\boxed{x^4+C}\).
Q2 Logarithme
Donner toutes les primitives de \(\dfrac{1}{2x+1}\).
Corrigé : \(\boxed{\dfrac{1}{2}\ln|2x+1|+C}\).
Q3 Exponentielle
Donner toutes les primitives de \(e^{5x}\).
Corrigé : \(\boxed{\dfrac{1}{5}e^{5x}+C}\).
Q4 Éq. diff.
Résoudre \(y'=-2y\).
Corrigé : \(\boxed{y(x)=Ce^{-2x}}\).
Q5 Condition initiale
Résoudre \(y'=3y\) avec \(y(0)=4\).
Corrigé : \(\boxed{y(x)=4e^{3x}}\).
Q6 Type \(y'=ay+b\)
Résoudre \(y'=2y+8\).
Corrigé : \(\boxed{y(x)=Ce^{2x}-4}\).
Checklist (avant contrôle / Bac)
Je sais faire
- Définir une primitive sur un intervalle.
- Écrire l’ensemble des primitives sous la forme \(F(x)+C\).
- Utiliser les formules usuelles et la linéarité.
- Reconnaître les équations \(y'=ay\) et \(y'=ay+b\).
- Déterminer la constante avec une condition initiale.
- Vérifier proprement une solution.
Réflexes 20/20
1) J’identifie d’abord la forme.
2) J’écris la formule exacte sans improviser.
3) Je conclus avec une phrase mathématique propre.
2) J’écris la formule exacte sans improviser.
3) Je conclus avec une phrase mathématique propre.
À bannir : oublier \(+C\), oublier la valeur absolue dans \(\ln|x|\), donner une solution sans vérification.
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