Primitives & équations différentielles

On intègre terme à terme : \[ \int 3x^2\,dx = x^3,\qquad \int -4x\,dx = -2x^2,\qquad \int 5\,dx = 5x. \] Donc l’ensemble des primitives est : \[ \boxed{F(x)=x^3-2x^2+5x+C}. \]

Sur \(]0,+\infty[\), on réécrit : \[ \frac{5}{x^3}=5x^{-3},\qquad \frac{2}{\sqrt{x}}=2x^{-1/2}. \] Alors : \[ \int 5x^{-3}\,dx = 5\cdot\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{5}{2}x^{-2}=-\frac{5}{2x^2}, \] \[ \int -2x^{-1/2}\,dx = -2\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}=-4\sqrt{x}. \] Une primitive est : \[ \boxed{F(x)=-\frac{5}{2x^2}-4\sqrt{x}}. \]

On utilise : \[ \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|,\qquad \int \frac{1}{ax+b}\,dx=\frac{1}{a}\ln|ax+b|. \] Donc : \[ \int \frac{4}{x}\,dx = 4\ln|x|, \qquad \int \frac{6}{2x-7}\,dx = 6\cdot\frac{1}{2}\ln|2x-7|=3\ln|2x-7|. \] Ainsi : \[ \boxed{F(x)=4\ln|x|+3\ln|2x-7|+C}. \]

\[ \int 3e^{-2x}\,dx = 3\cdot\left(-\frac12\right)e^{-2x}= -\frac{3}{2}e^{-2x}, \qquad \int -5e^x\,dx=-5e^x. \] Donc : \[ \boxed{F(x)=-\frac{3}{2}e^{-2x}-5e^x+C}. \]

\[ \int 2\cos x\,dx=2\sin x,\qquad \int -3\sin x\,dx=3\cos x. \] Une primitive est : \[ \boxed{F(x)=2\sin x+3\cos x}. \]

Sur tout intervalle où \(\cos x\neq 0\), \[ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}. \] Or \(\big(\ln|\cos x|\big)'=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x\). Donc \[ \int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|+C. \]

\[ F(x)=\int\left(2x+\frac{1}{x}\right)\,dx = x^2+\ln x + C \] (ici \(x>0\Rightarrow \ln|x|=\ln x\)). Condition \(F(1)=0\) : \[ 0=1+\ln 1 + C = 1+0+C \Rightarrow C=-1. \]

Forme \(y'=ay\) avec \(a=-3\). Solution générale : \[ y(x)=Ce^{-3x}. \] Condition initiale : \[ y(0)=2 \Rightarrow C=2. \] Donc : \[ \boxed{y(x)=2e^{-3x}}. \]

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Vérification : \[ y'(x)=2\cdot(-3)e^{-3x}=-6e^{-3x}. \] Et \[ -3y(x)=-3\cdot 2e^{-3x}=-6e^{-3x}=y'(x). \]

Forme \(y'=ay+b\) avec \(a=2\), \(b=-4\). Une solution particulière constante est : \[ y_p=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{2}=2. \] Solution générale : \[ y(x)=Ce^{2x}+2. \] Condition initiale \(y(0)=1\) : \[ 1=C+2 \Rightarrow C=-1. \] Donc : \[ \boxed{y(x)=2-e^{2x}}. \]

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Vérification : \[ y'(x)=-2e^{2x}. \] \[ 2y(x)-4 = 2(2-e^{2x})-4 = -2e^{2x} = y'(x). \]

1) Résolution
On est dans le cas \(y'=ay+b\) avec \(a=3\), \(b=-6\). Solution particulière constante : \[ y_p=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{3}=2. \] Solution générale : \[ y(x)=Ce^{3x}+2. \]

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2) Condition initiale
\[ y(0)=1 \Rightarrow 1=C+2 \Rightarrow C=-1. \] Donc : \[ \boxed{y(x)=2-e^{3x}}. \]

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3) Vérification
\[ y'(x)=-3e^{3x}. \] \[ 3y(x)-6 = 3(2-e^{3x})-6=-3e^{3x}=y'(x). \]

\[ \int \frac{1}{x-2}\,dx=\ln|x-2|+C. \] 1) Une primitive possible : \[ \boxed{F(x)=\ln|x-2|}. \] 2) L’ensemble des primitives : \[ \boxed{F(x)=\ln|x-2|+C}. \] 3) Domaine : valable sur tout intervalle ne contenant pas \(2\), donc sur \((-\infty,2)\) ou \((2,+\infty)\).

\[ (x^3)'=3x^2,\quad (-2x^2)'=-4x,\quad (5x)'=5. \] \[ (4\ln|x|)'=\frac{4}{x}\quad (x\neq 0). \] \[ \left(-\frac{3}{2}e^{-2x}\right)'=-\frac{3}{2}\cdot(-2)e^{-2x}=3e^{-2x}. \] Donc : \[ \boxed{F'(x)=3x^2-4x+5+\frac{4}{x}+3e^{-2x}}. \] Ainsi \(F\) est une primitive de \[ \boxed{f(x)=3x^2-4x+5+\frac{4}{x}+3e^{-2x}}. \] Domaine : \(x\neq 0\) (à cause de \(\ln|x|\) et \(\frac{1}{x}\)).