Primitives Et Equations Differentielles
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Exercices — Primitives et équations différentielles
Terminale Spécialité • Primitives usuelles • Formes composées • Conditions initiales • Équations \(y'=ay\) et \(y'=ay+b\) • Vérification.
Consignes générales
Pour chaque exercice, rédiger la méthode, écrire les formules utilisées, déterminer les constantes éventuelles et vérifier la solution lorsque c’est demandé. Quand on demande une primitive, une seule fonction convient ; quand on demande l’ensemble des primitives, il faut ajouter \(+C\), avec \(C\in\mathbb R\).
Formule-clé pour les fonctions composées : si \(u\) est dérivable et si \(F\) est une primitive de \(f\), alors \[ \int u'(x)\,f(u(x))\,dx=F(u(x))+C. \] Exemples à reconnaître : \[ \int \dfrac{u'}{u}=\ln|u|+C, \qquad \int u'e^u=e^u+C, \qquad \int \dfrac{u'}{\sqrt u}=2\sqrt u+C. \]
1 Primitives directes — puissances et polynômes
Déterminer l’ensemble des primitives sur l’intervalle indiqué.
  1. \(f(x)=6x^5-5x^3+4x^2-7\) sur \(\mathbb R\).
  2. \(g(x)=\dfrac{3}{x^4}-\dfrac{5}{x^2}\) sur \(]0;+\infty[\).
  3. \(h(x)=5\sqrt{x}-2x^3+1\) sur \(]0;+\infty[\).
  4. \(k(x)=\dfrac{4}{\sqrt{x}}+3x^2\) sur \(]0;+\infty[\).
Indice méthode
Réécrire avec les puissances : \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), \(1/\sqrt{x}=x^{-1/2}\), \(1/x^n=x^{-n}\), puis utiliser \[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq -1). \]
Correction détaillée
  1. \[ F(x)=x^6-\frac54x^4+\frac43x^3-7x+C. \]
  2. \[ g(x)=3x^{-4}-5x^{-2} \quad\Rightarrow\quad G(x)=-\frac1{x^3}+\frac5x+C. \]
  3. \[ h(x)=5x^{1/2}-2x^3+1 \quad\Rightarrow\quad H(x)=\frac{10}{3}x^{3/2}-\frac12x^4+x+C. \]
  4. \[ k(x)=4x^{-1/2}+3x^2 \quad\Rightarrow\quad K(x)=8\sqrt{x}+x^3+C. \]
2 Formes composées classiques
Déterminer une primitive de chaque fonction.
  1. \(f(x)=\dfrac{2x}{x^2+9}\)
  2. \(g(x)=\dfrac{8x}{\sqrt{4x^2+3}}\)
  3. \(h(x)=xe^{x^2-1}\)
  4. \(k(x)=\dfrac{\cos x}{2+\sin x}\)
Indice méthode
Chercher une fonction \(u\) telle que le numérateur soit \(u'\), ou un multiple de \(u'\). \[ \int \frac{u'}u=\ln|u|+C,\qquad \int \frac{u'}{\sqrt u}=2\sqrt u+C,\qquad \int u'e^u=e^u+C. \]
Correction détaillée
  1. Avec \(u=x^2+9\), \(u'=2x\), donc \(F(x)=\ln(x^2+9)+C\).
  2. Avec \(u=4x^2+3\), \(u'=8x\), donc \(G(x)=2\sqrt{4x^2+3}+C\).
  3. Comme \(xe^{x^2-1}=\frac12(2x)e^{x^2-1}\), une primitive est \(H(x)=\frac12e^{x^2-1}+C\).
  4. Avec \(u=2+\sin x\), \(u'=\cos x\), donc \(K(x)=\ln(2+\sin x)+C\), car \(2+\sin x>0\).
3 Logarithme — attention aux intervalles
Déterminer l’ensemble des primitives.
  1. \(f(x)=\dfrac{1}{x+3}\) sur \(]-3;+\infty[\).
  2. \(g(x)=\dfrac{2}{2x-1}\) sur \(]\frac12;+\infty[\).
  3. \(h(x)=\dfrac{\ln x}{x}\) sur \(]0;+\infty[\).
  4. \(k(x)=\dfrac{4}{x\ln x}\) sur \(]1;+\infty[\).
Indice méthode
Utiliser \(\int \frac{u'}u=\ln|u|+C\). Pour \(\frac{\ln x}{x}\), reconnaître \(u=\ln x\), donc \(u'=1/x\).
Correction détaillée
  1. Sur \(]-3;+\infty[\), \(x+3>0\), donc \(F(x)=\ln(x+3)+C\).
  2. \(\displaystyle \int \frac2{2x-1}\,dx=\ln(2x-1)+C\).
  3. \(\displaystyle \int \frac{\ln x}{x}\,dx=\frac{(\ln x)^2}{2}+C\).
  4. Sur \(]1;+\infty[\), \(\ln x>0\), donc \(K(x)=4\ln(\ln x)+C\).
4 Primitive avec condition initiale
Déterminer la primitive demandée.
  1. \(f(x)=\dfrac{3}{x+1}\) sur \([0;+\infty[\), avec \(F(0)=2\).
  2. \(g(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\) sur \([0;+\infty[\), avec \(G(0)=1\).
  3. \(h(x)=2x^3-5x+4\) sur \(\mathbb R\), avec \(H(1)=0\).
Indice méthode
Écrire d’abord la primitive générale avec \(+C\), puis utiliser la condition pour déterminer \(C\).
Correction détaillée
  1. \(F(x)=3\ln(x+1)+C\). Comme \(F(0)=2\), \(C=2\). Donc \(F(x)=3\ln(x+1)+2\).
  2. \(G(x)=\ln(x^2+1)+C\). Comme \(G(0)=1\), \(C=1\). Donc \(G(x)=\ln(x^2+1)+1\).
  3. \[ H(x)=\frac12x^4-\frac52x^2+4x+C. \] Comme \(H(1)=0\), \(\frac12-\frac52+4+C=0\), donc \(2+C=0\), puis \(C=-2\). Ainsi \[ H(x)=\frac12x^4-\frac52x^2+4x-2. \]
5 Vérifier une primitive proposée
On considère \(G(x)=(2x-1)e^{2x}\).
  1. Vérifier que \(G'(x)=4xe^{2x}\).
  2. En déduire une primitive de \(g(x)=4xe^{2x}\).
  3. Déterminer la primitive \(G_0\) telle que \(G_0(0)=4\).
Indice méthode
Dériver \(G\) avec la formule du produit : \((uv)'=u'v+uv'\). Une fois \(G'=g\), alors \(G\) est une primitive de \(g\).
Correction détaillée
\[ G'(x)=2e^{2x}+(2x-1)\cdot 2e^{2x}=(2+4x-2)e^{2x}=4xe^{2x}. \] Donc une primitive de \(g\) est \(G(x)=(2x-1)e^{2x}\). Toutes les primitives s’écrivent \((2x-1)e^{2x}+C\). Avec \(G_0(0)=4\) : \(-1+C=4\), donc \(C=5\). Ainsi \[ G_0(x)=(2x-1)e^{2x}+5. \]
6 Synthèse primitives — niveau solide
Déterminer une primitive de chaque fonction.
  1. \(f(x)=(3x-2)^4\)
  2. \(g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}-x^2\) sur \(]0;+\infty[\)
  3. \(h(x)=\sin x+e^{3x}\)
  4. \(k(x)=\dfrac{6}{x+4}\) sur \(]-4;+\infty[\)
Indice méthode
Pour \((3x-2)^4\), utiliser \(u=3x-2\). Pour les autres, utiliser les primitives usuelles : puissance, sinus, exponentielle et logarithme.
Correction détaillée
\[ F(x)=\frac{(3x-2)^5}{15}+C,\quad G(x)=2\sqrt{x}-\frac{x^3}{3}+C, \] \[ H(x)=-\cos x+\frac13e^{3x}+C,\quad K(x)=6\ln(x+4)+C. \]
7 Équations différentielles homogènes
Résoudre dans \(\mathbb R\).
  1. \(y'=6y\)
  2. \(y'-\dfrac23y=0\)
  3. \(2y'+5y=0\)
  4. \(7y'-y=0\)
Indice méthode
Ramener chaque équation à la forme \(y'=ay\), puis utiliser : \[ y'=ay \quad\Rightarrow\quad y(x)=Ce^{ax},\qquad C\in\mathbb R. \]
Correction détaillée
  1. \(y(x)=Ce^{6x}\).
  2. \(y'=\frac23y\), donc \(y(x)=Ce^{2x/3}\).
  3. \(y'=-\frac52y\), donc \(y(x)=Ce^{-5x/2}\).
  4. \(y'=\frac17y\), donc \(y(x)=Ce^{x/7}\).
8 Équations différentielles \(y'=ay+b\)
Résoudre dans \(\mathbb R\).
  1. \(y'=-4y+8\)
  2. \(y'+5y=10\)
  3. \(y'=\dfrac13y-2\)
  4. \(3y'-2y=6\)
Indice méthode
Pour \(y'=ay+b\) avec \(a\neq0\), la solution générale est : \[ y(x)=Ce^{ax}-\frac{b}{a}. \] On peut aussi chercher une solution particulière constante \(k\) en posant \(0=ak+b\).
Correction détaillée
  1. \(a=-4\), \(b=8\), donc \(y(x)=Ce^{-4x}+2\).
  2. \(y'=-5y+10\), donc \(y(x)=Ce^{-5x}+2\).
  3. \(a=\frac13\), \(b=-2\), donc \(y(x)=Ce^{x/3}+6\).
  4. \(y'=\frac23y+2\), donc \(y(x)=Ce^{2x/3}-3\).
9 Conditions initiales
Résoudre avec la condition initiale.
  1. \(y'=2y-5\), \(y(0)=0\)
  2. \(y'+4y=8\), \(y(1)=2\)
  3. \(2y'+5y=0\), \(y(0)=3\)
  4. \(7y'-y=0\), \(y(7)=e\)
Indice méthode
Trouver la solution générale, puis remplacer \(x\) par la valeur donnée pour déterminer \(C\).
Correction détaillée
  1. \(y(x)=Ce^{2x}+\frac52\). Avec \(y(0)=0\), \(C=-\frac52\). Donc \(y(x)=\frac52(1-e^{2x})\).
  2. \(y(x)=Ce^{-4x}+2\). Avec \(y(1)=2\), \(C=0\). Donc \(y(x)=2\).
  3. \(y(x)=Ce^{-5x/2}\). Avec \(y(0)=3\), \(C=3\). Donc \(y(x)=3e^{-5x/2}\).
  4. \(y(x)=Ce^{x/7}\). Avec \(y(7)=e\), \(Ce=e\), donc \(C=1\). Donc \(y(x)=e^{x/7}\).
10 Vérifier une solution d’équation différentielle
On propose \(y(x)=3e^{-2x}+4\).
  1. Calculer \(y'(x)\).
  2. Vérifier que \(y\) est solution de \(y'=-2y+8\).
  3. Déterminer \(y(0)\).
Indice méthode
Pour vérifier, calculer séparément \(y'\) et \(-2y+8\), puis comparer les deux expressions.
Correction détaillée
\[ y'(x)=-6e^{-2x}. \] D’autre part : \[ -2y+8=-2(3e^{-2x}+4)+8=-6e^{-2x}. \] Donc \(y'=-2y+8\). Enfin \(y(0)=7\).
11 Retrouver une équation différentielle
On pose \(y(x)=4e^{-3x}+2\).
  1. Calculer \(y'(x)\).
  2. Exprimer \(e^{-3x}\) en fonction de \(y\).
  3. En déduire une équation différentielle de la forme \(y'=ay+b\) vérifiée par \(y\).
Indice méthode
À partir de \(y=4e^{-3x}+2\), isoler \(e^{-3x}\) : \[ e^{-3x}=\frac{y-2}{4}. \]
Correction détaillée
\[ y'(x)=-12e^{-3x}. \] Or \(e^{-3x}=\frac{y-2}{4}\). Donc \[ y'=-12\cdot\frac{y-2}{4}=-3y+6. \] Ainsi \(y\) vérifie \(\boxed{y'=-3y+6}\).
12 Valeur d’équilibre et comportement
On considère l’équation \(y'=-2y+8\).
  1. Déterminer la solution constante, appelée valeur d’équilibre.
  2. Donner la solution générale.
  3. Déterminer la solution vérifiant \(y(0)=1\).
  4. Donner la limite de cette solution quand \(x\to+\infty\).
Indice méthode
Une solution constante \(k\) vérifie \(0=-2k+8\). Ensuite utiliser la forme \(Ce^{-2x}+k\).
Correction détaillée
\[ 0=-2k+8\Rightarrow k=4. \] Donc \(y(x)=Ce^{-2x}+4\). Avec \(y(0)=1\), \(C=-3\). Ainsi \[ y(x)=4-3e^{-2x}. \] Comme \(e^{-2x}\to0\), \(\lim_{x\to+\infty}y(x)=4\).
13 Problème type Bac — évolution vers un équilibre
Une grandeur \(T\) vérifie \(T'=-0{,}2T+4\), avec \(T(0)=30\).
  1. Déterminer la valeur d’équilibre.
  2. Résoudre l’équation différentielle.
  3. Déterminer l’expression de \(T(t)\).
  4. Interpréter la limite de \(T(t)\) quand \(t\to+\infty\).
Indice méthode
La valeur d’équilibre \(L\) vérifie \(0=-0{,}2L+4\). La solution générale est \(Ce^{-0{,}2t}+L\).
Correction détaillée
\[ 0=-0{,}2L+4\Rightarrow L=20. \] Donc \(T(t)=Ce^{-0{,}2t}+20\). Avec \(T(0)=30\), \(C=10\). Ainsi \[ T(t)=10e^{-0{,}2t}+20. \] La limite vaut \(20\) : la grandeur se stabilise vers \(20\).
14 Signe de \(y'\) et interprétation
On considère \(y'=-3y+12\) et \(y(0)=1\).
  1. Résoudre l’équation.
  2. Montrer que la solution est croissante sur \([0;+\infty[\).
  3. Déterminer sa limite en \(+\infty\).
Indice méthode
Résoudre d’abord : \(y(x)=Ce^{-3x}+4\). Ensuite dériver l’expression obtenue.
Correction détaillée
\(y(x)=Ce^{-3x}+4\). Avec \(y(0)=1\), \(C=-3\), donc \[ y(x)=4-3e^{-3x}. \] Alors \(y'(x)=9e^{-3x}>0\), donc \(y\) est croissante sur \([0;+\infty[\). Sa limite vaut \(4\).
15 Synthèse primitive + équation différentielle
On considère \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+3}\) sur \(\mathbb R\).
  1. Déterminer une primitive \(F\) de \(f\).
  2. Déterminer la primitive \(F_0\) telle que \(F_0(0)=2\).
  3. Résoudre \(y'+2y=4\).
  4. Déterminer la solution telle que \(y(0)=F_0(0)\).
Indice méthode
Pour la primitive, utiliser \(u=x^2+x+3\), donc \(u'=2x+1\). Pour l’équation différentielle, chercher la constante d’équilibre.
Correction détaillée
Une primitive est \(F(x)=\ln(x^2+x+3)+C\). Comme \(F_0(0)=2\), \(\ln 3+C=2\), donc \[ F_0(x)=\ln(x^2+x+3)+2-\ln3. \] Pour \(y'+2y=4\), on a \(y'=-2y+4\), donc \(y(x)=Ce^{-2x}+2\). Comme \(y(0)=F_0(0)=2\), \(C=0\). Ainsi \(y(x)=2\).
16 Grand exercice final type Bac
On considère \(f(x)=\dfrac{\cos x}{\sqrt{4+\sin x}}\) sur \(\mathbb R\).
  1. Déterminer une primitive \(F\) de \(f\).
  2. Déterminer \(F_0\) telle que \(F_0\left(\frac\pi6\right)=0\).
  3. Résoudre \(y'+3y=6\).
  4. Déterminer la solution \(y\) telle que \(y(0)=F_0(0)\).
Indice méthode
Pour la primitive, poser \(u=4+\sin x\), donc \(u'=\cos x\), et utiliser \(\int u'/\sqrt u=2\sqrt u+C\). Pour l’équation différentielle, \(y'+3y=6\) équivaut à \(y'=-3y+6\).
Correction détaillée
\[ F(x)=2\sqrt{4+\sin x}+C. \] Comme \(\sin(\pi/6)=1/2\), \[ F_0\left(\frac\pi6\right)=2\sqrt{\frac92}+C=3\sqrt2+C=0, \] donc \(C=-3\sqrt2\) et \[ F_0(x)=2\sqrt{4+\sin x}-3\sqrt2. \] Pour \(y'+3y=6\), \(y(x)=Ce^{-3x}+2\). Or \(F_0(0)=4-3\sqrt2\), donc \[ C+2=4-3\sqrt2\Rightarrow C=2-3\sqrt2. \] Finalement \[ y(x)=(2-3\sqrt2)e^{-3x}+2. \]