Exercices corrigés — Primitives & Équations Différentielles (Tle spé)

1. On primitive terme à terme : \[F(x)=x^6-x^4+x^3-5x.\] En effet, \((x^6)'=6x^5\), \((-x^4)'=-4x^3\), \((x^3)'=3x^2\) et \((-5x)'=-5\).

2. Toutes les primitives sont donc \[F_C(x)=x^6-x^4+x^3-5x+C,\qquad C\in\mathbb R.\]

3. La condition \(G(1)=2\) donne \[1-1+1-5+C=2,\] soit \(C-4=2\), donc \(C=6\). Ainsi \[\boxed{G(x)=x^6-x^4+x^3-5x+6}.\]

4. \[G'(x)=6x^5-4x^3+3x^2-5=f(x).\] La condition de primitive est bien vérifiée.

1. Le discriminant vaut \(\Delta=3^2-4\times1\times5=-11<0\). Comme le coefficient dominant est positif, \(x^2+3x+5>0\) sur \(\mathbb R\).

2. Avec \(u(x)=x^2+3x+5\), on a \(u'(x)=2x+3\). Donc \[f(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}\] et les primitives sont \[F_C(x)=\ln(x^2+3x+5)+C.\]

3. \(G(0)=\ln5+C=1\), donc \(C=1-\ln5\). Ainsi \[\boxed{G(x)=\ln(x^2+3x+5)+1-\ln5}.\]

4. \[G'(x)=\dfrac{2x+3}{x^2+3x+5}=f(x).\]

1. On pose \(u(x)=2x^2-2x+1\). Alors \(u'(x)=4x-2\), donc \(f=u'e^u\).

2. Une primitive est \(e^{u(x)}\). Ainsi toutes les primitives sont \[F_C(x)=e^{2x^2-2x+1}+C.\]

3. Comme \(F_0(0)=e+C=0\), on obtient \(C=-e\). Donc \[\boxed{F_0(x)=e^{2x^2-2x+1}-e}.\]

4. \[F_0'(x)=(4x-2)e^{2x^2-2x+1}=f(x).\]

1. Pour \(u(x)=\dfrac32x^2+2x+5\), le discriminant vaut \(4-4\times\dfrac32\times5=-26<0\). Comme \(\dfrac32>0\), on a \(u(x)>0\) pour tout réel \(x\).

2. Puisque \(u'(x)=3x+2\), \[f(x)=\dfrac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}.\] Les primitives sont \[F_C(x)=2\sqrt{\dfrac32x^2+2x+5}+C.\]

3. \(G(0)=2\sqrt5+C=1\), donc \(C=1-2\sqrt5\). Ainsi \[\boxed{G(x)=2\sqrt{\dfrac32x^2+2x+5}+1-2\sqrt5}.\]

4. \[G'(x)=2\times\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\dfrac{3x+2}{\sqrt{\dfrac32x^2+2x+5}}=f(x).\]

1. Une constante \(L\) vérifie \(0=-2L+8\), donc \(\boxed{L=4}\).

2. Les solutions sont \[y(x)=4+Ce^{-2x},\qquad C\in\mathbb R.\]

3. \(y(0)=4+C=1\), donc \(C=-3\). Ainsi \[\boxed{y(x)=4-3e^{-2x}}.\]

4. \[y'(x)=6e^{-2x}>0.\] La solution est strictement croissante. Comme \(e^{-2x}\to0\), \[\boxed{\lim_{x\to+\infty}y(x)=4}.\]

1. Une primitive est \[F(x)=\sin(3x)+\cos(2x).\]

2. Toutes les primitives sont \[F_C(x)=\sin(3x)+\cos(2x)+C.\]

3. \(G(0)=0+1+C=0\), donc \(C=-1\). Ainsi \[\boxed{G(x)=\sin(3x)+\cos(2x)-1}.\]

4. \[G'(x)=3\cos(3x)-2\sin(2x)=f(x).\]

1. Si \(x>\dfrac12\), alors \(2x-1>0\). Le logarithme \(\ln(2x-1)\) est donc défini.

2. \[\left(2\ln(2x-1)\right)'=2\times\dfrac{2}{2x-1}=\dfrac4{2x-1}.\] Les primitives sont \[F_C(x)=2\ln(2x-1)+C.\]

3. \(F(1)=2\ln1+C=C=3\), donc \[\boxed{F(x)=2\ln(2x-1)+3}.\]

4. Sur \(]-\infty;\dfrac12[\), le facteur \(2x-1\) est négatif. Une écriture valable est \[2\ln|2x-1|+C.\] Le choix de l'intervalle est indispensable.

1. \[G'(x)=2e^{2x}+(2x-1)\,2e^{2x}=(2+4x-2)e^{2x}=4xe^{2x}.\]

2. Donc \(G\) est une primitive de \(g(x)=4xe^{2x}\).

3. Toutes les primitives sont \[(2x-1)e^{2x}+C,\qquad C\in\mathbb R.\]

4. \(G(0)=-1\). On veut \(-1+C=4\), donc \(C=5\). Ainsi \[\boxed{G_0(x)=(2x-1)e^{2x}+5}.\]

1. \(0=3L+6\) donne \(\boxed{L=-2}\).

2. Toutes les solutions sont \[y(x)=Ce^{3x}-2.\]

3. \(y(0)=C-2=-1\), donc \(C=1\). Ainsi \[\boxed{y(x)=e^{3x}-2}.\]

4. \[y'(x)=3e^{3x}>0.\] La solution est strictement croissante et \[\boxed{\lim_{x\to+\infty}y(x)=+\infty}.\]

1. \[y_{n+1}=y_n+0{,}5(-y_n+4)=0{,}5y_n+2.\]

2. \[y_1=0{,}5\times1+2=2{,}5,\qquad y_2=0{,}5\times2{,}5+2=3{,}25.\]

3. Les solutions de \(y'=-y+4\) sont \(4+Ce^{-x}\). La condition \(y(0)=1\) donne \(C=-3\), donc \[\boxed{y(x)=4-3e^{-x}}.\]

4. \[y(1)=4-\dfrac3e\approx2{,}8964.\] L'approximation d'Euler donne \(3{,}25\). L'erreur absolue vaut environ \[|3{,}25-2{,}8964|\approx\boxed{0{,}3536}.\]

1. \[F_a'(x)=e^{2x}+2(x+a)e^{2x}=(2x+2a+1)e^{2x}.\]

2. On veut \(2x+2a+1=2x+5\), donc \(2a+1=5\) et \(\boxed{a=2}\).

3. Une primitive particulière est \((x+2)e^{2x}\). Toutes les primitives sont \[(x+2)e^{2x}+C.\]

4. En \(0\), la valeur est \(2+C\). La condition \(H(0)=0\) donne \(C=-2\). Ainsi \[\boxed{H(x)=(x+2)e^{2x}-2}.\]

1. Le discriminant vaut \(-11<0\) et le coefficient de \(x^2\) est positif ; le trinôme est donc strictement positif.

2. \[(x^2+x+3)'=2x+1.\] Ainsi \[F_C(x)=\ln(x^2+x+3)+C.\]

3. \(\ln3+C=2\), donc \[\boxed{F_0(x)=\ln(x^2+x+3)+2-\ln3}.\]

4. \[F_0(1)=\ln5+2-\ln3=\boxed{2+\ln\left(\dfrac53\right)}.\]

1. \[H'=F'-G'=f-f=0.\]

2. Puisque \(H'\) est identiquement nulle sur l'intervalle \(I\), \(H\) est constante sur \(I\).

3. Il existe donc \(C\in\mathbb R\) tel que \(H(x)=C\), c'est-à-dire \[\boxed{F(x)=G(x)+C\quad\text{pour tout }x\in I}.\]

4. Si \(F(x_0)=G(x_0)\), alors \(C=F(x_0)-G(x_0)=0\). Ainsi \(F=G\) sur \(I\). Cela prouve l'unicité d'une primitive lorsque sa valeur est imposée en un point.

1. \[z'(x)=-ae^{-ax}y(x)+e^{-ax}y'(x)=e^{-ax}(y'-ay)=0.\]

2. Donc \(z\) est constante : il existe \(C\in\mathbb R\) tel que \(z(x)=C\).

3. Comme \(e^{-ax}y(x)=C\), on obtient \[\boxed{y(x)=Ce^{ax}}.\] Réciproquement, la dérivée de \(Ce^{ax}\) vaut bien \(aCe^{ax}=ay\).

4. \(y(x)=Ce^{-3x}\). La condition \(y(2)=5\) donne \(Ce^{-6}=5\), donc \(C=5e^6\). Une écriture plus lisible est \[\boxed{y(x)=5e^{-3(x-2)}}.\]

1. \(0=-0{,}4L+6\) donne \(\boxed{L=15}\).

2. \(T(t)=15+Ce^{-0{,}4t}\). La condition \(T(0)=30\) donne \(C=15\), donc \[\boxed{T(t)=15+15e^{-0{,}4t}}.\]

3. \[T'(t)=-6e^{-0{,}4t}<0.\] La grandeur décroît et se stabilise vers \(15\), car \(e^{-0{,}4t}\to0\).

4. \[15+15e^{-0{,}4t}<16\Longleftrightarrow e^{-0{,}4t}<\dfrac1{15}.\] En prenant le logarithme : \(-0{,}4t<-\ln15\), donc \[\boxed{t>\dfrac{\ln15}{0{,}4}=\dfrac52\ln15\approx6{,}77}.\]

1. \(0=0{,}2L+10\), donc \(\boxed{L=-50}\).

2. \(y(t)=-50+Ce^{0{,}2t}\). Comme \(y(0)=50\), \(C=100\). Ainsi \[\boxed{y(t)=100e^{0{,}2t}-50}.\]

3. \[y'(t)=20e^{0{,}2t}>0.\] La solution est strictement croissante et tend vers \(+\infty\).

4. \[100e^{0{,}2t}-50>200\Longleftrightarrow e^{0{,}2t}>\dfrac52.\] Donc \[\boxed{t>5\ln\left(\dfrac52\right)\approx4{,}58}.\]

1. \(y_p'(x)=3e^{3x}\) et \(2y_p(x)+e^{3x}=3e^{3x}\). La vérification est correcte.

2. Les solutions de l'équation homogène \(z'=2z\) sont \(Ce^{2x}\). Ainsi \[\boxed{y(x)=e^{3x}+Ce^{2x}}.\]

3. \(y(0)=1+C=0\), donc \(C=-1\) et \[\boxed{y(x)=e^{3x}-e^{2x}}.\]

4. Pour \(x>0\), \[y(x)=e^{2x}(e^x-1)>0.\] De plus \(e^{3x}\) domine \(e^{2x}\), donc \[\boxed{\lim_{x\to+\infty}y(x)=+\infty}.\]

1. \[y_p'(x)=\dfrac{\cos x+\sin x}{2}.\] D'autre part, \[-y_p(x)+\sin x=-\dfrac{\sin x-\cos x}{2}+\sin x=\dfrac{\sin x+\cos x}{2}.\] Donc \(y_p\) est bien particulière.

2. Toutes les solutions sont \[y(x)=\dfrac{\sin x-\cos x}{2}+Ce^{-x}.\]

3. \(y_p(0)=-\dfrac12\). La condition \(y(0)=1\) donne \(-\dfrac12+C=1\), donc \(C=\dfrac32\). Ainsi \[\boxed{y(x)=\dfrac{\sin x-\cos x}{2}+\dfrac32e^{-x}}.\]

4. Pour \(x\ge0\), \[|y(x)|\le\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac32.\] La solution est donc bornée. On ne prétend pas qu'elle converge : la partie trigonométrique reste oscillante.

1. \[L=\dfrac{12}{k}.\]

2. On impose \(12/k=3\), donc \(\boxed{k=4}\).

3. Pour \(k=4\), \(y(t)=3+Ce^{-4t}\). La condition initiale donne \(C=-3\). Ainsi \[\boxed{y(t)=3(1-e^{-4t})}.\]

4. \[3(1-e^{-4t})>2{,}9\Longleftrightarrow e^{-4t}<\dfrac1{30}.\] Donc \[\boxed{t>\dfrac{\ln30}{4}\approx0{,}850}.\]

1. \[y_{n+1}=y_n+0{,}25(-2y_n+6)=0{,}5y_n+1{,}5.\]

2. \[y_1=1{,}5,\quad y_2=2{,}25,\quad y_3=2{,}625,\quad y_4=2{,}8125.\]

3. \[3-y_{n+1}=3-(0{,}5y_n+1{,}5)=0{,}5(3-y_n).\] Comme \(3-y_0=3\), \[\boxed{3-y_n=3\left(\dfrac12\right)^n}.\]

4. On cherche \(3(1/2)^n<0{,}01\). Or au rang \(8\), l'écart vaut \(3/256\approx0{,}01172\), et au rang \(9\), \(3/512\approx0{,}00586\). Le premier rang est donc \(\boxed{n=9}\). Le temps associé vaut \(x_9=9\times0{,}25=\boxed{2{,}25}\).

1. \[F'(x)=\left[a+(ax+b)(2x+1)\right]e^{x^2+x}.\] En développant : \[F'(x)=\left(2ax^2+(a+2b)x+(a+b)\right)e^{x^2+x}.\]

2. Par identification, \(2a=6\), donc \(a=3\). Puis \(a+2b=4\), donc \(3+2b=4\) et \(b=\dfrac12\). Enfin \(a+b=\dfrac72\), ce qui vérifie bien le terme constant.

3. Les primitives sont \[\boxed{\left(3x+\dfrac12\right)e^{x^2+x}+C}.\]

4. En \(0\), la primitive particulière vaut \(1/2\). Il faut donc \(C=-1/2\) : \[\boxed{G(x)=\left(3x+\dfrac12\right)e^{x^2+x}-\dfrac12}.\]

1. Comme \(-1\le\sin(2x)\le1\), \[2\le3+\sin(2x)\le4.\] Le dénominateur est donc toujours strictement positif.

2. Avec \(u=3+\sin(2x)\), \(u'=2\cos(2x)\). Ainsi \[F_C(x)=\ln(3+\sin(2x))+C.\]

3. \(F(\pi/4)=\ln4+C=0\), donc \(C=-\ln4\). Ainsi \[\boxed{F(x)=\ln(3+\sin(2x))-\ln4}.\]

4. \[F(0)=\ln3-\ln4=\boxed{\ln\left(\dfrac34\right)}.\]

1. \(\Delta=m^2-16<0\) puisque \(|m|<4\). Avec un coefficient dominant positif, le trinôme est strictement positif sur \(\mathbb R\).

2. Les primitives sont \(\ln(x^2+mx+4)+C\). La condition \(F_m(0)=0\) donne \(\ln4+C=0\), donc \[\boxed{F_m(x)=\ln\left(\dfrac{x^2+mx+4}{4}\right)}.\]

3. \[F_m(1)=\ln\left(\dfrac{m+5}{4}\right).\]

4. \[\ln\left(\dfrac{m+5}{4}\right)=\ln\left(\dfrac32\right)\Longleftrightarrow \dfrac{m+5}{4}=\dfrac32.\] Ainsi \(m+5=6\) et \(\boxed{m=1}\).

1. \[y'(t)=-60ke^{-kt}.\] Donc \(y'(0)=-60k=-12\), d'où \(\boxed{k=0{,}2}\).

2. Comme \(y-20=60e^{-0{,}2t}\), \[y'=-0{,}2\times60e^{-0{,}2t}=-0{,}2(y-20)=-0{,}2y+4.\] Ainsi \(\boxed{a=-0{,}2\text{ et }b=4}\).

3. \(y(0)=20+60=80\), et \(\lim y(t)=20\). La valeur d'équilibre est donc \(20\).

4. \[20+60e^{-0{,}2t}<25\Longleftrightarrow e^{-0{,}2t}<\dfrac1{12}.\] Ainsi \[\boxed{t>5\ln12\approx12{,}42}.\]

1. L'équilibre est \(a\). Comme \(y_a(0)=1\), \(1=a+C\), donc \[\boxed{y_a(x)=a+(1-a)e^{-2x}}.\]

2. \[y_a(\ln2)=a+\dfrac{1-a}{4}=\dfrac{3a+1}{4}.\] On impose \((3a+1)/4=7/4\), donc \(3a+1=7\) et \(\boxed{a=2}\).

3. Pour \(a=2\), \[y(x)=2-e^{-2x},\qquad y'(x)=2e^{-2x}>0.\] La solution est strictement croissante.

4. \[\boxed{\lim_{x\to+\infty}y(x)=2}.\] Plus généralement, pour cette famille stable, le paramètre \(a\) est précisément la valeur d'équilibre.

1. \(T(t)=20+Ce^{-kt}\). Avec \(T(0)=80\), \(C=60\). Donc \[T(t)=20+60e^{-kt}.\]

2. La condition \(T(10)=50\) donne \[50=20+60e^{-10k}\Longleftrightarrow e^{-10k}=\dfrac12.\] Ainsi \[-10k=-\ln2\] et \[\boxed{k=\dfrac{\ln2}{10}}.\]

3. \[\boxed{T(t)=20+60e^{-\dfrac{\ln2}{10}t}}.\]

4. \(T(t)<25\) équivaut à \(e^{-kt}<1/12\), donc \(t>\ln12/k\). Finalement \[\boxed{t>\dfrac{10\ln12}{\ln2}\approx35{,}85}.\]

1. \(0=-0{,}5L+4\) donne \(\boxed{L=8}\).

2. \(C(t)=8+Ke^{-0{,}5t}\). Comme \(C(0)=0\), \(K=-8\). Donc \[\boxed{C(t)=8(1-e^{-0{,}5t})}.\]

3. \[C'(t)=4e^{-0{,}5t}>0.\] De plus \(0<e^{-0{,}5t}\le1\), donc \(0\le C(t)<8\) pour \(t>0\). La concentration croît vers l'équilibre \(8\).

4. \[8(1-e^{-0{,}5t})>7{,}5\Longleftrightarrow e^{-0{,}5t}<\dfrac1{16}.\] Donc \[\boxed{t>2\ln16=8\ln2\approx5{,}55}.\]

1. \(y_p'(x)=2x\). D'autre part, \[-y_p+x^2+2x+2=-(x^2+2)+x^2+2x+2=2x.\] Donc \(y_p\) est bien particulière.

2. Les solutions de l'homogène \(z'=-z\) sont \(Ce^{-x}\). Ainsi \[\boxed{y(x)=x^2+2+Ce^{-x}}.\]

3. \(y(0)=2+C=1\), donc \(C=-1\). Ainsi \[\boxed{y(x)=x^2+2-e^{-x}}.\]

4. \[y(x)-x^2=2-e^{-x}\longrightarrow2.\] Donc \[\boxed{y(x)-x^2\to2}.\]

1. \[y_{n+1}=y_n+0{,}2(0{,}5y_n+1)=1{,}1y_n+0{,}2.\]

2. \[y_1=2{,}4,\qquad y_2=2{,}84,\qquad y_3=3{,}324.\]

3. Les solutions sont \(-2+Ce^{0{,}5x}\). Avec \(y(0)=2\), \(C=4\), donc \[\boxed{y(x)=4e^{0{,}5x}-2}.\]

4. \[y(0{,}6)=4e^{0{,}3}-2\approx3{,}399.\] L'erreur absolue vaut \[|3{,}324-3{,}399|\approx\boxed{0{,}075}.\]

1. Le trinôme \(x^2+x+1\) est strictement positif car son discriminant vaut \(-3\). De plus \[F'(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}=f(x),\qquad F(0)=\ln1=0.\]

2. Si \(y=F\), le membre de droite vaut \[-2F+2F+\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}=F'.\] Donc \(F\) est bien une solution particulière.

3. Toutes les solutions sont \[y(x)=F(x)+Ce^{-2x}.\] Comme \(F(0)=0\) et \(y(0)=3\), \(C=3\). Ainsi \[\boxed{y(x)=\ln(x^2+x+1)+3e^{-2x}}.\]

4. \[|y(x)-F(x)|=3e^{-2x}.\] On veut \(3e^{-2x}<10^{-3}\), soit \(e^{-2x}<1/3000\). Donc \[\boxed{x>\dfrac12\ln3000\approx4{,}003}.\]