Quiz HARD+ — Loi des grands nombres (20 questions • Bac exigeant)
Difficulté Bac : cohérence d’un modèle, critique d’affirmations, estimation par fréquence, lecture avancée de simulations, lien binomiale/fréquence et fluctuations (sans calculs lourds). Rédaction attendue : proche / tend vers / se stabilise autour (jamais “égal”).
Q2. On modélise une expérience par une Bernoulli de paramètre \(p=0{,}20\). Sur \(n=3000\) essais, on observe \(k=810\) succès.
1) Calculer \(f_{3000}\). 2) Dire si le modèle paraît cohérent (répondre “cohérent” ou “pas cohérent”). Non vérifié
1) Calculer \(f_{3000}\). 2) Dire si le modèle paraît cohérent (répondre “cohérent” ou “pas cohérent”). Non vérifié
Indice
Fréquence : \(f_n=\dfrac{k}{n}\). Pour \(n\) très grand, si le modèle est bon, \(f_n\) est en général proche de \(p\) (LGN).
Correction
Étape 1 — calcul de la fréquence.
La fréquence observée des succès vaut :\[f_{3000}=\frac{k}{n}=\frac{810}{3000}=0{,}27.\]Étape 2 — comparaison à \(p\).
Le modèle annonce \(p=0{,}20\). Or on observe \(f_{3000}=0{,}27\), donc un écart de\[0{,}27-0{,}20=0{,}07.\]Étape 3 — conclusion Bac (LGN).
Comme \(n=3000\) est très grand, la loi des grands nombres indique que, si le modèle était correct, la fréquence devrait se stabiliser autour de \(0{,}20\). Un écart de \(0{,}07\) est important : le modèle paraît pas cohérent (au sens “peu crédible”).
La fréquence observée des succès vaut :\[f_{3000}=\frac{k}{n}=\frac{810}{3000}=0{,}27.\]Étape 2 — comparaison à \(p\).
Le modèle annonce \(p=0{,}20\). Or on observe \(f_{3000}=0{,}27\), donc un écart de\[0{,}27-0{,}20=0{,}07.\]Étape 3 — conclusion Bac (LGN).
Comme \(n=3000\) est très grand, la loi des grands nombres indique que, si le modèle était correct, la fréquence devrait se stabiliser autour de \(0{,}20\). Un écart de \(0{,}07\) est important : le modèle paraît pas cohérent (au sens “peu crédible”).
Q3. On annonce \(p=0{,}35\). Sur \(n=2000\) essais, on observe \(f_{2000}=0{,}361\). Conclure (répondre : “cohérent” ou “pas cohérent”).
Non vérifié
Indice
Comparer \(0{,}361\) et \(0{,}35\) : écart faible pour un grand \(n\).
Correction
Ici on ne calcule pas \(f_n\) (il est donné). On compare directement :\[f_{2000}=0{,}361\quad\text{et}\quad p=0{,}35.\]Écart : \(0{,}361-0{,}35=0{,}011\), donc la fréquence est proche de \(p\). Pour \(n=2000\) (grand), c’est exactement l’idée de la LGN : cohérent.
Q4. Deux séries indépendantes d’une même Bernoulli(\(p\)) avec \(n=5000\) donnent \(f^{(1)}=0{,}492\) et \(f^{(2)}=0{,}508\). Estimer \(p\) par la moyenne des fréquences.
Non vérifié
Indice
Calculer \(\frac{0{,}492+0{,}508}{2}\).
Correction
On propose une estimation en “moyennant” deux grandes séries :\[\widehat p=\frac{0{,}492+0{,}508}{2}=\frac{1{,}000}{2}=0{,}500.\]Interprétation Bac : chaque fréquence est une approximation de \(p\) (LGN) ; la moyenne des deux atténue les fluctuations : \(p\approx 0{,}50\).
Q5. On observe une fréquence \(f_{40}=0{,}40\) alors que \(p=0{,}25\). La conclusion correcte est : (répondre A, B ou C)
A : “Le modèle est faux.”
B : “Le résultat peut être une fluctuation, \(n\) est petit.”
C : “Le prochain essai aura une probabilité > \(p\) pour compenser.” Non vérifié
A : “Le modèle est faux.”
B : “Le résultat peut être une fluctuation, \(n\) est petit.”
C : “Le prochain essai aura une probabilité > \(p\) pour compenser.” Non vérifié
Indice
Petit \(n\) ⇒ fluctuations fortes. Indépendance ⇒ pas de compensation.
Correction
Pourquoi A est faux ? Avec \(n=40\), on peut avoir des fréquences assez éloignées de \(p\) : la LGN ne garantit pas une proximité nette pour un petit échantillon.
Pourquoi C est faux ? C’est l’erreur du joueur : si les essais sont indépendants, la probabilité au prochain essai reste \(p\), elle ne “compense” pas le passé.
Donc la bonne réponse est B : fluctuation possible car \(n\) est petit.
Pourquoi C est faux ? C’est l’erreur du joueur : si les essais sont indépendants, la probabilité au prochain essai reste \(p\), elle ne “compense” pas le passé.
Donc la bonne réponse est B : fluctuation possible car \(n\) est petit.
Q6. Vrai/Faux : “Si \(\mathbb{P}(A)=0{,}5\), alors pour \(n\) grand la fréquence vaut \(0{,}5\) exactement.”
Non vérifié
Indice
LGN : proximité, pas égalité stricte.
Correction
Faux. La loi des grands nombres affirme :\[f_n(A)\to\mathbb{P}(A)\quad\text{quand }n\to+\infty.\]Cela signifie “se rapproche / se stabilise autour”, pas “égale exactement” pour un \(n\) fini, même très grand.
Q7. Un élève écrit : “Comme on a eu 12 piles sur les 20 derniers lancers, la probabilité de pile est 0,6.” Quelle correction Bac est la meilleure ? (A/B/C)
A : “C’est vrai.”
B : “0,6 est une fréquence, pas une probabilité ; on peut l’utiliser comme estimation seulement si \(n\) est grand.”
C : “Il faut attendre que pile et face s’alternent.” Non vérifié
A : “C’est vrai.”
B : “0,6 est une fréquence, pas une probabilité ; on peut l’utiliser comme estimation seulement si \(n\) est grand.”
C : “Il faut attendre que pile et face s’alternent.” Non vérifié
Indice
Probabilité (modèle) ≠ fréquence (observée). \(n=20\) est petit.
Correction
On a observé 12 piles sur 20, donc la fréquence vaut \(\frac{12}{20}=0{,}6\). Mais une probabilité est une valeur théorique (paramètre du modèle), alors que la fréquence dépend de la série observée.
De plus, \(n=20\) est petit : fluctuations fortes. Donc la meilleure correction Bac est B.
De plus, \(n=20\) est petit : fluctuations fortes. Donc la meilleure correction Bac est B.
Q8. Vrai/Faux : “La loi des grands nombres affirme que la moyenne des fréquences sur plusieurs séries est exactement \(p\).”
Non vérifié
Indice
LGN = convergence quand \(n\to\infty\), pas égalité exacte à taille finie.
Correction
Faux. La LGN parle de la fréquence d’une série quand \(n\) devient très grand : elle se rapproche de \(p\). Moyenner plusieurs séries peut améliorer une estimation, mais pas d’exactitude garantie à taille finie.
Q9. On répète \(n\) fois une Bernoulli(\(p\)). \(X\) = nombre de succès et \(F=\frac{X}{n}\). Donner \(\mathbb{E}(F)\).
Non vérifié
Indice
Rappel : \(\mathbb{E}(X)=np\).
Correction
On utilise la linéarité de l’espérance :\[\mathbb{E}(F)=\mathbb{E}\left(\frac{X}{n}\right)=\frac{1}{n}\mathbb{E}(X).\]Or \(\mathbb{E}(X)=np\), donc :\[\mathbb{E}(F)=\frac{1}{n}\cdot np=p.\]Interprétation : la fréquence est “centrée” autour de \(p\).
Q10. Toujours avec \(F=\frac{X}{n}\). Exprimer \(\mathrm{Var}(F)\) en fonction de \(p\) et \(n\) (en supposant \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\)).
Non vérifié
Indice
\(\mathrm{Var}(aX)=a^2\mathrm{Var}(X)\) avec \(a=\frac{1}{n}\).
Correction
On applique \(\mathrm{Var}(aX)=a^2\mathrm{Var}(X)\) avec \(a=\frac{1}{n}\) :\[\mathrm{Var}(F)=\mathrm{Var}\left(\frac{X}{n}\right)=\frac{1}{n^2}\mathrm{Var}(X).\]Or \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\), donc :\[\mathrm{Var}(F)=\frac{1}{n^2}\cdot np(1-p)=\frac{p(1-p)}{n}.\]Conclusion : quand \(n\) augmente, cette variance diminue ⇒ fluctuations plus petites.
Q11. Sans calcul lourd : quand \(n\) est multiplié par 4, que devient \(\mathrm{Var}(F)\) ? (répondre : “divisée par 4”, “multipliée par 4”, ou “inchangée”).
Non vérifié
Indice
\(\mathrm{Var}(F)=\frac{p(1-p)}{n}\).
Correction
Comme \(\mathrm{Var}(F)=\frac{p(1-p)}{n}\), la variance est inversement proportionnelle à \(n\). Donc si \(n\) est multiplié par 4, la variance est divisée par 4.
Q12. Une simulation de Bernoulli(\(p\)) fournit : \(f_{100}=0{,}62\), \(f_{500}=0{,}56\), \(f_{2000}=0{,}53\), \(f_{10000}=0{,}519\). Proposer \(p\) (au centième).
Non vérifié
Indice
On se base sur les grands \(n\) : 2000 et 10000.
Correction
Pour estimer \(p\), on se fie aux fréquences quand \(n\) est grand (LGN). Ici, \(f_{10000}=0{,}519\) est déjà très stabilisée : on propose\[p\approx 0{,}52\quad\text{(au centième).}\]
Q13. Deux modèles possibles : \(p=0{,}40\) ou \(p=0{,}60\). Une simulation donne \(f_{5000}=0{,}588\). Quel modèle est le plus plausible ? (répondre : 0,40 ou 0,60)
Non vérifié
Indice
Grand \(n\) ⇒ fréquence proche de \(p\).
Correction
Avec \(n=5000\) (grand), \(f_{5000}=0{,}588\) doit être proche de \(p\) si le modèle est bon. Or \(0{,}588\) est proche de \(0{,}60\) et loin de \(0{,}40\). Donc le modèle le plus plausible est \(p=0{,}60\).
Q14. Une simulation (grand \(n\)) affiche une fréquence qui oscille autour de 0,30 mais ne “se fixe” jamais exactement. Est-ce normal ? (Oui/Non)
Non vérifié
Indice
LGN : stabilisation autour, pas égalité exacte.
Correction
Oui, c’est normal : la fréquence est une grandeur aléatoire. Même pour grand \(n\), elle peut osciller, mais elle se stabilise autour de \(0{,}30\). La LGN ne promet pas une valeur “fixe exactement”.
Q15. On teste une appli : sur \(n=8000\) connexions, 584 erreurs. Estimer la probabilité d’erreur \(p\) (au millième).
Non vérifié
Indice
Estimation : \(\widehat p=f_n=\frac{k}{n}\).
Correction
On estime \(p\) par la fréquence observée :\[\widehat p=f_{8000}=\frac{584}{8000}=0{,}073.\]Au millième : \(0{,}073\).
Q16. Même contexte : si \(p\approx 0{,}073\), estimer le nombre d’erreurs attendues sur 50 000 connexions (un entier).
Non vérifié
Indice
Prévision = total × probabilité estimée.
Correction
Nombre d’erreurs attendu (approx.) :\[50000\times 0{,}073=3650.\]Donc environ 3650 erreurs.
Q17. Un produit annonce \(p=0{,}01\) de panne. On observe sur \(n=10\,000\) une fréquence \(f_{10000}=0{,}013\). Conclusion Bac la plus correcte (A/B/C) :
A : “Le modèle est faux.”
B : “C’est exactement conforme.”
C : “La fréquence est proche de \(0{,}01\) ; l’écart peut venir de fluctuations.” Non vérifié
A : “Le modèle est faux.”
B : “C’est exactement conforme.”
C : “La fréquence est proche de \(0{,}01\) ; l’écart peut venir de fluctuations.” Non vérifié
Indice
Toujours : “proche / se stabilise autour” + prudence (pas “exactement”, pas “certain”).
Correction
On compare \(0{,}013\) à \(0{,}01\). Il y a un écart, mais la fréquence reste proche. À ce niveau, on rédige prudemment : “peut s’expliquer par des fluctuations”. On évite “exactement conforme” (faux) et “modèle faux” (trop catégorique sans outil). Donc la bonne réponse est C.
Q18. Vrai/Faux : “La LGN dit que si une fréquence vaut 0,48 alors la probabilité vaut 0,48.”
Non vérifié
Indice
Fréquence = observation ; probabilité = paramètre du modèle.
Correction
Faux : 0,48 est une fréquence observée. On peut s’en servir comme estimation de \(p\) si \(n\) est grand, mais on ne peut pas affirmer l’égalité \(p=0{,}48\).
Q19. Vrai/Faux : “La LGN prouve que les résultats deviennent moins aléatoires quand \(n\) augmente.”
Non vérifié
Indice
Le prochain essai reste aléatoire ; ce qui devient stable, c’est la fréquence globale.
Correction
Faux : chaque essai reste aléatoire. La LGN ne “réduit pas le hasard” des essais, elle explique que la fréquence globale se stabilise autour de \(p\) quand \(n\) augmente.
Q20. On observe \(f_{500}=0{,}61\). Un élève conclut : “donc \(p=0{,}61\)”. La correction Bac la plus juste est : (A/B/C)
A : “Oui, car 500 est grand.”
B : “Non, on dit seulement que \(p\) est proche de 0,61.”
C : “Non, car la probabilité dépend de la série.” Non vérifié
A : “Oui, car 500 est grand.”
B : “Non, on dit seulement que \(p\) est proche de 0,61.”
C : “Non, car la probabilité dépend de la série.” Non vérifié
Indice
Estimation oui, égalité non. Probabilité ne dépend pas de la série.
Correction
Bonne réponse : B.
On peut estimer \(p\) par \(f_{500}=0{,}61\) (car \(n\) est assez grand), mais on ne dit pas “\(p=0{,}61\)” : on dit “\(p\) est proche de \(0{,}61\)”.
Et C est faux car la probabilité est un paramètre théorique, elle ne dépend pas de la série.
On peut estimer \(p\) par \(f_{500}=0{,}61\) (car \(n\) est assez grand), mais on ne dit pas “\(p=0{,}61\)” : on dit “\(p\) est proche de \(0{,}61\)”.
Et C est faux car la probabilité est un paramètre théorique, elle ne dépend pas de la série.
Q21. Compléter (un mot attendu) : “La loi des grands nombres concerne la fréquence sur un grand nombre d’essais, pas le prochain …”
Non vérifié
Indice
LGN : pas une prédiction du “prochain”.
Correction
Le mot attendu peut être : résultat (ou essai/tirage).
Idée : la LGN ne prédit pas le prochain résultat ; elle concerne la stabilisation des fréquences quand \(n\) est grand.
Idée : la LGN ne prédit pas le prochain résultat ; elle concerne la stabilisation des fréquences quand \(n\) est grand.
Clavier