Loi Des Grands Nombres
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Quiz — Loi des grands nombres (40 questions • bien avancé)
Série bien avancée type Bac : sommes de variables aléatoires, échantillons indépendants de même loi, moyenne \(M_n\), inégalité de Bienaymé-Tchebychev, concentration, loi faible des grands nombres, fréquence et recherche de taille minimale.
Q1. Compléter : dans un échantillon \((X_1,\dots,X_n)\), les variables sont ... et de même loi.
Non vérifié
Indice
C’est la définition d’un échantillon.
Correction
Par définition, un échantillon est formé de variables aléatoires indépendantes et de même loi.
Q2. Écrire la somme \(S_n\) associée à un échantillon.
Non vérifié
Indice
C’est la somme des \(n\) variables.
Correction
On définit \(\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i=X_1+\cdots+X_n\).
Q3. Écrire la moyenne \(M_n\) associée à un échantillon.
Non vérifié
Indice
C’est la somme divisée par \(n\).
Correction
On définit \(\displaystyle M_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i=\frac{S_n}{n}\).
Q4. Compléter : \(E(X+Y)=\dots\)
Non vérifié
Indice
L’espérance est additive.
Correction
Pour toutes variables aléatoires \(X\) et \(Y\), on a \(\boxed{E(X+Y)=E(X)+E(Y)}\).
Q5. Vrai ou faux : pour écrire \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\), il faut que \(X\) et \(Y\) soient indépendantes.
Non vérifié
Indice
La variance d’une somme demande une condition.
Correction
C’est vrai. L’égalité \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\) est utilisée lorsque les variables sont indépendantes.
Q6. Compléter : \(E(S_n)=\dots\)
Non vérifié
Indice
Il y a \(n\) variables de même espérance.
Correction
Comme \(S_n=X_1+\cdots+X_n\), on a \(\boxed{E(S_n)=nE(X)}\).
Q7. Compléter : \(V(S_n)=\dots\) pour un échantillon indépendant de même loi.
Non vérifié
Indice
Les variables sont indépendantes.
Correction
Pour un échantillon de variables indépendantes de même loi, \(\boxed{V(S_n)=nV(X)}\).
Q8. Compléter : \(E(M_n)=\dots\)
Non vérifié
Indice
La moyenne a la même espérance que la variable de départ.
Correction
On a \(\boxed{E(M_n)=E(X)}\).
Q9. Compléter : \(V(M_n)=\dots\)
Non vérifié
Indice
La variance est divisée par \(n\).
Correction
On a \(\boxed{V(M_n)=\dfrac{V(X)}{n}}\).
Q10. Compléter : \(\sigma(M_n)=\dots\)
Non vérifié
Indice
Prendre la racine carrée de la variance.
Correction
Comme \(V(M_n)=\dfrac{V(X)}{n}\), on obtient \(\boxed{\sigma(M_n)=\dfrac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}}\).
Q11. Écrire l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev : \(P(|X-E(X)|\ge a)\le\dots\)
Non vérifié
Indice
Variance divisée par le carré de \(a\).
Correction
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev s’écrit \(\boxed{P(|X-E(X)|\ge a)\le \dfrac{V(X)}{a^2}}\).
Q12. Compléter la forme complémentaire : \(P(|X-E(X)|\lt a)\ge\dots\)
Non vérifié
Indice
Passer à l’événement contraire.
Correction
Le complément de \(|X-E(X)|\ge a\) est \(|X-E(X)|\lt a\). Donc \(\boxed{P(|X-E(X)|\lt a)\ge 1-\dfrac{V(X)}{a^2}}\).
Q13. Compléter : \(P(|X-E(X)|\ge k\sigma)\le\dots\)
Non vérifié
Indice
Prendre \(a=k\sigma\).
Correction
Avec \(a=k\sigma\), on obtient \(\boxed{P(|X-E(X)|\ge k\sigma)\le \dfrac{1}{k^2}}\).
Q14. Écrire l’inégalité de concentration : \(P(|M_n-E(X)|\ge a)\le\dots\)
Non vérifié
Indice
C’est la version appliquée à la moyenne.
Correction
On a \(\boxed{P(|M_n-E(X)|\ge a)\le \dfrac{V(X)}{na^2}}\).
Q15. Compléter la forme complémentaire de concentration : \(P(|M_n-E(X)|\lt a)\ge\dots\)
Non vérifié
Indice
C’est le complément de l’inégalité de concentration.
Correction
On obtient \(\boxed{P(|M_n-E(X)|\lt a)\ge 1-\dfrac{V(X)}{na^2}}\).
Q16. Compléter : \(\lim_{n\to+\infty}P(|M_n-E(X)|\ge a)=\dots\)
Non vérifié
Indice
C’est la loi faible des grands nombres.
Correction
La loi faible des grands nombres affirme que cette limite vaut \(\boxed{0}\).
Q17. Si \(E(X)=6\) et \(n=40\), calculer \(E(S_{40})\).
Non vérifié
Indice
Multiplier \(n\) par l’espérance.
Correction
On a \(E(S_{40})=40\times 6=240\).
Q18. Si \(V(X)=8\) et \(n=40\), calculer \(V(S_{40})\).
Non vérifié
Indice
Multiplier \(n\) par la variance.
Correction
On a \(V(S_{40})=40\times 8=320\).
Q19. Si \(V(X)=8\) et \(n=40\), calculer \(V(M_{40})\).
Non vérifié
Indice
Diviser par \(n\).
Correction
On a \(V(M_{40})=\dfrac{8}{40}=\dfrac15\).
Q20. Si \(V(X)=9\) et \(n=36\), calculer \(\sigma(M_{36})\).
Non vérifié
Indice
D’abord \(\sigma(X)=3\).
Correction
Comme \(V(X)=9\), \(\sigma(X)=3\). Donc \(\sigma(M_{36})=\dfrac{3}{\sqrt{36}}=\dfrac12\).
Q21. Soit \(E(X)=50\) et \(V(X)=16\). Majorant de \(P(|X-50|\ge 8)\) ?
Non vérifié
Indice
Appliquer Bienaymé avec \(a=8\).
Correction
\(P(|X-50|\ge 8)\le \dfrac{16}{8^2}=\dfrac{16}{64}=\dfrac14\).
Q22. Avec \(E(X)=50\), \(V(X)=16\). Minoration de \(P(|X-50|\lt 8)\) ?
Non vérifié
Indice
Utiliser le complément de la question précédente.
Correction
Comme \(P(|X-50|\ge8)\le \frac14\), alors \(P(|X-50|\lt 8)\ge 1-\frac14=\frac34\).
Q23. Soit \(V(X)=4\), \(n=100\), \(a=0{,}5\). Majorant de \(P(|M_n-E(X)|\ge a)\) ?
Non vérifié
Indice
Utiliser \(\frac{V(X)}{na^2}\).
Correction
\(\dfrac{4}{100\times 0{,}5^2}=\dfrac{4}{100\times0{,}25}=\dfrac4{25}=0{,}16\).
Q24. Si \(V(X)=9\), \(a=0{,}2\) et on veut \(P(|M_n-E(X)|\lt a)\ge0{,}9\), donner un \(n\) suffisant.
Non vérifié
Indice
Imposer \(1-\frac{9}{n(0{,}2)^2}\ge0{,}9\).
Correction
Il faut \(\frac{9}{0{,}04n}\le0{,}1\), donc \(9\le0{,}004n\), soit \(\boxed{n\ge2250}\).
Q25. Si \(X\) suit une Bernoulli de paramètre \(p\), donner \(E(X)\).
Non vérifié
Indice
Formule de base.
Correction
Pour une Bernoulli de paramètre \(p\), \(\boxed{E(X)=p}\).
Q26. Si \(X\) suit une Bernoulli de paramètre \(p\), donner \(V(X)\).
Non vérifié
Indice
Formule classique.
Correction
Pour une Bernoulli de paramètre \(p\), \(\boxed{V(X)=p(1-p)}\).
Q27. Dans une suite d’épreuves de Bernoulli, \(M_n\) représente la ... des succès.
Non vérifié
Indice
Interprétation fréquentiste.
Correction
La moyenne des variables \(0/1\) représente la fréquence observée des succès.
Q28. Pour une pièce équilibrée, donner \(E(X)\) si \(X=1\) pour pile et \(X=0\) pour face.
Non vérifié
Indice
C’est une Bernoulli de paramètre \(\frac12\).
Correction
La variable suit une Bernoulli de paramètre \(\frac12\), donc \(E(X)=\frac12\).
Q29. Pour une pièce équilibrée, donner \(V(X)\) si \(X=1\) pour pile et \(X=0\) pour face.
Non vérifié
Indice
Utiliser \(p(1-p)\).
Correction
Ici \(p=\frac12\), donc \(V(X)=\frac12\left(1-\frac12\right)=\frac14\).
Q30. Pour une pièce équilibrée, avec \(n=100000\) et \(a=0{,}01\), majorant de \(P(|M_n-\frac12|\ge0{,}01)\) ?
Non vérifié
Indice
Utiliser \(\frac{1/4}{100000\times0{,}01^2}\).
Correction
\(\dfrac{\frac14}{100000\times0{,}01^2}=\dfrac{\frac14}{10}=\dfrac1{40}=0{,}025\).
Q31. Dans l’exemple précédent, minoration de \(P(|M_n-\frac12|\lt 0{,}01)\) ?
Non vérifié
Indice
Passer au complément de \(\frac1{40}\).
Correction
On obtient \(P(|M_n-\frac12|\lt 0{,}01)\ge 1-\frac1{40}=\frac{39}{40}=0{,}975\).
Q32. Vrai ou faux : quand \(n\) augmente, \(V(M_n)\) diminue.
Non vérifié
Indice
Regarder \(V(M_n)=V(X)/n\).
Correction
C’est vrai, car \(V(M_n)=\dfrac{V(X)}{n}\).
Q33. Vrai ou faux : la loi des grands nombres affirme que \(M_n=E(X)\) pour tout \(n\).
Non vérifié
Indice
Elle parle d’une probabilité d’écart qui tend vers 0.
Correction
C’est faux. La loi des grands nombres ne donne pas une égalité exacte ; elle dit que les grands écarts deviennent de moins en moins probables.
Q34. On veut contrôler \(P(|X-E(X)|\ge a)\). Faut-il utiliser Bienaymé ou concentration ?
Non vérifié
Indice
On travaille sur \(X\), pas sur \(M_n\).
Correction
On utilise Bienaymé-Tchebychev pour une variable \(X\). La concentration s’applique à la moyenne \(M_n\).
Q35. On veut contrôler \(P(|M_n-E(X)|\ge a)\). Faut-il utiliser Bienaymé ou concentration ?
Non vérifié
Indice
On travaille sur la moyenne \(M_n\).
Correction
On utilise l’inégalité de concentration : \(P(|M_n-E(X)|\ge a)\le \dfrac{V(X)}{na^2}\).
Q36. Si \(T\) est entière, compléter : \(|T-7|>2\) équivaut à \(|T-7|\ge\dots\)
Non vérifié
Indice
Une distance entière strictement supérieure à 2 est au moins 3.
Correction
Si \(T\) est entière, alors \(|T-7|\) est un entier. Donc \(|T-7|>2\iff |T-7|\ge3\).
Q37. Contrôle qualité : si une pièce est conforme avec probabilité \(p=0{,}96\), quelle est l’espérance de la variable indicatrice de conformité ?
Non vérifié
Indice
Une indicatrice de succès suit une Bernoulli de paramètre \(p\).
Correction
La variable indicatrice suit une Bernoulli de paramètre \(0{,}96\), donc son espérance vaut \(0{,}96\).
Q38. Contrôle qualité : avec \(p=0{,}96\), donner \(V(X)\) pour l’indicatrice de conformité.
Non vérifié
Indice
Utiliser \(p(1-p)\).
Correction
\(V(X)=p(1-p)=0{,}96\times0{,}04=0{,}0384=\frac{24}{625}\).
Q39. Algorithme : dans la boucle Tant que \(\frac{V(X)}{na^2}>\varepsilon\), que cherche-t-on ?
Non vérifié
Indice
On augmente \(n\) jusqu’à ce que la borne soit assez petite.
Correction
On cherche une taille d’échantillon suffisante, souvent le plus petit \(n\), pour garantir \(P(|M_n-E(X)|\ge a)\le\varepsilon\).
Q40. Réponse courte : pourquoi la loi des grands nombres permet-elle d’estimer une probabilité à l’aide d’une fréquence ?
Non vérifié
Indice
Parler de Bernoulli, moyenne \(M_n\), espérance \(p\).
Correction
Si on code succès = 1 et échec = 0, alors la fréquence est une moyenne \(M_n\) de variables de Bernoulli d’espérance \(p\). La loi des grands nombres dit que \(M_n\) se rapproche de \(p\).