Quiz HARD+ — Loi des grands nombres (20 questions • Bac exigeant)
Difficulté Bac : cohérence d’un modèle, critique d’affirmations, estimation par fréquence, lecture avancée de simulations, lien binomiale/fréquence et fluctuations (sans calculs lourds). Rédaction attendue : proche / tend vers / se stabilise autour (jamais “égal”).
Exercice 1. On modélise une expérience par une Bernoulli de paramètre \(p=0{,}20\). Sur \(n=3000\) essais, on observe \(k=810\) succès.
1) Calculer \(f_{3000}\). 2) Dire si le modèle paraît cohérent (répondre “cohérent” ou “pas cohérent”). Non vérifié
1) Calculer \(f_{3000}\). 2) Dire si le modèle paraît cohérent (répondre “cohérent” ou “pas cohérent”). Non vérifié
Étape 1 — calcul de la fréquence.
La fréquence observée des succès vaut :\[f_{3000}=\frac{k}{n}=\frac{810}{3000}=0{,}27.\]Étape 2 — comparaison à \(p\).
Le modèle annonce \(p=0{,}20\). Or on observe \(f_{3000}=0{,}27\), donc un écart de\[0{,}27-0{,}20=0{,}07.\]Étape 3 — conclusion Bac (LGN).
Comme \(n=3000\) est très grand, la loi des grands nombres indique que, si le modèle était correct, la fréquence devrait se stabiliser autour de \(0{,}20\). Un écart de \(0{,}07\) est important : le modèle paraît pas cohérent (au sens “peu crédible”).
La fréquence observée des succès vaut :\[f_{3000}=\frac{k}{n}=\frac{810}{3000}=0{,}27.\]Étape 2 — comparaison à \(p\).
Le modèle annonce \(p=0{,}20\). Or on observe \(f_{3000}=0{,}27\), donc un écart de\[0{,}27-0{,}20=0{,}07.\]Étape 3 — conclusion Bac (LGN).
Comme \(n=3000\) est très grand, la loi des grands nombres indique que, si le modèle était correct, la fréquence devrait se stabiliser autour de \(0{,}20\). Un écart de \(0{,}07\) est important : le modèle paraît pas cohérent (au sens “peu crédible”).
Indice
Fréquence : \(f_n=\dfrac{k}{n}\). Pour \(n\) très grand, si le modèle est bon, \(f_n\) est en général proche de \(p\) (LGN).
Exercice 2. On annonce \(p=0{,}35\). Sur \(n=2000\) essais, on observe \(f_{2000}=0{,}361\). Conclure (répondre : “cohérent” ou “pas cohérent”).
Non vérifié
Ici on ne calcule pas \(f_n\) (il est donné). On compare directement :\[f_{2000}=0{,}361\quad\text{et}\quad p=0{,}35.\]Écart : \(0{,}361-0{,}35=0{,}011\), donc la fréquence est proche de \(p\). Pour \(n=2000\) (grand), c’est exactement l’idée de la LGN : cohérent.
Indice
Comparer \(0{,}361\) et \(0{,}35\) : écart faible pour un grand \(n\).
Exercice 3. Deux séries indépendantes d’une même Bernoulli(\(p\)) avec \(n=5000\) donnent \(f^{(1)}=0{,}492\) et \(f^{(2)}=0{,}508\). Estimer \(p\) par la moyenne des fréquences.
Non vérifié
On propose une estimation en “moyennant” deux grandes séries :\[\widehat p=\frac{0{,}492+0{,}508}{2}=\frac{1{,}000}{2}=0{,}500.\]Interprétation Bac : chaque fréquence est une approximation de \(p\) (LGN) ; la moyenne des deux atténue les fluctuations : \(p\approx 0{,}50\).
Indice
Calculer \(\frac{0{,}492+0{,}508}{2}\).
Exercice 4. On observe une fréquence \(f_{40}=0{,}40\) alors que \(p=0{,}25\). La conclusion correcte est : (répondre A, B ou C)
A : “Le modèle est faux.”
B : “Le résultat peut être une fluctuation, \(n\) est petit.”
C : “Le prochain essai aura une probabilité > \(p\) pour compenser.” Non vérifié
A : “Le modèle est faux.”
B : “Le résultat peut être une fluctuation, \(n\) est petit.”
C : “Le prochain essai aura une probabilité > \(p\) pour compenser.” Non vérifié
Pourquoi A est faux ? Avec \(n=40\), on peut avoir des fréquences assez éloignées de \(p\) : la LGN ne garantit pas une proximité nette pour un petit échantillon.
Pourquoi C est faux ? C’est l’erreur du joueur : si les essais sont indépendants, la probabilité au prochain essai reste \(p\), elle ne “compense” pas le passé.
Donc la bonne réponse est B : fluctuation possible car \(n\) est petit.
Pourquoi C est faux ? C’est l’erreur du joueur : si les essais sont indépendants, la probabilité au prochain essai reste \(p\), elle ne “compense” pas le passé.
Donc la bonne réponse est B : fluctuation possible car \(n\) est petit.
Indice
Petit \(n\) ⇒ fluctuations fortes. Indépendance ⇒ pas de compensation.
Exercice 5. Vrai/Faux : “Si \(\mathbb{P}(A)=0{,}5\), alors pour \(n\) grand la fréquence vaut \(0{,}5\) exactement.”
Non vérifié
Faux. La loi des grands nombres affirme :\[f_n(A)\to\mathbb{P}(A)\quad\text{quand }n\to+\infty.\]Cela signifie “se rapproche / se stabilise autour”, pas “égale exactement” pour un \(n\) fini, même très grand.
Indice
LGN : proximité, pas égalité stricte.
Exercice 6. Un élève écrit : “Comme on a eu 12 piles sur les 20 derniers lancers, la probabilité de pile est 0,6.” Quelle correction Bac est la meilleure ? (A/B/C)
A : “C’est vrai.”
B : “0,6 est une fréquence, pas une probabilité ; on peut l’utiliser comme estimation seulement si \(n\) est grand.”
C : “Il faut attendre que pile et face s’alternent.” Non vérifié
A : “C’est vrai.”
B : “0,6 est une fréquence, pas une probabilité ; on peut l’utiliser comme estimation seulement si \(n\) est grand.”
C : “Il faut attendre que pile et face s’alternent.” Non vérifié
On a observé 12 piles sur 20, donc la fréquence vaut \(\frac{12}{20}=0{,}6\). Mais une probabilité est une valeur théorique (paramètre du modèle), alors que la fréquence dépend de la série observée.
De plus, \(n=20\) est petit : fluctuations fortes. Donc la meilleure correction Bac est B.
De plus, \(n=20\) est petit : fluctuations fortes. Donc la meilleure correction Bac est B.
Indice
Probabilité (modèle) ≠ fréquence (observée). \(n=20\) est petit.
Exercice 7. Vrai/Faux : “La loi des grands nombres affirme que la moyenne des fréquences sur plusieurs séries est exactement \(p\).”
Non vérifié
Faux. La LGN parle de la fréquence d’une série quand \(n\) devient très grand : elle se rapproche de \(p\). Moyenner plusieurs séries peut améliorer une estimation, mais pas d’exactitude garantie à taille finie.
Indice
LGN = convergence quand \(n\to\infty\), pas égalité exacte à taille finie.
Exercice 8. On répète \(n\) fois une Bernoulli(\(p\)). \(X\) = nombre de succès et \(F=\frac{X}{n}\). Donner \(\mathbb{E}(F)\).
Non vérifié
On utilise la linéarité de l’espérance :\[\mathbb{E}(F)=\mathbb{E}\left(\frac{X}{n}\right)=\frac{1}{n}\mathbb{E}(X).\]Or \(\mathbb{E}(X)=np\), donc :\[\mathbb{E}(F)=\frac{1}{n}\cdot np=p.\]Interprétation : la fréquence est “centrée” autour de \(p\).
Indice
Rappel : \(\mathbb{E}(X)=np\).
Exercice 9. Toujours avec \(F=\frac{X}{n}\). Exprimer \(\mathrm{Var}(F)\) en fonction de \(p\) et \(n\) (en supposant \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\)).
Non vérifié
On applique \(\mathrm{Var}(aX)=a^2\mathrm{Var}(X)\) avec \(a=\frac{1}{n}\) :\[\mathrm{Var}(F)=\mathrm{Var}\left(\frac{X}{n}\right)=\frac{1}{n^2}\mathrm{Var}(X).\]Or \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\), donc :\[\mathrm{Var}(F)=\frac{1}{n^2}\cdot np(1-p)=\frac{p(1-p)}{n}.\]Conclusion : quand \(n\) augmente, cette variance diminue ⇒ fluctuations plus petites.
Indice
\(\mathrm{Var}(aX)=a^2\mathrm{Var}(X)\) avec \(a=\frac{1}{n}\).
Exercice 10. Sans calcul lourd : quand \(n\) est multiplié par 4, que devient \(\mathrm{Var}(F)\) ? (répondre : “divisée par 4”, “multipliée par 4”, ou “inchangée”).
Non vérifié
Comme \(\mathrm{Var}(F)=\frac{p(1-p)}{n}\), la variance est inversement proportionnelle à \(n\). Donc si \(n\) est multiplié par 4, la variance est divisée par 4.
Indice
\(\mathrm{Var}(F)=\frac{p(1-p)}{n}\).
Exercice 11. Une simulation de Bernoulli(\(p\)) fournit : \(f_{100}=0{,}62\), \(f_{500}=0{,}56\), \(f_{2000}=0{,}53\), \(f_{10000}=0{,}519\). Proposer \(p\) (au centième).
Non vérifié
Pour estimer \(p\), on se fie aux fréquences quand \(n\) est grand (LGN). Ici, \(f_{10000}=0{,}519\) est déjà très stabilisée : on propose\[p\approx 0{,}52\quad\text{(au centième).}\]
Indice
On se base sur les grands \(n\) : 2000 et 10000.
Exercice 12. Deux modèles possibles : \(p=0{,}40\) ou \(p=0{,}60\). Une simulation donne \(f_{5000}=0{,}588\). Quel modèle est le plus plausible ? (répondre : 0,40 ou 0,60)
Non vérifié
Avec \(n=5000\) (grand), \(f_{5000}=0{,}588\) doit être proche de \(p\) si le modèle est bon. Or \(0{,}588\) est proche de \(0{,}60\) et loin de \(0{,}40\). Donc le modèle le plus plausible est \(p=0{,}60\).
Indice
Grand \(n\) ⇒ fréquence proche de \(p\).
Exercice 13. Une simulation (grand \(n\)) affiche une fréquence qui oscille autour de 0,30 mais ne “se fixe” jamais exactement. Est-ce normal ? (Oui/Non)
Non vérifié
Oui, c’est normal : la fréquence est une grandeur aléatoire. Même pour grand \(n\), elle peut osciller, mais elle se stabilise autour de \(0{,}30\). La LGN ne promet pas une valeur “fixe exactement”.
Indice
LGN : stabilisation autour, pas égalité exacte.
Exercice 14. On teste une appli : sur \(n=8000\) connexions, 584 erreurs. Estimer la probabilité d’erreur \(p\) (au millième).
Non vérifié
On estime \(p\) par la fréquence observée :\[\widehat p=f_{8000}=\frac{584}{8000}=0{,}073.\]Au millième : \(0{,}073\).
Indice
Estimation : \(\widehat p=f_n=\frac{k}{n}\).
Exercice 15. Même contexte : si \(p\approx 0{,}073\), estimer le nombre d’erreurs attendues sur 50 000 connexions (un entier).
Non vérifié
Nombre d’erreurs attendu (approx.) :\[50000\times 0{,}073=3650.\]Donc environ 3650 erreurs.
Indice
Prévision = total × probabilité estimée.
Exercice 16. Un produit annonce \(p=0{,}01\) de panne. On observe sur \(n=10\,000\) une fréquence \(f_{10000}=0{,}013\). Conclusion Bac la plus correcte (A/B/C) :
A : “Le modèle est faux.”
B : “C’est exactement conforme.”
C : “La fréquence est proche de \(0{,}01\) ; l’écart peut venir de fluctuations.” Non vérifié
A : “Le modèle est faux.”
B : “C’est exactement conforme.”
C : “La fréquence est proche de \(0{,}01\) ; l’écart peut venir de fluctuations.” Non vérifié
On compare \(0{,}013\) à \(0{,}01\). Il y a un écart, mais la fréquence reste proche. À ce niveau, on rédige prudemment : “peut s’expliquer par des fluctuations”. On évite “exactement conforme” (faux) et “modèle faux” (trop catégorique sans outil). Donc la bonne réponse est C.
Indice
Toujours : “proche / se stabilise autour” + prudence (pas “exactement”, pas “certain”).
Exercice 17. Vrai/Faux : “La LGN dit que si une fréquence vaut 0,48 alors la probabilité vaut 0,48.”
Non vérifié
Faux : 0,48 est une fréquence observée. On peut s’en servir comme estimation de \(p\) si \(n\) est grand, mais on ne peut pas affirmer l’égalité \(p=0{,}48\).
Indice
Fréquence = observation ; probabilité = paramètre du modèle.
Exercice 18. Vrai/Faux : “La LGN prouve que les résultats deviennent moins aléatoires quand \(n\) augmente.”
Non vérifié
Faux : chaque essai reste aléatoire. La LGN ne “réduit pas le hasard” des essais, elle explique que la fréquence globale se stabilise autour de \(p\) quand \(n\) augmente.
Indice
Le prochain essai reste aléatoire ; ce qui devient stable, c’est la fréquence globale.
Exercice 19. On observe \(f_{500}=0{,}61\). Un élève conclut : “donc \(p=0{,}61\)”. La correction Bac la plus juste est : (A/B/C)
A : “Oui, car 500 est grand.”
B : “Non, on dit seulement que \(p\) est proche de 0,61.”
C : “Non, car la probabilité dépend de la série.” Non vérifié
A : “Oui, car 500 est grand.”
B : “Non, on dit seulement que \(p\) est proche de 0,61.”
C : “Non, car la probabilité dépend de la série.” Non vérifié
Bonne réponse : B.
On peut estimer \(p\) par \(f_{500}=0{,}61\) (car \(n\) est assez grand), mais on ne dit pas “\(p=0{,}61\)” : on dit “\(p\) est proche de \(0{,}61\)”.
Et C est faux car la probabilité est un paramètre théorique, elle ne dépend pas de la série.
On peut estimer \(p\) par \(f_{500}=0{,}61\) (car \(n\) est assez grand), mais on ne dit pas “\(p=0{,}61\)” : on dit “\(p\) est proche de \(0{,}61\)”.
Et C est faux car la probabilité est un paramètre théorique, elle ne dépend pas de la série.
Indice
Estimation oui, égalité non. Probabilité ne dépend pas de la série.
Exercice 20. Compléter (un mot attendu) : “La loi des grands nombres concerne la fréquence sur un grand nombre d’essais, pas le prochain …”
Non vérifié
Le mot attendu peut être : résultat (ou essai/tirage).
Idée : la LGN ne prédit pas le prochain résultat ; elle concerne la stabilisation des fréquences quand \(n\) est grand.
Idée : la LGN ne prédit pas le prochain résultat ; elle concerne la stabilisation des fréquences quand \(n\) est grand.
Indice
LGN : pas une prédiction du “prochain”.