Fiche de révision — Loi des grands nombres
Terminale Spécialité Maths (France) — Fréquences, convergence vers la probabilité,
interprétation et simulation. Méthodes & phrases Bac.
1) À retenir (essentiel Bac)
Si on répète un grand nombre de fois une même expérience aléatoire (mêmes conditions),
la fréquence d’un événement se rapproche de sa probabilité.
Définition de la fréquence
Si \(A\) est réalisé \(k\) fois sur \(n\) essais :
\[
f_n(A)=\frac{k}{n}
\]
Énoncé LGN (admis)
\[
f_n(A)\xrightarrow[n\to+\infty]{}\mathbb{P}(A)
\]
⚠️ Écriture attendue : “\(f_n\) est proche de \(\mathbb{P}(A)\)” / “tend vers”.
❌ À éviter : “\(f_n=\mathbb{P}(A)\)”.
❌ À éviter : “\(f_n=\mathbb{P}(A)\)”.
Phrase Bac “propre”
« D’après la loi des grands nombres, lorsque le nombre d’essais devient grand,
la fréquence d’apparition de \(A\) se stabilise autour de \(\mathbb{P}(A)\). »
2) Formulaire (les 6 lignes à savoir)
- Fréquence \(\displaystyle f_n(A)=\frac{k}{n}\).
- LGN \(\displaystyle f_n(A)\to \mathbb{P}(A)\) quand \(n\to+\infty\).
- Bernoulli succès de probabilité \(p\).
- Binomiale si \(X\) = nombre de succès sur \(n\) essais : \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\).
- Fréquence des succès \(\displaystyle f_n=\frac{X}{n}\).
- Rédaction Bac “pour \(n\) grand, \(f_n\) est proche de \(p\)”.
Bonus (simple) : pourquoi les fluctuations diminuent ?
\[
\mathrm{Var}\!\left(\frac{X}{n}\right)=\frac{p(1-p)}{n}
\]
donc les fréquences se “resserrent” autour de \(p\) quand \(n\) augmente.
3) Méthode Bac (ultra-classique)
| Question type Bac | Réflexe / rédaction attendue |
|---|---|
| Calculer une fréquence | Écrire \(f_n=\frac{k}{n}\), calculer, puis conclure : « pour \(n\) grand, \(f_n\) est proche de \(\mathbb{P}(A)\) (LGN). » |
| Estimer une probabilité | Si \(n\) est grand et fréquence observée \(f_n\), proposer \(\widehat{p}=f_n\). |
| Lire une simulation | « Quand \(n\) augmente, la fréquence se stabilise autour de \(p\) : cela illustre la LGN. » |
⚠️ Mots-clés à utiliser : proche, tend vers, se stabilise autour.
Éviter : égal.
Éviter : égal.
Exemple Bac (corrigé)
On observe \(k=186\) succès sur \(n=600\) essais, avec \(p=0{,}30\).
\[
f_{600}=\frac{186}{600}=0{,}31
\]
Comme \(n\) est grand, \(f_{600}\) est proche de \(0{,}30\), ce qui est cohérent avec la LGN.
4) Simulation : comment conclure correctement
Une simulation répète l’expérience et calcule \(f_n\). Quand \(n\) augmente, \(f_n\) se stabilise près de \(p\).
Phrase Bac “prête à copier”
« On observe que lorsque le nombre d’essais \(n\) augmente, la fréquence des succès se stabilise
autour de \(p\). Ceci illustre la loi des grands nombres. »
Exemple de lecture (table de fréquences)
Exemple : \(p=0{,}37\)
| \(n\) | Fréquence observée \(f_n\) | Commentaire |
|---|---|---|
| 50 | 0,30 | Écart possible (fluctuations fortes) |
| 200 | 0,36 | On se rapproche de 0,37 |
| 2 000 | 0,372 | Stabilisation près de \(p\) |
Conclusion : la fréquence se rapproche de \(0{,}37\) quand \(n\) augmente — conforme à la LGN.
5) Pièges Bac (très fréquents)
Erreur du joueur
« J’ai eu beaucoup d’échecs donc le succès va arriver. » — ❌ Faux si les essais sont indépendants.
Si le modèle est Bernoulli(\(p\)), la probabilité au prochain essai reste \(p\), quel que soit le passé.
Confusion fréquence / probabilité
Une fréquence est observée (donc variable) ; une probabilité est théorique (paramètre du modèle).
Phrase propre : « Les fréquences fluctuent, mais se stabilisent autour de \(p\) quand \(n\) augmente. »
Interdit : égalité
❌ “Pour \(n\) grand, \(f_n=p\)”.
✅ “Pour \(n\) grand, \(f_n\) est proche de \(p\) / tend vers \(p\) / se stabilise autour de \(p\)”.
✅ “Pour \(n\) grand, \(f_n\) est proche de \(p\) / tend vers \(p\) / se stabilise autour de \(p\)”.
6) Mini-exemples corrigés (type Bac)
Exemple 1 — Calculer une fréquence
On observe 102 réalisations de \(A\) sur 500 répétitions.
Correction
\[
f_{500}(A)=\frac{102}{500}=0{,}204
\]
Pour \(n=500\) (grand), \(f_{500}(A)\) est proche de \(\mathbb{P}(A)\) (LGN).
Exemple 2 — Estimer une probabilité
Sur 1 200 essais, la fréquence des succès vaut \(0{,}47\).
Correction
Comme \(n\) est grand, on estime \(p\) par \(\widehat{p}=0{,}47\).
Exemple 3 — Lien binomiale / fréquence
\(X\) = nombre de succès sur \(n\) essais de Bernoulli(\(p\)).
Correction
\(X\sim\mathcal{B}(n,p)\) et la fréquence est \(f_n=\dfrac{X}{n}\).
Pour \(n\) grand : \(\dfrac{X}{n}\approx p\) (LGN).
7) Mini Vrai/Faux (pour s’auto-tester)
1) La probabilité \(\mathbb{P}(A)\) dépend de la série observée.
Réponse
Faux.
La probabilité est théorique (modèle). La fréquence dépend de l’échantillon observé.
2) Quand \(n\) augmente, la fréquence \(f_n(A)\) se rapproche de \(\mathbb{P}(A)\).
Réponse
Vrai (LGN).
3) Après 8 échecs, le succès devient plus probable au coup suivant.
Réponse
Faux.
Si les essais sont indépendants, la probabilité au prochain essai reste \(p\).
4) Si \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\), alors la fréquence des succès est \(\dfrac{X}{n}\).
Réponse
Vrai.
Conclusion
La loi des grands nombres explique la stabilisation des fréquences :
sur un grand nombre d’essais, la fréquence d’un événement est proche de sa probabilité.
À retenir au Bac : proche / tend vers / se stabilise autour — jamais “égal”.