Cours — Loi des grands nombres
Fréquences • Convergence • Interprétation statistique du hasard • Lien Bernoulli / binomiale • Simulation.
1) Objectifs Bac et idées clés
Compétences attendues
- Calculer une fréquence \(f_n=\frac{k}{n}\) et l’interpréter.
- Utiliser la loi des grands nombres pour justifier qu’une fréquence se stabilise.
- Relier fréquence et loi binomiale : \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\), \(f_n=\frac{X}{n}\).
- Lire un tableau / graphique de simulation : “plus \(n\) grand, plus \(f_n\) proche de \(p\)”.
- Écrire des phrases Bac correctes (proche, tend vers, se stabilise autour).
Pièges classiques
- Confondre probabilité (théorique) et fréquence (observée).
- Dire “\(f_n=p\)” au lieu de “\(f_n\) est proche de \(p\)” / “tend vers \(p\)”.
- Erreur du joueur : “après beaucoup d’échecs, le succès doit arriver”.
- Oublier les hypothèses : répétitions identiques, conditions stables (et indépendance dans le modèle Bernoulli).
Idée centrale : sur un grand nombre d’essais, le hasard ne disparaît pas,
mais il devient prévisible statistiquement : les fréquences se stabilisent.
2) Vocabulaire : fréquence, probabilité, échantillon
| Notion | Définition (à savoir dire au Bac) | Exemple |
|---|---|---|
| Probabilité \(\mathbb{P}(A)\) | Valeur théorique donnée par le modèle pour l’événement \(A\). | Pièce équilibrée : \(\mathbb{P}(\text{Pile})=0{,}5\). |
| Fréquence \(f_n(A)\) | Valeur observée après \(n\) répétitions : proportion de fois où \(A\) se réalise. | Sur 20 lancers, 14 piles : \(f_{20}(\text{Pile})=\frac{14}{20}=0{,}7\). |
| Échantillon | Résultats obtenus sur une série de \(n\) répétitions (donc variable d’une série à l’autre). | Une série de 200 lancers est un échantillon. |
Phrase propre : « La probabilité est un paramètre du modèle. La fréquence est une valeur expérimentale. »
Mini-rappel : comment calculer une fréquence ?
Si \(A\) est réalisé \(k\) fois sur \(n\) répétitions :
\[
f_n(A)=\frac{k}{n}
\]
3) Loi des grands nombres (LGN) — Énoncé
Énoncé (admis en Terminale)
Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une même expérience aléatoire,
la fréquence d’un événement \(A\) se rapproche de sa probabilité \(\mathbb{P}(A)\).
\[
f_n(A)\xrightarrow[n\to+\infty]{}\mathbb{P}(A)
\]
Lecture Bac : « plus \(n\) est grand, plus \(f_n(A)\) a de chances d’être proche de \(\mathbb{P}(A)\) ».
On ne conclut pas à l’égalité exacte.
On ne conclut pas à l’égalité exacte.
Phrase “copier-coller Bac”
« D’après la loi des grands nombres, lorsque le nombre d’essais devient grand,
la fréquence d’apparition de \(A\) se stabilise autour de \(\mathbb{P}(A)\). »
4) Stabilisation et fluctuations : ce que ça signifie
Ce que la LGN dit
- Pour petit \(n\) : fréquences très variables (fluctuations fortes).
- Pour grand \(n\) : fréquences qui se stabilisent près de \(\mathbb{P}(A)\).
- La “moyenne” des observations devient statistiquement fiable.
Ce que la LGN ne dit pas
- Elle ne garantit pas un équilibre à court terme.
- Elle n’interdit pas les longues séries (succès/échecs d’affilée).
- Elle ne prédit pas le prochain résultat.
Exemple (pièce équilibrée)
Même si \(\mathbb{P}(\text{Pile})=0{,}5\), il est possible d’observer 10 piles d’affilée.
La LGN porte sur la fréquence globale quand \(n\) grandit.
5) Lien avec Bernoulli / loi binomiale
On répète \(n\) fois une épreuve de Bernoulli (succès/échec) de paramètre \(p\).
On note \(X\) le nombre de succès.
Modèle
\[
X\sim\mathcal{B}(n,p)
\qquad\text{et}\qquad
f_n=\frac{X}{n}
\]
La LGN se lit ici : \(\frac{X}{n}\approx p\) lorsque \(n\) est grand.
Bonus (utile, simple) : pourquoi les fluctuations diminuent ?
Rappels binomiale :
\[
\mathbb{E}(X)=np,\qquad \mathrm{Var}(X)=np(1-p)
\]
Alors :
\[
\mathbb{E}\!\left(\frac{X}{n}\right)=p,\qquad
\mathrm{Var}\!\left(\frac{X}{n}\right)=\frac{p(1-p)}{n}
\]
Donc quand \(n\) augmente, \(\mathrm{Var}\!\left(\frac{X}{n}\right)\) diminue : les fréquences se “resserrent” autour de \(p\).
6) Méthode Bac : “pour \(n\) grand, la fréquence est proche de \(p\)”
| Situation type Bac | Réflexe / rédaction attendue |
|---|---|
| Fréquence calculer puis interpréter | Calculer \(f_n=\frac{k}{n}\), puis : « Comme \(n\) est grand, d’après la LGN, \(f_n\) est proche de \(\mathbb{P}(A)\). » |
| Estimation d’une probabilité | Si \(n\) grand et fréquence observée \(f_n\), alors estimer \(p\) par \(\widehat p=f_n\). |
| Simulation tableau/graphique | « Quand \(n\) augmente, la fréquence se stabilise autour de \(p\) : la simulation illustre la LGN. » |
Formulation interdite : “\(f_n=p\)”.
Formulations correctes : “\(f_n\) est proche de \(p\)”, “\(f_n\) tend vers \(p\)”, “\(f_n\) se stabilise autour de \(p\)”.
Formulations correctes : “\(f_n\) est proche de \(p\)”, “\(f_n\) tend vers \(p\)”, “\(f_n\) se stabilise autour de \(p\)”.
7) Simulation : principe et lecture
Une simulation (calculatrice/tableur/code) répète aléatoirement l’expérience et calcule la fréquence au fil des essais.
On observe typiquement une stabilisation autour de \(p\).
Lecture d’un tableau de simulation
Exemple : Bernoulli de paramètre \(p=0{,}62\).
| \(n\) | Fréquence observée \(f_n\) | Commentaire |
|---|---|---|
| 50 | 0,54 | Écart possible : fluctuations fortes |
| 200 | 0,60 | On se rapproche de \(0{,}62\) |
| 2 000 | 0,619 | Stabilisation proche de \(p\) |
Conclusion : quand \(n\) augmente, \(f_n\) se rapproche de \(0{,}62\) — cela illustre la loi des grands nombres.
Bonus : pseudo-code (culture, pas obligatoire)
Répéter n fois :
générer un nombre aléatoire u entre 0 et 1
si u < p : succès
Calculer f_n = (nombre de succès)/n
L’idée : on simule une Bernoulli(\(p\)) en comparant un aléatoire uniforme à \(p\).
8) Pièges Bac : l’erreur du joueur et autres contre-sens
Erreur du joueur (à connaître)
« J’ai eu beaucoup d’échecs, donc le succès doit arriver. »
Si les essais sont indépendants (modèle Bernoulli), la probabilité au prochain essai reste \(p\),
quel que soit le passé.
Confusion fréquence / probabilité
Une fréquence est une observation (variable), la probabilité est un paramètre (fixe).
Deux séries de 200 essais peuvent donner des fréquences différentes.
Phrase propre : « Les fréquences fluctuent, mais se stabilisent autour de \(p\) quand \(n\) augmente. »
9) Mini-exemples corrigés (type Bac)
Exemple 1 — Calculer une fréquence
On observe 102 réalisations de \(A\) sur 500 répétitions.
Correction
\[
f_{500}(A)=\frac{102}{500}=0{,}204
\]
Pour \(n=500\) (grand), \(f_{500}(A)\) est proche de \(\mathbb{P}(A)\) d’après la LGN.
Exemple 2 — Estimer \(p\)
Sur 1 200 essais, la fréquence de succès vaut \(0{,}47\).
Correction
\(p\approx 0{,}47\) (fréquence utilisée comme estimation quand \(n\) est grand).
Exemple 3 — Lien binomiale
\(X\) = nombre de succès sur \(n\) essais de Bernoulli(\(p\)).
Correction
\(X\sim\mathcal{B}(n,p)\) et la fréquence est \(f_n=\dfrac{X}{n}\).
Pour \(n\) grand : \(\dfrac{X}{n}\approx p\) (LGN).
Formulaire — Loi des grands nombres
Les 5 lignes à connaître parfaitement (Bac).
- Fréquence : \(\displaystyle f_n(A)=\frac{k}{n}\).
- LGN : \(\displaystyle f_n(A)\xrightarrow[n\to+\infty]{}\mathbb{P}(A)\).
- Bernoulli(\(p\)) répétée \(n\) fois : \(\displaystyle X\sim\mathcal{B}(n,p)\).
- Fréquence des succès : \(\displaystyle f_n=\frac{X}{n}\).
- Rédaction Bac : « pour \(n\) grand, \(f_n\) est proche de \(p\) ».
À enchaîner naturellement : échantillonnage / intervalle de fluctuation (si tu fais ce chapitre),
ou estimation en statistiques.