Exercices — Loi des grands nombres (HARD • Type Bac)
Série exigeante : estimation, interprétation d’expériences, lien binomiale, lecture de simulations,
rédaction Bac (proche / tend vers / se stabilise autour).
Consigne générale (Bac)
Dans les conclusions, utiliser les formulations : proche, tend vers,
se stabilise autour. Ne jamais écrire “égal”.
A — Fréquences & loi des grands nombres
Exercice 1 — Deux séries, deux fréquences (HARD)
On répète 1 000 fois une expérience où \(\mathbb{P}(A)=0{,}30\).
Série 1 : \(A\) apparaît 332 fois. Série 2 : \(A\) apparaît 287 fois.
- Calculer \(f_1\) et \(f_2\).
- Ces résultats contredisent-ils le modèle \(p=0{,}30\) ? Justifier (LGN).
- Pourquoi obtient-on des fréquences différentes pour le même \(n\) ?
Correction
\[
f_1=\frac{332}{1000}=0{,}332,\qquad
f_2=\frac{287}{1000}=0{,}287
\]
Les deux fréquences sont proches de \(0{,}30\) : cela ne contredit pas le modèle.
D’après la LGN, pour \(n\) grand, les fréquences se stabilisent autour de \(p\), mais elles restent aléatoires (fluctuations).
Deux séries différentes donnent donc des fréquences différentes.
Exercice 2 — “Proche” : interprétation qualitative (Bac)
Une simulation donne, pour une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p\), les fréquences :
| \(n\) | \(f_n\) |
|---|---|
| 50 | 0,44 |
| 200 | 0,51 |
| 2 000 | 0,498 |
| 10 000 | 0,501 |
- Proposer une valeur plausible de \(p\).
- Rédiger une phrase Bac justifiant la réponse.
Correction
Les fréquences se stabilisent autour de \(0{,}50\), donc \(p\approx 0{,}50\).
Phrase Bac : « Quand \(n\) augmente, la fréquence \(f_n\) se stabilise autour de \(0{,}50\). D’après la loi des grands nombres, \(f_n\) est proche de \(p\) pour \(n\) grand, donc \(p\approx 0{,}50\). »
Phrase Bac : « Quand \(n\) augmente, la fréquence \(f_n\) se stabilise autour de \(0{,}50\). D’après la loi des grands nombres, \(f_n\) est proche de \(p\) pour \(n\) grand, donc \(p\approx 0{,}50\). »
Exercice 3 — Série “trompeuse” sur petit \(n\) (HARD)
Une épreuve de Bernoulli a une probabilité de succès \(p=0{,}25\).
On observe sur \(n=40\) essais une fréquence \(f_{40}=0{,}40\).
- Ce résultat contredit-il \(p=0{,}25\) ? Pourquoi ?
- Que peut-on dire si l’on observe sur \(n=4000\) essais \(f_{4000}=0{,}401\) ?
- Comparer la “fiabilité” des deux fréquences.
Correction
Pour \(n=40\), les fluctuations sont fortes : \(0{,}40\) peut arriver sans contredire le modèle.
Pour \(n=4000\), la fréquence \(0{,}401\) est très éloignée de \(0{,}25\) malgré un grand \(n\) : cela rend le modèle \(p=0{,}25\) peu crédible (car la LGN suggère que \(f_n\) devrait être proche de \(0{,}25\)).
La fréquence sur 4000 essais est bien plus fiable que celle sur 40 essais.
Pour \(n=4000\), la fréquence \(0{,}401\) est très éloignée de \(0{,}25\) malgré un grand \(n\) : cela rend le modèle \(p=0{,}25\) peu crédible (car la LGN suggère que \(f_n\) devrait être proche de \(0{,}25\)).
La fréquence sur 4000 essais est bien plus fiable que celle sur 40 essais.
B — Binomiale & fréquence
Exercice 4 — Fréquence comme variable aléatoire
On répète \(n\) fois une Bernoulli de paramètre \(p\).
On note \(X\) le nombre de succès et \(F=\frac{X}{n}\) la fréquence.
- Donner la loi de \(X\).
- Exprimer \(\mathbb{E}(F)\) puis interpréter.
- Exprimer \(\mathrm{Var}(F)\) puis commenter l’effet de \(n\) sur les fluctuations.
Correction
\(X\sim\mathcal{B}(n,p)\).
\[ \mathbb{E}(F)=\mathbb{E}\!\left(\frac{X}{n}\right)=\frac{1}{n}\mathbb{E}(X)=\frac{np}{n}=p \] Interprétation : la fréquence a pour espérance \(p\).
\[ \mathrm{Var}(F)=\mathrm{Var}\!\left(\frac{X}{n}\right)=\frac{1}{n^2}\mathrm{Var}(X)=\frac{np(1-p)}{n^2}=\frac{p(1-p)}{n} \] Quand \(n\) augmente, \(\mathrm{Var}(F)\) diminue : les fluctuations se resserrent autour de \(p\).
\[ \mathbb{E}(F)=\mathbb{E}\!\left(\frac{X}{n}\right)=\frac{1}{n}\mathbb{E}(X)=\frac{np}{n}=p \] Interprétation : la fréquence a pour espérance \(p\).
\[ \mathrm{Var}(F)=\mathrm{Var}\!\left(\frac{X}{n}\right)=\frac{1}{n^2}\mathrm{Var}(X)=\frac{np(1-p)}{n^2}=\frac{p(1-p)}{n} \] Quand \(n\) augmente, \(\mathrm{Var}(F)\) diminue : les fluctuations se resserrent autour de \(p\).
Exercice 5 — “Se stabiliser autour de \(p\)” (rédaction)
Dans le cadre du modèle binomial \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\), expliquer en 3 lignes pourquoi \(F=\frac{X}{n}\) est proche de \(p\) lorsque \(n\) est grand.
Correction (rédaction Bac)
On a \(F=\frac{X}{n}\), fréquence des succès.
D’après la loi des grands nombres, lorsque \(n\) devient grand, la fréquence des succès se stabilise autour de la probabilité \(p\).
Donc \(F\) est proche de \(p\) pour \(n\) grand.
C — Estimation / décision (HARD • Bac)
Exercice 6 — Contrôle de qualité : modèle crédible ? (HARD)
Une machine fabrique des pièces. Le fabricant annonce une probabilité de défaut \(p=0{,}02\).
On prélève \(n=500\) pièces et on observe 21 pièces défectueuses.
- Calculer la fréquence observée \(f_{500}\) des défauts.
- Comparer \(f_{500}\) à \(p\). Commenter qualitativement (LGN).
- Sans calcul avancé, dire si l’annonce \(p=0{,}02\) paraît crédible. Justifier.
Correction
\[
f_{500}=\frac{21}{500}=0{,}042
\]
On compare à \(p=0{,}02\). La fréquence \(0{,}042\) est environ deux fois plus grande.
Pour \(n=500\) (assez grand), la LGN suggère que \(f_{500}\) devrait être proche de \(0{,}02\) si le modèle était exact. Un tel écart rend l’annonce \(p=0{,}02\) peu crédible (au moins, elle mérite d’être remise en question).
Pour \(n=500\) (assez grand), la LGN suggère que \(f_{500}\) devrait être proche de \(0{,}02\) si le modèle était exact. Un tel écart rend l’annonce \(p=0{,}02\) peu crédible (au moins, elle mérite d’être remise en question).
Exercice 7 — Estimer \(p\) puis prévoir (HARD Bac)
Un joueur réussit un tir avec une probabilité \(p\) inconnue.
Sur \(n=800\) tirs, il réussit 468 tirs.
- Donner une estimation \(\widehat{p}\) de \(p\).
- Donner une estimation du nombre de réussites attendues sur 2 000 tirs.
- Rédiger une phrase Bac utilisant la LGN pour justifier \(\widehat{p}\).
Correction
\[
\widehat{p}=f_{800}=\frac{468}{800}=0{,}585
\]
Sur 2 000 tirs, on prévoit environ \(2000\times 0{,}585=1170\) réussites.
Phrase Bac : « Pour un grand nombre d’essais, la fréquence des succès est proche de la probabilité \(p\) (LGN). Ainsi, on estime \(p\) par la fréquence observée \(\widehat{p}=0{,}585\). »
Phrase Bac : « Pour un grand nombre d’essais, la fréquence des succès est proche de la probabilité \(p\) (LGN). Ainsi, on estime \(p\) par la fréquence observée \(\widehat{p}=0{,}585\). »
D — Simulation & lecture (HARD)
Exercice 8 — Lire un “graphe de fréquence” (sans graphe)
On suit l’évolution de la fréquence \(f_n\) d’un succès au fil des essais. On relève :
| \(n\) | \(f_n\) |
|---|---|
| 20 | 0,65 |
| 100 | 0,56 |
| 500 | 0,52 |
| 2 000 | 0,503 |
- Donner une valeur plausible de \(p\).
- Pourquoi \(f_{20}\) est-il très éloigné de \(p\) alors que \(f_{2000}\) est proche ?
- Rédiger la conclusion Bac en une phrase.
Correction
La stabilisation se fait autour de \(0{,}50\), donc \(p\approx 0{,}50\).
Pour \(n\) petit (20), fluctuations fortes ; pour \(n\) grand (2000), fluctuations faibles : la fréquence se rapproche de \(p\).
Conclusion Bac : « Quand \(n\) augmente, la fréquence se stabilise autour de \(p\simeq 0{,}50\), ce qui illustre la loi des grands nombres. »
Pour \(n\) petit (20), fluctuations fortes ; pour \(n\) grand (2000), fluctuations faibles : la fréquence se rapproche de \(p\).
Conclusion Bac : « Quand \(n\) augmente, la fréquence se stabilise autour de \(p\simeq 0{,}50\), ce qui illustre la loi des grands nombres. »
Exercice 9 — Simulation : deux séries différentes
Deux simulations indépendantes d’une même Bernoulli(\(p\)) donnent, pour \(n=1000\),
des fréquences \(0{,}477\) et \(0{,}521\).
- Peut-on conclure que le modèle est faux ?
- Que dire de \(p\) si ces deux séries correspondent au même \(p\) ?
Correction
Non : deux séries peuvent donner des fréquences différentes (fluctuations).
Les deux valeurs suggèrent un \(p\) voisin de \(0{,}50\).
On pourrait estimer \(p\) autour de la moyenne \(\approx 0{,}499\), mais on attend surtout la conclusion qualitative (LGN).
E — Pièges & lecture critique (HARD Bac)
Exercice 10 — Erreur du joueur (rédaction)
Une personne dit : « J’ai obtenu 7 échecs d’affilée, donc le succès est maintenant plus probable. »
- Expliquer pourquoi ce raisonnement est faux dans un modèle Bernoulli(\(p\)).
- Écrire une phrase correcte qui utilise la LGN (sans confusion).
Correction
Dans un modèle Bernoulli(\(p\)) avec indépendance, la probabilité de succès au prochain essai reste \(p\),
quel que soit le passé : le raisonnement est donc faux.
Phrase correcte : « Sur un grand nombre d’essais, la fréquence des succès se stabilise autour de \(p\), mais chaque essai pris isolément garde une probabilité \(p\). »
Phrase correcte : « Sur un grand nombre d’essais, la fréquence des succès se stabilise autour de \(p\), mais chaque essai pris isolément garde une probabilité \(p\). »
Exercice 11 — Confusion “égalité” (HARD)
Un élève écrit : « Comme \(n=10\,000\), on a \(f_n(A)=\mathbb{P}(A)\). »
- Dire ce qui est incorrect dans la phrase.
- Réécrire une version Bac correcte.
Correction
Erreur : la LGN ne donne pas une égalité exacte.
Version correcte : « Pour \(n\) grand (ici 10 000), la fréquence \(f_n(A)\) est proche de \(\mathbb{P}(A)\) et se stabilise autour de cette valeur. »
Exercice 12 — Comparer deux probabilités à partir de fréquences (HARD Bac)
Deux joueurs A et B tirent chacun 3 000 fois.
Joueur A : 1 590 réussites. Joueur B : 1 530 réussites.
- Calculer les fréquences \(\widehat{p_A}\) et \(\widehat{p_B}\).
- Comparer \(p_A\) et \(p_B\) à partir des fréquences (argument LGN).
- Écrire une conclusion Bac en 2 lignes (sans dire “certain”).
Correction
\[
\widehat{p_A}=\frac{1590}{3000}=0{,}53,\qquad
\widehat{p_B}=\frac{1530}{3000}=0{,}51
\]
Avec un grand nombre d’essais, les fréquences sont proches des probabilités :
on estime donc \(p_A\approx 0{,}53\) et \(p_B\approx 0{,}51\), donc \(p_A\) semble supérieur à \(p_B\).
Conclusion Bac : « Comme \(n\) est grand, les fréquences observées donnent une estimation de \(p\). On en déduit que le joueur A a probablement une probabilité de réussite plus élevée que B. »
Conclusion Bac : « Comme \(n\) est grand, les fréquences observées donnent une estimation de \(p\). On en déduit que le joueur A a probablement une probabilité de réussite plus élevée que B. »
Bilan (HARD Bac)
Tu sais maintenant : calculer/interpréter une fréquence, estimer \(p\), lire une simulation,
et rédiger proprement la LGN (proche / tend vers / se stabilise autour).