Série progressive et bien avancée : échantillons indépendants, somme \(S_n\), moyenne \(M_n\),
inégalité de Bienaymé-Tchebychev, concentration, fréquences, sondages, contrôle qualité
et recherche de taille minimale.
ObjectifRédaction type Bac avec justification complète.
Étudier le total de \(n\) expériences indépendantes.
Moyenne
\(E(M_n)=E(X)\), \(V(M_n)=\dfrac{V(X)}{n}\)
Étudier la stabilité d’une moyenne observée.
Bienaymé-Tchebychev
\(P(|X-E(X)|\ge a)\le\dfrac{V(X)}{a^2}\)
Majorer un écart pour une variable aléatoire.
Concentration
\(P(|M_n-E(X)|\ge a)\le\dfrac{V(X)}{na^2}\)
Contrôler l’écart d’une moyenne à l’espérance.
Exercice 1
Somme et moyenne d’un échantillon
Solide
Soit \(X\) une variable aléatoire telle que \(E(X)=8\) et \(V(X)=9\). On considère un échantillon \((X_1,\ldots,X_n)\) de taille \(n\) de \(X\), puis :
Une machine produit une pièce conforme avec probabilité \(0{,}92\). On note \(X_i=1\) si la \(i\)-ième pièce est conforme et \(X_i=0\) sinon. On contrôle \(200\) pièces indépendantes.
Donner la loi de \(X_i\), son espérance et sa variance.
On pose \(S_{200}=X_1+\cdots+X_{200}\). Que représente \(S_{200}\) ?
Calculer \(E(S_{200})\) et \(V(S_{200})\).
Indice
Une variable qui vaut \(1\) en cas de succès et \(0\) sinon suit une loi de Bernoulli de paramètre \(p\).
\[
E(X)=p,
\qquad
V(X)=p(1-p).
\]
Correction détaillée
Chaque \(X_i\) suit une loi de Bernoulli de paramètre \(p=0{,}92\).
Comme \(30
\[
P(30L’inégalité donne seulement une borne : elle ne donne pas la probabilité exacte.
Réponse : \(\boxed{P(|X-40|\ge10)\le\frac14}\) et \(\boxed{P(30
Exercice 5
Fréquence d’un succès
Bac
Un événement \(A\) a une probabilité \(p=0{,}3\). On répète \(n=1000\) fois l’expérience de façon indépendante. On note \(F_n\) la fréquence de réalisation de \(A\).
Modéliser \(F_n\) à l’aide de variables de Bernoulli.
Calculer \(E(F_n)\) et \(V(F_n)\).
Majorer \(P(|F_n-0{,}3|\ge0{,}05)\).
Indice
Pose \(X_i=1\) si \(A\) se réalise au \(i\)-ième essai, et \(X_i=0\) sinon. Alors :
\[
F_n=\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}.
\]
Correction détaillée
Chaque \(X_i\) suit une loi de Bernoulli de paramètre \(0{,}3\).
Réponse : une taille suffisante est \(\boxed{n=1600}\).
Exercice 7
Sondage et marge d’erreur
Bien avancé
Dans une population, la proportion inconnue de personnes favorables à une proposition est \(p\). On interroge \(n\) personnes indépendamment. On note \(F_n\) la fréquence observée. On sait que pour une variable de Bernoulli, \(V(X)=p(1-p)\le\frac14\).
Montrer que \(P(|F_n-p|\ge a)\le\dfrac{1}{4na^2}\).
Déterminer \(n\) pour garantir \(P(|F_n-p|\ge0{,}02)\le0{,}05\).
Indice
Applique l’inégalité de concentration à \(F_n\), puis utilise \(p(1-p)\le\frac14\).
Correction détaillée
En posant \(X_i=1\) si la personne est favorable, \(F_n\) est la moyenne d’un échantillon de Bernoulli de paramètre \(p\).
\[
E(F_n)=p,
\qquad
V(F_n)=\frac{p(1-p)}{n}.
\]
Donc :
\[
P(|F_n-p|\ge a)
\le
\frac{p(1-p)}{na^2}
\le
\frac{1}{4na^2}.
\]
Avec \(a=0{,}02\) et \(\varepsilon=0{,}05\), on veut :
Une entreprise affirme que \(98\%\) de ses produits sont conformes. On prélève \(n=2500\) produits et on note \(F_n\) la fréquence de produits conformes.
Donner \(E(F_n)\) et \(V(F_n)\) si l’affirmation est vraie.
Majorer \(P(|F_n-0{,}98|\ge0{,}01)\).
Que peut-on dire si la fréquence observée est \(0{,}955\) ?
Indice
Si \(X\sim\mathcal B(0{,}98)\), alors \(V(X)=0{,}98\times0{,}02\). La fréquence \(F_n\) est une moyenne.
Correction détaillée
On modélise par des variables de Bernoulli de paramètre \(0{,}98\).
Cette fréquence est assez éloignée de \(0{,}98\). L’inégalité ne permet pas de rejeter formellement l’affirmation, mais elle signale une observation défavorable qui mérite vérification.
Par Bienaymé-Tchebychev appliquée à \(M_n\), pour tout \(a>0\) :
\[
P(|M_n-E(M_n)|\ge a)
\le
\frac{V(M_n)}{a^2}.
\]
Donc :
\[
P(|M_n-\mu|\ge a)
\le
\frac{\sigma^2}{na^2}.
\]
Comme \(\dfrac{\sigma^2}{na^2}\to0\) quand \(n\to+\infty\), alors :
\[
\lim_{n\to+\infty}P(|M_n-\mu|\ge a)=0.
\]
Conclusion : la moyenne observée \(M_n\) se rapproche de \(\mu\) en probabilité.
Exercice 12
Estimation d’une probabilité par fréquence
Type Bac
Dans un jeu, la probabilité de gagner est \(p\). On répète le jeu \(n\) fois de manière indépendante et on note \(F_n\) la fréquence des victoires.
Construire une modélisation avec des variables de Bernoulli.
Montrer que \(E(F_n)=p\).
Montrer que \(V(F_n)=\dfrac{p(1-p)}{n}\).
Expliquer pourquoi \(F_n\) est une bonne estimation de \(p\) lorsque \(n\) est grand.
Indice
Pose \(X_i=1\) en cas de victoire au \(i\)-ième jeu et \(X_i=0\) sinon. Alors \(F_n=M_n\).
Correction détaillée
On définit :
\[
X_i=
\begin{cases}
1 & \text{si le } i\text{-ième jeu est gagné},\\
0 & \text{sinon}.
\end{cases}
\]
Alors chaque \(X_i\) suit une loi de Bernoulli de paramètre \(p\), donc :
\[
E(X_i)=p,
\qquad
V(X_i)=p(1-p).
\]
La fréquence des victoires est :
\[
F_n=\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}.
\]
Donc :
\[
E(F_n)=p,
\qquad
V(F_n)=\frac{p(1-p)}{n}.
\]
Quand \(n\) devient grand, \(V(F_n)\) tend vers \(0\). Par la loi faible des grands nombres, la fréquence \(F_n\) se rapproche de \(p\) avec une probabilité de plus en plus grande.
Conclusion : \(\boxed{F_n\text{ estime }p\text{ lorsque }n\text{ est grand}}\).
Exercice 13
Problème complet — laboratoire de mesures
Très avancé
Un laboratoire mesure une grandeur physique. Une mesure est modélisée par une variable aléatoire \(X\) telle que :
\[
E(X)=100,
\qquad
\sigma(X)=3.
\]
On effectue \(n\) mesures indépendantes et on note \(M_n\) leur moyenne.
Exprimer \(V(X)\), \(E(M_n)\) et \(V(M_n)\).
Déterminer \(n\) pour garantir \(P(|M_n-100|\ge0{,}5)\le0{,}04\).
Interpréter le résultat.
Indice
Si \(\sigma(X)=3\), alors \(V(X)=9\). Ensuite impose :
Il faut donc au moins \(900\) mesures pour garantir, par cette borne, que la probabilité d’un écart d’au moins \(0{,}5\) soit inférieure ou égale à \(0{,}04\).
Réponse : \(\boxed{n\ge900}\).
Exercice 14
Synthèse Bac — fréquence, concentration et conclusion
Synthèse Bac
Une application affirme qu’un utilisateur sur cinq clique sur une publicité. Pour tester cette affirmation, on observe \(n\) utilisateurs indépendants. On note \(F_n\) la fréquence de clics observée.
Modéliser la situation à l’aide d’un échantillon de variables de Bernoulli.
Dans le cas où l’affirmation est vraie, calculer \(E(F_n)\) et \(V(F_n)\).
Déterminer une valeur de \(n\) suffisante pour que \(P(|F_n-0{,}2|\ge0{,}02)\le0{,}05\).
Rédiger une conclusion claire de type Bac.
Indice
Un utilisateur clique avec probabilité \(p=0{,}2\). Donc \(X_i\sim\mathcal B(0{,}2)\), avec \(V(X_i)=0{,}2\times0{,}8=0{,}16\).
Conclusion type Bac : avec au moins \(8000\) utilisateurs observés, l’inégalité de concentration garantit que, si la proportion théorique est bien \(0{,}2\), alors la probabilité que la fréquence observée s’en écarte d’au moins \(0{,}02\) est inférieure ou égale à \(0{,}05\).
Réponse : \(\boxed{n\ge8000}\).
Conseil Bac : dans ce chapitre, la meilleure rédaction consiste toujours à définir la variable de Bernoulli,
écrire la fréquence comme une moyenne, calculer \(E(M_n)\) et \(V(M_n)\), puis appliquer Bienaymé-Tchebychev ou l’inégalité
de concentration avec une phrase d’interprétation.