Exercices corrigés — Loi des grands nombres (Tle spé)

Soit \(X\) une variable aléatoire telle que \(E(X)=8\) et \(V(X)=9\). On considère un échantillon indépendant \((X_1,\ldots,X_n)\), puis \(S_n=X_1+\cdots+X_n\) et \(M_n=\dfrac{S_n}{n}\).

1. Calculer \(E(S_n)\) et \(V(S_n)\).
2. Calculer \(E(M_n)\) et \(V(M_n)\).
3. Pour \(n=225\), donner l’écart-type de \(M_n\).
4. Pour \(n=225\), majorer \(P(|M_n-8|\geq0{,}4)\).

Une pièce est conforme avec probabilité \(p=0{,}92\). On contrôle \(200\) pièces indépendantes. On note \(X_i=1\) si la pièce \(i\) est conforme, \(0\) sinon, et \(F_{200}=\dfrac{X_1+\cdots+X_{200}}{200}\).

1. Donner \(E(X_i)\) et \(V(X_i)\).
2. Calculer \(E(F_{200})\) et \(V(F_{200})\).
3. Majorer \(P(|F_{200}-0{,}92|\geq0{,}04)\).
4. En déduire une minoration de \(P(0{,}88<F_{200}<0{,}96)\).

Une variable aléatoire \(X\) vérifie \(E(X)=40\) et \(V(X)=25\).

1. Majorer \(P(|X-40|\geq10)\).
2. En déduire une minoration de \(P(30<X<50)\).
3. Que donne l’inégalité pour \(P(|X-40|\geq5)\) ?
4. Expliquer pourquoi une borne égale à \(1\) est correcte mais peu informative.

La masse d’un produit est modélisée par une variable aléatoire \(X\) telle que \(E(X)=250\) et \(V(X)=16\). On prélève \(64\) produits indépendants et on note \(M_{64}\) leur masse moyenne.

1. Calculer \(E(M_{64})\) et \(V(M_{64})\).
2. Majorer \(P(|M_{64}-250|\geq1)\).
3. Minorer \(P(|M_{64}-250|<1)\).
4. Comparer avec la borne obtenue pour une précision \(0{,}5\).

Une variable aléatoire a pour variance \(V=4\). On veut choisir \(n\) afin que la moyenne \(M_n\) vérifie une précision \(\delta=0{,}5\) avec un risque garanti au plus \(0{,}01\).

1. Écrire l’inégalité de concentration adaptée.
2. Traduire la condition demandée en une inégalité sur \(n\).
3. Déterminer la plus petite taille entière suffisante.
4. Recommencer si la précision devient \(\delta=1\), avec le même risque.

Une loi a pour variance \(V=36\). On compare les moyennes \(M_{100}\) et \(M_{400}\).

1. Calculer les variances et écarts-types de \(M_{100}\) et \(M_{400}\).
2. Pour \(\delta=1{,}5\), calculer les deux bornes de concentration.
3. Par quel facteur la variance et la borne ont-elles été divisées lorsque la taille a été multipliée par \(4\) ?
4. Par quel facteur l’écart-type a-t-il été divisé ?

Une variable aléatoire a pour variance \(V=12\). On souhaite une précision \(\delta=0{,}8\) avec un risque garanti au plus \(0{,}03\).

1. Écrire la condition suffisante sur \(n\).
2. Déterminer la plus petite taille entière suffisante.
3. Vérifier la borne obtenue pour cette taille.
4. Quelle taille devient suffisante si la précision est divisée par \(2\) ?

On observe une fréquence \(F_n\) issue d’épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre inconnu \(p\in[0;1]\).

1. Montrer que \(p(1-p)\leq\dfrac14\) pour tout \(p\in[0;1]\).
2. En déduire \(P(|F_n-p|\geq\delta)\leq\dfrac{1}{4n\delta^2}\).
3. Pour \(\delta=0{,}03\) et un risque \(0{,}05\), déterminer une taille entière suffisante valable pour tout \(p\).
4. Si l’on sait finalement que \(p=0{,}2\), déterminer une taille suffisante avec les mêmes \(\delta\) et risque.

On répète \(100\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p=0{,}4\). On note \(S_{100}\) le nombre de succès et \(F_{100}=\dfrac{S_{100}}{100}\).

1. Donner la loi, l’espérance et la variance de \(S_{100}\).
2. Majorer \(P(|F_{100}-0{,}4|\geq0{,}1)\) par concentration.
3. Écrire cette probabilité exacte sous forme de deux sommes binomiales.
4. Un calcul numérique donne environ \(0{,}0519\). Comparer cette valeur à la borne et commenter.

Une loi a pour espérance \(\mu=20\) et écart-type \(\sigma=6\). Des simulations donnent, pour les moyennes d’échantillons, les écarts-types empiriques suivants : \(1{,}21\) pour \(n=25\), \(0{,}59\) pour \(n=100\), \(0{,}31\) pour \(n=400\).

1. Calculer les écarts-types théoriques \(\sigma(M_n)\) pour \(n=25,100,400\).
2. Comparer ces valeurs aux trois valeurs empiriques.
3. Expliquer pourquoi les écarts-types empiriques ne sont pas exactement égaux aux valeurs théoriques.
4. Prévoir l’effet d’une multiplication de \(n\) par \(9\) sur l’écart-type de la moyenne.

Une loi a pour variance \(V=20\). On veut d’abord rendre l’écart-type de la moyenne inférieur ou égal à \(0{,}2\).

1. Déterminer une taille entière minimale assurant \(\sigma(M_n)\leq0{,}2\).
2. Pour cette taille, majorer \(P(|M_n-\mu|\geq0{,}5)\).
3. La borne obtenue est-elle inférieure à \(0{,}05\) ?
4. Déterminer la taille minimale suffisante pour garantir directement ce risque \(0{,}05\) avec \(\delta=0{,}5\).

Une loi a pour variance \(V=9\). On veut qu’une même taille \(n\) garantisse simultanément : \(P(|M_n-\mu|\geq0{,}5)\leq0{,}05\) et \(P(|M_n-\mu|\geq1)\leq0{,}005\).

1. Déterminer la condition sur \(n\) issue de la première contrainte.
2. Déterminer celle issue de la seconde contrainte.
3. En déduire la plus petite taille entière suffisante pour les deux contraintes.
4. Expliquer pourquoi il faut retenir la plus grande des deux tailles.

Une chaîne produit une pièce conforme avec probabilité \(p=0{,}96\). On prélève \(n=1000\) pièces indépendantes et on note \(F_n\) la fréquence de pièces conformes.

1. Calculer \(E(F_n)\) et \(V(F_n)\).
2. Majorer \(P(|F_n-0{,}96|\geq0{,}02)\).
3. Minorer \(P(0{,}94<F_n<0{,}98)\).
4. Interpréter concrètement la minoration obtenue.

On réalise un sondage modélisé par des réponses de Bernoulli indépendantes de paramètre inconnu \(p\). On veut garantir une précision \(0{,}025\) avec un risque au plus \(0{,}04\), quelle que soit la valeur de \(p\).

1. Justifier que \(V(F_n)\leq\dfrac{1}{4n}\).
2. Écrire une majoration uniforme de \(P(|F_n-p|\geq0{,}025)\).
3. Déterminer une taille entière minimale suffisante.
4. Expliquer pourquoi cette taille est une condition suffisante et non nécessaire.

Une mesure expérimentale \(X\) a pour espérance \(50\) et variance \(9\). On effectue \(n\) mesures indépendantes et on note \(M_n\) leur moyenne.

1. Déterminer une taille minimale suffisante pour garantir \(P(|M_n-50|\geq0{,}3)\leq0{,}05\).
2. Pour \(n=2500\), calculer la borne correspondante.
3. En déduire une minoration de \(P(49{,}7<M_{2500}<50{,}3)\).
4. Comparer la taille \(2500\) au seuil minimal trouvé à la question 1.

Soit \((X_1,\ldots,X_n)\) un échantillon indépendant d’une variable aléatoire \(X\) d’espérance \(\mu\) et de variance finie \(V\). On pose \(M_n=\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}\).

1. Montrer que \(E(M_n)=\mu\).
2. Montrer que \(V(M_n)=\dfrac{V}{n}\).
3. Pour \(\delta>0\), majorer \(P(|M_n-\mu|\geq\delta)\).
4. Faire tendre \(n\) vers \(+\infty\) et énoncer la conclusion.

Soit \(S_n\sim\mathcal B(n,p)\) et \(F_n=\dfrac{S_n}{n}\).

1. Donner \(E(S_n)\) et \(V(S_n)\).
2. Montrer que \(|F_n-p|\geq\delta\) équivaut à \(|S_n-np|\geq n\delta\).
3. Retrouver la borne \(P(|F_n-p|\geq\delta)\leq\dfrac{p(1-p)}{n\delta^2}\) en appliquant Bienaymé-Tchebychev à \(S_n\).
4. Calculer cette borne pour \(p=0{,}5\), \(n=400\), \(\delta=0{,}05\).

Une loi a pour variance \(V=7\). On cherche le plus petit entier \(n\) assurant par concentration une précision \(\delta=0{,}25\) avec un risque au plus \(0{,}02\).

1. Écrire l’inégalité que doit vérifier \(n\).
2. Déterminer mathématiquement le seuil minimal.
3. Proposer un algorithme de type boucle `while` qui retrouve ce seuil.
4. Expliquer pourquoi l’algorithme s’arrête et pourquoi la valeur affichée est minimale.

Une loi a pour variance \(V=4\). Le protocole A utilise \(n_A=400\) avec une précision \(\delta_A=0{,}5\). Le protocole B utilise \(n_B=1600\) avec une précision \(\delta_B=0{,}25\).

1. Calculer la borne de concentration du protocole A.
2. Calculer celle du protocole B.
3. Comparer les écarts-types des deux moyennes.
4. Expliquer pourquoi une taille quatre fois plus grande ne donne ici aucune amélioration de la borne de risque.

Pour un échantillon de taille \(50\), on sait que la moyenne \(M_{50}\) a pour variance \(0{,}06\).

1. Retrouver la variance \(V\) de la loi échantillonnée.
2. Pour \(n=200\), calculer \(V(M_{200})\).
3. Pour \(n=200\) et \(\delta=0{,}5\), donner la borne de concentration.
4. Déterminer une taille minimale suffisante pour ramener cette borne à \(0{,}02\).

La longueur d’une pièce est modélisée par une variable \(X\) d’espérance \(100\) et de variance \(4\). On prélève \(400\) pièces indépendantes et on note \(M_{400}\) leur longueur moyenne.

1. Calculer \(E(M_{400})\), \(V(M_{400})\) et \(\sigma(M_{400})\).
2. Majorer \(P(|M_{400}-100|\geq0{,}2)\).
3. Que donne la même méthode pour la tolérance \(0{,}1\) ? Interpréter.
4. Déterminer une taille minimale suffisante pour une tolérance \(0{,}2\) et un risque au plus \(0{,}05\).

On considère une loi de variance \(V>0\). On fixe une précision \(\delta>0\) et un risque maximal \(\alpha\in]0;1[\).

1. Montrer qu’une condition suffisante est \(n\geq\dfrac{V}{\alpha\delta^2}\).
2. Que devient cette taille suffisante si \(\delta\) est doublée ?
3. Que devient-elle si \(\alpha\) est divisé par \(2\) ?
4. Application : calculer le seuil pour \(V=10\), \(\delta=0{,}25\), \(\alpha=0{,}02\).

On veut contrôler une fréquence \(F_n\) de Bernoulli. On commence sans connaître \(p\), puis on apprend que \(p=0{,}1\). On fixe \(\delta=0{,}02\) et un risque \(0{,}05\).

1. Démontrer que le pire cas de variance correspond à \(p=1/2\).
2. Déterminer la taille minimale suffisante sans connaître \(p\).
3. Déterminer la taille minimale suffisante lorsque \(p=0{,}1\) est connu.
4. Quantifier le gain en nombre d’observations et l’expliquer.

On reprend \(S_{100}\sim\mathcal B(100;0{,}4)\) et \(F_{100}=\\dfrac{S_{100}}{100}\). On s’intéresse à \(|F_{100}-0{,}4|\geq0{,}1\).

1. Retrouver la borne de concentration fournie par Bienaymé-Tchebychev.
2. Écrire précisément l’événement en termes de valeurs entières de \(S_{100}\).
3. Écrire un pseudo-code calculant la probabilité binomiale exacte par sommation.
4. La valeur exacte est environ \(0{,}051882\). Calculer le rapport borne/probabilité exacte et commenter.

Chaque atome a, sur une durée donnée, une probabilité \(p=0{,}001\) de se désintégrer. On observe \(n=10^6\) atomes supposés indépendants et on note \(F_n\) la fréquence des désintégrations.

1. Calculer \(E(F_n)\) et \(V(F_n)\).
2. Majorer \(P(|F_n-0{,}001|\geq0{,}0001)\).
3. Minorer la probabilité que la fréquence soit dans \(]0{,}0009;0{,}0011[\).
4. Traduire cet intervalle en nombre de désintégrations parmi \(10^6\) atomes.

Une machine A produit une pièce conforme avec probabilité \(0{,}9\) et une machine B avec probabilité \(0{,}8\). On observe indépendamment \(400\) pièces de A et \(625\) pièces de B. Les fréquences sont notées \(F_A\) et \(F_B\), et \(D=F_A-F_B\).

1. Calculer \(E(D)\).
2. En utilisant l’indépendance des deux échantillons, calculer \(V(D)\).
3. Majorer \(P(|D-0{,}1|\geq0{,}05)\).
4. En déduire une minoration de \(P(D>0{,}05)\).

Une variable \(X\) a pour espérance \(4\) et variance \(5\). On pose \(Y=3X-2\). On prélève \(500\) valeurs indépendantes de \(Y\) et on note \(\overline Y\) leur moyenne.

1. Calculer \(E(Y)\) et \(V(Y)\).
2. Calculer \(E(\overline Y)\) et \(V(\overline Y)\).
3. Majorer \(P(|\overline Y-10|\geq1)\).
4. Si \(\overline X\) désigne la moyenne des valeurs initiales, établir la relation entre \(\overline Y\) et \(\overline X\), puis réinterpréter l’événement précédent.

On considère des variables indépendantes \(\varepsilon_i\) prenant les valeurs \(-1\) et \(1\) avec probabilité \(1/2\). On pose \(S_n=\varepsilon_1+\cdots+\varepsilon_n\).

1. Calculer \(E(\varepsilon_i)\), \(V(\varepsilon_i)\), puis \(E(S_n)\) et \(V(S_n)\).
2. Majorer \(P(|S_n|\geq3\sqrt n)\).
3. Montrer que pour tout \(\delta>0\), \(P(|S_n/n|\geq\delta)\leq\dfrac{1}{n\delta^2}\).
4. En déduire que \(S_n/n\) converge en probabilité vers \(0\).

Une loi a pour écart-type \(\sigma=6\). Un programme simule un grand nombre d’échantillons et obtient pour l’écart-type empirique des moyennes : \(1{,}21\) pour \(n=25\), \(0{,}59\) pour \(n=100\), \(0{,}31\) pour \(n=400\).

1. Donner la formule théorique de \(\sigma(M_n)\).
2. Calculer les trois valeurs théoriques et les comparer aux résultats simulés.
3. Calculer les rapports \(1{,}21/1{,}2\), \(0{,}59/0{,}6\) et \(0{,}31/0{,}3\), puis commenter.
4. Proposer un test de simulation permettant de vérifier expérimentalement la dépendance en \(1/\sqrt n\).

On estime une probabilité inconnue \(p\) par la fréquence \(F_n\) obtenue sur \(n\) épreuves de Bernoulli indépendantes. On souhaite une précision \(\delta=0{,}02\) et une garantie \(P(|F_n-p|<0{,}02)\geq0{,}99\), uniforme en \(p\).

1. Montrer que \(P(|F_n-p|\geq\delta)\leq\dfrac{1}{4n\delta^2}\).
2. Traduire la garantie \(0{,}99\) en une contrainte sur cette borne.
3. Déterminer une taille entière minimale suffisante avec \(\delta=0{,}02\).
4. Expliquer précisément ce que garantit le résultat et ce qu’il ne garantit pas.