Quiz — Loi binomiale (Tle spé)
Ce quiz de mathématiques en Terminale Spécialité permet de vérifier rapidement tes acquis sur Loi binomiale. Les questions ciblent notamment notions essentielles du chapitre, méthodes attendues en Terminale Spécialité, exemples guidés, exercices d’application pour repérer les points à revoir.
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Quiz Premium — Loi binomiale (SOLID 20 • Type Bac)
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Q1. Une pièce truquée donne “Pile” avec probabilité \(p=0{,}3\). On effectue \(n=10\) lancers indépendants. Soit \(X\) le nombre de piles. Donner \(\mathbb{P}(X=4)\) (exact).
Non vérifié
Indice
Reconnaître \(X\sim\mathcal B(10,0{,}3)\) puis appliquer la formule binomiale.
Correction
On a \(X\sim\mathcal B(10,0{,}3)\). Donc : \[\mathbb{P}(X=4)=\binom{10}{4}(0{,}3)^4(0{,}7)^6\].
Q2. Dans la situation précédente, calculer \(\mathbb{P}(X\ge 1)\) sans somme (exact).
Non vérifié
Indice
Utiliser le complément : \(X\ge 1\iff \text{pas }(X=0)\).
Correction
\[\mathbb{P}(X\ge 1)=1-\mathbb{P}(X=0)=1-(1-0{,}3)^{10}=1-(0{,}7)^{10}.\]
Q3. Une joueuse réussit un tir avec probabilité \(p=0{,}4\). Elle effectue \(n=12\) tirs indépendants. Soit \(X\) le nombre de réussites. Écrire \(\mathbb{P}(5\le X\le 8)\) sous forme de somme exacte.
Non vérifié
Indice
Comme \(X\) est entière : somme de \(\mathbb{P}(X=k)\) pour \(k=5,6,7,8\).
Correction
Avec \(X\sim\mathcal B(12,0{,}4)\) : \[\mathbb{P}(5\le X\le 8)=\sum_{k=5}^{8}\binom{12}{k}(0{,}4)^k(0{,}6)^{12-k}.\]
Q4. Une question est réussie avec probabilité \(p=0{,}25\). Un élève répond à \(n=8\) questions indépendantes. Soit \(X\) le nombre de bonnes réponses. Donner \(\mathbb{P}(X\le 1)\) (exact).
Non vérifié
Indice
\(\mathbb{P}(X\le 1)=\mathbb{P}(0)+\mathbb{P}(1)\).
Correction
Ici \(X\sim\mathcal B(8,0{,}25)\). \[\mathbb{P}(X\le 1)=(0{,}75)^8+\binom{8}{1}(0{,}25)(0{,}75)^7=(0{,}75)^8+8\cdot0{,}25\cdot(0{,}75)^7.\]
Q5. \(X\sim\mathcal{B}(25,0{,}6)\). Donner \(\mathbb{E}(X)\).
Non vérifié
Indice
\(\mathbb{E}(X)=np\).
Correction
\(\mathbb{E}(X)=25\times 0{,}6=15\).
Q6. \(X\sim\mathcal{B}(25,0{,}6)\). Donner \(\mathrm{Var}(X)\).
Non vérifié
Indice
\(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\).
Correction
\(\mathrm{Var}(X)=25\times 0{,}6\times 0{,}4=6\).
Q7. On sait que \(X\sim\mathcal{B}(40,p)\) et \(\mathbb{E}(X)=14\). Déterminer \(p\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(\mathbb{E}(X)=np\).
Correction
\(14=40p\Rightarrow p=\frac{14}{40}=\frac{7}{20}=0{,}35\).
Q8. On sait que \(X\sim\mathcal{B}(n,0{,}2)\) et \(\mathbb{E}(X)=7\). Déterminer \(n\).
Non vérifié
Indice
\(7=0{,}2n\).
Correction
\(n=\frac{7}{0{,}2}=35\).
Q9. Un appareil tombe en panne avec probabilité \(0{,}04\) à chaque test, indépendamment. \(n=15\) tests. Soit \(X\) le nombre de pannes. Calculer \(\mathbb{P}(X\ge 1)\) (exact).
Non vérifié
Indice
Complément : \(1-\mathbb{P}(X=0)\).
Correction
\(X\sim\mathcal B(15,0{,}04)\) donc \[\mathbb{P}(X\ge 1)=1-(1-0{,}04)^{15}=1-(0{,}96)^{15}.\]
Q10. Une pièce équilibrée est lancée \(n=12\) fois. \(X\)=nombre de piles. Donner \(\mathbb{P}(X=6)\) (exact).
Non vérifié
Indice
Ici \(p=\frac12\).
Correction
\(X\sim\mathcal B(12,\tfrac12)\) donc \[\mathbb{P}(X=6)=\binom{12}{6}\left(\tfrac12\right)^6\left(\tfrac12\right)^6=\binom{12}{6}\left(\tfrac12\right)^{12}.\]
Q11. Dans la même situation, calculer \(\mathbb{P}(X\ge 1)\) (exact).
Non vérifié
Indice
Complément : \(1-\mathbb{P}(X=0)\).
Correction
\[\mathbb{P}(X\ge 1)=1-\left(\tfrac12\right)^{12}=1-2^{-12}.\]
Q12. Si \(X\sim\mathcal{B}(15,0{,}92)\), écrire \(\mathbb{P}(X\ge 14)\) sans utiliser de somme de 0 à 15.
Non vérifié
Indice
\(X\ge 14\) signifie \(X=14\) ou \(X=15\).
Correction
\[\mathbb{P}(X\ge 14)=\mathbb{P}(X=14)+\mathbb{P}(X=15)=\binom{15}{14}(0{,}92)^{14}(0{,}08)+(0{,}92)^{15}.\]
Q13. On pose \(Y\) = nombre de pièces non conformes dans \(15\) contrôles indépendants, probabilité “non conforme” \(0{,}08\). Écrire \(\mathbb{P}(Y\le 1)\) (exact).
Non vérifié
Indice
\(Y\le1\iff Y=0\text{ ou }Y=1\).
Correction
\(Y\sim\mathcal B(15,0{,}08)\). \[\mathbb{P}(Y\le 1)=(0{,}92)^{15}+\binom{15}{1}(0{,}08)(0{,}92)^{14}=(0{,}92)^{15}+15\cdot0{,}08\cdot(0{,}92)^{14}.\]
Q14. Comparer \(\mathbb{P}(X=2)\) et \(\mathbb{P}(X=3)\) pour \(X\sim\mathcal{B}(10,0{,}3)\). Répondre par \(<\) ou \(>\).
Non vérifié
Indice
Étudier \(\dfrac{\mathbb{P}(X=3)}{\mathbb{P}(X=2)}\).
Correction
\[
\frac{\mathbb{P}(X=3)}{\mathbb{P}(X=2)}
=\frac{\binom{10}{3}}{\binom{10}{2}}\cdot\frac{0{,}3}{0{,}7}
=\frac{8}{3}\cdot\frac{3}{7}=\frac{8}{7}>1
\]
donc \(\mathbb{P}(X=3)>\mathbb{P}(X=2)\). Réponse : \(>\).
Q15. Une personne réussit une action avec probabilité \(p=0{,}6\) à chaque tentative, indépendamment. Elle tente \(n=7\) fois. Soit \(X\) le nombre de réussites. Donner \(\mathbb{P}(X=1)\) (exact).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(\mathbb{P}(X=1)=\binom{7}{1}p(1-p)^6\).
Correction
\(X\sim\mathcal B(7,0{,}6)\) donc \[\mathbb{P}(X=1)=\binom{7}{1}(0{,}6)(0{,}4)^6=7\cdot0{,}6\cdot(0{,}4)^6.\]
Q16. Dans la même situation (\(n=7\), \(p=0{,}6\)), calculer \(\mathbb{P}(X\ge 1)\) (exact).
Non vérifié
Indice
Complément : \(1-\mathbb{P}(X=0)\).
Correction
\[\mathbb{P}(X\ge 1)=1-(1-0{,}6)^7=1-(0{,}4)^7.\]
Q17. Pour \(X\sim\mathcal{B}(7,0{,}6)\), écrire \(\mathbb{P}(X\le 1)\) (exact) sous forme de deux termes.
Non vérifié
Indice
\(\mathbb{P}(X\le 1)=\mathbb{P}(0)+\mathbb{P}(1)\).
Correction
\[
\mathbb{P}(X\le 1)=(0{,}4)^7+\binom{7}{1}(0{,}6)(0{,}4)^6=(0{,}4)^7+7\cdot0{,}6\cdot(0{,}4)^6.
\]
Q18. Si \(X\sim\mathcal{B}(30,0{,}4)\), donner \(\mathbb{E}(X)\).
Non vérifié
Indice
\(np\).
Correction
\(\mathbb{E}(X)=30\times 0{,}4=12\).
Q19. Si \(X\sim\mathcal{B}(30,0{,}4)\), donner \(\mathrm{Var}(X)\).
Non vérifié
Indice
\(np(1-p)\).
Correction
\(\mathrm{Var}(X)=30\times 0{,}4\times 0{,}6=7{,}2\).
Q20. On effectue \(n\) tirages avec remise dans une urne. La probabilité d’obtenir une boule rouge est \(p\) (constante), les tirages sont indépendants. Soit \(X\) le nombre de boules rouges. Donner : loi de \(X\), \(\mathbb{E}(X)\), \(\mathrm{Var}(X)\).
Non vérifié
Indice
Schéma de Bernoulli ⇒ binomiale + formules usuelles.
Correction
\[
\boxed{X\sim\mathcal{B}(n,p)},\qquad
\boxed{\mathbb{E}(X)=np},\qquad
\boxed{\mathrm{Var}(X)=np(1-p)}.
\]
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