Quiz Premium — Loi binomiale (SOLID 20 • Type Bac)
Réponds puis clique Vérifier (ou Tout vérifier). Clavier MathQuill flottant inclus.
Q2. Une pièce truquée donne “Pile” avec probabilité \(p=0{,}3\). On effectue \(n=10\) lancers indépendants. Soit \(X\) le nombre de piles. Donner \(\mathbb{P}(X=4)\) (exact).
Non vérifié
Indice
Reconnaître \(X\sim\mathcal B(10,0{,}3)\) puis appliquer la formule binomiale.
Correction
On a \(X\sim\mathcal B(10,0{,}3)\). Donc : \[\mathbb{P}(X=4)=\binom{10}{4}(0{,}3)^4(0{,}7)^6\].
Q3. Dans la situation précédente, calculer \(\mathbb{P}(X\ge 1)\) sans somme (exact).
Non vérifié
Indice
Utiliser le complément : \(X\ge 1\iff \text{pas }(X=0)\).
Correction
\[\mathbb{P}(X\ge 1)=1-\mathbb{P}(X=0)=1-(1-0{,}3)^{10}=1-(0{,}7)^{10}.\]
Q4. Une joueuse réussit un tir avec probabilité \(p=0{,}4\). Elle effectue \(n=12\) tirs indépendants. Soit \(X\) le nombre de réussites. Écrire \(\mathbb{P}(5\le X\le 8)\) sous forme de somme exacte.
Non vérifié
Indice
Comme \(X\) est entière : somme de \(\mathbb{P}(X=k)\) pour \(k=5,6,7,8\).
Correction
Avec \(X\sim\mathcal B(12,0{,}4)\) : \[\mathbb{P}(5\le X\le 8)=\sum_{k=5}^{8}\binom{12}{k}(0{,}4)^k(0{,}6)^{12-k}.\]
Q5. Une question est réussie avec probabilité \(p=0{,}25\). Un élève répond à \(n=8\) questions indépendantes. Soit \(X\) le nombre de bonnes réponses. Donner \(\mathbb{P}(X\le 1)\) (exact).
Non vérifié
Indice
\(\mathbb{P}(X\le 1)=\mathbb{P}(0)+\mathbb{P}(1)\).
Correction
Ici \(X\sim\mathcal B(8,0{,}25)\). \[\mathbb{P}(X\le 1)=(0{,}75)^8+\binom{8}{1}(0{,}25)(0{,}75)^7=(0{,}75)^8+8\cdot0{,}25\cdot(0{,}75)^7.\]
Q6. \(X\sim\mathcal{B}(25,0{,}6)\). Donner \(\mathbb{E}(X)\).
Non vérifié
Indice
\(\mathbb{E}(X)=np\).
Correction
\(\mathbb{E}(X)=25\times 0{,}6=15\).
Q7. \(X\sim\mathcal{B}(25,0{,}6)\). Donner \(\mathrm{Var}(X)\).
Non vérifié
Indice
\(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\).
Correction
\(\mathrm{Var}(X)=25\times 0{,}6\times 0{,}4=6\).
Q8. On sait que \(X\sim\mathcal{B}(40,p)\) et \(\mathbb{E}(X)=14\). Déterminer \(p\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(\mathbb{E}(X)=np\).
Correction
\(14=40p\Rightarrow p=\frac{14}{40}=\frac{7}{20}=0{,}35\).
Q9. On sait que \(X\sim\mathcal{B}(n,0{,}2)\) et \(\mathbb{E}(X)=7\). Déterminer \(n\).
Non vérifié
Indice
\(7=0{,}2n\).
Correction
\(n=\frac{7}{0{,}2}=35\).
Q10. Un appareil tombe en panne avec probabilité \(0{,}04\) à chaque test, indépendamment. \(n=15\) tests. Soit \(X\) le nombre de pannes. Calculer \(\mathbb{P}(X\ge 1)\) (exact).
Non vérifié
Indice
Complément : \(1-\mathbb{P}(X=0)\).
Correction
\(X\sim\mathcal B(15,0{,}04)\) donc \[\mathbb{P}(X\ge 1)=1-(1-0{,}04)^{15}=1-(0{,}96)^{15}.\]
Q11. Une pièce équilibrée est lancée \(n=12\) fois. \(X\)=nombre de piles. Donner \(\mathbb{P}(X=6)\) (exact).
Non vérifié
Indice
Ici \(p=\frac12\).
Correction
\(X\sim\mathcal B(12,\tfrac12)\) donc \[\mathbb{P}(X=6)=\binom{12}{6}\left(\tfrac12\right)^6\left(\tfrac12\right)^6=\binom{12}{6}\left(\tfrac12\right)^{12}.\]
Q12. Dans la même situation, calculer \(\mathbb{P}(X\ge 1)\) (exact).
Non vérifié
Indice
Complément : \(1-\mathbb{P}(X=0)\).
Correction
\[\mathbb{P}(X\ge 1)=1-\left(\tfrac12\right)^{12}=1-2^{-12}.\]
Q13. Si \(X\sim\mathcal{B}(15,0{,}92)\), écrire \(\mathbb{P}(X\ge 14)\) sans utiliser de somme de 0 à 15.
Non vérifié
Indice
\(X\ge 14\) signifie \(X=14\) ou \(X=15\).
Correction
\[\mathbb{P}(X\ge 14)=\mathbb{P}(X=14)+\mathbb{P}(X=15)=\binom{15}{14}(0{,}92)^{14}(0{,}08)+(0{,}92)^{15}.\]
Q14. On pose \(Y\) = nombre de pièces non conformes dans \(15\) contrôles indépendants, probabilité “non conforme” \(0{,}08\). Écrire \(\mathbb{P}(Y\le 1)\) (exact).
Non vérifié
Indice
\(Y\le1\iff Y=0\text{ ou }Y=1\).
Correction
\(Y\sim\mathcal B(15,0{,}08)\). \[\mathbb{P}(Y\le 1)=(0{,}92)^{15}+\binom{15}{1}(0{,}08)(0{,}92)^{14}=(0{,}92)^{15}+15\cdot0{,}08\cdot(0{,}92)^{14}.\]
Q15. Comparer \(\mathbb{P}(X=2)\) et \(\mathbb{P}(X=3)\) pour \(X\sim\mathcal{B}(10,0{,}3)\). Répondre par \(<\) ou \(>\).
Non vérifié
Indice
Étudier \(\dfrac{\mathbb{P}(X=3)}{\mathbb{P}(X=2)}\).
Correction
\[
\frac{\mathbb{P}(X=3)}{\mathbb{P}(X=2)}
=\frac{\binom{10}{3}}{\binom{10}{2}}\cdot\frac{0{,}3}{0{,}7}
=\frac{8}{3}\cdot\frac{3}{7}=\frac{8}{7}>1
\]
donc \(\mathbb{P}(X=3)>\mathbb{P}(X=2)\). Réponse : \(>\).
Q16. Une personne réussit une action avec probabilité \(p=0{,}6\) à chaque tentative, indépendamment. Elle tente \(n=7\) fois. Soit \(X\) le nombre de réussites. Donner \(\mathbb{P}(X=1)\) (exact).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(\mathbb{P}(X=1)=\binom{7}{1}p(1-p)^6\).
Correction
\(X\sim\mathcal B(7,0{,}6)\) donc \[\mathbb{P}(X=1)=\binom{7}{1}(0{,}6)(0{,}4)^6=7\cdot0{,}6\cdot(0{,}4)^6.\]
Q17. Dans la même situation (\(n=7\), \(p=0{,}6\)), calculer \(\mathbb{P}(X\ge 1)\) (exact).
Non vérifié
Indice
Complément : \(1-\mathbb{P}(X=0)\).
Correction
\[\mathbb{P}(X\ge 1)=1-(1-0{,}6)^7=1-(0{,}4)^7.\]
Q18. Pour \(X\sim\mathcal{B}(7,0{,}6)\), écrire \(\mathbb{P}(X\le 1)\) (exact) sous forme de deux termes.
Non vérifié
Indice
\(\mathbb{P}(X\le 1)=\mathbb{P}(0)+\mathbb{P}(1)\).
Correction
\[
\mathbb{P}(X\le 1)=(0{,}4)^7+\binom{7}{1}(0{,}6)(0{,}4)^6=(0{,}4)^7+7\cdot0{,}6\cdot(0{,}4)^6.
\]
Q19. Si \(X\sim\mathcal{B}(30,0{,}4)\), donner \(\mathbb{E}(X)\).
Non vérifié
Indice
\(np\).
Correction
\(\mathbb{E}(X)=30\times 0{,}4=12\).
Q20. Si \(X\sim\mathcal{B}(30,0{,}4)\), donner \(\mathrm{Var}(X)\).
Non vérifié
Indice
\(np(1-p)\).
Correction
\(\mathrm{Var}(X)=30\times 0{,}4\times 0{,}6=7{,}2\).
Q21. On effectue \(n\) tirages avec remise dans une urne. La probabilité d’obtenir une boule rouge est \(p\) (constante), les tirages sont indépendants. Soit \(X\) le nombre de boules rouges. Donner : loi de \(X\), \(\mathbb{E}(X)\), \(\mathrm{Var}(X)\).
Non vérifié
Indice
Schéma de Bernoulli ⇒ binomiale + formules usuelles.
Correction
\[
\boxed{X\sim\mathcal{B}(n,p)},\qquad
\boxed{\mathbb{E}(X)=np},\qquad
\boxed{\mathrm{Var}(X)=np(1-p)}.
\]
Clavier