Cours — Loi binomiale
Variable aléatoire discrète • Épreuve & schéma de Bernoulli • Loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\) •
Probabilités exactes • Espérance • Variance • Méthodes type Bac.
1) Objectifs Bac et plan de travail
Compétences attendues
- Identifier une variable aléatoire discrète et sa loi.
- Reconnaître un schéma de Bernoulli (indépendance + \(p\) constant).
- Modéliser : “\(X\) = nombre de succès” ⇒ \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\).
- Calculer \(\mathbb{P}(X=k)\), \(\mathbb{P}(X\le a)\), \(\mathbb{P}(X\ge a)\), \(\mathbb{P}(a\le X\le b)\).
- Utiliser le complément : “au moins un succès” ⇒ \(1-(1-p)^n\).
- Calculer \(\mathbb{E}(X)\), \(\mathrm{Var}(X)\), \(\sigma(X)\) et interpréter.
Pièges fréquents
- Sans remise ⇒ pas binomial (indépendance fausse).
- “Succès” mal défini ⇒ tu échanges \(p\) et \(1-p\).
- Oublier \(\binom{n}{k}\) ou se tromper de puissances.
- Bornes : \(X\) est entier ⇒ attention à \(\lfloor\cdot\rfloor\), \(\lceil\cdot\rceil\).
- Confusion : \(np\) est une moyenne, pas une valeur forcément possible.
2) Méthode : modéliser par une loi binomiale
| Étape | Ce qu’on écrit (réflexes Bac) |
|---|---|
| 1 Identifier l’essai | Deux issues seulement : succès/échec. On définit clairement le succès. |
| 2 Vérifier schéma | \(n\) répétitions, indépendantes, probabilité de succès constante \(p\). |
| 3 Définir \(X\) | \(X\) = nombre de succès obtenus sur \(n\) essais. |
| 4 Conclure | \(\Rightarrow X\sim\mathcal{B}(n,p)\). |
| 5 Exploiter | Formule \(\mathbb{P}(X=k)\), cumuls, complément, espérance/variance. |
Phrase “copie Bac” : “On répète \(n\) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès \(p\).
La variable \(X\) compte le nombre de succès. Donc \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\).”
3) Épreuve de Bernoulli & schéma de Bernoulli
Épreuve de Bernoulli
Deux issues : succès (probabilité \(p\)) et échec (probabilité \(1-p\)).
| Issue | Probabilité |
|---|---|
| Succès | \(p\) |
| Échec | \(1-p\) |
Schéma de Bernoulli
Répétition de \(n\) épreuves de Bernoulli indépendantes avec probabilité de succès constante \(p\).
Sans remise ⇒ dépendance en général ⇒ pas binomial.
Exemple (reconnaître / refuser le modèle)
- On lance 12 fois une pièce (même pièce) ⇒ essais indépendants, \(p\) constant ⇒ OK.
- On tire 12 cartes sans remise dans un jeu ⇒ la probabilité change ⇒ pas binomial.
4) Loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\)
Définition
Dans un schéma de Bernoulli \((n,p)\), si \(X\) est le nombre de succès, alors
\[
X\sim\mathcal{B}(n,p).
\]
\(X\) prend ses valeurs dans \(\{0,1,2,\dots,n\}\).
Coefficient binomial
\[
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\quad (0\le k\le n),\qquad 0!=1.
\]
Interprétation : nombre de façons de placer \(k\) succès parmi \(n\) essais.
Formule fondamentale
Pour \(k\in\{0,\dots,n\}\) :
\[
\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.
\]
Piège : \(\binom{n}{k}\) + puissances \(p^k\) et \((1-p)^{n-k}\) sont obligatoires.
5) Calculs de probabilités : réflexes Bac
Sommes et complément
| Événement | Écriture correcte |
|---|---|
| \(\mathbb{P}(X\le a)\) | \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\lfloor a\rfloor}\mathbb{P}(X=k)\) |
| \(\mathbb{P}(X\ge a)\) | \(\displaystyle \sum_{k=\lceil a\rceil}^{n}\mathbb{P}(X=k)=1-\mathbb{P}(X\le \lceil a\rceil-1)\) |
| \(\mathbb{P}(a\le X\le b)\) | \(\displaystyle \sum_{k=\lceil a\rceil}^{\lfloor b\rfloor}\mathbb{P}(X=k)\) |
| “Au moins un succès” | \(\mathbb{P}(X\ge 1)=1-\mathbb{P}(X=0)=1-(1-p)^n\) |
| “Au plus un succès” | \(\mathbb{P}(X\le 1)=\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=1)\) |
Exemple 1 (Bac) : calcul exact \(\mathbb{P}(X=3)\)
Une pièce truquée vérifie \(\mathbb{P}(\text{Pile})=0{,}3\). On effectue \(8\) lancers.
\(X\) = nombre de piles.
Alors \(X\sim\mathcal{B}(8,0{,}3)\) et \[ \mathbb{P}(X=3)=\binom{8}{3}(0{,}3)^3(0{,}7)^5,\quad \binom{8}{3}=56. \] \[ \boxed{\ \mathbb{P}(X=3)=56\cdot(0{,}3)^3\cdot(0{,}7)^5\ }. \]
Alors \(X\sim\mathcal{B}(8,0{,}3)\) et \[ \mathbb{P}(X=3)=\binom{8}{3}(0{,}3)^3(0{,}7)^5,\quad \binom{8}{3}=56. \] \[ \boxed{\ \mathbb{P}(X=3)=56\cdot(0{,}3)^3\cdot(0{,}7)^5\ }. \]
Exemple 2 : “au moins un succès” (complément)
Probabilité de succès \(p=0{,}92\), \(n=5\). \(X\sim\mathcal{B}(5,0{,}92)\).
\[ \mathbb{P}(X\ge 1)=1-\mathbb{P}(X=0)=1-(1-0{,}92)^5 =\boxed{\,1-(0{,}08)^5\,}. \]
\[ \mathbb{P}(X\ge 1)=1-\mathbb{P}(X=0)=1-(1-0{,}92)^5 =\boxed{\,1-(0{,}08)^5\,}. \]
6) Espérance, variance, écart-type
Formules
Si \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\) :
\[
\mathbb{E}(X)=np,\qquad \mathrm{Var}(X)=np(1-p),\qquad \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}.
\]
Interprétation
- \(\mathbb{E}(X)=np\) : moyenne du nombre de succès (sur beaucoup de répétitions du protocole).
- \(\mathrm{Var}(X)\) : mesure la dispersion autour de \(np\).
- \(\sigma(X)\) : ordre de grandeur des écarts à la moyenne.
Exemple 3 : calculer \(\mathbb{E}(X)\), \(\mathrm{Var}(X)\), \(\sigma(X)\)
\(n=20\), \(p=0{,}4\), \(X\sim\mathcal{B}(20,0{,}4)\).
\[ \mathbb{E}(X)=20\times 0{,}4=8,\qquad \mathrm{Var}(X)=20\times 0{,}4\times 0{,}6=4{,}8,\qquad \sigma(X)=\sqrt{4{,}8}. \] \[ \boxed{\,\mathbb{E}(X)=8,\ \mathrm{Var}(X)=4{,}8,\ \sigma(X)=\sqrt{4{,}8}\,}. \]
\[ \mathbb{E}(X)=20\times 0{,}4=8,\qquad \mathrm{Var}(X)=20\times 0{,}4\times 0{,}6=4{,}8,\qquad \sigma(X)=\sqrt{4{,}8}. \] \[ \boxed{\,\mathbb{E}(X)=8,\ \mathrm{Var}(X)=4{,}8,\ \sigma(X)=\sqrt{4{,}8}\,}. \]
7) Mini-formulaire (indispensable)
Définitions & modèle
\[
X\sim\mathcal{B}(n,p)
\ \Longleftrightarrow\
X=\text{nombre de succès sur }n\text{ essais Bernoulli indépendants de proba }p.
\]
\[
k\in\{0,1,\dots,n\}.
\]
Formules
\[
\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.
\]
\[
\mathbb{E}(X)=np,\quad
\mathrm{Var}(X)=np(1-p),\quad
\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}.
\]
\[
\mathbb{P}(X\ge 1)=1-(1-p)^n.
\]
Checklist “copie Bac”
- Je définis clairement le succès et j’identifie \(n\) et \(p\).
- Je justifie l’indépendance et le fait que \(p\) est constant.
- Je pose \(X\) = nombre de succès ⇒ \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\).
- Je calcule avec la formule (ou le complément) et je fais attention aux bornes entières.
- Si demandé : je donne \(\mathbb{E}(X)\), \(\mathrm{Var}(X)\), \(\sigma(X)\) et j’interprète.