Loi binomiale

Variable aléatoire discrète, schéma de Bernoulli, loi binomiale, espérance, variance et calculs — niveau Bac.

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Fiche de révision — Loi binomiale
\(\mathcal{B}(n,p)\) • Calculs exacts • Complément • Espérance/Variance • Méthodes Bac • Pièges.
Formules Méthode Bac Checklists Pièges Mini-exos flash
1) Modèle (à savoir écrire en copie)
Phrase Bac (modélisation)
“On répète \(n\) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès \(p\).
La variable aléatoire \(X\) compte le nombre de succès.
Donc \(X\sim \mathcal{B}(n,p)\).”
Ce qu’il faut vérifier
  • Deux issues : succès / échec.
  • \(p\) constant à chaque essai.
  • Essais indépendants.
  • \(X\) = nombre de succès (donc entier).
Sans remise ⇒ indépendance fausse en général ⇒ pas binomial.
2) Formules indispensables
Loi binomiale
\[ X\sim\mathcal{B}(n,p)\quad\Longrightarrow\quad X\in\{0,1,\dots,n\}. \] \[ \mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}. \]
\[ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},\qquad 0!=1. \]
Moments (moyenne & dispersion)
\[ \mathbb{E}(X)=np. \] \[ \mathrm{Var}(X)=np(1-p). \] \[ \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}. \]
Contrôle : \(0\le np\le n\) et \(\mathrm{Var}(X)\le \frac{n}{4}\) (max pour \(p=\frac12\)).
Probabilités “cumulées” & compléments
Expression Forme correcte
\(\mathbb{P}(X\le a)\) \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\lfloor a\rfloor}\mathbb{P}(X=k)\)
\(\mathbb{P}(X\ge a)\) \(\displaystyle \sum_{k=\lceil a\rceil}^{n}\mathbb{P}(X=k)=1-\mathbb{P}(X\le \lceil a\rceil-1)\)
\(\mathbb{P}(a\le X\le b)\) \(\displaystyle \sum_{k=\lceil a\rceil}^{\lfloor b\rfloor}\mathbb{P}(X=k)\)
“Au moins un succès” \(\mathbb{P}(X\ge 1)=1-\mathbb{P}(X=0)=1-(1-p)^n\)
“Au plus un succès” \(\mathbb{P}(X\le 1)=\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=1)\)
3) Méthode Bac (pas-à-pas)
Calculer \(\mathbb{P}(X=k)\)
Étape Action
1 Identifier \(n,p\) Définir le succès + compter les essais.
2 Poser la loi \(X\) = nombre de succès ⇒ \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\).
3 Choisir \(k\) Vérifier que \(k\in\{0,\dots,n\}\).
4 Appliquer \(\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\).
5 Conclure Mettre une phrase et arrondir si demandé (sinon laisser exact).
Astuce rapide : complément
Très souvent :
\[ \mathbb{P}(X\ge 1)=1-(1-p)^n \]
Astuce “intervalle”
\[ \mathbb{P}(a\le X\le b)=\sum_{k=\lceil a\rceil}^{\lfloor b\rfloor}\mathbb{P}(X=k). \]
Toujours penser : \(X\) entier.
4) Checklists (copie Bac)
Checklist modélisation
  • Je définis le succès et sa proba \(p\).
  • Je vérifie indépendance et \(p\) constant.
  • Je précise le nombre d’essais \(n\).
  • Je pose \(X\) = nombre de succès.
  • Je conclus : \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\).
Checklist calcul
  • \(k\) est-il dans \(\{0,\dots,n\}\) ?
  • J’ai bien \(\binom{n}{k}\) + \(p^k\) + \((1-p)^{n-k}\) ?
  • Si “au moins un” : j’utilise le complément.
  • Je garde exact si pas d’arrondi demandé.
5) Pièges classiques & remèdes
Pièges
  • “Sans remise” ⇒ dépendance ⇒ pas \(\mathcal{B}(n,p)\).
  • Succès/échec inversés : \(p\) n’est pas toujours la proba donnée dans l’énoncé.
  • Bornes d’un cumul : \(\le a\) ⇒ somme jusqu’à \(\lfloor a\rfloor\).
  • Oublier que \(X\) est entier : \(X\ge 2{,}3\) ⇒ \(X\ge 3\).
Remèdes
  • Avant tout : écrire “succès = …” et \(p=\mathbb{P}(\text{succès})\).
  • Vérifier “indépendants” / “avec remise” / “essais identiques”.
  • Remplacer les inégalités par des bornes entières (\(\lfloor\cdot\rfloor,\lceil\cdot\rceil\)).
  • Utiliser le complément quand c’est plus simple.
6) Mini-exercices flash (avec correction)
Flash 1 — Modélisation
Une machine fabrique des pièces. Une pièce est conforme avec probabilité \(0{,}97\). On contrôle \(n=12\) pièces (contrôles indépendants). On note \(X\) le nombre de pièces conformes.
Question : quelle loi suit \(X\) ?
Succès = “pièce conforme”, \(p=0{,}97\), \(n=12\). Essais indépendants ⇒ \[ \boxed{\,X\sim\mathcal{B}(12,0{,}97)\,}. \]
Flash 2 — Probabilité exacte
Dans le cas précédent, calculer \(\mathbb{P}(X=10)\).
\[ \mathbb{P}(X=10)=\binom{12}{10}(0{,}97)^{10}(0{,}03)^{2}. \] \[ \boxed{\,\mathbb{P}(X=10)=\binom{12}{10}(0{,}97)^{10}(0{,}03)^{2}\,}. \]
Flash 3 — “Au moins un” (complément)
On répète \(n=8\) essais, probabilité de succès \(p=0{,}2\). Calculer \(\mathbb{P}(X\ge 1)\).
\[ \mathbb{P}(X\ge 1)=1-\mathbb{P}(X=0)=1-(1-0{,}2)^8 =\boxed{\,1-(0{,}8)^8\,}. \]
Flash 4 — Espérance / variance
\(X\sim\mathcal{B}(30,0{,}4)\). Calculer \(\mathbb{E}(X)\) et \(\mathrm{Var}(X)\).
\[ \mathbb{E}(X)=np=30\times 0{,}4=\boxed{\,12\,}. \] \[ \mathrm{Var}(X)=np(1-p)=30\times 0{,}4\times 0{,}6=\boxed{\,7{,}2\,}. \]
Résumé ultra-court
\[ X\sim\mathcal{B}(n,p)\Rightarrow \mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}, \quad \mathbb{E}(X)=np,\quad \mathrm{Var}(X)=np(1-p). \] Réflexe : “au moins un succès” \(\Rightarrow 1-(1-p)^n\).