Loi binomiale
Variable aléatoire discrète, schéma de Bernoulli, loi binomiale, espérance, variance et calculs — niveau Bac.
Exercices type Bac — Loi binomiale (Premium)
Série complète : modélisation rigoureuse • probabilités exactes • événements “au moins / au plus” •
intervalles • paramètres inconnus • espérance/variance • rédaction Bac • pièges.
NO JS
Corrigés détaillés
Type Bac
Exact
Outils autorisés (rappel)
\[
X\sim\mathcal{B}(n,p)\Rightarrow \mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}
\]
\[
\mathbb{E}(X)=np,\quad \mathrm{Var}(X)=np(1-p),\quad \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}
\]
Réflexe : “au moins un succès” \(\Rightarrow \mathbb{P}(X\ge 1)=1-(1-p)^n\).
Exercice 1 — Modélisation + probabilité exacte
Une pièce truquée donne “Pile” avec probabilité \(p=0{,}3\).
On effectue \(n=10\) lancers indépendants. \(X\) = nombre de piles.
1) Justifier que \(X\sim\mathcal{B}(10,0{,}3)\).
2) Calculer \(\mathbb{P}(X=4)\) (exact).
3) Calculer \(\mathbb{P}(X\ge 1)\) sans somme.
Correction
Succès = “Pile”, \(p=0{,}3\), essais identiques et indépendants, \(n=10\). Donc
\[
\boxed{\,X\sim\mathcal{B}(10,0{,}3)\,}.
\]
\[
\boxed{\,\mathbb{P}(X=4)=\binom{10}{4}(0{,}3)^4(0{,}7)^6\,}.
\]
\[
\mathbb{P}(X\ge 1)=1-\mathbb{P}(X=0)=1-(0{,}7)^{10}
\quad\Rightarrow\quad
\boxed{\,\mathbb{P}(X\ge 1)=1-(0{,}7)^{10}\,}.
\]
Exercice 2 — “Au moins / au plus” (compléments)
Une machine fabrique des pièces conformes avec probabilité \(0{,}92\).
On contrôle \(n=15\) pièces de façon indépendante.
\(X\) = nombre de pièces conformes.
1) Calculer \(\mathbb{P}(X=15)\).
2) Calculer \(\mathbb{P}(X\ge 14)\) (exact, sans somme longue).
3) En posant \(Y\) = nombre de pièces non conformes, calculer \(\mathbb{P}(Y\le 1)\).
Correction
\(X\sim\mathcal{B}(15,0{,}92)\).
1) \(\mathbb{P}(X=15)=(0{,}92)^{15}\).
2) \[ \mathbb{P}(X\ge 14)=\mathbb{P}(X=14)+\mathbb{P}(X=15) \] \[ \mathbb{P}(X=14)=\binom{15}{14}(0{,}92)^{14}(0{,}08) \] donc \[ \boxed{\,\mathbb{P}(X\ge 14)=\binom{15}{14}(0{,}92)^{14}(0{,}08)+(0{,}92)^{15}\,}. \] 3) \(Y\) = nombre de non conformes ⇒ succès = “non conforme” de probabilité \(0{,}08\) : \[ Y\sim\mathcal{B}(15,0{,}08) \] \[ \mathbb{P}(Y\le 1)=\mathbb{P}(Y=0)+\mathbb{P}(Y=1) =(0{,}92)^{15}+\binom{15}{1}(0{,}08)(0{,}92)^{14}. \]
1) \(\mathbb{P}(X=15)=(0{,}92)^{15}\).
2) \[ \mathbb{P}(X\ge 14)=\mathbb{P}(X=14)+\mathbb{P}(X=15) \] \[ \mathbb{P}(X=14)=\binom{15}{14}(0{,}92)^{14}(0{,}08) \] donc \[ \boxed{\,\mathbb{P}(X\ge 14)=\binom{15}{14}(0{,}92)^{14}(0{,}08)+(0{,}92)^{15}\,}. \] 3) \(Y\) = nombre de non conformes ⇒ succès = “non conforme” de probabilité \(0{,}08\) : \[ Y\sim\mathcal{B}(15,0{,}08) \] \[ \mathbb{P}(Y\le 1)=\mathbb{P}(Y=0)+\mathbb{P}(Y=1) =(0{,}92)^{15}+\binom{15}{1}(0{,}08)(0{,}92)^{14}. \]
Exercice 3 — Intervalles (somme propre)
Une joueuse réussit un tir avec probabilité \(p=0{,}4\).
Elle effectue \(n=12\) tirs indépendants. \(X\) = nombre de réussites.
1) Écrire \(\mathbb{P}(5\le X\le 8)\) sous forme de somme exacte.
2) Écrire \(\mathbb{P}(X\ge 9)\) sous forme \(1-\mathbb{P}(X\le \cdots)\).
Correction
\(X\sim\mathcal{B}(12,0{,}4)\).
1) \[ \boxed{\,\mathbb{P}(5\le X\le 8)=\sum_{k=5}^{8}\binom{12}{k}(0{,}4)^k(0{,}6)^{12-k}\,}. \] 2) \[ \mathbb{P}(X\ge 9)=1-\mathbb{P}(X\le 8) =1-\sum_{k=0}^{8}\binom{12}{k}(0{,}4)^k(0{,}6)^{12-k}. \]
1) \[ \boxed{\,\mathbb{P}(5\le X\le 8)=\sum_{k=5}^{8}\binom{12}{k}(0{,}4)^k(0{,}6)^{12-k}\,}. \] 2) \[ \mathbb{P}(X\ge 9)=1-\mathbb{P}(X\le 8) =1-\sum_{k=0}^{8}\binom{12}{k}(0{,}4)^k(0{,}6)^{12-k}. \]
Exercice 4 — “Au plus un succès” (simplification)
Une question a une probabilité de réponse correcte \(p=0{,}25\).
Un élève répond à \(n=8\) questions indépendantes. \(X\) = nombre de bonnes réponses.
Calculer \(\mathbb{P}(X\le 1)\) et factoriser au maximum.
Correction
\(X\sim\mathcal{B}(8,0{,}25)\).
\[ \mathbb{P}(X\le 1)=\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=1). \] \[ \mathbb{P}(X=0)=(0{,}75)^8. \] \[ \mathbb{P}(X=1)=\binom{8}{1}(0{,}25)(0{,}75)^7=8\cdot 0{,}25\cdot(0{,}75)^7=2(0{,}75)^7. \] Donc \[ \boxed{\,\mathbb{P}(X\le 1)=(0{,}75)^8+2(0{,}75)^7=(0{,}75)^7(2{,}75)\,}. \]
\[ \mathbb{P}(X\le 1)=\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=1). \] \[ \mathbb{P}(X=0)=(0{,}75)^8. \] \[ \mathbb{P}(X=1)=\binom{8}{1}(0{,}25)(0{,}75)^7=8\cdot 0{,}25\cdot(0{,}75)^7=2(0{,}75)^7. \] Donc \[ \boxed{\,\mathbb{P}(X\le 1)=(0{,}75)^8+2(0{,}75)^7=(0{,}75)^7(2{,}75)\,}. \]
Exercice 5 — Espérance / variance (et interprétation)
\(X\sim\mathcal{B}(50,0{,}18)\).
1) Calculer \(\mathbb{E}(X)\), \(\mathrm{Var}(X)\), \(\sigma(X)\).
2) Interpréter \(\mathbb{E}(X)\) par une phrase “copie Bac”.
3) Vérifier que \(\mathrm{Var}(X)\le \frac{50}{4}\).
Correction
1)
\[
\mathbb{E}(X)=np=50\times 0{,}18=9.
\]
\[
\mathrm{Var}(X)=np(1-p)=50\times 0{,}18\times 0{,}82=7{,}38.
\]
\[
\sigma(X)=\sqrt{7{,}38}.
\]
2) Interprétation :
Sur un grand nombre de séries de 50 essais, le nombre moyen de succès est environ \(9\).
3) \(\frac{50}{4}=12{,}5\) et \(\mathrm{Var}(X)=7{,}38\le 12{,}5\) : propriété vérifiée.
Exercice 6 — Retrouver \(p\) via \(\mathbb{E}(X)\)
On sait que \(X\sim\mathcal{B}(40,p)\) et que \(\mathbb{E}(X)=14\).
1) Déterminer \(p\).
2) Calculer \(\mathrm{Var}(X)\) et \(\sigma(X)\).
Correction
\[
\mathbb{E}(X)=np \Rightarrow 14=40p \Rightarrow p=\frac{14}{40}=\frac{7}{20}=0{,}35.
\]
\[
\mathrm{Var}(X)=np(1-p)=40\cdot 0{,}35\cdot 0{,}65=9{,}1.
\]
\[
\sigma(X)=\sqrt{9{,}1}.
\]
Exercice 7 — Retrouver \(n\)
On sait que \(X\sim\mathcal{B}(n,0{,}2)\) et \(\mathbb{E}(X)=7\).
1) Déterminer \(n\).
2) Calculer \(\mathrm{Var}(X)\).
Correction
\[
\mathbb{E}(X)=np \Rightarrow 7=n\times 0{,}2 \Rightarrow n=\frac{7}{0{,}2}=35.
\]
\[
\mathrm{Var}(X)=np(1-p)=35\times 0{,}2\times 0{,}8=5{,}6.
\]
Exercice 8 — Comparer \(\mathbb{P}(X=2)\) et \(\mathbb{P}(X=3)\) sans calculatrice
\(X\sim\mathcal{B}(10,0{,}3)\).
Comparer \(\mathbb{P}(X=2)\) et \(\mathbb{P}(X=3)\) en étudiant un quotient.
Correction
On étudie
\[
\frac{\mathbb{P}(X=3)}{\mathbb{P}(X=2)}
=\frac{\binom{10}{3}p^3(1-p)^7}{\binom{10}{2}p^2(1-p)^8}
=\frac{\binom{10}{3}}{\binom{10}{2}}\cdot\frac{p}{1-p}.
\]
Or
\[
\frac{\binom{10}{3}}{\binom{10}{2}}=\frac{10!/(3!7!)}{10!/(2!8!)}=\frac{2!\,8!}{3!\,7!}=\frac{8}{3}.
\]
Donc
\[
\frac{\mathbb{P}(X=3)}{\mathbb{P}(X=2)}=\frac{8}{3}\cdot\frac{0{,}3}{0{,}7}
=\frac{8}{3}\cdot\frac{3}{7}=\frac{8}{7}>1.
\]
Ainsi \(\boxed{\,\mathbb{P}(X=3)>\mathbb{P}(X=2)\,}\).
Exercice 9 — Rédaction Bac (justification complète)
Une pièce équilibrée est lancée \(n=12\) fois. On note \(X\) le nombre de piles.
1) Rédiger la justification : \(X\sim\mathcal{B}(12,\frac12)\).
2) Donner \(\mathbb{P}(X=6)\) (exact).
3) Donner \(\mathbb{P}(X\ge 1)\) (exact).
Correction
1) À chaque lancer, deux issues (pile/face). Succès = “pile”, \(p=\frac12\).
Les lancers sont indépendants et identiques, répétés \(12\) fois.
\(X\) compte le nombre de succès. Donc
\[
\boxed{\,X\sim\mathcal{B}\left(12,\frac12\right)\,}.
\]
2)
\[
\boxed{\,\mathbb{P}(X=6)=\binom{12}{6}\left(\frac12\right)^{6}\left(\frac12\right)^{6}
=\binom{12}{6}\left(\frac12\right)^{12}\,}.
\]
3)
\[
\mathbb{P}(X\ge 1)=1-\mathbb{P}(X=0)=1-\left(\frac12\right)^{12}
\quad\Rightarrow\quad
\boxed{\,\mathbb{P}(X\ge 1)=1-2^{-12}\,}.
\]
Exercice 10 — Piège : “sans remise”
On tire \(10\) cartes d’un jeu de \(52\) sans remise. \(X\) = nombre d’as.
Expliquer clairement pourquoi \(X\) ne suit pas une loi binomiale.
Correction
Dans un schéma binomial, la probabilité de succès doit rester constante et les essais doivent être indépendants.
Ici, sans remise, la composition du jeu change : la probabilité de tirer un as dépend des tirages précédents.
Donc les tirages ne sont pas indépendants (et \(p\) n’est pas constant) : \(\boxed{X\ \text{n’est pas binomiale}.}\)
Récap express (copie Bac)
\[
X\sim\mathcal{B}(n,p)\Rightarrow
\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}
\]
\[
\mathbb{E}(X)=np,\qquad \mathrm{Var}(X)=np(1-p),\qquad \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}
\]
Réflexe : \(\mathbb{P}(X\ge 1)=1-(1-p)^n\).