Quiz HARD — Limites de suites (20 questions • Bac exigeant)
Comparaisons fines • conjugués • gendarmes • télescopage • adjacentes • récurrences (sans DL).
Q2. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{3n-1}{n+2}\).
Non vérifié
Indice
Diviser numérateur et dénominateur par \(n\).
Correction
\(\frac{3n-1}{n+2}=\frac{3-\frac1n}{1+\frac{2}{n}}\to 3\).
Q3. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{n^2+1}{2n^2-3n}\).
Non vérifié
Indice
Factoriser par \(n^2\).
Correction
\(\frac{n^2+1}{2n^2-3n}=\frac{1+\frac1{n^2}}{2-\frac{3}{n}}\to \frac12\).
Q4. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{n}{n+\sqrt{n}}\).
Non vérifié
Indice
Factoriser par \(n\) au dénominateur.
Correction
\(\frac{n}{n+\sqrt{n}}=\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}\to 1\).
Q5. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{\sqrt{n}}{n+1}\).
Non vérifié
Indice
Comparer les puissances : \(n^{1/2}\) face à \(n\).
Correction
\(\frac{\sqrt{n}}{n+1}=\frac{n^{1/2}}{n(1+\frac1n)}=\frac{1}{\sqrt{n}(1+\frac1n)}\to 0\).
Q6. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\big(\sqrt{n^2+n}-n\big)\).
Non vérifié
Indice
Multiplier par le conjugué \(\sqrt{n^2+n}+n\).
Correction
\(\sqrt{n^2+n}-n=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}\to \frac12\).
Q7. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\big(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-n}\big)\).
Non vérifié
Indice
Conjugué puis factoriser par \(n\).
Correction
On écrit la différence comme \(\frac{(n^2+1)-(n^2-n)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-n}}=\frac{n+1}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-n}}\to \frac12\).
Q8. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} n\Big(\sqrt{1+\frac1n}-1\Big)\).
Non vérifié
Indice
Conjugué : \(\sqrt{1+\frac1n}-1=\frac{\frac1n}{\sqrt{1+\frac1n}+1}\).
Correction
Alors \(n(\sqrt{1+\frac1n}-1)=\frac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}\to \frac12\).
Q9. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{\ln(n)}{n}\).
Non vérifié
Indice
\(n\) croît plus vite que \(\ln(n)\).
Correction
On sait que \(\ln(n)=o(n)\), donc \(\frac{\ln(n)}{n}\to 0\).
Q10. Si \(0\le u_n\le \frac{5}{n}\), donner \(\lim u_n\).
Non vérifié
Indice
Gendarmes : \(\frac{5}{n}\to 0\).
Correction
Comme \(0\le u_n\le \frac{5}{n}\) et \(\frac{5}{n}\to 0\), alors \(u_n\to 0\).
Q11. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}k\).
Non vérifié
Indice
\(\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\).
Correction
\(\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2n}\to \frac12\).
Q12. Calculer \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\).
Non vérifié
Indice
\(\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\).
Correction
Somme télescopique : \(\sum_{k=1}^{n}(\frac1k-\frac1{k+1})=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\).
Q13. En déduire \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\).
Non vérifié
Indice
Utiliser le résultat précédent.
Correction
Comme \(1-\frac{1}{n+1}\to 1\), la limite vaut \(1\).
Q14. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n\).
Non vérifié
Indice
Formule : \((1+\frac{a}{n})^n\to e^a\).
Correction
On reconnaît la limite usuelle : \((1+\frac{2}{n})^n\to e^2\).
Q15. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\).
Non vérifié
Indice
Comparer à \((1+\frac{a}{n})^n\).
Correction
\((1-\frac{1}{n})^n\to e^{-1}=\frac{1}{e}\).
Q16. Soit \(u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}\) avec \(u_0>0\). Donner \(\lim u_n\).
Non vérifié
Indice
Montrer \(u_{n+1}
Correction
Pour \(u_n>0\), \(u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}
Q17. Soit \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}\), \(u_0\ge 0\). Toute limite \(\ell\) vérifie :
Non vérifié
Indice
Passer à la limite puis élever au carré.
Correction
Si \(u_n\to\ell\), alors \(\ell=\sqrt{\ell+1}\Rightarrow \ell^2=\ell+1\Rightarrow \ell^2-\ell-1=0\).
Q18. Dans la question précédente, la limite vaut :
Non vérifié
Indice
Parmi les deux racines, prendre celle \(\ge 0\).
Correction
Les solutions sont \(\frac{1\pm\sqrt5}{2}\). Comme \(u_n\ge 0\), on retient \(\ell=\frac{1+\sqrt5}{2}\).
Q19. Suites adjacentes : \(u_n\) croissante, \(v_n\) décroissante, \(u_n\le v_n\) et \(v_n-u_n\to 0\). Conclure.
Non vérifié
Indice
Théorème des suites adjacentes.
Correction
Les deux suites convergent et ont la même limite : \(\lim u_n=\lim v_n\).
Q20. Vrai/Faux : si \(u_{n+1}-u_n\to 0\), alors \((u_n)\) converge.
Non vérifié
Indice
Contre-exemple : \(u_n=\ln(n)\).
Correction
Faux : \(u_n=\ln(n)\) diverge mais \(u_{n+1}-u_n=\ln(1+\frac1n)\to 0\).
Q21. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{n!}{n^n}\).
Non vérifié
Indice
Écrire \(\frac{n!}{n^n}=\prod_{k=1}^{n}\frac{k}{n}\) puis majorer par \((\frac12)^{\lfloor n/2\rfloor}\).
Correction
On a \(\frac{n!}{n^n}=\prod_{k=1}^{n}\frac{k}{n}\). Pour \(k\le \frac{n}{2}\), \(\frac{k}{n}\le \frac12\). Il y a \(\lfloor n/2\rfloor\) facteurs \(\le\frac12\), donc \(0\le \frac{n!}{n^n}\le (\frac12)^{\lfloor n/2\rfloor}\to 0\).
Clavier