Quiz HARD — Limites de suites (20 questions • Bac exigeant)
Comparaisons fines • conjugués • gendarmes • télescopage • adjacentes • récurrences (sans DL).
Exercice 1. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{3n-1}{n+2}\).
Non vérifié
Indice
Diviser numérateur et dénominateur par \(n\).
Exercice 2. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{n^2+1}{2n^2-3n}\).
Non vérifié
Indice
Factoriser par \(n^2\).
Exercice 3. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{n}{n+\sqrt{n}}\).
Non vérifié
Indice
Factoriser par \(n\) au dénominateur.
Exercice 4. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{\sqrt{n}}{n+1}\).
Non vérifié
Indice
Comparer les puissances : \(n^{1/2}\) face à \(n\).
Exercice 5. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\big(\sqrt{n^2+n}-n\big)\).
Non vérifié
Indice
Multiplier par le conjugué \(\sqrt{n^2+n}+n\).
Exercice 6. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\big(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-n}\big)\).
Non vérifié
Indice
Conjugué puis factoriser par \(n\).
Exercice 7. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} n\Big(\sqrt{1+\frac1n}-1\Big)\).
Non vérifié
Indice
Conjugué : \(\sqrt{1+\frac1n}-1=\frac{\frac1n}{\sqrt{1+\frac1n}+1}\).
Exercice 8. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{\ln(n)}{n}\).
Non vérifié
Indice
\(n\) croît plus vite que \(\ln(n)\).
Exercice 9. Si \(0\le u_n\le \frac{5}{n}\), donner \(\lim u_n\).
Non vérifié
Indice
Gendarmes : \(\frac{5}{n}\to 0\).
Exercice 10. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}k\).
Non vérifié
Indice
\(\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\).
Exercice 11. Calculer \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\).
Non vérifié
Indice
\(\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\).
Exercice 12. En déduire \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\).
Non vérifié
Indice
Utiliser le résultat précédent.
Exercice 13. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n\).
Non vérifié
Indice
Formule : \((1+\frac{a}{n})^n\to e^a\).
Exercice 14. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\).
Non vérifié
Indice
Comparer à \((1+\frac{a}{n})^n\).
Exercice 15. Soit \(u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}\) avec \(u_0>0\). Donner \(\lim u_n\).
Non vérifié
Indice
Montrer \(u_{n+1}
Exercice 16. Soit \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}\), \(u_0\ge 0\). Toute limite \(\ell\) vérifie :
Non vérifié
Indice
Passer à la limite puis élever au carré.
Exercice 17. Dans la question précédente, la limite vaut :
Non vérifié
Indice
Parmi les deux racines, prendre celle \(\ge 0\).
Exercice 18. Suites adjacentes : \(u_n\) croissante, \(v_n\) décroissante, \(u_n\le v_n\) et \(v_n-u_n\to 0\). Conclure.
Non vérifié
Indice
Théorème des suites adjacentes.
Exercice 19. Vrai/Faux : si \(u_{n+1}-u_n\to 0\), alors \((u_n)\) converge.
Non vérifié
Indice
Contre-exemple : \(u_n=\ln(n)\).
Exercice 20. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{n!}{n^n}\).
Non vérifié
Indice
Écrire \(\frac{n!}{n^n}=\prod_{k=1}^{n}\frac{k}{n}\) puis majorer par \((\frac12)^{\lfloor n/2\rfloor}\).