Limites De Suites
TERMINALE-SPE • MATHS — Learna
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Quiz avancé — Limites de suites (35 questions)
Niveau Bac solide : limites usuelles, formes indéterminées, rationalisation, encadrement, comparaison, suites récurrentes, seuils et suites adjacentes.
Q1. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{7n^3-2n+5}{2n^3+4n^2-1}\).
Non vérifié
Indice
Le numérateur et le dénominateur sont deux polynômes de même degré : degré 3. Pour un quotient de polynômes de même degré, la limite est le quotient des coefficients dominants. Tu peux aussi diviser chaque terme par \(n^3\).
Correction
On repère les termes dominants : au numérateur, le terme dominant est \(7n^3\), et au dénominateur, le terme dominant est \(2n^3\).
On divise alors par \(n^3\) :
\[\frac{7n^3-2n+5}{2n^3+4n^2-1}=\frac{7-\frac2{n^2}+\frac5{n^3}}{2+\frac4n-\frac1{n^3}}.\]
Quand \(n\to+\infty\), on a \(\frac1n\to0\), \(\frac1{n^2}\to0\) et \(\frac1{n^3}\to0\). Donc :
\[\frac{7-\frac2{n^2}+\frac5{n^3}}{2+\frac4n-\frac1{n^3}}\to\frac72.\]
Conclusion.
\[\boxed{\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{7n^3-2n+5}{2n^3+4n^2-1}=\frac72}.\]
On divise alors par \(n^3\) :
\[\frac{7n^3-2n+5}{2n^3+4n^2-1}=\frac{7-\frac2{n^2}+\frac5{n^3}}{2+\frac4n-\frac1{n^3}}.\]
Quand \(n\to+\infty\), on a \(\frac1n\to0\), \(\frac1{n^2}\to0\) et \(\frac1{n^3}\to0\). Donc :
\[\frac{7-\frac2{n^2}+\frac5{n^3}}{2+\frac4n-\frac1{n^3}}\to\frac72.\]
Conclusion.
\[\boxed{\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{7n^3-2n+5}{2n^3+4n^2-1}=\frac72}.\]
Q2. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{4n^2-3n+1}{-2n^2+5}\).
Non vérifié
Indice
Les deux polynômes sont de degré 2. Le comportement dominant est donc donné par \(4n^2\) au numérateur et \(-2n^2\) au dénominateur. Divise par \(n^2\).
Correction
On divise numérateur et dénominateur par \(n^2\) :
\[\frac{4n^2-3n+1}{-2n^2+5}=\frac{4-\frac3n+\frac1{n^2}}{-2+\frac5{n^2}}.\]
Lorsque \(n\to+\infty\), les termes \(\frac3n\), \(\frac1{n^2}\) et \(\frac5{n^2}\) tendent vers 0. Il reste donc :
\[\frac{4}{-2}=-2.\]
Conclusion.
\[\boxed{-2}\]
\[\frac{4n^2-3n+1}{-2n^2+5}=\frac{4-\frac3n+\frac1{n^2}}{-2+\frac5{n^2}}.\]
Lorsque \(n\to+\infty\), les termes \(\frac3n\), \(\frac1{n^2}\) et \(\frac5{n^2}\) tendent vers 0. Il reste donc :
\[\frac{4}{-2}=-2.\]
Conclusion.
\[\boxed{-2}\]
Q3. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{5n^2+1}{n^3-2n}\).
Non vérifié
Indice
Le degré du numérateur est 2, celui du dénominateur est 3. Le dénominateur grandit plus vite. Pour le voir proprement, divise par \(n^3\).
Correction
On divise par la plus grande puissance de \(n\), ici \(n^3\) :
\[\frac{5n^2+1}{n^3-2n}=\frac{\frac5n+\frac1{n^3}}{1-\frac2{n^2}}.\]
Quand \(n\to+\infty\), on a \(\frac5n\to0\), \(\frac1{n^3}\to0\) et \(\frac2{n^2}\to0\). Le numérateur tend donc vers 0 et le dénominateur vers 1.
Conclusion.
\[\boxed{0}\]
\[\frac{5n^2+1}{n^3-2n}=\frac{\frac5n+\frac1{n^3}}{1-\frac2{n^2}}.\]
Quand \(n\to+\infty\), on a \(\frac5n\to0\), \(\frac1{n^3}\to0\) et \(\frac2{n^2}\to0\). Le numérateur tend donc vers 0 et le dénominateur vers 1.
Conclusion.
\[\boxed{0}\]
Q4. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{-3n^4+2n}{n^2+1}\).
Non vérifié
Indice
Le numérateur est de degré 4 et le dénominateur de degré 2. L’expression se comporte donc comme \(\frac{-3n^4}{n^2}=-3n^2\), qui tend vers \(-\infty\).
Correction
On factorise par \(n^2\) pour faire apparaître le comportement dominant :
\[\frac{-3n^4+2n}{n^2+1}=n^2\,\frac{-3+\frac2{n^3}}{1+\frac1{n^2}}.\]
Le quotient \(\frac{-3+\frac2{n^3}}{1+\frac1{n^2}}\) tend vers \(-3\). De plus, \(n^2\to+\infty\). Le produit se comporte donc comme \(-3n^2\).
Conclusion.
\[\boxed{-\infty}\]
\[\frac{-3n^4+2n}{n^2+1}=n^2\,\frac{-3+\frac2{n^3}}{1+\frac1{n^2}}.\]
Le quotient \(\frac{-3+\frac2{n^3}}{1+\frac1{n^2}}\) tend vers \(-3\). De plus, \(n^2\to+\infty\). Le produit se comporte donc comme \(-3n^2\).
Conclusion.
\[\boxed{-\infty}\]
Q5. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+6n}-n\right)\).
Non vérifié
Indice
On obtient une forme \(+\infty-\infty\). Pour la lever, multiplie par la quantité conjuguée \(\sqrt{n^2+6n}+n\).
Correction
On rationalise :
\[\sqrt{n^2+6n}-n=\frac{(\sqrt{n^2+6n}-n)(\sqrt{n^2+6n}+n)}{\sqrt{n^2+6n}+n}.\]
Au numérateur, on utilise \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) :
\[\sqrt{n^2+6n}-n=\frac{n^2+6n-n^2}{\sqrt{n^2+6n}+n}=\frac{6n}{\sqrt{n^2+6n}+n}.\]
On factorise \(n\) dans la racine :
\[\frac{6n}{\sqrt{n^2+6n}+n}=\frac{6n}{n\sqrt{1+\frac6n}+n}=\frac6{\sqrt{1+\frac6n}+1}.\]
Comme \(\frac6n\to0\), on obtient \(\frac6{1+1}=3\).
Conclusion.
\[\boxed{3}\]
\[\sqrt{n^2+6n}-n=\frac{(\sqrt{n^2+6n}-n)(\sqrt{n^2+6n}+n)}{\sqrt{n^2+6n}+n}.\]
Au numérateur, on utilise \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) :
\[\sqrt{n^2+6n}-n=\frac{n^2+6n-n^2}{\sqrt{n^2+6n}+n}=\frac{6n}{\sqrt{n^2+6n}+n}.\]
On factorise \(n\) dans la racine :
\[\frac{6n}{\sqrt{n^2+6n}+n}=\frac{6n}{n\sqrt{1+\frac6n}+n}=\frac6{\sqrt{1+\frac6n}+1}.\]
Comme \(\frac6n\to0\), on obtient \(\frac6{1+1}=3\).
Conclusion.
\[\boxed{3}\]
Q6. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{4n^2+n}-2n\right)\).
Non vérifié
Indice
Forme \(+\infty-\infty\). Pose \(A=4n^2+n\), puis utilise \(\sqrt A-2n=\frac{A-4n^2}{\sqrt A+2n}\).
Correction
On multiplie par la quantité conjuguée :
\[\sqrt{4n^2+n}-2n=\frac{(4n^2+n)-4n^2}{\sqrt{4n^2+n}+2n}=\frac{n}{\sqrt{4n^2+n}+2n}.\]
On factorise \(n\) au dénominateur :
\[\frac{n}{\sqrt{4n^2+n}+2n}=\frac{n}{n\sqrt{4+\frac1n}+2n}=\frac1{\sqrt{4+\frac1n}+2}.\]
Quand \(n\to+\infty\), \(\sqrt{4+\frac1n}\to2\).
Conclusion.
\[\boxed{\frac14}\]
\[\sqrt{4n^2+n}-2n=\frac{(4n^2+n)-4n^2}{\sqrt{4n^2+n}+2n}=\frac{n}{\sqrt{4n^2+n}+2n}.\]
On factorise \(n\) au dénominateur :
\[\frac{n}{\sqrt{4n^2+n}+2n}=\frac{n}{n\sqrt{4+\frac1n}+2n}=\frac1{\sqrt{4+\frac1n}+2}.\]
Quand \(n\to+\infty\), \(\sqrt{4+\frac1n}\to2\).
Conclusion.
\[\boxed{\frac14}\]
Q7. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} n\left(\sqrt{1+\frac4n}-1\right)\).
Non vérifié
Indice
Le facteur entre parenthèses tend vers 0, tandis que \(n\to+\infty\). Rationalise \(\sqrt{1+\frac4n}-1\).
Correction
On rationalise la parenthèse :
\[\sqrt{1+\frac4n}-1=\frac{1+\frac4n-1}{\sqrt{1+\frac4n}+1}=\frac{\frac4n}{\sqrt{1+\frac4n}+1}.\]
Donc :
\[n\left(\sqrt{1+\frac4n}-1\right)=n\times\frac{\frac4n}{\sqrt{1+\frac4n}+1}=\frac4{\sqrt{1+\frac4n}+1}.\]
Comme \(\frac4n\to0\), le dénominateur tend vers \(1+1=2\).
Conclusion.
\[\boxed{2}\]
\[\sqrt{1+\frac4n}-1=\frac{1+\frac4n-1}{\sqrt{1+\frac4n}+1}=\frac{\frac4n}{\sqrt{1+\frac4n}+1}.\]
Donc :
\[n\left(\sqrt{1+\frac4n}-1\right)=n\times\frac{\frac4n}{\sqrt{1+\frac4n}+1}=\frac4{\sqrt{1+\frac4n}+1}.\]
Comme \(\frac4n\to0\), le dénominateur tend vers \(1+1=2\).
Conclusion.
\[\boxed{2}\]
Q8. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} n\left(\sqrt{1+\frac1{n}}-1\right)\).
Non vérifié
Indice
Utilise exactement la même idée que pour une quantité conjuguée : \(\sqrt{1+\frac1n}-1\) devient une fraction dont le numérateur est \(\frac1n\).
Correction
On rationalise :
\[\sqrt{1+\frac1n}-1=\frac{1+\frac1n-1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}=\frac{\frac1n}{\sqrt{1+\frac1n}+1}.\]
Donc :
\[n\left(\sqrt{1+\frac1n}-1\right)=\frac1{\sqrt{1+\frac1n}+1}.\]
Comme \(\frac1n\to0\), on obtient :
\[\frac1{1+1}=\frac12.\]
Conclusion.
\[\boxed{\frac12}\]
\[\sqrt{1+\frac1n}-1=\frac{1+\frac1n-1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}=\frac{\frac1n}{\sqrt{1+\frac1n}+1}.\]
Donc :
\[n\left(\sqrt{1+\frac1n}-1\right)=\frac1{\sqrt{1+\frac1n}+1}.\]
Comme \(\frac1n\to0\), on obtient :
\[\frac1{1+1}=\frac12.\]
Conclusion.
\[\boxed{\frac12}\]
Q9. Vrai/Faux : une forme indéterminée signifie que la limite n’existe pas.
Non vérifié
Indice
Une forme indéterminée ne donne pas directement la limite. Elle indique seulement que le calcul immédiat ne suffit pas. Il faut transformer l’expression.
Correction
L’affirmation est fausse. Une forme indéterminée, comme \(+\infty-\infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(0\times\infty\) ou \(\frac00\), ne signifie pas que la limite n’existe pas.
Elle signifie seulement qu’on ne peut pas conclure directement. Il faut utiliser une méthode adaptée : factorisation, division par le terme dominant, quantité conjuguée, encadrement, comparaison, etc.
Conclusion.
Une forme indéterminée peut très bien avoir une limite finie, infinie ou ne pas avoir de limite selon le cas. Ici la réponse est donc \(\boxed{\text{Faux}}\).
Elle signifie seulement qu’on ne peut pas conclure directement. Il faut utiliser une méthode adaptée : factorisation, division par le terme dominant, quantité conjuguée, encadrement, comparaison, etc.
Conclusion.
Une forme indéterminée peut très bien avoir une limite finie, infinie ou ne pas avoir de limite selon le cas. Ici la réponse est donc \(\boxed{\text{Faux}}\).
Q10. Quelle méthode utilise-t-on souvent pour une limite de la forme \(\sqrt{A_n}-B_n\) ?
Non vérifié
Indice
Quand une racine est soustraite à une autre expression, on cherche souvent à utiliser l’identité \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).
Correction
La méthode attendue est la quantité conjuguée, aussi appelée rationalisation.
Pour une expression du type \(\sqrt{A_n}-B_n\), on multiplie et on divise par \(\sqrt{A_n}+B_n\) :
\[\sqrt{A_n}-B_n=\frac{(\sqrt{A_n}-B_n)(\sqrt{A_n}+B_n)}{\sqrt{A_n}+B_n}=\frac{A_n-B_n^2}{\sqrt{A_n}+B_n}.\]
Cette transformation permet souvent de faire disparaître la forme \(+\infty-\infty\).
Conclusion.
Réponse attendue : \(\boxed{\text{quantité conjuguée}}\).
Pour une expression du type \(\sqrt{A_n}-B_n\), on multiplie et on divise par \(\sqrt{A_n}+B_n\) :
\[\sqrt{A_n}-B_n=\frac{(\sqrt{A_n}-B_n)(\sqrt{A_n}+B_n)}{\sqrt{A_n}+B_n}=\frac{A_n-B_n^2}{\sqrt{A_n}+B_n}.\]
Cette transformation permet souvent de faire disparaître la forme \(+\infty-\infty\).
Conclusion.
Réponse attendue : \(\boxed{\text{quantité conjuguée}}\).
Q11. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n}{n}\), en sachant que \(-1\le \sin n\le1\).
Non vérifié
Indice
La suite \(\sin n\) ne converge pas forcément, mais elle est toujours comprise entre \(-1\) et \(1\). Divise cet encadrement par \(n\), positif pour \(n\ge1\).
Correction
On sait que, pour tout entier \(n\),
\[-1\le \sin n\le1.\]
Comme \(n\gt0\), on peut diviser par \(n\) sans changer le sens des inégalités :
\[-\frac1n\le\frac{\sin n}{n}\le\frac1n.\]
Or \(-\frac1n\to0\) et \(\frac1n\to0\). Par le théorème d’encadrement, la suite du milieu tend aussi vers 0.
Conclusion.
\[\boxed{0}\]
\[-1\le \sin n\le1.\]
Comme \(n\gt0\), on peut diviser par \(n\) sans changer le sens des inégalités :
\[-\frac1n\le\frac{\sin n}{n}\le\frac1n.\]
Or \(-\frac1n\to0\) et \(\frac1n\to0\). Par le théorème d’encadrement, la suite du milieu tend aussi vers 0.
Conclusion.
\[\boxed{0}\]
Q12. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2+1}\).
Non vérifié
Indice
Le numérateur \((-1)^n\) vaut seulement \(1\) ou \(-1\). Il est donc borné. Le dénominateur, lui, tend vers \(+\infty\). Utilise un encadrement.
Correction
On a toujours :
\[-1\le(-1)^n\le1.\]
Comme \(n^2+1\gt0\), on divise par \(n^2+1\) :
\[-\frac1{n^2+1}\le\frac{(-1)^n}{n^2+1}\le\frac1{n^2+1}.\]
Les deux bornes tendent vers 0, car \(n^2+1\to+\infty\). Par encadrement, la suite du milieu tend vers 0.
Conclusion.
\[\boxed{0}\]
\[-1\le(-1)^n\le1.\]
Comme \(n^2+1\gt0\), on divise par \(n^2+1\) :
\[-\frac1{n^2+1}\le\frac{(-1)^n}{n^2+1}\le\frac1{n^2+1}.\]
Les deux bornes tendent vers 0, car \(n^2+1\to+\infty\). Par encadrement, la suite du milieu tend vers 0.
Conclusion.
\[\boxed{0}\]
Q13. Vrai/Faux : si \(q\in\mathbb{R}\) et \(-1\lt q\lt 1\), alors \(q^n\to0\).
Non vérifié
Indice
La condition \(-1\lt q\lt1\) signifie exactement \(|q|\lt1\). Pour une suite géométrique, lorsque la raison a une valeur absolue strictement inférieure à 1, les puissances tendent vers 0.
Correction
L’affirmation est vraie.
Si \(-1\lt q\lt1\), alors \(|q|\lt1\). On sait que, pour une suite géométrique de raison \(q\), si \(|q|\lt1\), alors :
\[q^n\to0.\]
Si \(q\) est positif, les termes restent positifs et diminuent vers 0. Si \(q\) est négatif, les signes alternent, mais les valeurs absolues vérifient :
\[|q^n|=|q|^n\to0.\]
Donc les termes \(q^n\) eux-mêmes tendent vers 0.
Conclusion.
\[\boxed{\text{Vrai}}\]
Si \(-1\lt q\lt1\), alors \(|q|\lt1\). On sait que, pour une suite géométrique de raison \(q\), si \(|q|\lt1\), alors :
\[q^n\to0.\]
Si \(q\) est positif, les termes restent positifs et diminuent vers 0. Si \(q\) est négatif, les signes alternent, mais les valeurs absolues vérifient :
\[|q^n|=|q|^n\to0.\]
Donc les termes \(q^n\) eux-mêmes tendent vers 0.
Conclusion.
\[\boxed{\text{Vrai}}\]
Q14. Vrai/Faux : si \(q=-1\), alors \(q^n\) converge vers \(-1\).
Non vérifié
Indice
Calcule les premiers termes : \((-1)^0\), \((-1)^1\), \((-1)^2\), \((-1)^3\). Observe les termes de rang pair et de rang impair.
Correction
Si \(q=-1\), alors \(q^n=(-1)^n\). Les termes valent alternativement :
\[1,-1,1,-1,\ldots\]
La sous-suite des rangs pairs vaut \(1\), tandis que la sous-suite des rangs impairs vaut \(-1\). Elles n’ont pas la même limite.
Donc la suite \(((-1)^n)\) ne converge pas. Elle ne converge donc pas vers \(-1\).
Conclusion.
\[\boxed{\text{Faux}}\]
\[1,-1,1,-1,\ldots\]
La sous-suite des rangs pairs vaut \(1\), tandis que la sous-suite des rangs impairs vaut \(-1\). Elles n’ont pas la même limite.
Donc la suite \(((-1)^n)\) ne converge pas. Elle ne converge donc pas vers \(-1\).
Conclusion.
\[\boxed{\text{Faux}}\]
Q15. Vrai/Faux : si \(q\lt -1\), alors \(q^n\) n’a pas de limite.
Non vérifié
Indice
Quand \(q\lt-1\), la valeur absolue \(|q|\) est strictement supérieure à 1. Donc \(|q|^n\to+\infty\), mais le signe de \(q^n\) alterne.
Correction
L’affirmation est vraie. Si \(q\lt-1\), alors \(|q|\gt1\). Donc les valeurs absolues \(|q^n|=|q|^n\) deviennent de plus en plus grandes et tendent vers \(+\infty\).
Mais comme \(q\) est négatif, les signes alternent : les termes de rang pair sont positifs et les termes de rang impair sont négatifs. La suite ne peut donc pas tendre vers \(+\infty\) ni vers \(-\infty\), et elle ne converge pas vers un réel.
Conclusion.
\[\boxed{\text{Vrai}}\]
Mais comme \(q\) est négatif, les signes alternent : les termes de rang pair sont positifs et les termes de rang impair sont négatifs. La suite ne peut donc pas tendre vers \(+\infty\) ni vers \(-\infty\), et elle ne converge pas vers un réel.
Conclusion.
\[\boxed{\text{Vrai}}\]
Q16. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(5+3\left(\frac23\right)^n\right)\).
Non vérifié
Indice
Reconnais une puissance géométrique. Comme \(\left|\frac23\right|\lt1\), le terme \(\left(\frac23\right)^n\) tend vers 0.
Correction
On sait que :
\[\left|\frac23\right|\lt1.\]
Donc :
\[\left(\frac23\right)^n\to0.\]
On multiplie par 3, donc :
\[3\left(\frac23\right)^n\to0.\]
Enfin :
\[5+3\left(\frac23\right)^n\to5+0=5.\]
Conclusion.
\[\boxed{5}\]
\[\left|\frac23\right|\lt1.\]
Donc :
\[\left(\frac23\right)^n\to0.\]
On multiplie par 3, donc :
\[3\left(\frac23\right)^n\to0.\]
Enfin :
\[5+3\left(\frac23\right)^n\to5+0=5.\]
Conclusion.
\[\boxed{5}\]
Q17. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(2-4\left(-\frac12\right)^n\right)\).
Non vérifié
Indice
La puissance \(\left(-\frac12\right)^n\) alterne de signe, mais sa valeur absolue est \(\left(\frac12\right)^n\), qui tend vers 0.
Correction
On a :
\[-1\lt-\frac12\lt1.\]
Donc :
\[\left(-\frac12\right)^n\to0.\]
Alors :
\[-4\left(-\frac12\right)^n\to0.\]
Finalement :
\[2-4\left(-\frac12\right)^n\to2-0=2.\]
Conclusion.
\[\boxed{2}\]
\[-1\lt-\frac12\lt1.\]
Donc :
\[\left(-\frac12\right)^n\to0.\]
Alors :
\[-4\left(-\frac12\right)^n\to0.\]
Finalement :
\[2-4\left(-\frac12\right)^n\to2-0=2.\]
Conclusion.
\[\boxed{2}\]
Q18. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac1{k(k+1)}\).
Non vérifié
Indice
Décompose la fraction : \(\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}\). Ensuite, écris les premiers termes de la somme : beaucoup de termes vont s’annuler.
Correction
On utilise la décomposition :
\[\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}.\]
Alors :
\[\sum_{k=1}^{n}\frac1{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right).\]
En développant :
\[\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right).\]
Tous les termes intermédiaires se simplifient. Il reste :
\[1-\frac1{n+1}.\]
Comme \(\frac1{n+1}\to0\), la limite vaut 1.
Conclusion.
\[\boxed{1}\]
\[\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}.\]
Alors :
\[\sum_{k=1}^{n}\frac1{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right).\]
En développant :
\[\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right).\]
Tous les termes intermédiaires se simplifient. Il reste :
\[1-\frac1{n+1}.\]
Comme \(\frac1{n+1}\to0\), la limite vaut 1.
Conclusion.
\[\boxed{1}\]
Q19. Calculer \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}2\left(\frac13\right)^k\).
Non vérifié
Indice
C’est une somme géométrique de premier terme \(2\) et de raison \(\frac13\). Utilise \(1+q+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\).
Correction
On reconnaît une somme géométrique :
\[\sum_{k=0}^{n}2\left(\frac13\right)^k=2\sum_{k=0}^{n}\left(\frac13\right)^k.\]
Avec \(q=\frac13\), on a :
\[\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.\]
Donc :
\[2\sum_{k=0}^{n}\left(\frac13\right)^k=2\times\frac{1-\left(\frac13\right)^{n+1}}{1-\frac13}.\]
Or \(1-\frac13=\frac23\), donc :
\[2\times\frac{1-\left(\frac13\right)^{n+1}}{\frac23}=3\left(1-\left(\frac13\right)^{n+1}\right).\]
Conclusion.
\[\boxed{3\left(1-\left(\frac13\right)^{n+1}\right)}\]
\[\sum_{k=0}^{n}2\left(\frac13\right)^k=2\sum_{k=0}^{n}\left(\frac13\right)^k.\]
Avec \(q=\frac13\), on a :
\[\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.\]
Donc :
\[2\sum_{k=0}^{n}\left(\frac13\right)^k=2\times\frac{1-\left(\frac13\right)^{n+1}}{1-\frac13}.\]
Or \(1-\frac13=\frac23\), donc :
\[2\times\frac{1-\left(\frac13\right)^{n+1}}{\frac23}=3\left(1-\left(\frac13\right)^{n+1}\right).\]
Conclusion.
\[\boxed{3\left(1-\left(\frac13\right)^{n+1}\right)}\]
Q20. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^{n}2\left(\frac13\right)^k\).
Non vérifié
Indice
Utilise la formule obtenue pour la somme finie : \(3\left(1-\left(\frac13\right)^{n+1}\right)\). Puis fais tendre \(n\) vers \(+\infty\).
Correction
D’après la formule de la somme géométrique :
\[\sum_{k=0}^{n}2\left(\frac13\right)^k=3\left(1-\left(\frac13\right)^{n+1}\right).\]
Comme \(\left|\frac13\right|\lt1\), on a :
\[\left(\frac13\right)^{n+1}\to0.\]
Donc :
\[3\left(1-\left(\frac13\right)^{n+1}\right)\to3(1-0)=3.\]
Conclusion.
\[\boxed{3}\]
\[\sum_{k=0}^{n}2\left(\frac13\right)^k=3\left(1-\left(\frac13\right)^{n+1}\right).\]
Comme \(\left|\frac13\right|\lt1\), on a :
\[\left(\frac13\right)^{n+1}\to0.\]
Donc :
\[3\left(1-\left(\frac13\right)^{n+1}\right)\to3(1-0)=3.\]
Conclusion.
\[\boxed{3}\]
Q21. Soit \(u_0=4\) et \(u_{n+1}=0{,}6u_n+8\). Donner la limite de \((u_n)\).
Non vérifié
Indice
Pour une suite définie par \(u_{n+1}=0{,}6u_n+8\), cherche d’abord le point fixe : si \(u_n\to L\), alors \(L=0{,}6L+8\).
Correction
Si la suite converge vers \(L\), alors en passant à la limite dans la relation de récurrence :
\[L=0{,}6L+8.\]
On résout :
\[L-0{,}6L=8\]
\[0{,}4L=8\]
\[L=\frac8{0{,}4}=20.\]
De plus, le coefficient \(0{,}6\) vérifie \(|0{,}6|\lt1\), donc la suite affine converge bien vers son point fixe.
Conclusion.
\[\boxed{20}\]
\[L=0{,}6L+8.\]
On résout :
\[L-0{,}6L=8\]
\[0{,}4L=8\]
\[L=\frac8{0{,}4}=20.\]
De plus, le coefficient \(0{,}6\) vérifie \(|0{,}6|\lt1\), donc la suite affine converge bien vers son point fixe.
Conclusion.
\[\boxed{20}\]
Q22. Même suite : \(u_0=4\), \(u_{n+1}=0{,}6u_n+8\). Donner une expression de \(u_n\).
Non vérifié
Indice
Commence par enlever la limite. Pose \(v_n=u_n-20\). Comme 20 est le point fixe, la nouvelle suite \((v_n)\) doit devenir géométrique.
Correction
On sait que le point fixe est 20. On pose donc :
\[v_n=u_n-20.\]
Alors :
\[v_{n+1}=u_{n+1}-20.\]
Or \(u_{n+1}=0{,}6u_n+8\), donc :
\[v_{n+1}=0{,}6u_n+8-20=0{,}6u_n-12.\]
Comme \(u_n=v_n+20\), on obtient :
\[v_{n+1}=0{,}6(v_n+20)-12=0{,}6v_n+12-12=0{,}6v_n.\]
Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}6\). De plus :
\[v_0=u_0-20=4-20=-16.\]
Ainsi :
\[v_n=-16(0{,}6)^n.\]
Donc :
\[u_n=v_n+20=20-16(0{,}6)^n.\]
Conclusion.
\[\boxed{u_n=20-16(0{,}6)^n}\]
\[v_n=u_n-20.\]
Alors :
\[v_{n+1}=u_{n+1}-20.\]
Or \(u_{n+1}=0{,}6u_n+8\), donc :
\[v_{n+1}=0{,}6u_n+8-20=0{,}6u_n-12.\]
Comme \(u_n=v_n+20\), on obtient :
\[v_{n+1}=0{,}6(v_n+20)-12=0{,}6v_n+12-12=0{,}6v_n.\]
Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}6\). De plus :
\[v_0=u_0-20=4-20=-16.\]
Ainsi :
\[v_n=-16(0{,}6)^n.\]
Donc :
\[u_n=v_n+20=20-16(0{,}6)^n.\]
Conclusion.
\[\boxed{u_n=20-16(0{,}6)^n}\]
Q23. Soit \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}\). Si \((u_n)\) converge, quelle équation vérifie sa limite \(L\) ?
Non vérifié
Indice
Si \(u_n\to L\), alors aussi \(u_{n+1}\to L\). Pour passer à la limite dans \(\sqrt{u_n+6}\), on utilise la continuité de la fonction racine.
Correction
On suppose que \((u_n)\) converge vers \(L\). Alors la suite décalée \((u_{n+1})\) converge aussi vers \(L\).
La relation de récurrence est :
\[u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}.\]
Comme la fonction \(x\mapsto\sqrt{x+6}\) est continue sur son domaine, on peut passer à la limite :
\[L=\sqrt{L+6}.\]
On peut aussi écrire, après élévation au carré :
\[L^2=L+6.\]
Conclusion.
\[\boxed{L=\sqrt{L+6}}\]
La relation de récurrence est :
\[u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}.\]
Comme la fonction \(x\mapsto\sqrt{x+6}\) est continue sur son domaine, on peut passer à la limite :
\[L=\sqrt{L+6}.\]
On peut aussi écrire, après élévation au carré :
\[L^2=L+6.\]
Conclusion.
\[\boxed{L=\sqrt{L+6}}\]
Q24. Résoudre le point fixe positif de \(L=\sqrt{L+6}\).
Non vérifié
Indice
Comme \(\sqrt{L+6}\ge0\), le point fixe recherché doit être positif. Élève au carré puis factorise le trinôme obtenu.
Correction
On part de :
\[L=\sqrt{L+6}.\]
Comme le membre de droite est positif, on cherche une solution \(L\ge0\). On élève au carré :
\[L^2=L+6.\]
On regroupe :
\[L^2-L-6=0.\]
On factorise :
\[(L-3)(L+2)=0.\]
Les solutions de l’équation quadratique sont \(L=3\) et \(L=-2\). Mais \(L=-2\) ne convient pas dans \(L=\sqrt{L+6}\), car le membre droit est positif tandis que \(L=-2\) est négatif.
Conclusion.
Le point fixe positif est \(\boxed{3}\).
\[L=\sqrt{L+6}.\]
Comme le membre de droite est positif, on cherche une solution \(L\ge0\). On élève au carré :
\[L^2=L+6.\]
On regroupe :
\[L^2-L-6=0.\]
On factorise :
\[(L-3)(L+2)=0.\]
Les solutions de l’équation quadratique sont \(L=3\) et \(L=-2\). Mais \(L=-2\) ne convient pas dans \(L=\sqrt{L+6}\), car le membre droit est positif tandis que \(L=-2\) est négatif.
Conclusion.
Le point fixe positif est \(\boxed{3}\).
Q25. Vrai/Faux : on peut toujours résoudre \(L=f(L)\) avant de prouver que la suite converge.
Non vérifié
Indice
L’équation \(L=f(L)\) donne seulement des candidats possibles pour la limite. Elle ne prouve pas que la suite converge.
Correction
L’affirmation est fausse si on l’utilise comme preuve complète.
Pour une suite définie par \(u_{n+1}=f(u_n)\), l’équation \(L=f(L)\) est valable seulement si on sait déjà que \((u_n)\) converge vers \(L\) et si \(f\) est continue au voisinage de \(L\).
Résoudre \(L=f(L)\) permet donc de trouver des candidats à la limite, mais ne suffit pas à prouver la convergence.
Conclusion.
\[\boxed{\text{Faux}}\]
Pour une suite définie par \(u_{n+1}=f(u_n)\), l’équation \(L=f(L)\) est valable seulement si on sait déjà que \((u_n)\) converge vers \(L\) et si \(f\) est continue au voisinage de \(L\).
Résoudre \(L=f(L)\) permet donc de trouver des candidats à la limite, mais ne suffit pas à prouver la convergence.
Conclusion.
\[\boxed{\text{Faux}}\]
Q26. Si \((u_n)\) converge vers \(L\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\), quelle condition sur \(f\) permet d’écrire \(L=f(L)\) ?
Non vérifié
Indice
Il faut que la limite de \(f(u_n)\) soit \(f(L)\). Cette propriété est assurée lorsque \(f\) est continue.
Correction
On sait que \(u_n\to L\). Si \(f\) est continue en \(L\), alors :
\[f(u_n)\to f(L).\]
Or \(u_{n+1}=f(u_n)\), et comme \(u_n\to L\), la suite décalée \(u_{n+1}\) tend aussi vers \(L\).
Donc les deux limites sont égales :
\[L=f(L).\]
Conclusion.
La condition attendue est : \(\boxed{f\text{ continue}}\).
\[f(u_n)\to f(L).\]
Or \(u_{n+1}=f(u_n)\), et comme \(u_n\to L\), la suite décalée \(u_{n+1}\) tend aussi vers \(L\).
Donc les deux limites sont égales :
\[L=f(L).\]
Conclusion.
La condition attendue est : \(\boxed{f\text{ continue}}\).
Q27. Si \(a_n\le u_n\le b_n\), \(a_n\to7\) et \(b_n\to7\), alors \(u_n\to\) ?
Non vérifié
Indice
La suite \((u_n)\) est coincée entre deux suites qui ont la même limite. C’est exactement le théorème d’encadrement.
Correction
On a :
\[a_n\le u_n\le b_n.\]
De plus :
\[a_n\to7\quad\text{et}\quad b_n\to7.\]
Les deux bornes tendent vers la même limite. Par le théorème d’encadrement, la suite située entre les deux tend aussi vers cette limite.
Conclusion.
\[\boxed{u_n\to7}\]
\[a_n\le u_n\le b_n.\]
De plus :
\[a_n\to7\quad\text{et}\quad b_n\to7.\]
Les deux bornes tendent vers la même limite. Par le théorème d’encadrement, la suite située entre les deux tend aussi vers cette limite.
Conclusion.
\[\boxed{u_n\to7}\]
Q28. Si \(u_n\ge n^2-5\) pour tout \(n\) assez grand, alors \(u_n\) tend vers ?
Non vérifié
Indice
La suite \(n^2-5\) tend vers \(+\infty\). Si \(u_n\) est au-dessus d’une suite qui part vers \(+\infty\), alors \(u_n\) part aussi vers \(+\infty\).
Correction
On sait que :
\[n^2-5\to+\infty.\]
À partir d’un certain rang, on a :
\[u_n\ge n^2-5.\]
Donc, pour rendre \(u_n\) aussi grand que l’on veut, il suffit de prendre \(n\) assez grand pour que \(n^2-5\) soit déjà très grand. Alors \(u_n\), qui est au-dessus, est aussi très grand.
Conclusion.
\[\boxed{u_n\to+\infty}\]
\[n^2-5\to+\infty.\]
À partir d’un certain rang, on a :
\[u_n\ge n^2-5.\]
Donc, pour rendre \(u_n\) aussi grand que l’on veut, il suffit de prendre \(n\) assez grand pour que \(n^2-5\) soit déjà très grand. Alors \(u_n\), qui est au-dessus, est aussi très grand.
Conclusion.
\[\boxed{u_n\to+\infty}\]
Q29. Soit \(u_n=100\times0{,}92^n\). Quel est le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\lt20\) ?
Non vérifié
Indice
Commence par résoudre \(100\times0{,}92^n\lt20\), donc \(0{,}92^n\lt0{,}2\). Prends le logarithme, mais attention : \(\ln(0{,}92)\lt0\), donc le sens de l’inégalité change quand on divise.
Correction
On cherche :
\[100\times0{,}92^n\lt20.\]
On divise par 100 :
\[0{,}92^n\lt0{,}2.\]
On applique le logarithme :
\[\ln(0{,}92^n)\lt\ln(0{,}2).\]
Donc :
\[n\ln(0{,}92)\lt\ln(0{,}2).\]
Comme \(0{,}92\lt1\), on a \(\ln(0{,}92)\lt0\). En divisant par un nombre négatif, on inverse le sens de l’inégalité :
\[n\gt\frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}92)}.\]
Avec la calculatrice :
\[\frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}92)}\approx19{,}31.\]
Le plus petit entier strictement supérieur à \(19{,}31\) est 20.
Conclusion.
\[\boxed{20}\]
\[100\times0{,}92^n\lt20.\]
On divise par 100 :
\[0{,}92^n\lt0{,}2.\]
On applique le logarithme :
\[\ln(0{,}92^n)\lt\ln(0{,}2).\]
Donc :
\[n\ln(0{,}92)\lt\ln(0{,}2).\]
Comme \(0{,}92\lt1\), on a \(\ln(0{,}92)\lt0\). En divisant par un nombre négatif, on inverse le sens de l’inégalité :
\[n\gt\frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}92)}.\]
Avec la calculatrice :
\[\frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}92)}\approx19{,}31.\]
Le plus petit entier strictement supérieur à \(19{,}31\) est 20.
Conclusion.
\[\boxed{20}\]
Q30. Dans un algorithme de seuil, si on cherche le premier rang tel que \(u\lt20\), la condition du Tant que est généralement :
Non vérifié
Indice
Un Tant que continue tant que l’objectif n’est pas atteint. Ici l’objectif est \(u\lt20\). Tant que ce n’est pas vrai, on a donc \(u\ge20\).
Correction
On cherche le premier rang pour lequel :
\[u\lt20.\]
Dans un algorithme, on continue les calculs tant que cette condition n’est pas encore réalisée. La condition contraire de \(u\lt20\) est :
\[u\ge20.\]
Donc la boucle doit continuer tant que \(u\ge20\).
Conclusion.
Condition attendue : \(\boxed{u\ge20}\).
\[u\lt20.\]
Dans un algorithme, on continue les calculs tant que cette condition n’est pas encore réalisée. La condition contraire de \(u\lt20\) est :
\[u\ge20.\]
Donc la boucle doit continuer tant que \(u\ge20\).
Conclusion.
Condition attendue : \(\boxed{u\ge20}\).
Q31. Deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes si \((u_n)\) est croissante, \((v_n)\) décroissante, \(u_n\le v_n\) et :
Non vérifié
Indice
Deux suites adjacentes doivent se rapprocher l’une de l’autre. L’écart \(v_n-u_n\) doit donc tendre vers 0.
Correction
Deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes lorsque :
• \((u_n)\) est croissante ;
• \((v_n)\) est décroissante ;
• \(u_n\le v_n\) ;
• l’écart entre elles tend vers 0 :
\[v_n-u_n\to0.\]
Cette dernière condition signifie que les deux suites se rapprochent autant que l’on veut.
Conclusion.
Réponse attendue : \(\boxed{v_n-u_n\to0}\).
• \((u_n)\) est croissante ;
• \((v_n)\) est décroissante ;
• \(u_n\le v_n\) ;
• l’écart entre elles tend vers 0 :
\[v_n-u_n\to0.\]
Cette dernière condition signifie que les deux suites se rapprochent autant que l’on veut.
Conclusion.
Réponse attendue : \(\boxed{v_n-u_n\to0}\).
Q32. Vrai/Faux : si deux suites sont adjacentes, elles convergent vers la même limite.
Non vérifié
Indice
C’est le théorème des suites adjacentes : une suite croissante, une suite décroissante, l’une en dessous de l’autre, avec un écart qui tend vers 0.
Correction
L’affirmation est vraie.
Si \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes, alors \((u_n)\) est croissante, \((v_n)\) est décroissante, \(u_n\le v_n\), et :
\[v_n-u_n\to0.\]
Le théorème des suites adjacentes affirme alors que les deux suites convergent et qu’elles ont la même limite.
Conclusion.
\[\boxed{\text{Vrai}}\]
Si \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes, alors \((u_n)\) est croissante, \((v_n)\) est décroissante, \(u_n\le v_n\), et :
\[v_n-u_n\to0.\]
Le théorème des suites adjacentes affirme alors que les deux suites convergent et qu’elles ont la même limite.
Conclusion.
\[\boxed{\text{Vrai}}\]
Q33. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt n}{n}\).
Non vérifié
Indice
Simplifie l’expression : comme \(n=\sqrt n\times\sqrt n\), on obtient \(\frac{\sqrt n}{n}=\frac1{\sqrt n}\).
Correction
On écrit :
\[n=\sqrt n\times\sqrt n.\]
Donc :
\[\frac{\sqrt n}{n}=\frac{\sqrt n}{\sqrt n\times\sqrt n}=\frac1{\sqrt n}.\]
Or \(\sqrt n\to+\infty\), donc :
\[\frac1{\sqrt n}\to0.\]
Conclusion.
\[\boxed{0}\]
\[n=\sqrt n\times\sqrt n.\]
Donc :
\[\frac{\sqrt n}{n}=\frac{\sqrt n}{\sqrt n\times\sqrt n}=\frac1{\sqrt n}.\]
Or \(\sqrt n\to+\infty\), donc :
\[\frac1{\sqrt n}\to0.\]
Conclusion.
\[\boxed{0}\]
Q34. Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+(-1)^n}{n^2}\).
Non vérifié
Indice
Sépare la fraction : \(\frac{n^2+(-1)^n}{n^2}=1+\frac{(-1)^n}{n^2}\). Puis encadre le deuxième terme.
Correction
On sépare :
\[\frac{n^2+(-1)^n}{n^2}=\frac{n^2}{n^2}+\frac{(-1)^n}{n^2}=1+\frac{(-1)^n}{n^2}.\]
Comme \(-1\le(-1)^n\le1\), on a :
\[-\frac1{n^2}\le\frac{(-1)^n}{n^2}\le\frac1{n^2}.\]
Les deux bornes tendent vers 0. Donc :
\[\frac{(-1)^n}{n^2}\to0.\]
Finalement :
\[1+\frac{(-1)^n}{n^2}\to1+0=1.\]
Conclusion.
\[\boxed{1}\]
\[\frac{n^2+(-1)^n}{n^2}=\frac{n^2}{n^2}+\frac{(-1)^n}{n^2}=1+\frac{(-1)^n}{n^2}.\]
Comme \(-1\le(-1)^n\le1\), on a :
\[-\frac1{n^2}\le\frac{(-1)^n}{n^2}\le\frac1{n^2}.\]
Les deux bornes tendent vers 0. Donc :
\[\frac{(-1)^n}{n^2}\to0.\]
Finalement :
\[1+\frac{(-1)^n}{n^2}\to1+0=1.\]
Conclusion.
\[\boxed{1}\]
Q35. Vrai/Faux : pour lever une forme \(\frac{\infty}{\infty}\) avec des polynômes, on peut diviser par le terme dominant.
Non vérifié
Indice
Pour un quotient de polynômes, la méthode principale est de diviser par la plus grande puissance de \(n\) présente, afin de faire apparaître des termes du type \(\frac1n\), qui tendent vers 0.
Correction
L’affirmation est vraie.
Pour une limite de quotient de polynômes lorsque \(n\to+\infty\), on divise le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de \(n\) utile, souvent le degré dominant du dénominateur ou le degré le plus élevé présent.
Cette méthode transforme les termes non dominants en fractions comme \(\frac1n\), \(\frac1{n^2}\), \(\frac1{n^3}\), qui tendent toutes vers 0.
Exemple :
\[\frac{3n^2+1}{2n^2-5}=\frac{3+\frac1{n^2}}{2-\frac5{n^2}}\to\frac32.\]
Conclusion.
\[\boxed{\text{Vrai}}\]
Pour une limite de quotient de polynômes lorsque \(n\to+\infty\), on divise le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de \(n\) utile, souvent le degré dominant du dénominateur ou le degré le plus élevé présent.
Cette méthode transforme les termes non dominants en fractions comme \(\frac1n\), \(\frac1{n^2}\), \(\frac1{n^3}\), qui tendent toutes vers 0.
Exemple :
\[\frac{3n^2+1}{2n^2-5}=\frac{3+\frac1{n^2}}{2-\frac5{n^2}}\to\frac32.\]
Conclusion.
\[\boxed{\text{Vrai}}\]