Limites de suites
Terminale Spécialité Maths • Cours complet premium
Convergence • Divergence • Comparaisons • Encadrements • Suites usuelles — niveau Bac
Convergence • Divergence • Comparaisons • Encadrements • Suites usuelles — niveau Bac
Objectifs
- Reconnaître si une suite converge (limite finie) ou diverge (limite infinie / pas de limite).
- Utiliser les définitions et les suites usuelles.
- Maîtriser les comparaisons et les encadrements (gendarmes).
- Étudier des suites données explicitement ou par récurrence (niveau Bac).
1. Définitions (convergence / divergence)
Soit \((u_n)\) une suite réelle.
- \((u_n)\) converge vers \(\ell\in\mathbb{R}\) si les termes \(u_n\) se rapprochent de \(\ell\) quand \(n\to+\infty\). On écrit : \[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\ell \]
- \((u_n)\) diverge vers \(+\infty\) si \(u_n\) devient arbitrairement grand : \[ \lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty \] (de même pour \(-\infty\)).
- \((u_n)\) peut aussi ne pas avoir de limite (suite oscillante, par exemple).
Phrase Bac :
« On étudie la limite de \((u_n)\) lorsque \(n\to+\infty\). »
« On étudie la limite de \((u_n)\) lorsque \(n\to+\infty\). »
2. Suites usuelles (résultats fondamentaux)
| Suite \((u_n)\) | Limite (si elle existe) | Remarque |
|---|---|---|
| \(u_n=c\) (constante) | \(\lim u_n=c\) | Stable |
| \(u_n=n\) | \(+\infty\) | Diverge |
| \(u_n=\ln(n)\) | \(+\infty\) | Croissance lente |
| \(u_n=\dfrac{1}{n^p}\) (\(p>0\)) | \(0\) | Décroît vers 0 (cas particulier : \(\frac{1}{n}\)) |
| \(u_n=n^p\) (\(p>0\)) | \(+\infty\) | Croissance polynomiale |
| \(u_n=a^n\) (avec \(a>0\)) |
\(0\) si \(0<a<1\) \(+\infty\) si \(a>1\) \(1\) si \(a=1\) |
Exponentielle (réel, sans alternance de signe) |
| \(u_n=a^n\) (avec \(|a|<1\)) | \(0\) | Même si \(a<0\) (oscille mais tend vers 0) |
| \(u_n=(-1)^n\) | Pas de limite | Oscille |
| \(u_n=\dfrac{1}{a^n}\) (\(a>1\)) | \(0\) | Très rapide |
3. Règles de calcul sur les limites
Si \(\lim u_n=\ell\) et \(\lim v_n=m\) (limites finies), alors :
\[
\lim(u_n+v_n)=\ell+m,\quad
\lim(u_nv_n)=\ell m,\quad
\lim\left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\frac{\ell}{m}\ \ (m\neq 0)
\]
Attention aux formes indéterminées :
\[
\frac{\infty}{\infty},\quad \infty-\infty,\quad 0\times\infty,\quad \frac{0}{0}
\]
Dans ces cas, on transforme, on compare, ou on encadre.
4. Comparaisons (méthode Bac)
Principe : on compare \((u_n)\) à une suite dont on connaît la limite.
- Si \(0\le u_n\le v_n\) à partir d’un certain rang et si \(v_n\to 0\), alors \(u_n\to 0\).
- Si \(u_n\ge v_n\) à partir d’un certain rang et si \(v_n\to +\infty\), alors \(u_n\to +\infty\).
- Si \(u_n\le v_n\) et \(u_n\to +\infty\), alors \(v_n\to +\infty\).
Domination
Comparaisons usuelles :
\[
\text{si } p>0,\ \ \frac{1}{n^p}\to 0,\qquad
a^n \text{ domine } n^p \text{ si } a>1.
\]
5. Encadrements — Théorème des gendarmes
Si, à partir d’un certain rang :
\[
a_n \le u_n \le b_n
\]
et si
\[
\lim_{n\to+\infty} a_n = \lim_{n\to+\infty} b_n = \ell,
\]
alors
\[
\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n = \ell.}
\]
Exemple type : si \(0\le u_n \le \dfrac{1}{n}\), alors \(u_n\to 0\).
6. Cas fréquent : quotients en \(n\)
Pour
\[
u_n=\frac{an^p+\cdots}{bn^q+\cdots}\quad (a,b\neq 0),
\]
on compare les degrés \(p\) et \(q\) :
| Comparaison des degrés | Limite | Idée |
|---|---|---|
| \(p<q\) | \(0\) | Le dénominateur domine |
| \(p=q\) | \(\dfrac{a}{b}\) | Rapport des coefficients dominants |
| \(p>q\) | \(\pm\infty\) | Le numérateur domine (selon le signe) |
Astuce : factoriser par \(n^{\max(p,q)}\) ou diviser numérateur et dénominateur par la plus grande puissance.
7. Suites définies par récurrence : démarche Bac
Pour une suite \((u_n)\) définie par \(u_{n+1}=f(u_n)\), on suit souvent :
- Montrer que la suite est bornée (par encadrement / invariance d’un intervalle).
- Montrer qu’elle est monotone (souvent via le signe de \(u_{n+1}-u_n\) ou \(f(x)-x\) sur un intervalle stable).
- Conclure : bornée + monotone \(\Rightarrow\) convergente.
- Si \(\lim u_n=\ell\), alors on passe à la limite dans \(u_{n+1}=f(u_n)\) : \[ \ell=f(\ell) \] donc \(\ell\) est un point fixe de \(f\).
Phrase Bac :
« La suite étant monotone et bornée, elle converge. Notons \(\ell\) sa limite. En passant à la limite dans la relation, on obtient \(\ell=f(\ell)\). »
« La suite étant monotone et bornée, elle converge. Notons \(\ell\) sa limite. En passant à la limite dans la relation, on obtient \(\ell=f(\ell)\). »
Checklist Bac
- Je connais les suites usuelles et leurs limites.
- Je repère les formes indéterminées et je sais transformer / comparer / encadrer.
- Je sais faire une comparaison (domination) et conclure correctement.
- Je sais faire un encadrement (gendarmes) et conclure.
- Pour une récurrence : stabilité (intervalle) + monotonie + bornes ⇒ convergente, puis point fixe.