Limites De Suites
TERMINALE-SPE • MATHS — Learna
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Cours — Limites de suites
Convergence • divergence • suites usuelles • comparaisons • encadrements • gendarmes • suites définies par récurrence.
1) Objectifs et vision d’ensemble
Compétences attendues
- Reconnaître si une suite est convergente ou divergente.
- Connaître les suites usuelles et leurs limites.
- Utiliser correctement les opérations sur les limites.
- Traiter les cas de comparaison et d’encadrement.
- Étudier la limite d’une suite définie explicitement ou par récurrence.
- Rédiger une justification propre au niveau Bac.
Idées-clés du chapitre
Une suite peut :
- tendre vers un réel \(\ell\),
- tendre vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\),
- ou ne pas avoir de limite.
Erreur fréquente : écrire directement une limite “par intuition” sans citer une suite usuelle, une comparaison, un encadrement ou une transformation.
2) Définition d’une limite de suite
Limite finie
On dit que la suite \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\) lorsque les termes \(u_n\) se rapprochent de \(\ell\) quand \(n\) devient très grand.
On écrit :
\[
\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell.
\]
Limite infinie
- \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty\) signifie que \(u_n\) devient arbitrairement grand.
- \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-\infty\) signifie que \(u_n\) devient arbitrairement petit.
Cas possible : absence de limite
Une suite peut ne pas avoir de limite. Exemple classique :
\[
u_n=(-1)^n.
\]
Les termes valent successivement \(1\), \(-1\), \(1\), \(-1\), etc. : la suite oscille.
Exemple 1 — Suite convergente
Soit \(u_n=\dfrac{1}{n}\). Lorsque \(n\) devient grand, \(\dfrac{1}{n}\) devient de plus en plus petit.
On a donc :
\[
\boxed{\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0.}
\]
Exemple 2 — Suite divergente vers \(+\infty\)
Soit \(u_n=n^2\). Plus \(n\) est grand, plus \(n^2\) est grand.
Donc :
\[
\boxed{\lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty.}
\]
3) Limites usuelles à connaître
Tableau fondamental
| Suite \((u_n)\) | Limite | Commentaire |
|---|---|---|
| \(u_n=c\) (constante) | \(c\) | Une suite constante converge vers sa valeur constante. |
| \(u_n=n\) | \(+\infty\) | La suite des entiers croît indéfiniment. |
| \(u_n=n^p\) avec \(p>0\) | \(+\infty\) | Toute puissance positive de \(n\) tend vers \(+\infty\). |
| \(u_n=\dfrac{1}{n^p}\) avec \(p>0\) | \(0\) | Cas très classique de convergence vers 0. |
| \(u_n=\ln(n)\) | \(+\infty\) | Croissance lente mais illimitée. |
| \(u_n=a^n\) avec \(0<a<1\) | \(0\) | Décroissance exponentielle vers 0. |
| \(u_n=a^n\) avec \(a=1\) | \(1\) | Suite constante égale à 1. |
| \(u_n=a^n\) avec \(a>1\) | \(+\infty\) | Croissance exponentielle. |
| \(u_n=(-1)^n\) | Pas de limite | La suite oscille entre \(-1\) et \(1\). |
| \(u_n=\dfrac{1}{a^n}\) avec \(a>1\) | \(0\) | Tend très vite vers 0. |
À retenir absolument :
\[
\frac{1}{n}\to 0,\qquad \frac{1}{n^2}\to 0,\qquad n\to+\infty,\qquad n^2\to+\infty,\qquad q^n\to 0 \text{ si } 0<q<1.
\]
4) Opérations sur les limites
Cas des limites finies
\[
\lim(u_n+v_n)=\ell+m
\]
\[
\lim(u_nv_n)=\ell m
\]
\[
\lim\left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\frac{\ell}{m}
\quad \text{si } m\neq 0
\]
Principe
Si deux suites ont des limites finies, on peut additionner, multiplier et parfois diviser leurs limites.
Il faut toujours vérifier que le dénominateur ne tend pas vers 0 dans le quotient.
Formes indéterminées
Les formes suivantes ne permettent pas de conclure directement :
\[
\frac{\infty}{\infty},
\qquad
\infty-\infty,
\qquad
0\times\infty,
\qquad
\frac{0}{0}.
\]
Il faut alors transformer l’expression, comparer ou encadrer.
Exemple 3 — Somme de suites
Soit \(u_n=\dfrac{1}{n}\) et \(v_n=3\).
On sait que \(\dfrac{1}{n}\to 0\) et \(3\to 3\).
Donc :
\[
\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n}+3\right)=0+3=3.
\]
Résultat : \(\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n}+3\right)=3}\).
5) Comparaisons
Principe général
On compare une suite à une autre suite dont on connaît déjà la limite.
Résultats utiles
- Si \(0\le u_n\le v_n\) et \(v_n\to 0\), alors \(u_n\to 0\).
- Si \(u_n\ge v_n\) et \(v_n\to+\infty\), alors \(u_n\to+\infty\).
- Si \(u_n\le v_n\) et \(u_n\to+\infty\), alors \(v_n\to+\infty\).
Exemples de domination
- \(\dfrac{1}{n^2}\le \dfrac{1}{n}\) pour \(n\ge 1\).
- Si \(a>1\), alors \(a^n\) croît beaucoup plus vite que \(n^p\).
- Si \(0<q<1\), alors \(q^n\to 0\).
Exemple 4 — Limite par comparaison
On considère
\[
u_n=\frac{2}{n+1}.
\]
Pour tout \(n\ge 0\), on a :
\[
0\le \frac{2}{n+1}\le \frac{2}{n}.
\]
Or \(\dfrac{2}{n}\to 0\). Donc, par comparaison :
\[
\boxed{\lim_{n\to+\infty}\frac{2}{n+1}=0.}
\]
6) Théorème des gendarmes
Énoncé
Si, à partir d’un certain rang,
\[
a_n\le u_n\le b_n
\]
et si
\[
\lim_{n\to+\infty}a_n=\lim_{n\to+\infty}b_n=\ell,
\]
alors
\[
\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell.}
\]
Quand utiliser les gendarmes ?
Très souvent lorsque l’on sait borner une expression compliquée entre deux expressions plus simples ayant la même limite.
Exemple 5 — Suite avec sinus
Soit
\[
u_n=\frac{\sin(n)}{n}.
\]
On sait que, pour tout réel \(x\),
\[
-1\le \sin(x)\le 1.
\]
Donc :
\[
-\frac{1}{n}\le \frac{\sin(n)}{n}\le \frac{1}{n}.
\]
Or :
\[
\lim_{n\to+\infty}-\frac{1}{n}=0
\qquad \text{et} \qquad
\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0.
\]
Par le théorème des gendarmes :
\[
\boxed{\lim_{n\to+\infty}\frac{\sin(n)}{n}=0.}
\]
7) Quotients de polynômes en \(n\)
Méthode fondamentale
Pour étudier une suite du type
\[
u_n=\frac{an^p+\cdots}{bn^q+\cdots},
\]
on compare les degrés \(p\) et \(q\).
| Situation | Limite | Idée |
|---|---|---|
| \(p<q\) | \(0\) | Le dénominateur domine. |
| \(p=q\) | \(\dfrac{a}{b}\) | Rapport des coefficients des termes dominants. |
| \(p>q\) | \(\pm\infty\) | Le numérateur domine ; le signe dépend des coefficients. |
Exemple 6 — Quotient de degré identique
Étudier :
\[
u_n=\frac{3n^2-1}{5n^2+2n+4}.
\]
Le degré du numérateur et celui du dénominateur valent 2.
Donc :
\[
\lim_{n\to+\infty}u_n=\frac{3}{5}.
\]
Résultat : \(\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{3n^2-1}{5n^2+2n+4}=\frac35}\).
Exemple 7 — Quotient avec dénominateur dominant
Étudier :
\[
v_n=\frac{2n+1}{n^2+4}.
\]
Le degré du numérateur vaut 1, celui du dénominateur vaut 2.
Donc :
\[
\boxed{\lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n^2+4}=0.}
\]
8) Limites de suites définies par récurrence
Démarche classique au Bac
- Montrer que la suite est bornée ou qu’un intervalle est stable.
- Montrer qu’elle est monotone.
- En déduire qu’elle est convergente si elle est monotone et bornée.
- Si elle converge vers \(\ell\), passer à la limite dans la relation \[ u_{n+1}=f(u_n) \] pour obtenir une équation vérifiée par \(\ell\).
Point fixe
Si \((u_n)\) converge vers \(\ell\) et si \(u_{n+1}=f(u_n)\), alors en général :
\[
\ell=f(\ell).
\]
La limite éventuelle est donc un point fixe de \(f\).
Exemple 8 — Raisonnement-type
On considère une suite définie par
\[
u_{n+1}=\frac{u_n+2}{2}.
\]
Si l’on a montré auparavant que \((u_n)\) converge vers \(\ell\), alors en passant à la limite :
\[
\ell=\frac{\ell+2}{2}.
\]
Donc :
\[
2\ell=\ell+2
\qquad \Rightarrow \qquad
\ell=2.
\]
La seule limite possible est \(\boxed{2}\).
Attention : on ne peut passer à la limite dans la relation de récurrence qu’après avoir justifié l’existence de la limite, ou dans un cadre clairement admis.
9) Mini-formulaire — Limites de suites
Suites usuelles
\[
\frac{1}{n}\to 0,
\qquad
\frac{1}{n^p}\to 0 \ (p>0)
\]
\[
n\to+\infty,
\qquad
n^p\to+\infty \ (p>0)
\]
\[
q^n\to 0 \text{ si } 0<q<1
\]
\[
a^n\to+\infty \text{ si } a>1
\]
Outils de raisonnement
Comparaison :
\[
0\le u_n\le v_n \text{ et } v_n\to 0
\Rightarrow u_n\to 0
\]
Gendarmes :
\[
a_n\le u_n\le b_n,\ a_n\to\ell,\ b_n\to\ell
\Rightarrow u_n\to\ell
\]
Quotients en \(n\)
\[
\frac{an^p+\cdots}{bn^q+\cdots}
\quad\Rightarrow\quad
\begin{cases}
0 & \text{si } p<q\\[4pt]
\dfrac{a}{b} & \text{si } p=q\\[6pt]
\pm\infty & \text{si } p>q
\end{cases}
\]
Checklist “copie parfaite”
- Je commence par repérer si la suite ressemble à une suite usuelle.
- Je vérifie s’il s’agit d’un quotient en \(n\), d’une comparaison ou d’un encadrement.
- Je fais attention aux formes indéterminées.
- Pour une récurrence, je pense : bornes + monotonie + point fixe.
- Je rédige une phrase de conclusion claire : “Donc la suite converge vers …” ou “Donc la suite diverge vers …”.
Réflexe Bac : une limite doit toujours être justifiée par un résultat du cours, pas seulement “devinée”.