Exercices corrigés — Limites de suites (Tle spé)

1. \[u_n=\dfrac{4n+7}{5n-3}=\dfrac{4+\dfrac7n}{5-\dfrac3n}.\] Comme \(\dfrac1n\to0\), le numérateur tend vers \(4\) et le dénominateur vers \(5\neq0\). Ainsi \[\boxed{\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=\dfrac45}.\]

2. On sépare les trois termes : \[\dfrac n6\to+\infty,\qquad -3\to-3,\qquad \dfrac{2n}{n^2+4}=\dfrac{\dfrac2n}{1+\dfrac4{n^2}}\to0.\] Le terme \(\dfrac n6\) domine donc : \[\boxed{\displaystyle \lim u_n=+\infty}.\]

3. On divise par \(n^2\) : \[u_n=\dfrac{-2+\dfrac5n+\dfrac1{n^2}}{3\left(1+\dfrac1n\right)^2} \longrightarrow \dfrac{-2}{3}.\] Donc \[\boxed{\displaystyle \lim u_n=-\dfrac23}.\]

4. \[u_n=\dfrac{-\dfrac3n+\dfrac7{n^2}}{1+\dfrac2{n^2}}\longrightarrow0.\] De plus, \(7-3n<0\) pour \(n\ge3\), donc la suite approche \(0\) par valeurs négatives à partir d’un certain rang : \[\boxed{\displaystyle \lim u_n=0}.\]

1. \[u_n=\dfrac{\dfrac{12}{n}-\dfrac5{n^2}}{1+\dfrac3{n^2}}\to0.\] Ainsi \(\boxed{\lim u_n=0}\).

2. \[u_n=n\,\dfrac{3+\dfrac2{n^2}}{4-\dfrac1n}.\] Le quotient tend vers \(\dfrac34>0\) et \(n\to+\infty\). Donc \[\boxed{\lim u_n=+\infty}.\]

3. \[u_n=\dfrac{5-\dfrac9{n^2}}{2+\dfrac3n+\dfrac7{n^2}}\to\dfrac52.\] Donc \(\boxed{\lim u_n=\dfrac52}\).

4. \[u_n=n\,\dfrac{2+\dfrac1{n^2}}{5-\dfrac4{n^2}}.\] Le second facteur tend vers \(\dfrac25>0\), donc \[\boxed{\lim u_n=+\infty}.\]

1. \(2\to2\), \(\dfrac3{n+1}\to0\), tandis que \(-\dfrac n5\to-\infty\). Ainsi \[\boxed{\lim u_n=-\infty}.\]

2. On met au même dénominateur : \[\dfrac{4n^2-1}{n+2}-4n =\dfrac{4n^2-1-4n(n+2)}{n+2} =\dfrac{-8n-1}{n+2}.\] En divisant par \(n\), \[\boxed{\displaystyle \lim u_n=-8}.\]

3. \[u_n=\dfrac{3+\dfrac1n}{1-\dfrac1n}+\dfrac1n\longrightarrow3+0.\] Donc \(\boxed{\lim u_n=3}\).

4. Comme \(|(-1)^n|=1\), on a \(\dfrac{(-1)^n}{n^2}\to0\). Ainsi \[u_n=\dfrac{1+\dfrac{(-1)^n}{n^2}}{2+\dfrac1{n^2}}\longrightarrow\dfrac12.\] Donc \(\boxed{\lim u_n=\dfrac12}\).

1. La forme directe est \(+\infty-\infty\). On multiplie par le conjugué : \[u_n=\dfrac{(n^2+4n+7)-n^2}{\sqrt{n^2+4n+7}+n} =\dfrac{4n+7}{\sqrt{n^2+4n+7}+n}.\] En divisant numérateur et dénominateur par \(n>0\), \[u_n=\dfrac{4+\dfrac7n}{\sqrt{1+\dfrac4n+\dfrac7{n^2}}+1}\to\dfrac42=2.\] Donc \(\boxed{\lim u_n=2}\).

2. \[u_n=\dfrac{(4n^2+n)-4n^2}{\sqrt{4n^2+n}+2n} =\dfrac{n}{\sqrt{4n^2+n}+2n} =\dfrac1{\sqrt{4+\dfrac1n}+2}.\] Ainsi \(\boxed{\lim u_n=\dfrac14}\).

3. \[u_n=\dfrac{(n^2+3n)-(n^2+n)}{\sqrt{n^2+3n}+\sqrt{n^2+n}} =\dfrac{2n}{\sqrt{n^2+3n}+\sqrt{n^2+n}}.\] Donc \[u_n=\dfrac2{\sqrt{1+\dfrac3n}+\sqrt{1+\dfrac1n}}\to1.\] Ainsi \(\boxed{\lim u_n=1}\).

4. \[u_n=\dfrac{n\sqrt n}{\sqrt{n^2+n\sqrt n}+n} =\dfrac{\sqrt n}{\sqrt{1+\dfrac1{\sqrt n}}+1}.\] Le dénominateur tend vers \(2\) alors que \(\sqrt n\to+\infty\). Donc \[\boxed{\lim u_n=+\infty}.\]

1. Comme \(-1\le\cos(3n)\le1\), \[-\dfrac1{\sqrt n}\le \dfrac{\cos(3n)}{\sqrt n}\le\dfrac1{\sqrt n}.\] Les deux bornes tendent vers \(0\). Par le théorème des gendarmes, \[\boxed{\lim u_n=0}.\]

2. Puisque \(-1\le(-1)^n\le1\), \[n^2-5\le n^2-5(-1)^n\le n^2+5.\] La borne inférieure tend vers \(+\infty\), donc \[\boxed{\lim u_n=+\infty}.\]

3. Comme \(-1\le\sin n\le1\), \[n+1\le n+2-\sin n\le n+3.\] Les deux bornes tendent vers \(+\infty\), donc \[\boxed{\lim u_n=+\infty}.\]

4. On a \[\left|\dfrac{n+(-1)^n}{n^2+1}\right| \le\dfrac{n+1}{n^2+1}\to0.\] Ainsi le quotient tend vers \(0\), puis \[\boxed{\lim u_n=-3}.\]

1. De \(-1\le\sin n\le1\), on déduit \[\dfrac1n\le\dfrac{2+\sin n}{n}\le\dfrac3n.\] Les deux bornes tendent vers \(0\), donc \(\boxed{\lim u_n=0}\).

2. On divise par \(n\) : \[u_n=\dfrac{1+\dfrac{\cos n}{n}}{2-\dfrac{\sin n}{n}}.\] Or \(\dfrac{\cos n}{n}\to0\) et \(\dfrac{\sin n}{n}\to0\). Donc \[\boxed{\lim u_n=\dfrac12}.\]

3. \[u_n=\dfrac1{1+\dfrac{\cos n}{n}}.\] Comme \(\dfrac{\cos n}{n}\to0\), \[\boxed{\lim u_n=1}.\]

4. On rationalise : \[u_n=\dfrac{\sin n}{\sqrt{n^2+\sin n}+n}.\] Le dénominateur est au moins égal à \(n\), et \(|\sin n|\le1\). Donc \[|u_n|\le\dfrac1n\to0.\] Par encadrement, \(\boxed{\lim u_n=0}\).

On considère \[u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{n}{n^2+2k}.\]

1. \[u_1=\dfrac13.\] Pour \(n=2\), \[u_2=\dfrac2{6}+\dfrac2{8}=\dfrac13+\dfrac14=\dfrac7{12}.\] Pour \(n=3\), \[u_3=\dfrac3{11}+\dfrac3{13}+\dfrac3{15}=\dfrac{503}{715}\approx0{,}7035.\]

2. Une fonction Python possible est :

   def u(n):
       s = 0.0
       for k in range(1, n + 1):
           s += n / (n*n + 2*k)
       return s

3. On obtient approximativement \[u_{10}\approx0{,}9033,\qquad u_{20}\approx0{,}9508,\qquad u_{50}\approx0{,}9801.\] Ces valeurs suggèrent la conjecture \(u_n\to1\).

4. Pour \(1\le k\le n\), \[n^2+2\le n^2+2k\le n^2+2n.\] Les quantités étant positives, l’inversion renverse les inégalités : \[\dfrac{n}{n^2+2n}\le\dfrac{n}{n^2+2k}\le\dfrac{n}{n^2+2}.\] On additionne ces \(n\) inégalités : \[\dfrac{n^2}{n^2+2n}\le u_n\le\dfrac{n^2}{n^2+2}.\] Or \[\dfrac{n^2}{n^2+2n}=\dfrac1{1+\dfrac2n}\to1, \qquad \dfrac{n^2}{n^2+2}=\dfrac1{1+\dfrac2{n^2}}\to1.\] Par le théorème des gendarmes, \[\boxed{\lim u_n=1}.\]

1. Pour \(1\le k\le n\), on a \(k>0\) et \(n^3+k>0\), donc chaque terme est positif. Ainsi \(v_n\ge0\).

2. Comme \(n^3+k\ge n^3>0\), \[0\le\dfrac{k}{n^3+k}\le\dfrac{k}{n^3}.\]

3. En sommant, \[0\le v_n\le\dfrac1{n^3}\sum_{k=1}^{n}k =\dfrac1{n^3}\cdot\dfrac{n(n+1)}2 =\dfrac{n+1}{2n^2}.\]

4. Or \(\dfrac{n+1}{2n^2}=\dfrac1{2n}+\dfrac1{2n^2}\to0\). Par le théorème des gendarmes, \[\boxed{\lim v_n=0}.\]

1. Un point fixe \(L\) vérifie \[L=\dfrac34L+\dfrac12.\] Donc \(\dfrac14L=\dfrac12\), d’où \(\boxed{L=2}\).

2. Avec \(v_n=u_n-2\), \[v_{n+1}=u_{n+1}-2=\dfrac34u_n+\dfrac12-2 =\dfrac34(u_n-2)=\dfrac34v_n.\] Ainsi \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac34\), avec \(v_0=3\).

3. \[v_n=3\left(\dfrac34\right)^n, \qquad \boxed{u_n=2+3\left(\dfrac34\right)^n}.\]

4. Comme \(0<\dfrac34<1\), \(\left(\dfrac34\right)^n\to0\), donc \(u_n\to2\). De plus \[u_{n+1}-u_n=3\left(\dfrac34\right)^n\left(\dfrac34-1\right)<0.\] La suite est strictement décroissante et \[\boxed{\lim u_n=2}.\]

1. Le point fixe vérifie \(L=0{,}8L+30\), donc \(0{,}2L=30\) et \[\boxed{L=150}.\]

2. Avec \(v_n=u_n-150\), \[v_{n+1}=0{,}8u_n+30-150=0{,}8(u_n-150)=0{,}8v_n.\] Comme \(v_0=50-150=-100\), \[v_n=-100(0{,}8)^n, \qquad \boxed{u_n=150-100(0{,}8)^n}.\]

3. Puisque \((0{,}8)^n\to0\), on a \(u_n\to150\). Comme \((0{,}8)^n\) est décroissante, \(-100(0{,}8)^n\) est croissante : \((u_n)\) est donc croissante.

4. \[u_n>140 \iff150-100(0{,}8)^n>140 \iff(0{,}8)^n<0{,}1.\] Si le logarithme est déjà étudié, \[n>\dfrac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}8)}\approx10{,}32.\] Le premier entier convenable est donc \(\boxed{n=11}\).

   Une recherche de seuil en Python, utilisable même avant l’étude du logarithme, est :

   u = 50
   n = 0
   while u <= 140:
       u = 0.8*u + 30
       n += 1
   print(n, u)

   Elle renvoie \(n=11\).

1. Initialement, \(u_0=1\in[1,2]\). Supposons \(1\le u_n\le2\). Alors \[3\le2+u_n\le4,\] donc \[1<\sqrt3\le u_{n+1}\le2.\] Ainsi \(1\le u_{n+1}\le2\). Par récurrence, \[\boxed{1\le u_n\le2\text{ pour tout }n}.\]

2. Les deux termes étant positifs, \[u_{n+1}\ge u_n \iff \sqrt{2+u_n}\ge u_n \iff 2+u_n\ge u_n^2.\] Or \[2+u_n-u_n^2=-(u_n-2)(u_n+1)\ge0\] car \(u_n\in[1,2]\). Donc \((u_n)\) est croissante.

3. La suite est croissante et majorée par \(2\). Le théorème de convergence monotone donne donc sa convergence.

4. Soit \(\ell\) sa limite. En passant à la limite dans \(u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\), \[\ell=\sqrt{2+\ell}.\] Donc \(\ell^2-\ell-2=0\), soit \((\ell-2)(\ell+1)=0\). Comme \(\ell\in[1,2]\), \[\boxed{\ell=2}.\]

1. Soit \(x\in[0,1]\). Le dénominateur \(x+4\) est positif et le numérateur \(2x+3\) est positif, donc \(f(x)\ge0\). De plus \[f(x)\le1 \iff 2x+3\le x+4 \iff x\le1.\] Ainsi \(f([0,1])\subset[0,1]\).

2. Comme \(u_0=0\in[0,1]\) et l’intervalle est stable, une récurrence donne \[\boxed{0\le u_n\le1}.\]

3. \[u_{n+1}-u_n =\dfrac{2u_n+3-u_n(u_n+4)}{u_n+4} =\dfrac{3-2u_n-u_n^2}{u_n+4} =-\dfrac{(u_n-1)(u_n+3)}{u_n+4}.\] Sur \([0,1]\), le numérateur factorisé donne un résultat positif ou nul. Donc \((u_n)\) est croissante.

4. La suite est croissante et majorée par \(1\), donc convergente. Si \(u_n\to\ell\), \[\ell=\dfrac{2\ell+3}{\ell+4} \iff \ell^2+2\ell-3=0 \iff(\ell-1)(\ell+3)=0.\] Comme \(\ell\in[0,1]\), \[\boxed{\ell=1}.\]

1. Si \(0<u_n<1\), alors \(u_n>0\) et \(2-u_n>1\), donc \(u_{n+1}>0\). Par ailleurs \[1-u_{n+1}=1-u_n(2-u_n)=(1-u_n)^2>0.\] Donc \(u_{n+1}<1\). L’intervalle \(]0,1[\) est stable.

2. \[u_{n+1}-u_n=u_n(2-u_n)-u_n=u_n(1-u_n)>0.\] La suite est strictement croissante.

3. Elle est croissante et majorée par \(1\), donc convergente. Si \(u_n\to\ell\), \[\ell=\ell(2-\ell) \iff \ell(1-\ell)=0.\] Les seules limites possibles sont \(0\) et \(1\). Or \(u_n\ge u_0>0\), donc \(\ell\ge u_0>0\). Ainsi \[\boxed{\ell=1}.\]

4. La relation \[1-u_{n+1}=(1-u_n)^2\] permet une récurrence. Pour \(n=0\), \(1-u_0=(1-u_0)^{2^0}\). Si \[1-u_n=(1-u_0)^{2^n},\] alors \[1-u_{n+1}=(1-u_n)^2=(1-u_0)^{2^{n+1}}.\] Donc \[\boxed{1-u_n=(1-u_0)^{2^n}}.\]

1. \(u_0=1>0\). Si \(u_n>0\), alors \(1+u_n>0\) et \[u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}>0.\] Donc, par récurrence, \(\boxed{u_n>0}\) pour tout \(n\).

2. Puisque \(u_n\neq0\), on peut poser \(v_n=\dfrac1{u_n}\). Alors \[v_{n+1}=\dfrac{1+u_n}{u_n}=\dfrac1{u_n}+1=v_n+1.\] La suite \((v_n)\) est arithmétique de raison \(1\), avec \(v_0=1\).

3. Ainsi \[v_n=n+1, \qquad \boxed{u_n=\dfrac1{n+1}}.\] Donc \(\boxed{\lim u_n=0}\).

4. \[\dfrac1{n+1}<0{,}01=\dfrac1{100} \iff n+1>100 \iff n>99.\] Le plus petit entier est \[\boxed{n=100}.\]

1. \[n^2+an+b=n^2\left(1+\dfrac an+\dfrac b{n^2}\right).\] Le facteur entre parenthèses tend vers \(1>0\). Il est donc positif à partir d’un certain rang, et \(n^2>0\). Ainsi le radicand est positif à partir d’un certain rang.

2. \[u_n=\dfrac{(n^2+an+b)-n^2}{\sqrt{n^2+an+b}+n} =\dfrac{an+b}{\sqrt{n^2+an+b}+n}.\]

3. En divisant par \(n>0\), \[u_n=\dfrac{a+\dfrac bn}{\sqrt{1+\dfrac an+\dfrac b{n^2}}+1}.\]

4. Le numérateur tend vers \(a\) et le dénominateur vers \(2\). Donc \[\boxed{\lim u_n=\dfrac a2}.\] Pour \(a=4\) et \(b=-3\), \[\boxed{\lim u_n=2}.\]

1. La croissance comparée entre exponentielle et polynômes donne \[\boxed{\dfrac n{3^n}\to0},\qquad \boxed{\dfrac{n^2}{3^n}\to0}.\] On peut aussi écrire \(3^n=e^{n\ln3}\).

2. \[3^n-2n=3^n\left(1-2\dfrac n{3^n}\right).\] Le facteur entre parenthèses tend vers \(1\), donc il est positif à partir d’un certain rang. Ainsi le dénominateur est alors strictement positif.

3. On divise par \(3^n\) : \[u_n=\dfrac{1+\dfrac{n^2}{3^n}}{1-2\dfrac n{3^n}}\to1.\] Donc \(\boxed{\lim u_n=1}\).

4. \[u_n-1=\dfrac{n^2+2n}{3^n-2n}.\] À partir du rang où le dénominateur est positif, numérateur et dénominateur sont positifs. Donc \(u_n-1>0\) : la suite est alors au-dessus de sa limite \(1\).

1. Pour \(n\ge2\), \[n+\cos n\ge n-1\ge1>0.\]

2. \[u_n-2=\dfrac{2n+\sin n-2(n+\cos n)}{n+\cos n} =\dfrac{\sin n-2\cos n}{n+\cos n}.\]

3. Par l’inégalité triangulaire, \[|\sin n-2\cos n|\le|\sin n|+2|\cos n|\le3.\] Et \(n+\cos n\ge n-1\). Donc \[\boxed{|u_n-2|\le\dfrac3{n-1}}.\]

4. Comme \(\dfrac3{n-1}\to0\), on obtient \(|u_n-2|\to0\). Ainsi \[\boxed{\lim u_n=2}.\]

1. \(u_0=1\). Si \(u_n\ge1\), alors \[u_{n+1}=u_n+\dfrac1{u_n+1}>u_n\ge1.\] Donc \(\boxed{u_n\ge1}\) pour tout \(n\).

2. \[u_{n+1}-u_n=\dfrac1{u_n+1}>0.\] La suite est strictement croissante.

3. Supposons-la majorée. Une suite croissante et majorée converge, donc \(u_n\to\ell\) pour un réel \(\ell\). Alors \[u_{n+1}-u_n\to\ell-\ell=0.\] Mais simultanément \[u_{n+1}-u_n=\dfrac1{u_n+1}\to\dfrac1{\ell+1}>0,\] ce qui est contradictoire. La suite n’est donc pas majorée.

4. Une suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\). Ainsi \[\boxed{\lim u_n=+\infty}.\]

1. Posons \(v_n=2-u_n\). Alors \[\begin{aligned} v_{n+1} &=2-\dfrac{(n+1)u_n+2}{n+2}\\ &=\dfrac{2n+4-(n+1)u_n-2}{n+2}\\ &=\dfrac{n+1}{n+2}(2-u_n). \end{aligned}\] Donc \[\boxed{v_{n+1}=\dfrac{n+1}{n+2}v_n}.\]

2. Comme \(v_0=2\), \[v_n=2\prod_{k=0}^{n-1}\dfrac{k+1}{k+2}.\] Le produit se télescope : \[\dfrac12\times\dfrac23\times\cdots\times\dfrac n{n+1}=\dfrac1{n+1}.\] Ainsi \[\boxed{v_n=\dfrac2{n+1}}.\]

3. \[\boxed{u_n=2-\dfrac2{n+1}}.\]

4. \[u_{n+1}-u_n=\dfrac2{n+1}-\dfrac2{n+2} =\dfrac2{(n+1)(n+2)}>0.\] Donc la suite est croissante et \[\boxed{\lim u_n=2}.\]

1. Les premiers termes suggèrent \[u_n=1+a+a^2+\cdots+a^{n-1}.\] Pour \(a\neq1\), la somme géométrique donne \[\boxed{u_n=\dfrac{1-a^n}{1-a}}.\] La formule reste correcte pour \(n=0\), puisqu’elle donne \(0\).

2. Si \(|a|<1\), alors \(a^n\to0\), donc \[\boxed{u_n\to\dfrac1{1-a}}.\]

3. Si \(a=1\), alors \(u_{n+1}=u_n+1\) et \(u_n=n\), donc \(u_n\to+\infty\). Si \(a>1\), \[u_n=\dfrac{a^n-1}{a-1}\to+\infty.\]

4. Si \(a=-1\), \[u_n=\dfrac{1-(-1)^n}{2},\] qui alterne entre \(0\) et \(1\) : il n’y a pas de limite. Si \(a<-1\), alors \(|a|>1\) et le signe de \(a^n\) alterne. Plus précisément, \(u_{2m}\to-\infty\) tandis que \(u_{2m+1}\to+\infty\). La suite n’a pas de limite.

   Finalement, \[\boxed{(u_n)\text{ converge exactement lorsque }|a|<1}.\]

On pose \(f(x)=\dfrac{x+2}{x+3}\) et \(\alpha=\sqrt3-1\).

1. Pour \(x\in[0,2]\), \(x+3>0\) et \(x+2>0\), donc \(f(x)>0\). De plus \[f(x)<1<2.\] Ainsi \(f([0,2])\subset[0,2]\), donc l’intervalle est stable.

2. Un point fixe vérifie \[x=\dfrac{x+2}{x+3} \iff x^2+2x-2=0.\] Les solutions sont \(-1\pm\sqrt3\). Une seule appartient à \([0,2]\) : \[\boxed{\alpha=\sqrt3-1}.\]

3. On calcule \[f(x)-x=\dfrac{2-2x-x^2}{x+3}.\] Sur \([0,2]\), le dénominateur est positif et le numérateur s’annule en \(\alpha\), est positif pour \(x<\alpha\) et négatif pour \(x>\alpha\). Par ailleurs, \(f\) est croissante sur \([0,2]\) car \[f'(x)=\dfrac1{(x+3)^2}>0.\] Si \(u_n\le\alpha\), alors \(u_{n+1}=f(u_n)\le f(\alpha)=\alpha\) et \(u_{n+1}\ge u_n\). Le cas \(u_n\ge\alpha\) se traite de même : \(u_{n+1}\ge\alpha\) et \(u_{n+1}\le u_n\).

4. Dans le premier cas, la suite est croissante et majorée par \(\alpha\); dans le second, décroissante et minorée par \(\alpha\). Elle converge dans les deux cas. Sa limite doit être le point fixe de \(f\) dans \([0,2]\), donc \[\boxed{\lim u_n=\sqrt3-1}.\] Si \(u_0=\alpha\), la suite est constante.

On pose \(f(x)=\dfrac{x^2+2}{x+2}\).

1. Pour \(x\in[0,2]\), le quotient est positif. Pour la borne supérieure, \[f(x)\le2 \iff x^2+2\le2x+4 \iff x^2-2x-2\le0.\] Sur \([0,2]\), cette dernière inégalité est vraie. Donc \(f([0,2])\subset[0,2]\).

2. \[f(x)-x=\dfrac{x^2+2-x(x+2)}{x+2}=\dfrac{2(1-x)}{x+2},\] et \[f(x)-1=\dfrac{x^2+2-(x+2)}{x+2}=\dfrac{x(x-1)}{x+2}.\]

3. Si \(0\le u_n\le1\), alors \(f(u_n)-u_n\ge0\) et \(f(u_n)-1\le0\). La suite reste donc dans \([0,1]\) et elle est croissante. Si \(1\le u_n\le2\), les signes s’inversent : la suite reste dans \([1,2]\) et elle est décroissante.

4. Dans les deux cas, la suite est monotone et bornée, donc convergente. Un point fixe vérifie \[\ell=\dfrac{\ell^2+2}{\ell+2} \iff 2\ell=2 \iff\ell=1.\] Ainsi, pour tout \(u_0\in[0,2]\), \[\boxed{\lim u_n=1}.\]

1. Le point fixe \(L\) satisfait \[L=\dfrac35L+8,\] donc \(\dfrac25L=8\) et \(L=20\). Posons \(v_n=u_n-20\). Alors \[v_{n+1}=\dfrac35v_n, \qquad v_0=-20.\] Ainsi \[\boxed{u_n=20-20\left(\dfrac35\right)^n =20\left(1-\left(\dfrac35\right)^n\right)}.\]

2. Comme \(0<\dfrac35<1\), la puissance \(\left(\dfrac35\right)^n\) décroît vers \(0\). Donc \(u_n\) est croissante et \[\boxed{\lim u_n=20}.\]

3. \[20\left(1-\left(\dfrac35\right)^n\right)>19{,}5 \iff \left(\dfrac35\right)^n<\dfrac1{40}.\]

4. En utilisant le logarithme, \[n\ln\left(\dfrac35\right)<\ln\left(\dfrac1{40}\right).\] Comme \(\ln(3/5)<0\), le sens s’inverse lors de la division : \[n>\dfrac{\ln(1/40)}{\ln(3/5)}\approx7{,}22.\] Le premier rang est donc \[\boxed{n=8}.\]

1. La croissance comparée entre l’exponentielle et les puissances donne \[\boxed{\dfrac{n^4}{e^n}\to0}.\]

2. On divise le numérateur et le dénominateur par \(e^n\) : \[u_n=\dfrac{1-\dfrac{n^4}{e^n}}{1+\dfrac{n^4}{e^n}}\to1.\] Donc \(\boxed{\lim u_n=1}\).

3. Puisque \(\dfrac{n^4}{e^n}\to0\), on a \(n^4<e^n\) à partir d’un certain rang : le numérateur est alors positif. Le dénominateur est toujours positif, donc \(u_n>0\). Enfin \[e^n-n^4<e^n+n^4,\] d’où \(u_n<1\). Ainsi \(0<u_n<1\) à partir d’un certain rang.

4. \[1-u_n =\dfrac{(e^n+n^4)-(e^n-n^4)}{e^n+n^4} =\dfrac{2n^4}{e^n+n^4}.\] Donc \[\dfrac{e^n}{n^4}(1-u_n) =\dfrac{2e^n}{e^n+n^4} =\dfrac2{1+\dfrac{n^4}{e^n}}\to2.\] Ainsi \[\boxed{\displaystyle \lim \dfrac{e^n}{n^4}(1-u_n)=2}.\]

1. Initialement \(u_0\in[0,1]\). Si \(0\le u_n\le1\), alors \[0\le u_n+u_n^2\le2,\] donc \[0\le u_{n+1}\le\dfrac23<1.\] L’intervalle \([0,1]\) est donc stable.

2. Comme \(0\le u_n\le1\), on a \(u_n^2\le u_n\). Ainsi \[0\le u_{n+1}=\dfrac{u_n+u_n^2}{3}\le\dfrac{2u_n}{3}.\]

3. Par récurrence, \[0\le u_n\le u_0\left(\dfrac23\right)^n.\] En effet, l’inégalité est vraie au rang \(0\), et la question précédente permet de passer du rang \(n\) au rang \(n+1\). Comme \(\left(\dfrac23\right)^n\to0\), le théorème des gendarmes donne \[\boxed{\lim u_n=0}.\]

4. Pour \(u_0=1\), la majoration garantit \(u_n<10^{-2}\) dès que \[\left(\dfrac23\right)^n<10^{-2}.\] Donc \[n>\dfrac{\ln(10^{-2})}{\ln(2/3)}\approx11{,}36.\] Le plus petit entier garanti par cette majoration est \[\boxed{N=12}.\]

1. Si \(1\le u_n\le2\), alors \(1\le u_n^2\le4\), donc \[1=\dfrac{1+3}{4}\le u_{n+1}\le\dfrac{4+3}{4}=\dfrac74<2.\] Ainsi \([1,2]\) est stable.

2. \[u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n^2-4u_n+3}{4} =\dfrac{(u_n-1)(u_n-3)}4.\] Sur \([1,2]\), \(u_n-1\ge0\) et \(u_n-3<0\), donc \(u_{n+1}-u_n\le0\). La suite est décroissante.

3. Elle est décroissante et minorée par \(1\), donc convergente.

4. Si \(u_n\to\ell\), alors \[\ell=\dfrac{\ell^2+3}{4} \iff \ell^2-4\ell+3=0 \iff(\ell-1)(\ell-3)=0.\] Comme \(\ell\in[1,2]\), \[\boxed{\ell=1}.\]

1. \[u_n=\dfrac{(n^2+n\sqrt n)-n^2}{\sqrt{n^2+n\sqrt n}+n} =\dfrac{n\sqrt n}{\sqrt{n^2+n\sqrt n}+n}.\]

2. Pour \(n>0\), \[\sqrt{n^2+n\sqrt n}=n\sqrt{1+\dfrac1{\sqrt n}}.\] Ainsi \[\boxed{u_n=\dfrac{\sqrt n}{\sqrt{1+\dfrac1{\sqrt n}}+1}}.\]

3. Le dénominateur tend vers \(2\), tandis que \(\sqrt n\to+\infty\). Donc \[\boxed{\lim u_n=+\infty}.\]

4. \[\dfrac{u_n}{\sqrt n} =\dfrac1{\sqrt{1+\dfrac1{\sqrt n}}+1}\to\dfrac12.\] Ainsi \[\boxed{\displaystyle \lim\dfrac{u_n}{\sqrt n}=\dfrac12}.\]

1. Pour \(n\ge1\), \[n^2+3n+(-1)^n\ge n^2+3n-1>0.\] Le radical est donc défini.

2. \[u_n=\dfrac{3n+(-1)^n}{\sqrt{n^2+3n+(-1)^n}+n}.\]

3. On divise par \(n>0\) : \[u_n=\dfrac{3+\dfrac{(-1)^n}{n}} {\sqrt{1+\dfrac3n+\dfrac{(-1)^n}{n^2}}+1}.\] Les termes oscillants sont maintenant multipliés par \(1/n\) ou \(1/n^2\), donc ils tendent vers \(0\).

4. Le numérateur tend vers \(3\) et le dénominateur vers \(2\). Ainsi \[\boxed{\lim u_n=\dfrac32}.\]

1. \(u_0=0\). Comme \(e^{-u_n}>0\), \[u_{n+1}=u_n+e^{-u_n}>u_n.\] La suite est strictement croissante et, par conséquent, \(u_n\ge u_0=0\).

2. Supposons \((u_n)\) majorée. Puisqu’elle est croissante, elle converge vers un réel \(\ell\ge0\).

3. Pour une suite convergente, \[u_{n+1}-u_n\to0.\] Mais ici \[u_{n+1}-u_n=e^{-u_n}\to e^{-\ell}>0,\] contradiction. La suite n’est donc pas majorée.

4. Étant croissante et non majorée, \[\boxed{u_n\to+\infty}.\] Alors \(-u_n\to-\infty\), et la limite de l’exponentielle donne \[\boxed{e^{-u_n}\to0}.\]

On pose \(f(x)=\dfrac{3x+2}{x+2}\).

1. Pour \(x\in[2,3]\), \[f(x)-2=\dfrac{x-2}{x+2}\ge0,\] et \[f(x)-3=\dfrac{-4}{x+2}<0.\] Donc \(2\le f(x)<3\). Comme \(u_0=3\), une récurrence donne \[\boxed{2\le u_n\le3}.\]

2. \[f(x)-x =\dfrac{3x+2-x(x+2)}{x+2} =-\dfrac{(x-2)(x+1)}{x+2}.\] Sur \([2,3]\), cette expression est négative ou nulle. Donc \[u_{n+1}-u_n\le0,\] et la suite est décroissante.

3. La suite est décroissante et minorée par \(2\), donc convergente. Si \(u_n\to\ell\), \[\ell=\dfrac{3\ell+2}{\ell+2} \iff \ell^2-\ell-2=0 \iff(\ell-2)(\ell+1)=0.\] Comme \(\ell\in[2,3]\), \[\boxed{\ell=2}.\]

4. On a exactement \[u_{n+1}-2=\dfrac{u_n-2}{u_n+2}.\] Comme \(u_n\ge2\), \(u_n+2\ge4\), d’où \[0\le u_{n+1}-2\le\dfrac14(u_n-2).\] Par récurrence, avec \(u_0-2=1\), \[0\le u_n-2\le\left(\dfrac14\right)^n.\] Ainsi l’erreur par rapport à la limite est contrôlée géométriquement : \[\boxed{0\le u_n-2\le\left(\dfrac14\right)^n}.\]