Exercices — Limites de suites (HARD • Type Bac)

Série exigeante : comparaisons fines, encadrements non triviaux, sommes, produits, suites récurrentes (stabilité, monotonie, contraction), vitesses de convergence, télescopages.
Règle : pas de développement limité ; si une forme \(0/0\) apparaît dans un quotient de différences, on privilégie le TAF (taux d’accroissement).

Méthode Bac (HARD) — à appliquer systématiquement

Suite récurrente \(u_{n+1}=f(u_n)\) :

Choisir un intervalle \(I\) et prouver que \(u_n\in I\) pour tout \(n\) : stabilité.
Étudier le signe de \(f(x)-x\) ou de \(u_{n+1}-u_n\) : monotonie.
Conclure : monotone + bornée \(\Rightarrow\) convergente.
Si \(u_n\to L\), alors \(L=f(L)\), puis on sélectionne la solution compatible avec l’intervalle.
Bonus HARD : si \(|f'(x)|\le q<1\), alors la convergence est rapide par contraction.

Réflexes Bac :

\(\infty-\infty\) : rationaliser ou factoriser.
\(\text{exponentielle} \gg \text{polynôme} \gg \ln\).
\(-1\le \sin x\le 1\) et \(-1\le \cos x\le 1\) : utiliser les gendarmes.
Une forme \(0/0\) de type quotient de différences se traite proprement par le TAF.

Série 1 — HARD (1 → 18)

Comparaisons, gendarmes, rationalisations, premières récurrences, télescopages.

1

Comparaison fine — logarithme vs puissance

comparaison domination ln

Étudier la limite de
\[
u_n=\frac{(\ln n)^2}{n^{0{,}1}}.
\]

Indice

Comparer la croissance de \(\ln n\) avec celle d’une puissance de \(n\). À retenir : pour tout \(\alpha>0\), \((\ln n)^k=o(n^\alpha)\).

Correction détaillée

Pour tout \(\alpha>0\) et tout entier \(k\ge1\), on sait que
\[
(\ln n)^k=o(n^\alpha).
\]
Ici, avec \(k=2\) et \(\alpha=0{,}1\), on obtient
\[
(\ln n)^2=o(n^{0{,}1}).
\]
Donc
\[
\frac{(\ln n)^2}{n^{0{,}1}}\to0.
\]
\[
\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0}
\]

Rédaction Bac : identifier la bonne méthode : suite usuelle, comparaison, encadrement, rationalisation ou récurrence, puis conclure proprement.

2

Quotient de logarithmes

ln limite astuce

Étudier la limite de
\[
u_n=\frac{\ln n}{\ln(n^2+n)}.
\]

Indice

Factoriser \(n^2+n\) sous la forme \(n^2(1+1/n)\), puis utiliser les propriétés du logarithme.

Correction détaillée

On écrit
\[
\ln(n^2+n)=\ln\left(n^2\left(1+\frac1n\right)\right)=2\ln n+\ln\left(1+\frac1n\right).
\]
Or \(\ln(1+1/n)\to0\). Donc
\[
u_n=\frac{\ln n}{2\ln n+\ln(1+1/n)}
=\frac{1}{2+\frac{\ln(1+1/n)}{\ln n}}\to\frac12.
\]
\[
\boxed{\lim u_n=\frac12}
\]

Rédaction Bac : identifier la bonne méthode : suite usuelle, comparaison, encadrement, rationalisation ou récurrence, puis conclure proprement.

3

Gendarmes — sinus amorti

gendarmes sin encadrement

Déterminer la limite de
\[
u_n=\frac{\sin(\sqrt n)}{\sqrt n}.
\]

Indice

Utiliser l’encadrement \(-1\le \sin x\le1\), puis diviser par \(\sqrt n>0\).

Correction détaillée

Pour tout réel \(x\), \(-1\le\sin x\le1\). Donc
\[
-\frac1{\sqrt n}\le \frac{\sin(\sqrt n)}{\sqrt n}\le\frac1{\sqrt n}.
\]
Les deux bornes tendent vers \(0\). Par le théorème des gendarmes,
\[
\boxed{u_n\to0}.
\]

Rédaction Bac : identifier la bonne méthode : suite usuelle, comparaison, encadrement, rationalisation ou récurrence, puis conclure proprement.

4

Oscillation accessible — deux sous-suites

oscillation sous-suites pas de limite

Étudier l’existence d’une limite pour
\[
u_n=(-1)^n+\frac{1}{n}.
\]

Indice

Regarder séparément les termes pairs \(u_{2n}\) et les termes impairs \(u_{2n+1}\).

Correction détaillée

Pour les termes pairs :
\[
u_{2n}=(-1)^{2n}+\frac{1}{2n}=1+\frac{1}{2n}\to1.
\]
Pour les termes impairs :
\[
u_{2n+1}=(-1)^{2n+1}+\frac{1}{2n+1}=-1+\frac{1}{2n+1}\to-1.
\]
Les deux sous-suites ont deux limites différentes. Donc la suite \((u_n)\) ne peut pas converger.
\[
\boxed{(u_n)\text{ n’admet pas de limite}.}
\]

Rédaction Bac : identifier la bonne méthode : suite usuelle, comparaison, encadrement, rationalisation ou récurrence, puis conclure proprement.

5

Forme \(\infty-\infty\) — rationalisation

rationalisation ∞-∞ limite

Étudier la limite de
\[
u_n=\sqrt{n^2+5n}-n.
\]

Indice

Multiplier par la quantité conjuguée : \(\sqrt{n^2+5n}+n\).

Correction détaillée

On rationalise :
\[
u_n=\frac{(n^2+5n)-n^2}{\sqrt{n^2+5n}+n}=\frac{5n}{\sqrt{n^2+5n}+n}.
\]
Puis
\[
\sqrt{n^2+5n}=n\sqrt{1+\frac5n}.
\]
Ainsi
\[
u_n=\frac5{\sqrt{1+5/n}+1}\to\frac52.
\]
\[
\boxed{\lim u_n=\frac52}
\]

Rédaction Bac : identifier la bonne méthode : suite usuelle, comparaison, encadrement, rationalisation ou récurrence, puis conclure proprement.

6

Limite et signe de \(u_n-2\)

signe degrés quotient

Soit
\[
u_n=\frac{4n^2-7n+1}{2n^2+n+5}.
\]
1) Calculer \(\lim u_n\).
2) Étudier le signe de \(u_n-2\) pour \(n\) assez grand.

Indice

Pour la limite, comparer les termes de plus haut degré. Pour le signe, calculer explicitement \(u_n-2\).

Correction détaillée

Les deux polynômes sont de degré \(2\), donc
\[
\lim u_n=\frac42=2.
\]
Puis
\[
u_n-2=\frac{4n^2-7n+1-2(2n^2+n+5)}{2n^2+n+5}
=\frac{-9n-9}{2n^2+n+5}.
\]
Pour \(n\) assez grand, le dénominateur est positif et le numérateur négatif. Donc
\[
\boxed{u_n<2\text{ pour }n\text{ assez grand}.}
\]

Rédaction Bac : identifier la bonne méthode : suite usuelle, comparaison, encadrement, rationalisation ou récurrence, puis conclure proprement.

7

Domination exponentielle

exponentielle ratio domination

Étudier la limite de
\[
u_n=\frac{n^4}{3^n}.
\]

Indice

Calculer le quotient \(u_{n+1}/u_n\). Si ce quotient tend vers un réel strictement inférieur à \(1\), la suite positive tend vers \(0\).

Correction détaillée

On calcule
\[
\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+1)^4}{3^{n+1}}\cdot\frac{3^n}{n^4}
=\frac13\left(1+\frac1n\right)^4\to\frac13<1.
\]
La suite positive est donc dominée par une suite géométrique à partir d’un certain rang, d’où
\[
\boxed{u_n\to0}.
\]

Rédaction Bac : identifier la bonne méthode : suite usuelle, comparaison, encadrement, rationalisation ou récurrence, puis conclure proprement.

8

Somme harmonique — divergence

somme paquets divergence

On pose
\[
u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1k.
\]
Montrer que \((u_n)\) diverge et préciser vers quoi.

Indice

Regrouper les termes par paquets entre \(2^{j-1}+1\) et \(2^j\). Chaque paquet est minoré par \(1/2\).

Correction détaillée

Les termes sont positifs, donc \((u_n)\) est croissante. Pour le paquet \(2^{j-1}+1\le k\le2^j\), il y a \(2^{j-1}\) termes et chacun est au moins \(1/2^j\). Le paquet est donc au moins \(1/2\).
Ainsi
\[
u_{2^m}\ge1+\frac m2\to+\infty.
\]
La suite étant croissante,
\[
\boxed{u_n\to+\infty}.
\]

Rédaction Bac : identifier la bonne méthode : suite usuelle, comparaison, encadrement, rationalisation ou récurrence, puis conclure proprement.

9

Somme \(\sum 1/k^2\) — reste

reste comparaison intégrale convergence

Soit
\[
u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2}.
\]
1) Montrer que \((u_n)\) converge.
2) Encadrer le reste \(R_n=\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac1{k^2}\).

Indice

Comparer la somme avec l’intégrale de \(x\mapsto 1/x^2\), positive et décroissante.

Correction détaillée

La série \(\sum 1/k^2\) converge, donc \((u_n)\), somme partielle croissante et majorée, converge.
Comme \(x\mapsto1/x^2\) est positive décroissante,
\[
\int_{n+1}^{+\infty}\frac{dx}{x^2}\le R_n\le\int_n^{+\infty}\frac{dx}{x^2}.
\]
Donc
\[
\boxed{\frac1{n+1}\le R_n\le\frac1n}.
\]

Rédaction Bac : identifier la bonne méthode : suite usuelle, comparaison, encadrement, rationalisation ou récurrence, puis conclure proprement.

10

Rationalisation — \(\sqrt{n+3}-\sqrt n\)

rationalisation limite

Soit
\[
u_n=\sqrt{n+3}-\sqrt n.
\]
Calculer la limite.

Indice

Multiplier par \(\sqrt{n+3}+\sqrt n\).

Correction détaillée

\[
u_n=\frac{(n+3)-n}{\sqrt{n+3}+\sqrt n}=\frac3{\sqrt{n+3}+\sqrt n}.
\]
Le dénominateur tend vers \(+\infty\), donc
\[
\boxed{u_n\to0}.
\]

Rédaction Bac : identifier la bonne méthode : suite usuelle, comparaison, encadrement, rationalisation ou récurrence, puis conclure proprement.

11

Récurrence affine — expression exacte

récurrence affine explicite

\(u_0=7\) et
\[
u_{n+1}=0{,}6u_n+1{,}2.
\]
1) Étudier la convergence et déterminer la limite.
2) Déterminer l’expression explicite de \(u_n\).

Indice

Chercher le point fixe \(L\), puis poser \(v_n=u_n-L\).

Correction détaillée

Le point fixe vérifie
\[
L=0{,}6L+1{,}2\Rightarrow L=3.
\]
Posons \(v_n=u_n-3\). Alors
\[
v_{n+1}=0{,}6v_n.
\]
Donc
\[
v_n=4(0{,}6)^n,
\qquad
\boxed{u_n=3+4(0{,}6)^n}.
\]
Comme \((0{,}6)^n\to0\),
\[
\boxed{u_n\to3}.
\]

Rédaction Bac : identifier la bonne méthode : suite usuelle, comparaison, encadrement, rationalisation ou récurrence, puis conclure proprement.

12

Récurrence rationnelle — stabilité + monotonie

stabilité monotonie point fixe

\(u_0=0\) et
\[
u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+4}.
\]
1) Montrer que \(0\le u_n\le1\).
2) Étudier la monotonie.
3) Déterminer la limite.

Indice

Poser \(f(x)=\frac{2x+3}{x+4}\), montrer que \([0;1]\) est stable, puis calculer \(f(x)-x\).

Correction détaillée

Sur \([0;1]\), \(f'(x)=5/(x+4)^2>0\), donc \(f\) est croissante. Or \(f(0)=3/4\) et \(f(1)=1\), donc \(f([0;1])\subset[0;1]\).
Ainsi \(0\le u_n\le1\).
De plus
\[
f(x)-x=\frac{-(x-1)(x+3)}{x+4}\ge0\quad\text{sur }[0;1].
\]
La suite est croissante et majorée par \(1\), donc convergente. Si \(u_n\to L\), alors
\[
L=\frac{2L+3}{L+4}\Rightarrow L^2+2L-3=0\Rightarrow (L-1)(L+3)=0.
\]
Comme \(L\in[0;1]\),
\[
\boxed{L=1}.
\]

Rédaction Bac : identifier la bonne méthode : suite usuelle, comparaison, encadrement, rationalisation ou récurrence, puis conclure proprement.

13

Récurrence avec racine — limite irrationnelle

racine stabilité point fixe

\(u_0=0\) et
\[
u_{n+1}=\sqrt{3+u_n}.
\]
1) Montrer que \((u_n)\) converge.
2) Déterminer sa limite.

Indice

Ne travaille pas sur \([0;3]\) pour la monotonie. Utilise la borne naturelle \(\alpha=\frac{1+\sqrt{13}}2\), point fixe positif.

Correction détaillée

Posons
\[
\alpha=\frac{1+\sqrt{13}}2.
\]
Alors \(\alpha\) est la solution positive de \(x^2-x-3=0\), donc \(\alpha^2=3+\alpha\).
Si \(x\in[0;\alpha]\), alors
\[
0\le \sqrt{3+x}\le \sqrt{3+\alpha}=\alpha.
\]
Donc \([0;\alpha]\) est stable. Comme \(u_0=0\), on a \(0\le u_n\le\alpha\).
Pour \(x\in[0;\alpha]\),
\[
\sqrt{3+x}\ge x\iff 3+x\ge x^2\iff x^2-x-3\le0,
\]
ce qui est vrai sur \([0;\alpha]\). Donc \((u_n)\) est croissante et majorée par \(\alpha\), donc convergente.
Si \(u_n\to L\), alors
\[
L=\sqrt{3+L}\Rightarrow L^2-L-3=0.
\]
Comme \(L\ge0\),
\[
\boxed{L=\frac{1+\sqrt{13}}2}.
\]

Rédaction Bac : identifier la bonne méthode : suite usuelle, comparaison, encadrement, rationalisation ou récurrence, puis conclure proprement.

14

Contraction — point fixe

contraction vitesse point fixe

Soit \(u_0\in[0;2]\) et
\[
u_{n+1}=\frac{u_n+2}{u_n+3}.
\]
1) Encadrer \(u_n\) dans un intervalle stable.
2) Montrer la convergence.
3) Déterminer la limite.

Indice

Calculer \(f([0;2])\). Dès le rang 1, la suite entre dans un intervalle plus petit où \(|f'|<1\).

Correction détaillée

Avec \(f(x)=\frac{x+2}{x+3}\), on a \(f'(x)=1/(x+3)^2>0\). Donc
\[
f([0;2])=\left[\frac23;\frac45\right].
\]
Dès le rang 1, \(u_n\in[2/3;4/5]\). Sur cet intervalle,
\[
|f'(x)|\le\frac{1}{(2/3+3)^2}=\frac9{121}<1.
\]
La suite converge vers l’unique point fixe :
\[
L=\frac{L+2}{L+3}\Rightarrow L^2+2L-2=0.
\]
Comme les termes sont positifs,
\[
\boxed{L=\sqrt3-1}.
\]

Rédaction Bac : identifier la bonne méthode : suite usuelle, comparaison, encadrement, rationalisation ou récurrence, puis conclure proprement.

15

Variable auxiliaire \(1/u_n\)

auxiliaire explicite limite

Soit \(u_0=\frac12\) et
\[
u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}.
\]
Déterminer \(u_n\), puis \(\lim u_n\).

Indice

Poser \(v_n=1/u_n\). La récurrence devient arithmétique.

Correction détaillée

Posons \(v_n=1/u_n\). Alors
\[
v_{n+1}=\frac{1+u_n}{u_n}=v_n+1.
\]
Comme \(v_0=2\), on obtient \(v_n=n+2\). Donc
\[
\boxed{u_n=\frac1{n+2}}.
\]
Ainsi
\[
\boxed{u_n\to0}.
\]

Rédaction Bac : identifier la bonne méthode : suite usuelle, comparaison, encadrement, rationalisation ou récurrence, puis conclure proprement.

16

Télescopage

télescopage somme limite

\(u_0=1\) et
\[
u_{n+1}=u_n+\frac2{(n+1)(n+3)}.
\]
Exprimer \(u_n\), puis donner sa limite.

Indice

Décomposer \(\frac2{(n+1)(n+3)}\) sous la forme \(\frac1{n+1}-\frac1{n+3}\).

Correction détaillée

On a
\[
\frac2{(n+1)(n+3)}=\frac1{n+1}-\frac1{n+3}.
\]
Donc
\[
u_n=1+\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac1{k+1}-\frac1{k+3}\right)
=1+1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}.
\]
Ainsi
\[
\boxed{u_n=\frac52-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}},
\qquad
\boxed{u_n\to\frac52}.
\]

Rédaction Bac : identifier la bonne méthode : suite usuelle, comparaison, encadrement, rationalisation ou récurrence, puis conclure proprement.

17

Somme de logarithmes — produit caché

ln produit télescopage

\(u_1=0\) et
\[
u_{n+1}=u_n+\ln\left(1+\frac1n\right).
\]
Exprimer \(u_n\), puis déterminer sa limite.

Indice

Transformer \(1+1/k\) en \((k+1)/k\), puis utiliser \(\sum \ln = \ln\prod\).

Correction détaillée

Pour \(n\ge2\),
\[
u_n=\sum_{k=1}^{n-1}\ln\left(\frac{k+1}{k}\right)
=\ln\left(\prod_{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{k}\right)=\ln n.
\]
Donc
\[
\boxed{u_n=\ln n},
\qquad
\boxed{u_n\to+\infty}.
\]

Rédaction Bac : identifier la bonne méthode : suite usuelle, comparaison, encadrement, rationalisation ou récurrence, puis conclure proprement.

18

Suite logistique — convergence vers 1

invariance monotonie point fixe

\(u_0=\frac12\) et
\[
u_{n+1}=u_n(2-u_n).
\]
Montrer la convergence et donner la limite.

Indice

Montrer que \((0;1]\) est stable, puis calculer \(u_{n+1}-u_n\).

Correction détaillée

Si \(0<u\le1\), alors \(u(2-u)=1-(u-1)^2\in(0;1]\). Donc \(0<u_n\le1\).
De plus
\[
u_{n+1}-u_n=u_n(1-u_n)\ge0.
\]
La suite est croissante et majorée par \(1\), donc convergente. Si \(u_n\to L\), alors
\[
L=L(2-L)\Rightarrow L(1-L)=0.
\]
Comme \(u_n\ge u_0>0\), on retient
\[
\boxed{L=1}.
\]

Rédaction Bac : identifier la bonne méthode : suite usuelle, comparaison, encadrement, rationalisation ou récurrence, puis conclure proprement.

Série 2 — HARD++ (19 → 37)

Récurrences plus fines, TAF sur \(\ln\), produits, intégrales, parties entières.

19

AM-GM — convergence vers 1

AM-GM décroissance point fixe

\(u_0=2\) et
\[
u_{n+1}=\frac{u_n^2+1}{2u_n}.
\]
Étudier la convergence et déterminer la limite.

Indice

Réécrire \(u_{n+1}=\frac12(u_n+1/u_n)\), puis utiliser l’inégalité arithmético-géométrique.

Correction détaillée

On écrit
\[
u_{n+1}=\frac12\left(u_n+\frac1{u_n}\right).
\]
Par AM-GM, \(u_{n+1}\ge1\). Ensuite, si \(u_n\ge1\),
\[
u_{n+1}-u_n=\frac{1-u_n^2}{2u_n}\le0.
\]
La suite est décroissante et minorée par \(1\), donc convergente. Si \(u_n\to L\), alors
\[
L=\frac12\left(L+\frac1L\right)\Rightarrow L^2=1.
\]
Comme \(L\ge1\),
\[
\boxed{L=1}.
\]

Rédaction Bac : si forme \(0/0\), utiliser TAF ; sinon comparer, encadrer, ou prouver monotonie + bornes avant de passer à la limite.

20

Variable auxiliaire — vitesse exacte

vitesse auxiliaire exact

\(u_0=0\) et
\[
u_{n+1}=u_n+\frac{3-u_n}{n+2}.
\]
Déterminer \(u_n\), puis \(\lim u_n\).

Indice

Poser \(v_n=3-u_n\). Le produit obtenu se simplifie par télescopage.

Correction détaillée

Posons \(v_n=3-u_n\). Alors
\[
v_{n+1}=\left(1-\frac1{n+2}\right)v_n=\frac{n+1}{n+2}v_n.
\]
Donc
\[
v_n=3\prod_{k=0}^{n-1}\frac{k+1}{k+2}=\frac3{n+1}.
\]
Ainsi
\[
\boxed{u_n=3-\frac3{n+1}},
\qquad
\boxed{u_n\to3}.
\]

Rédaction Bac : si forme \(0/0\), utiliser TAF ; sinon comparer, encadrer, ou prouver monotonie + bornes avant de passer à la limite.

21

Suite au minimum — stabilisation

min stabilisation limite

\(u_0=5\) et
\[
u_{n+1}=\min\left(u_n,\ 2+\frac1{n+1}\right).
\]
Déterminer la limite de \((u_n)\).

Indice

La suite est décroissante. Compare-la avec la borne mobile \(2+1/(n+1)\), qui tend vers \(2\).

Correction détaillée

Par définition du minimum, \(u_{n+1}\le u_n\). La suite est donc décroissante. De plus, on a toujours
\[
u_{n+1}\le 2+\frac1{n+1},
\]
donc \(\limsup u_n\le2\). Comme la borne mobile tend vers \(2\) et que la suite ne peut pas passer durablement strictement sous \(2\), on obtient
\[
\boxed{u_n\to2}.
\]

Rédaction Bac : si forme \(0/0\), utiliser TAF ; sinon comparer, encadrer, ou prouver monotonie + bornes avant de passer à la limite.

22

Suite classique — \((1+1/n)^n\)

suite classique ln limite

Soit
\[
u_n=\left(1+\frac1n\right)^n.
\]
Justifier que \((u_n)\) converge et préciser sa limite.

Indice

Passer au logarithme : \(\ln u_n=n\ln(1+1/n)\).

Correction détaillée

On pose
\[
a_n=n\ln\left(1+\frac1n\right).
\]
La suite \(\left(1+\frac1n\right)^n\) est la définition classique de \(e\). On obtient donc
\[
\boxed{\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e}.
\]

Rédaction Bac : si forme \(0/0\), utiliser TAF ; sinon comparer, encadrer, ou prouver monotonie + bornes avant de passer à la limite.

23

Géométrique cachée

auxiliaire géométrique limite

\(u_0=2\) et
\[
u_{n+1}=\frac{u_n+4}{u_n+1}.
\]
On pose
\[
v_n=\frac{u_n-2}{u_n+2}.
\]
1) Montrer que \(v_{n+1}=\frac13v_n\).
2) En déduire \(\lim u_n\).

Indice

Remplacer \(u_{n+1}\) par \(\frac{u_n+4}{u_n+1}\) dans l’expression de \(v_{n+1}\), puis simplifier.

Correction détaillée

On calcule
\[
v_{n+1}=\frac{\frac{u_n+4}{u_n+1}-2}{\frac{u_n+4}{u_n+1}+2}=\frac13\frac{u_n-2}{u_n+2}=\frac13v_n.
\]
Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(1/3\), d’où \(v_n\to0\). Comme
\[
v_n=\frac{u_n-2}{u_n+2},
\]
on obtient
\[
\boxed{u_n\to2}.
\]

Rédaction Bac : si forme \(0/0\), utiliser TAF ; sinon comparer, encadrer, ou prouver monotonie + bornes avant de passer à la limite.

24

Paramètre — convergence \(\Leftrightarrow |a|<1\)

paramètre linéaire convergence

\(u_0=0\) et
\[
u_{n+1}=a u_n+1.
\]
Étudier la convergence selon \(a\), et déterminer la limite si elle existe.

Indice

Pour \(a\ne1\), chercher le point fixe \(L=1/(1-a)\), puis poser \(v_n=u_n-L\).

Correction détaillée

Si \(a\ne1\), le point fixe vaut
\[
L=\frac1{1-a}.
\]
Avec \(v_n=u_n-L\), on a \(v_{n+1}=av_n\), donc
\[
u_n=\frac{1-a^n}{1-a}.
\]
La suite converge si \(|a|<1\), et alors
\[
\boxed{\lim u_n=\frac1{1-a}}.
\]
Si \(a=1\), \(u_n=n\to+\infty\). Si \(|a|>1\), elle diverge. Si \(a=-1\), elle oscille.
\[
\boxed{(u_n)\text{ converge si et seulement si }|a|<1.}
\]

Rédaction Bac : si forme \(0/0\), utiliser TAF ; sinon comparer, encadrer, ou prouver monotonie + bornes avant de passer à la limite.

25

Vitesse — récurrence affine

vitesse géométrique point fixe

On définit \(u_0\in(0;2)\) et
\[
u_{n+1}=\frac{u_n+2}{3}.
\]
1) Déterminer la limite.
2) Donner une expression de \(u_n-1\).

Indice

Le point fixe est \(1\). Poser \(v_n=u_n-1\).

Correction détaillée

Le point fixe vérifie \(L=(L+2)/3\), donc \(L=1\). Avec \(v_n=u_n-1\),
\[
v_{n+1}=\frac13v_n.
\]
Donc
\[
\boxed{u_n-1=(u_0-1)3^{-n}},
\qquad
\boxed{u_n\to1}.
\]

Rédaction Bac : si forme \(0/0\), utiliser TAF ; sinon comparer, encadrer, ou prouver monotonie + bornes avant de passer à la limite.

26

Deux suites et continuité

continuité racine limite

On définit
\[
a_n=1+\frac1n,\qquad b_n=1+\frac1{n+1},
\]
et
\[
u_n=\sqrt{a_n},\qquad v_n=\sqrt{b_n}.
\]
Déterminer \(\lim u_n\) et \(\lim v_n\).

Indice

Utiliser la continuité de la fonction racine carrée en \(1\).

Correction détaillée

On a \(a_n\to1\) et \(b_n\to1\). Comme la fonction racine carrée est continue sur \([0;+\infty[\),
\[
u_n=\sqrt{a_n}\to1,
\qquad
v_n=\sqrt{b_n}\to1.
\]
\[
\boxed{\lim u_n=\lim v_n=1}.
\]

Rédaction Bac : si forme \(0/0\), utiliser TAF ; sinon comparer, encadrer, ou prouver monotonie + bornes avant de passer à la limite.

27

Encadrement Bac — \(n\sin(1/n)\)

encadrement sin gendarmes

Étudier la limite de
\[
u_n=n\sin\left(\frac1n\right).
\]

Indice

Pour \(x\ge0\), utiliser \(x\cos x\le\sin x\le x\), puis poser \(x=1/n\).

Correction détaillée

Pour \(x\ge0\),
\[
x\cos x\le\sin x\le x.
\]
Avec \(x=1/n\), puis en multipliant par \(n\),
\[
\cos\left(\frac1n\right)\le n\sin\left(\frac1n\right)\le1.
\]
Les deux bornes tendent vers \(1\). Donc
\[
\boxed{u_n\to1}.
\]

Rédaction Bac : si forme \(0/0\), utiliser TAF ; sinon comparer, encadrer, ou prouver monotonie + bornes avant de passer à la limite.

28

Exponentielle domine toute puissance

paramètre domination ratio

Soit \(a\in\mathbb R\). Étudier la limite de
\[
u_n=\frac{n^a}{2^n}.
\]

Indice

Calculer le quotient \(u_{n+1}/u_n\). Il tend vers \(1/2\).

Correction détaillée

\[
\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac12\left(1+\frac1n\right)^a\to\frac12<1.
\]
Donc la suite positive est dominée par une géométrique de raison strictement inférieure à \(1\) à partir d’un certain rang. Ainsi
\[
\boxed{\forall a\in\mathbb R,\quad \frac{n^a}{2^n}\to0}.
\]

Rédaction Bac : si forme \(0/0\), utiliser TAF ; sinon comparer, encadrer, ou prouver monotonie + bornes avant de passer à la limite.

29

Récurrence rationnelle — convergence vers 1

stabilité monotonie point fixe

Soit \(u_0\in[0;1]\) et
\[
u_{n+1}=\frac{1+u_n}{3-u_n}.
\]
1) Montrer que \(u_n\in[0;1]\).
2) Montrer que \((u_n)\) converge.
3) Déterminer la limite.

Indice

Étudier \(f(x)=\frac{1+x}{3-x}\) sur \([0;1]\), puis calculer \(f(x)-x\).

Correction détaillée

Sur \([0;1]\), \(f'(x)=4/(3-x)^2>0\), donc \(f\) est croissante. Or \(f(0)=1/3\) et \(f(1)=1\). Donc \([0;1]\) est stable.
Ensuite
\[
f(x)-x=\frac{(x-1)^2}{3-x}\ge0.
\]
La suite est croissante et majorée par \(1\), donc convergente. Si \(u_n\to L\), alors
\[
L=\frac{1+L}{3-L}\Rightarrow (L-1)^2=0.
\]
\[
\boxed{L=1}.
\]

Rédaction Bac : si forme \(0/0\), utiliser TAF ; sinon comparer, encadrer, ou prouver monotonie + bornes avant de passer à la limite.

30

Récurrence racine — contraction

stabilité contraction vitesse

On définit \(u_0\in[1;2]\) et
\[
u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}.
\]
1) Montrer que \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.
2) Donner un \(q\in(0;1)\) tel que \(|u_{n+1}-\varphi|\le q|u_n-\varphi|\), où \(\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}\).

Indice

Ne pas affirmer que \(u_n\in[1;\varphi]\) dès le départ si \(u_0=2\). Travailler plutôt sur l’intervalle stable \([1;2]\), puis utiliser la contraction.

Correction détaillée

Posons \(f(x)=\sqrt{1+x}\). Si \(x\in[1;2]\), alors
\[
\sqrt2\le f(x)\le\sqrt3,
\]
et \([\sqrt2;\sqrt3]\subset[1;2]\). Donc \([1;2]\) est stable.
Le point fixe positif vérifie
\[
L=\sqrt{1+L}\iff L^2-L-1=0,
\]
donc
\[
\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}.
\]
De plus,
\[
f'(x)=\frac1{2\sqrt{1+x}}.
\]
Sur \([1;2]\),
\[
0<f'(x)\le\frac1{2\sqrt2}<1.
\]
Par contraction,
\[
|u_{n+1}-\varphi|=|f(u_n)-f(\varphi)|\le\frac1{2\sqrt2}|u_n-\varphi|.
\]
Donc
\[
\boxed{u_n\to\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}},
\qquad
\boxed{q=\frac1{2\sqrt2}}.
\]

Rédaction Bac : si forme \(0/0\), utiliser TAF ; sinon comparer, encadrer, ou prouver monotonie + bornes avant de passer à la limite.

31

Somme — comparaison intégrale

intégrale comparaison divergence

Étudier la limite de
\[
u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt k}.
\]

Indice

Minorer la somme par une intégrale de \(1/\sqrt x\), qui diverge.

Correction détaillée

Comme \(x\mapsto1/\sqrt x\) est positive décroissante,
\[
\sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt k}\ge\int_1^{n+1}\frac{dx}{\sqrt x}=2(\sqrt{n+1}-1).
\]
Cette borne tend vers \(+\infty\), donc
\[
\boxed{u_n\to+\infty}.
\]

Rédaction Bac : si forme \(0/0\), utiliser TAF ; sinon comparer, encadrer, ou prouver monotonie + bornes avant de passer à la limite.

32

Maximum — expression explicite

max stabilisation limite

Soit \(u_0=0\) et
\[
u_{n+1}=\max\left(u_n,\ 1-\frac1{n+1}\right).
\]
Déterminer \(u_n\), puis \(\lim u_n\).

Indice

La borne \(1-1/(n+1)\) est croissante vers \(1\).

Correction détaillée

On vérifie par récurrence que, pour \(n\ge1\),
\[
\boxed{u_n=1-\frac1n}.
\]
En effet, la borne extérieure est croissante et le maximum conserve la valeur la plus grande. Donc
\[
\boxed{u_n\to1}.
\]

Rédaction Bac : si forme \(0/0\), utiliser TAF ; sinon comparer, encadrer, ou prouver monotonie + bornes avant de passer à la limite.

33

Forme \(0/0\) — TAF sur \(\ln\)

0/0 TAF ln

Étudier la limite de
\[
u_n=\frac{\ln(n+1)-\ln n}{1/n}.
\]

Indice

Appliquer le TAF à \(f(x)=\ln x\) sur \([n;n+1]\).

Correction détaillée

Par le TAF, il existe \(c_n\in(n;n+1)\) tel que
\[
\ln(n+1)-\ln n=\frac1{c_n}.
\]
Donc
\[
u_n=\frac{1/c_n}{1/n}=\frac n{c_n}.
\]
Comme \(n<c_n<n+1\),
\[
\frac n{n+1}<\frac n{c_n}<1.
\]
Par gendarmes,
\[
\boxed{u_n\to1}.
\]

Rédaction Bac : si forme \(0/0\), utiliser TAF ; sinon comparer, encadrer, ou prouver monotonie + bornes avant de passer à la limite.

34

Produit télescopique

produit télescopage limite

On définit
\[
u_n=\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac1k\right).
\]
Simplifier \(u_n\), puis en déduire sa limite.

Indice

Écrire \(1+1/k=(k+1)/k\). Tous les facteurs intermédiaires se simplifient.

Correction détaillée

\[
u_n=\prod_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k}=\frac21\cdot\frac32\cdot\frac43\cdots\frac{n+1}{n}=n+1.
\]
Ainsi
\[
\boxed{u_n=n+1},
\qquad
\boxed{u_n\to+\infty}.
\]

Rédaction Bac : si forme \(0/0\), utiliser TAF ; sinon comparer, encadrer, ou prouver monotonie + bornes avant de passer à la limite.

35

Suite implicite — convergence vers 1

stabilité monotonie point fixe

Soit \(u_0\in(0;1)\) et
\[
u_{n+1}=\frac1{2-u_n}.
\]
Étudier la convergence et donner la limite.

Indice

Montrer que \((0;1)\) est stable, puis calculer \(f(x)-x\).

Correction détaillée

Si \(x\in(0;1)\), alors \(1/2<1/(2-x)<1\), donc \((0;1)\) est stable.
De plus
\[
\frac1{2-x}-x=\frac{(x-1)^2}{2-x}\ge0.
\]
La suite est croissante et majorée par \(1\), donc convergente. Si \(u_n\to L\),
\[
L=\frac1{2-L}\Rightarrow (L-1)^2=0.
\]
Donc
\[
\boxed{L=1}.
\]

Rédaction Bac : si forme \(0/0\), utiliser TAF ; sinon comparer, encadrer, ou prouver monotonie + bornes avant de passer à la limite.

36

Partie entière — gendarmes

partie entière encadrement limite

Étudier la limite de
\[
u_n=\frac{\lfloor\sqrt n\rfloor}{\sqrt n}.
\]

Indice

Utiliser \(\lfloor x\rfloor\le x<\lfloor x\rfloor+1\), avec \(x=\sqrt n\).

Correction détaillée

\[
\lfloor\sqrt n\rfloor\le\sqrt n<\lfloor\sqrt n\rfloor+1.
\]
Donc
\[
1-\frac1{\sqrt n}<\frac{\lfloor\sqrt n\rfloor}{\sqrt n}\le1.
\]
Par gendarmes,
\[
\boxed{u_n\to1}.
\]

Rédaction Bac : si forme \(0/0\), utiliser TAF ; sinon comparer, encadrer, ou prouver monotonie + bornes avant de passer à la limite.

37

Moyenne arithmético-harmonique — convergence vers 2

AM-GM monotonie point fixe

Soit \(u_0>0\) et
\[
u_{n+1}=\frac{u_n+4/u_n}{2}.
\]
Étudier la convergence et déterminer la limite.

Indice

Utiliser AM-GM : \(\frac12(u+4/u)\ge2\). Puis étudier \(u_{n+1}-u_n\) lorsque \(u_n\ge2\).

Correction détaillée

Par AM-GM,
\[
\frac12\left(u_n+\frac4{u_n}\right)\ge2.
\]
Donc \(u_n\ge2\) à partir du rang \(1\). Pour \(u_n\ge2\),
\[
u_{n+1}-u_n=\frac{4-u_n^2}{2u_n}\le0.
\]
La suite est décroissante et minorée par \(2\), donc convergente. Si \(u_n\to L\),
\[
L=\frac12\left(L+\frac4L\right)\Rightarrow L^2=4.
\]
Comme \(L>0\),
\[
\boxed{L=2}.
\]

Rédaction Bac : si forme \(0/0\), utiliser TAF ; sinon comparer, encadrer, ou prouver monotonie + bornes avant de passer à la limite.

Série 3 — ULTRA HARD (38 → 55)

Suites adjacentes, paramètres, intégrales, produits, TAF, vitesses de convergence.

38

Somme alternée — suites adjacentes

alternée adjacentes convergence

On définit
\[
u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}k.
\]
1) Étudier \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\).
2) Conclure sur la convergence de \((u_n)\).

Indice

Séparer les indices pairs et impairs. Montrer que les deux sous-suites sont adjacentes et que leur écart tend vers \(0\).

Correction détaillée

On montre que \((u_{2n})\) est croissante et que \((u_{2n+1})\) est décroissante. De plus,
\[
u_{2n+1}-u_{2n}=\frac1{2n+1}\to0.
\]
Les deux suites sont adjacentes, donc elles convergent vers une même limite. Par conséquent,
\[
\boxed{(u_n)\text{ converge}.}
\]
Sa limite vaut \(\ln2\), mais cette valeur n’est pas nécessaire pour conclure.

Rédaction Bac : stabilité \(\rightarrow\) monotonie ou contraction \(\rightarrow\) convergence \(\rightarrow\) point fixe \(\rightarrow\) sélection dans l’intervalle.

39

Récurrence non linéaire — limite 1

non linéaire stabilité point fixe

Soit \(u_0\in(0;1)\) et
\[
u_{n+1}=u_n+\frac{u_n(1-u_n)}2.
\]
Étudier la convergence et déterminer la limite.

Indice

Sur \((0;1)\), le terme ajouté est positif. Vérifier aussi que l’on reste sous \(1\).

Correction détaillée

Si \(u_n\in(0;1)\), alors
\[
u_{n+1}-u_n=\frac{u_n(1-u_n)}2>0.
\]
La suite est croissante. On vérifie aussi que \((0;1)\) est stable, donc elle est majorée par \(1\). Elle converge vers \(L\in[0;1]\). En passant à la limite,
\[
L=L+\frac{L(1-L)}2\Rightarrow L(1-L)=0.
\]
Comme la suite est croissante et positive, \(L\ne0\). Donc
\[
\boxed{L=1}.
\]

Rédaction Bac : stabilité \(\rightarrow\) monotonie ou contraction \(\rightarrow\) convergence \(\rightarrow\) point fixe \(\rightarrow\) sélection dans l’intervalle.

40

Forme \(\infty/\infty\) — extraction dans les racines

racines extraction limite

Étudier la limite de
\[
u_n=\frac{\sqrt{n^2+an}+\sqrt{n^2+bn}}n
\]
avec \(a,b\in\mathbb R\).

Indice

Factoriser \(n^2\) dans chaque racine : \(\sqrt{n^2+an}=n\sqrt{1+a/n}\).

Correction détaillée

On a
\[
\sqrt{n^2+an}=n\sqrt{1+\frac an},
\qquad
\sqrt{n^2+bn}=n\sqrt{1+\frac bn}.
\]
Donc
\[
u_n=\sqrt{1+\frac an}+\sqrt{1+\frac bn}\to1+1=2.
\]
\[
\boxed{\lim u_n=2}.
\]

Rédaction Bac : stabilité \(\rightarrow\) monotonie ou contraction \(\rightarrow\) convergence \(\rightarrow\) point fixe \(\rightarrow\) sélection dans l’intervalle.

41

Deux suites adjacentes — inégalités sur \(\ln\)

adjacentes encadrement ln

Pour \(n\ge1\), on pose
\[
u_n=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac1k-\ln\left(1+\frac1k\right)\right),
\qquad
v_n=u_n+\frac1{n+1}.
\]
1) Montrer que \((u_n)\) est croissante et \((v_n)\) est décroissante.
2) Montrer que \(u_n\le v_n\) et que \(v_n-u_n\to0\).
3) Conclure.

Indice

Utiliser l’encadrement \(\frac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x\) pour \(x>-1\).

Correction détaillée

Avec \(x=1/k\),
\[
\frac{1/k}{1+1/k}\le\ln\left(1+\frac1k\right)\le\frac1k.
\]
Ainsi les termes de \(u_n\) sont positifs, donc \((u_n)\) est croissante. Une étude de \(v_{n+1}-v_n\), en utilisant la même inégalité, montre que \((v_n)\) est décroissante.
Enfin,
\[
v_n-u_n=\frac1{n+1}\to0.
\]
Donc \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes :
\[
\boxed{u_n\text{ et }v_n\text{ convergent vers la même limite}.}
\]

Rédaction Bac : stabilité \(\rightarrow\) monotonie ou contraction \(\rightarrow\) convergence \(\rightarrow\) point fixe \(\rightarrow\) sélection dans l’intervalle.

42

Produit — convergence via \(\ln\)

produit ln comparaison

Étudier la convergence de
\[
u_n=\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac1{k^2}\right).
\]

Indice

Passer au logarithme, puis utiliser \(0\le\ln(1+t)\le t\) pour \(t\ge0\).

Correction détaillée

On écrit
\[
\ln u_n=\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac1{k^2}\right).
\]
Or
\[
0\le\ln\left(1+\frac1{k^2}\right)\le\frac1{k^2}.
\]
Comme \(\sum1/k^2\) converge, \((\ln u_n)\) converge. Par continuité de l’exponentielle,
\[
\boxed{(u_n)\text{ converge vers un réel }L\in(1;+\infty).}
\]

Rédaction Bac : stabilité \(\rightarrow\) monotonie ou contraction \(\rightarrow\) convergence \(\rightarrow\) point fixe \(\rightarrow\) sélection dans l’intervalle.

43

Récurrence — stabilité + monotonie + limite

récurrence stabilité point fixe

Soit \(u_0\in[0;1]\) et
\[
u_{n+1}=\frac{2u_n+1}{u_n+2}.
\]
Étudier la convergence et déterminer la limite.

Indice

Vérifier que \([0;1]\) est stable, puis calculer \(f(x)-x\).

Correction détaillée

Avec \(f(x)=\frac{2x+1}{x+2}\), on a \(f([0;1])\subset[1/2;1]\subset[0;1]\). De plus
\[
f(x)-x=\frac{1-x^2}{x+2}\ge0\quad\text{sur }[0;1].
\]
La suite est croissante et majorée par \(1\), donc convergente. Si \(u_n\to L\),
\[
L=\frac{2L+1}{L+2}\Rightarrow L^2=1.
\]
Comme \(L\in[0;1]\),
\[
\boxed{L=1}.
\]

Rédaction Bac : stabilité \(\rightarrow\) monotonie ou contraction \(\rightarrow\) convergence \(\rightarrow\) point fixe \(\rightarrow\) sélection dans l’intervalle.

44

Rationalisation — \(\sqrt{n^2+an+b}-n\)

rationalisation racines limite

Étudier la limite de
\[
u_n=\sqrt{n^2+an+b}-n
\]
quand \(n\to+\infty\), où \(a,b\in\mathbb R\).

Indice

Rationaliser, puis factoriser par \(n\) au numérateur et au dénominateur.

Correction détaillée

\[
u_n=\frac{an+b}{\sqrt{n^2+an+b}+n}
=\frac{a+b/n}{\sqrt{1+a/n+b/n^2}+1}.
\]
En passant à la limite,
\[
\boxed{\lim u_n=\frac a2}.
\]

Rédaction Bac : stabilité \(\rightarrow\) monotonie ou contraction \(\rightarrow\) convergence \(\rightarrow\) point fixe \(\rightarrow\) sélection dans l’intervalle.

45

Paramètres — limite et signe

paramètres signe quotient

Soit
\[
u_n=\frac{n^2+an}{n^2+bn+1}.
\]
1) Calculer \(\lim u_n\).
2) Étudier le signe de \(u_n-1\) pour \(n\) grand.

Indice

Pour le signe, calculer \(u_n-1\) et regarder le terme dominant du numérateur.

Correction détaillée

Les deux polynômes sont de degré \(2\), donc
\[
\boxed{\lim u_n=1}.
\]
Puis
\[
u_n-1=\frac{(a-b)n-1}{n^2+bn+1}.
\]
Pour \(n\) assez grand, le dénominateur est positif. Donc :
- si \(a>b\), alors \(u_n>1\) à partir d’un certain rang ;
- si \(a<b\), alors \(u_n<1\) à partir d’un certain rang ;
- si \(a=b\), alors \(u_n<1\) à partir d’un certain rang.

Rédaction Bac : stabilité \(\rightarrow\) monotonie ou contraction \(\rightarrow\) convergence \(\rightarrow\) point fixe \(\rightarrow\) sélection dans l’intervalle.

46

Intégrale — calcul exact

intégrale exact limite

On définit
\[
u_n=\int_0^1 x^n\,dx.
\]
Calculer \(u_n\) et sa limite.

Indice

Calculer directement la primitive de \(x^n\).

Correction détaillée

\[
u_n=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1=\frac1{n+1}.
\]
Donc
\[
\boxed{u_n=\frac1{n+1}},
\qquad
\boxed{u_n\to0}.
\]

Rédaction Bac : stabilité \(\rightarrow\) monotonie ou contraction \(\rightarrow\) convergence \(\rightarrow\) point fixe \(\rightarrow\) sélection dans l’intervalle.

47

Critère du ratio — \(n!/n^n\)

ratio positif limite

Soit
\[
u_n=\frac{n!}{n^n}.
\]
Étudier la limite de \((u_n)\).

Indice

Calculer \(u_{n+1}/u_n\). Le quotient tend vers \(e^{-1}<1\).

Correction détaillée

\[
\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!}
=\left(\frac n{n+1}\right)^n=\left(1+\frac1n\right)^{-n}\to e^{-1}<1.
\]
Donc la suite positive tend vers \(0\) :
\[
\boxed{\frac{n!}{n^n}\to0}.
\]

Rédaction Bac : stabilité \(\rightarrow\) monotonie ou contraction \(\rightarrow\) convergence \(\rightarrow\) point fixe \(\rightarrow\) sélection dans l’intervalle.

48

Minimum + oscillation amortie

min oscillation limite

On définit \(u_0=10\) et
\[
u_{n+1}=\min\left(u_n,\ 3+\frac{(-1)^n}{n+1}\right).
\]
Déterminer \(\lim u_n\).

Indice

La suite est décroissante par construction. La borne extérieure tend vers \(3\).

Correction détaillée

La suite est décroissante car elle est définie par un minimum avec le terme précédent. La borne extérieure
\[
3+\frac{(-1)^n}{n+1}
\]
tend vers \(3\). La suite ne peut pas avoir une limite strictement supérieure à \(3\), et l’oscillation amortie empêche une descente durable strictement sous \(3\). Ainsi
\[
\boxed{u_n\to3}.
\]

Rédaction Bac : stabilité \(\rightarrow\) monotonie ou contraction \(\rightarrow\) convergence \(\rightarrow\) point fixe \(\rightarrow\) sélection dans l’intervalle.

49

Récurrence quadratique — limite 1

stabilité monotonie point fixe

Soit \(u_0\in[0;2]\) et
\[
u_{n+1}=\frac{u_n^2+2}{u_n+2}.
\]
Étudier la convergence et déterminer la limite.

Indice

Calculer \(f(x)-x\). Le point fixe naturel est \(1\).

Correction détaillée

Posons \(f(x)=\frac{x^2+2}{x+2}\). On vérifie que les termes restent dans un intervalle borné positif et sont attirés vers \(1\). Sur \([1;2]\),
\[
f(x)-x=\frac{2(1-x)}{x+2}\le0.
\]
La suite est alors décroissante et minorée par \(1\), donc convergente. Si \(u_n\to L\),
\[
L=\frac{L^2+2}{L+2}\Rightarrow L=1.
\]
Donc
\[
\boxed{u_n\to1}.
\]

Rédaction Bac : stabilité \(\rightarrow\) monotonie ou contraction \(\rightarrow\) convergence \(\rightarrow\) point fixe \(\rightarrow\) sélection dans l’intervalle.

50

Somme \(\sum_{k=n+1}^{2n}1/k\) — limite \(\ln2\)

intégrale encadrement ln

On définit
\[
u_n=\sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k.
\]
Déterminer \(\lim u_n\).

Indice

Encadrer la somme par deux intégrales de la fonction décroissante \(x\mapsto1/x\).

Correction détaillée

Comme \(x\mapsto1/x\) est décroissante positive,
\[
\int_{n+1}^{2n+1}\frac{dx}{x}\le\sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k\le\int_n^{2n}\frac{dx}{x}.
\]
Donc
\[
\ln\left(\frac{2n+1}{n+1}\right)\le u_n\le\ln2.
\]
Les deux bornes tendent vers \(\ln2\), donc
\[
\boxed{u_n\to\ln2}.
\]

Rédaction Bac : stabilité \(\rightarrow\) monotonie ou contraction \(\rightarrow\) convergence \(\rightarrow\) point fixe \(\rightarrow\) sélection dans l’intervalle.

51

Arctangente — encadrement

arctan encadrement limite

Étudier la limite de
\[
u_n=n\arctan\left(\frac1n\right).
\]

Indice

Pour \(x\ge0\), utiliser \(\frac{x}{1+x^2}\le\arctan x\le x\).

Correction détaillée

Pour \(x\ge0\),
\[
\frac{x}{1+x^2}\le\arctan x\le x.
\]
Avec \(x=1/n\), puis en multipliant par \(n\),
\[
\frac1{1+1/n^2}\le n\arctan\left(\frac1n\right)\le1.
\]
Par gendarmes,
\[
\boxed{u_n\to1}.
\]

Rédaction Bac : stabilité \(\rightarrow\) monotonie ou contraction \(\rightarrow\) convergence \(\rightarrow\) point fixe \(\rightarrow\) sélection dans l’intervalle.

52

Partie entière — limite \(\sqrt2\)

partie entière gendarmes limite

Étudier la limite de
\[
u_n=\frac{\lfloor n\sqrt2\rfloor}{n}.
\]

Indice

Encadrer \(\lfloor n\sqrt2\rfloor\) entre \(n\sqrt2-1\) et \(n\sqrt2\).

Correction détaillée

Par définition de la partie entière,
\[
n\sqrt2-1<\lfloor n\sqrt2\rfloor\le n\sqrt2.
\]
En divisant par \(n>0\),
\[
\sqrt2-\frac1n<u_n\le\sqrt2.
\]
Par gendarmes,
\[
\boxed{u_n\to\sqrt2}.
\]

Rédaction Bac : stabilité \(\rightarrow\) monotonie ou contraction \(\rightarrow\) convergence \(\rightarrow\) point fixe \(\rightarrow\) sélection dans l’intervalle.

53

Intégrale — limite 1

intégrale convergence limite

On définit
\[
u_n=\int_0^1\frac1{1+x^n}\,dx.
\]
Déterminer \(\lim u_n\).

Indice

Pour \(x\in[0;1[\), \(x^n\to0\). La valeur en \(x=1\) ne change pas l’intégrale.

Correction détaillée

Pour tout \(x\in[0;1[\), \(x^n\to0\), donc
\[
\frac1{1+x^n}\to1.
\]
De plus,
\[
0\le\frac1{1+x^n}\le1.
\]
On obtient alors
\[
\lim u_n=\int_0^1 1\,dx=1.
\]
\[
\boxed{u_n\to1}.
\]

Rédaction Bac : stabilité \(\rightarrow\) monotonie ou contraction \(\rightarrow\) convergence \(\rightarrow\) point fixe \(\rightarrow\) sélection dans l’intervalle.

54

Limite de \(n\ln(1+2/n)\) — TAF

TAF ln limite

Déterminer la limite de
\[
u_n=n\ln\left(1+\frac2n\right).
\]

Indice

Écrire \(t_n=2/n\), puis utiliser le TAF sur \(\ln\) entre \(1\) et \(1+t_n\).

Correction détaillée

Posons \(t_n=2/n\). Alors
\[
u_n=2\cdot\frac{\ln(1+t_n)}{t_n}.
\]
Par le TAF appliqué à \(\ln\) sur \([1;1+t_n]\), il existe \(c_n\in(1;1+t_n)\) tel que
\[
\ln(1+t_n)=\frac{t_n}{c_n}.
\]
Donc
\[
\frac{\ln(1+t_n)}{t_n}=\frac1{c_n}\to1.
\]
Ainsi
\[
\boxed{n\ln\left(1+\frac2n\right)\to2}.
\]

Rédaction Bac : stabilité \(\rightarrow\) monotonie ou contraction \(\rightarrow\) convergence \(\rightarrow\) point fixe \(\rightarrow\) sélection dans l’intervalle.

55

Point fixe + vitesse (contraction)

stabilité point fixe vitesse

Soit \(u_0\in(0;1)\) et
\[
u_{n+1}=\frac{u_n+1}{u_n+3}.
\]
1) Montrer que \((u_n)\) converge et déterminer sa limite \(L\).
2) Donner un \(q\in(0;1)\) tel que \(|u_{n+1}-L|\le q|u_n-L|\).

Indice

Montrer qu’après un rang la suite est dans \([1/3;1/2]\), puis majorer \(|f'|\) sur cet intervalle.

Correction détaillée

Posons \(f(x)=\frac{x+1}{x+3}\). Si \(x\in(0;1)\), alors
\[
\frac13<f(x)<\frac12.
\]
Donc dès le rang \(1\), \(u_n\in[1/3;1/2]\). Le point fixe vérifie
\[
L=\frac{L+1}{L+3}\Rightarrow L^2+2L-1=0.
\]
Comme \(L>0\),
\[
\boxed{L=\sqrt2-1}.
\]
De plus,
\[
f'(x)=\frac2{(x+3)^2}.
\]
Sur \([1/3;1/2]\),
\[
|f'(x)|\le\frac2{(1/3+3)^2}=\frac9{50}<1.
\]
Donc
\[
\boxed{|u_{n+1}-L|\le\frac9{50}|u_n-L|}.
\]

Rédaction Bac : stabilité \(\rightarrow\) monotonie ou contraction \(\rightarrow\) convergence \(\rightarrow\) point fixe \(\rightarrow\) sélection dans l’intervalle.

Exercices corrigés — Limites de suites (Tle spé)

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