Fiche de révision — Limites de suites
Terminale Spécialité Maths • Bac France
Convergence • Divergence • Comparaisons • Encadrements • Suites usuelles
Convergence • Divergence • Comparaisons • Encadrements • Suites usuelles
A. Définitions (express)
Convergence
\((u_n)\) converge vers \(\ell\in\mathbb{R}\) si
\[
\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell.
\]
Divergence
\(\lim u_n=+\infty\) (ou \(-\infty\)) si \(u_n\) devient arbitrairement grand (ou petit).
⚠️ Attention : une suite peut ne pas avoir de limite (oscillations).
Exemple : \(u_n=(-1)^n\).
Phrase Bac :
« On étudie le comportement de \((u_n)\) lorsque \(n\to+\infty\). »
« On étudie le comportement de \((u_n)\) lorsque \(n\to+\infty\). »
B. Suites usuelles — à savoir par cœur
| Suite | Limite | À retenir |
|---|---|---|
| \(u_n=c\) | \(c\) | Constante |
| \(u_n=n\) | \(+\infty\) | Diverge |
| \(u_n=\ln(n)\) | \(+\infty\) | Croissance lente |
| \(u_n=\dfrac{1}{n^p}\) (\(p>0\)) | \(0\) | Cas particulier : \(\dfrac{1}{n}\to 0\) |
| \(u_n=n^p\) (\(p>0\)) | \(+\infty\) | Polynôme \(\to+\infty\) |
| \(u_n=a^n\) (avec \(a>0\)) |
\(0\) si \(0<a<1\) \(1\) si \(a=1\) \(+\infty\) si \(a>1\) |
Exponentielle (réel, sans alternance de signe) |
| \(u_n=a^n\) (avec \(|a|<1\)) | \(0\) | Valable même si \(a<0\) (oscille mais \(\to 0\)) |
| \(u_n=(-1)^n\) | Pas de limite | Oscillante |
| \(u_n=\dfrac{1}{a^n}\) (\(a>1\)) | \(0\) | Très rapide |
✅ Domination (réflexe Bac) :
\[
\ln(n)\ll n^p \ll a^n \quad (p>0,\ a>1)
\]
(la croissance exponentielle domine la croissance polynomiale, qui domine le logarithme).
C. Règles de calcul (limites finies)
Si \(u_n\to\ell\) et \(v_n\to m\) (réels), alors :
\[
u_n+v_n\to\ell+m,\quad
u_nv_n\to \ell m,\quad
\frac{u_n}{v_n}\to \frac{\ell}{m}\ (m\ne 0).
\]
⚠️ Formes indéterminées à repérer :
\[
\frac{\infty}{\infty},\quad \infty-\infty,\quad 0\times\infty,\quad \frac{0}{0}.
\]
Dans ce cas : transformer, comparer ou encadrer.
D. Comparaisons (outil n°1 au Bac)
Idée : comparer \((u_n)\) à une suite « modèle ».
- Si \(0\le u_n\le v_n\) et \(v_n\to 0\), alors \(\boxed{u_n\to 0}\).
- Si \(u_n\ge v_n\) et \(v_n\to +\infty\), alors \(\boxed{u_n\to +\infty}\).
- Si \(u_n\le v_n\) et \(u_n\to +\infty\), alors \(\boxed{v_n\to +\infty}\).
Domination utile
\[
a^n \text{ (avec } a>1\text{) domine } n^p,\qquad
\frac{1}{n^p}\to 0\ (p>0),\qquad
\frac{1}{a^n}\to 0\ (a>1).
\]
Phrase Bac :
« On compare \((u_n)\) à une suite dont on connaît la limite. »
« On compare \((u_n)\) à une suite dont on connaît la limite. »
E. Encadrements — Théorème des gendarmes
Si à partir d’un certain rang :
\[
a_n \le u_n \le b_n
\]
et si
\[
a_n\to \ell \quad \text{et}\quad b_n\to \ell,
\]
alors
\[
\boxed{u_n\to \ell.}
\]
✅ Mini-pattern Bac :
montrer \(0\le u_n\le \dfrac{1}{n}\) \(\Rightarrow\) \(u_n\to 0\).
F. Quotients en \(n\) (très fréquent)
Pour
\[
u_n=\frac{an^p+\cdots}{bn^q+\cdots}\quad (a,b\ne 0),
\]
comparer les degrés \(p\) et \(q\) :
| Cas | Limite | Astuce |
|---|---|---|
| \(p<q\) | \(0\) | Diviser par \(n^q\) |
| \(p=q\) | \(\dfrac{a}{b}\) | Coefficients dominants |
| \(p>q\) | \(\pm\infty\) | Le numérateur domine (selon le signe) |
Astuce express : factoriser par \(n^{\max(p,q)}\) :
\[
u_n=\frac{n^{\max}\left(a\,n^{p-\max}+\cdots\right)}{n^{\max}\left(b\,n^{q-\max}+\cdots\right)}.
\]
Puis passer à la limite.
G. Suites définies par récurrence — Méthode Bac
Pour \(u_{n+1}=f(u_n)\) :
- Stabilité : montrer que \((u_n)\) reste dans un intervalle \([A ; B]\) (invariance).
- Monotonie : étudier \(u_{n+1}-u_n\) (ou comparer \(f(x)\) à \(x\) sur \([A ; B]\)).
- Conclusion : monotone + bornée \(\Rightarrow\) convergente.
- Point fixe : si \(u_n\to\ell\), alors \(\ell=f(\ell)\).
⚠️ Piège : l’équation \(\ell=f(\ell)\) peut avoir plusieurs solutions.
On choisit celle qui est compatible avec \(\ell\in[A ; B]\) (ou avec la monotonie).
Phrase Bac (à écrire) :
« La suite étant monotone et bornée, elle converge. Soit \(\ell\) sa limite. En passant à la limite dans \(u_{n+1}=f(u_n)\), on obtient \(\ell=f(\ell)\). »
« La suite étant monotone et bornée, elle converge. Soit \(\ell\) sa limite. En passant à la limite dans \(u_{n+1}=f(u_n)\), on obtient \(\ell=f(\ell)\). »
Checklist ultra-rapide
- Je connais : \(n\to+\infty\), \(\dfrac{1}{n^p}\to 0\) (\(p>0\)), \(a^n\) (selon \(a\)).
- Je repère : \(\dfrac{0}{0}\), \(\dfrac{\infty}{\infty}\), \(\infty-\infty\).
- Je sais : comparer (domination) ou encadrer (gendarmes).
- Récurrence : stabilité \([A ; B]\) + monotonie ⇒ convergence ⇒ point fixe.