Limites De Suites
TERMINALE-SPE • MATHS — Learna
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Fiche ultra-synthèse — Limites de suites (Terminale Spé)
Convergence • divergence • suites usuelles • comparaisons • gendarmes • récurrence.
Objectif : réflexes Bac + rédaction propre + méthodes rapides.
Essentiel (à savoir par cœur)
1 Définitions
Convergence :
\[
\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell
\]
signifie que \(u_n\) se rapproche de \(\ell\) quand \(n\) devient grand.
Divergence :
\[
\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty
\quad \text{ou} \quad
\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty.
\]
Une suite peut aussi ne pas avoir de limite, par exemple
\[
u_n=(-1)^n.
\]
2 Réflexes immédiats
- Je cherche d’abord si la suite est usuelle.
- Je regarde s’il s’agit d’un quotient en \(n\).
- Je repère une comparaison ou un encadrement.
- Je fais attention aux formes indéterminées.
- Pour une récurrence : borne + monotonie + point fixe.
Suites usuelles (incontournables)
| Suite | Limite | Commentaire |
|---|---|---|
| \(u_n=c\) | \(c\) | Suite constante |
| \(u_n=n\) | \(+\infty\) | Croît sans borne |
| \(u_n=n^p\), \(p>0\) | \(+\infty\) | Puissance positive |
| \(u_n=\dfrac{1}{n^p}\), \(p>0\) | \(0\) | Cas fondamental |
| \(u_n=\ln(n)\) | \(+\infty\) | Croissance lente |
\(u_n=a^n\), \(0| \(0\) |
Décroissance exponentielle |
|
| \(u_n=a^n\), \(a=1\) | \(1\) | Suite constante |
| \(u_n=a^n\), \(a>1\) | \(+\infty\) | Croissance exponentielle |
| \(u_n=(-1)^n\) | Pas de limite | Oscillation |
| \(u_n=\dfrac{1}{a^n}\), \(a>1\) | \(0\) | Très rapide |
À mémoriser :
\[
\ln(n)\ll n^p \ll a^n
\qquad (p>0,\ a>1).
\]
Méthodes (procédures Bac rapides)
A Comparaison
Si
\[
0\le u_n\le v_n
\quad \text{et} \quad
v_n\to 0,
\]
alors
\[
\boxed{u_n\to 0.}
\]
Si
\[
u_n\ge v_n
\quad \text{et} \quad
v_n\to+\infty,
\]
alors
\[
\boxed{u_n\to+\infty.}
\]
B Gendarmes
Si
\[
a_n\le u_n\le b_n
\]
et si
\[
a_n\to\ell
\quad \text{et} \quad
b_n\to\ell,
\]
alors
\[
\boxed{u_n\to\ell.}
\]
Pattern ultra-classique :
\[
0\le u_n\le \frac{1}{n}
\Rightarrow u_n\to 0.
\]
C Quotients en \(n\)
| Cas | Limite |
|---|---|
\(p| \(0\) | |
| \(p=q\) | \(\dfrac{a}{b}\) |
| \(p>q\) | \(\pm\infty\) |
\[
u_n=\frac{an^p+\cdots}{bn^q+\cdots}
\]
On divise par \(n^{\max(p,q)}\).
D Suites récurrentes
- Montrer que la suite reste dans \([A ; B]\).
- Étudier la monotonie.
- Conclure : monotone + bornée \(\Rightarrow\) convergente.
- Si \(u_n\to \ell\), alors \(\ell=f(\ell)\).
L’équation \(\ell=f(\ell)\) peut avoir plusieurs solutions : il faut garder celle compatible avec le contexte.
Pièges classiques
1 Formes indéterminées
\[
\frac{\infty}{\infty},
\qquad
\infty-\infty,
\qquad
0\times\infty,
\qquad
\frac{0}{0}
\]
ne permettent jamais de conclure directement.
2 Oscillation
Une suite peut être bornée sans converger.
Exemple :
\[
(-1)^n.
\]
3 Récurrence
On ne “devine” pas la limite d’une suite récurrente :
il faut d’abord justifier la convergence, puis passer à la limite.
Mini-tests (30 secondes) — corrigés
Q1 Suite usuelle
Donner la limite de \(\dfrac{1}{n^3}\).
Corrigé : \(\dfrac{1}{n^3}\to 0\).
Q2 Exponentielle
Donner la limite de \(\left(\dfrac12\right)^n\).
Corrigé : comme \(0<\dfrac12<1\), la limite vaut \(0\).
Q3 Quotient
Étudier \(\dfrac{3n+1}{n^2+4}\).
Corrigé : degré numérateur \(1\), degré dénominateur \(2\), donc limite \(0\).
Q4 Quotient
Étudier \(\dfrac{5n^2-1}{2n^2+7}\).
Corrigé : même degré, donc limite \(\dfrac52\).
Q5 Gendarmes
On sait que \(0\le u_n\le \dfrac{1}{n}\). Conclusion ?
Corrigé : par encadrement, \(u_n\to 0\).
Q6 Oscillation
La suite \(((-1)^n)\) converge-t-elle ?
Corrigé : non, elle n’a pas de limite.
Checklist (avant DS / Bac blanc)
Je sais faire
- Reconnaître une suite usuelle.
- Utiliser comparaison ou encadrement.
- Étudier un quotient de polynômes en \(n\).
- Repérer une forme indéterminée.
- Rédiger une conclusion propre sur une limite.
- Traiter une suite récurrente avec méthode.
Réflexes 20/20
1) Je cite toujours un résultat du cours.
2) Je distingue bien convergence, divergence et absence de limite.
3) Pour une récurrence : stabilité + monotonie + point fixe.
2) Je distingue bien convergence, divergence et absence de limite.
3) Pour une récurrence : stabilité + monotonie + point fixe.
À bannir : conclusion sans justification, passage à la limite trop tôt dans une récurrence, oubli des formes indéterminées.