Quiz SOLIDE — Limites de fonctions (20 questions HARD Bac)
Comparaisons fines • conjugués • gendarmes • logarithmes • asymptotes • continuité • croissances comparées.
Exercice 1. Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^2+4x}-x\bigr)\).
Non vérifié
\[ \sqrt{x^2+4x}-x =\frac{(\sqrt{x^2+4x}-x)(\sqrt{x^2+4x}+x)}{\sqrt{x^2+4x}+x} =\frac{x^2+4x-x^2}{\sqrt{x^2+4x}+x} =\frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}. \] Pour \(x\to+\infty\), on factorise \(x\) dans la racine : \(\sqrt{x^2+4x}=x\sqrt{1+\frac{4}{x}}\).
Donc : \[ \frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x} =\frac{4x}{x\sqrt{1+\frac{4}{x}}+x} =\frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1} \xrightarrow[x\to+\infty]{}\frac{4}{1+1}=2. \] Conclusion : \(\boxed{2}\).
Indice
Forme \(\infty-\infty\) : multiplie par le conjugué \(\sqrt{x^2+4x}+x\), puis factorise \(x\) dans la racine.
Exercice 2. Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}\bigr)\).
Non vérifié
\[ \sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x} =\frac{(x^2+x)-(x^2-x)}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}} =\frac{2x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}. \] Factorisons \(x\) dans chaque racine (pour \(x\to+\infty\), \(x>0\)) :
\[ \sqrt{x^2\pm x}=x\sqrt{1\pm\frac{1}{x}}. \] Alors : \[ \frac{2x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}}+x\sqrt{1-\frac{1}{x}}} =\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}} \xrightarrow[x\to+\infty]{}\frac{2}{1+1}=1. \] Conclusion : \(\boxed{1}\).
Indice
Utilise le conjugué : \(\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}\).
Exercice 3. Déterminer \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} x\Bigl(\sqrt{1+\frac{2}{x}}-1\Bigr)\).
Non vérifié
\[ x\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}-1\right) =x\cdot\frac{\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}-1\right)\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1\right)}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1} =x\cdot\frac{\left(1+\frac{2}{x}\right)-1}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1}. \] Donc : \[ x\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}-1\right) =x\cdot\frac{\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1} =\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1} \xrightarrow[x\to+\infty]{}\frac{2}{1+1}=1. \] Conclusion : \(\boxed{1}\).
Indice
Conjugue : \(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1\). Tu dois faire apparaître \(\frac{2}{\sqrt{1+2/x}+1}\).
Exercice 4. Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}\).
Non vérifié
\[ \sqrt{x^2+3}=x\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}. \] Alors : \[ \frac{x}{\sqrt{x^2+3}} =\frac{x}{x\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}} =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}} \xrightarrow[x\to+\infty]{}\frac{1}{\sqrt{1+0}}=1. \] Conclusion : \(\boxed{1}\).
Indice
Factorise \(x\) dans la racine : \(\sqrt{x^2+3}=x\sqrt{1+3/x^2}\).
Exercice 5. Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to0} x^2\sin\left(\frac1x\right)\).
Non vérifié
\[ -1\le \sin\left(\frac{1}{x}\right)\le 1. \] En multipliant par \(x^2\ge 0\) :
\[ -x^2\le x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)\le x^2. \] Or \(\lim_{x\to0}(-x^2)=0\) et \(\lim_{x\to0}(x^2)=0\). Par gendarmes :
\[ \lim_{x\to0}x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0. \] Conclusion : \(\boxed{0}\).
Indice
Utilise l’encadrement : \(-1\le \sin(1/x)\le 1\). Multiplie par \(x^2\).
Exercice 6. Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to0} x\sin\left(\frac1{x^2}\right)\).
Non vérifié
\[ \left|x\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)\right| \le |x|\cdot 1 =|x|. \] Or \(\lim_{x\to0}|x|=0\). Donc par gendarmes (ou propriété) :
\[ \lim_{x\to0}x\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)=0. \] Conclusion : \(\boxed{0}\).
Indice
Travaille en valeur absolue : \(|\sin|\le 1\), donc \(|x\sin(1/x^2)|\le |x|\).
Exercice 7. Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\).
Non vérifié
\[ \left|\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\right| \le \frac{1}{\sqrt{x}}. \] Or \(\sqrt{x}\to+\infty\) donc \(\frac{1}{\sqrt{x}}\to 0\). Par gendarmes :
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}=0. \] Conclusion : \(\boxed{0}\).
Indice
\(|\sin x|\le 1\). Compare \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) à 0.
Exercice 8. Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to0^+}\sqrt{x}\cos\left(\frac1x\right)\).
Non vérifié
\[ \left|\sqrt{x}\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right| \le \sqrt{x}. \] Or quand \(x\to0^+\), \(\sqrt{x}\to0\). Par gendarmes :
\[ \lim_{x\to0^+}\sqrt{x}\cos\left(\frac{1}{x}\right)=0. \] Conclusion : \(\boxed{0}\).
Indice
\(|\cos|\le 1\). Donc \(|\sqrt{x}\cos(1/x)|\le \sqrt{x}\).
Exercice 9. Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\bigl(\ln(x^2+x)-2\ln x\bigr)\).
Non vérifié
\[ \ln(x^2+x)-2\ln x=\ln(x^2+x)-\ln(x^2)=\ln\left(\frac{x^2+x}{x^2}\right). \] Donc : \[ \ln(x^2+x)-2\ln x=\ln\left(1+\frac{1}{x}\right). \] Or quand \(x\to+\infty\), \(\frac{1}{x}\to0\), donc \(\ln(1+1/x)\to\ln(1)=0\).
Conclusion : \(\boxed{0}\).
Indice
Regroupe les logs : \(\ln(x^2+x)-2\ln x=\ln\left(\frac{x^2+x}{x^2}\right)=\ln(1+1/x)\).
Exercice 10. Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x\ln\left(1+\frac1x\right)\).
Non vérifié
\[ \frac{u}{1+u}\le \ln(1+u)\le u. \] En prenant \(u=\frac{1}{x}\) (avec \(x\to+\infty\), donc \(u\to0^+\)) :
\[ \frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}\le \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\le \frac{1}{x}. \] On multiplie par \(x>0\) :
\[ \frac{1}{1+\frac{1}{x}}\le x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\le 1. \] Quand \(x\to+\infty\), \(\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\to 1\). Donc par gendarmes :
\[ \lim_{x\to+\infty}x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)=1. \] Conclusion : \(\boxed{1}\).
Indice
Encadrement classique : pour \(u>-1\), \(\frac{u}{1+u}\le \ln(1+u)\le u\). Prendre \(u=1/x\).
Exercice 11. Déterminer \(\displaystyle \lim_{x\to1^+}\ln(x-1)\).
Non vérifié
Or la propriété fondamentale :
\[ \lim_{t\to0^+}\ln(t)=-\infty. \] En prenant \(t=x-1\), on obtient :
\[ \lim_{x\to1^+}\ln(x-1)=-\infty. \] Conclusion : \(\boxed{-\infty}\).
Indice
Quand \(x\to1^+\), alors \(x-1\to0^+\) et \(\ln(t)\to-\infty\) quand \(t\to0^+\).
Exercice 12. Soit \(f(x)=\ln(x-2)+\ln(x+2)\). Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to2^+} f(x)\).
Non vérifié
On regroupe : \[ f(x)=\ln(x-2)+\ln(x+2)=\ln\bigl((x-2)(x+2)\bigr)=\ln(x^2-4). \] Quand \(x\to2^+\), \(x^2-4=(x-2)(x+2)\to 0^+\) (car \(x-2\to0^+\) et \(x+2\to4>0\)).
Donc : \[ \lim_{x\to2^+} f(x)=\lim_{t\to0^+}\ln(t)=-\infty. \] Conclusion : \(\boxed{-\infty}\) (donc asymptote verticale \(x=2\)).
Indice
Domaine : \(x>2\). Écris \(f(x)=\ln((x-2)(x+2))=\ln(x^2-4)\) et regarde \(x^2-4\to0^+\).
Exercice 13. Déterminer l’asymptote en \(+\infty\) de \(f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}\). (Répondre sous la forme \(y=mx+p\)).
Non vérifié
\[ \frac{x^3}{x^2+1}=\frac{(x^2+1)x - x}{x^2+1}=x-\frac{x}{x^2+1}. \] Or : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^2+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x+1/x}=0. \] Donc : \[ f(x)-x=-\frac{x}{x^2+1}\xrightarrow[x\to+\infty]{}0. \] Conclusion : asymptote oblique \(\boxed{y=x}\).
Indice
Division euclidienne : \(x^3=(x^2+1)\cdot x - x\).
Exercice 14. Déterminer l’asymptote oblique en \(+\infty\) de \(f(x)=\sqrt{x^2+5x}\). (Répondre : \(y=x+p\)).
Non vérifié
\[ \sqrt{x^2+5x}-(x+p)\to 0. \] Écrivons : \[ \sqrt{x^2+5x}=x\sqrt{1+\frac{5}{x}}. \] Heuristique : \(\sqrt{1+u}\approx 1+\frac{u}{2}\) quand \(u\) est petit, donc ici on “devine” \(p=\frac{5}{2}\).
Vérification rigoureuse (conjugué) : \[ \sqrt{x^2+5x}-(x+\tfrac{5}{2}) =\frac{(x^2+5x)-(x+\tfrac{5}{2})^2}{\sqrt{x^2+5x}+(x+\tfrac{5}{2})}. \] Numérateur : \[ (x^2+5x)-(x^2+5x+\tfrac{25}{4})=-\tfrac{25}{4}. \] Donc : \[ \sqrt{x^2+5x}-(x+\tfrac{5}{2}) =\frac{-\tfrac{25}{4}}{\sqrt{x^2+5x}+(x+\tfrac{5}{2})}. \] Le dénominateur \(\to +\infty\), donc la fraction \(\to 0\).
Conclusion : asymptote \(\boxed{y=x+\tfrac{5}{2}}\).
Indice
Cherche \(p\) tel que \(\sqrt{x^2+5x}-(x+p)\to0\). Utilise un conjugué.
Exercice 15. Montrer que \(f(x)=\ln(x+1)-\ln x\) admet une asymptote horizontale en \(+\infty\), et la donner (répondre : \(y=\ell\)).
Non vérifié
Indice
Regroupe : \(\ln(x+1)-\ln x=\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)=\ln(1+1/x)\).
Exercice 16. Soit \(f(x)=x\ln|x|\) (pour \(x\neq0\)). En posant \(f(0)=0\), la fonction prolongée est-elle continue en 0 ? (répondre oui/non).
Non vérifié
Posons \(|x|=\frac{1}{t}\) avec \(t\to+\infty\). Alors \(\ln|x|=\ln(1/t)=-\ln t\).
Donc : \[ x\ln|x|\sim \pm\frac{1}{t}(-\ln t)=\mp\frac{\ln t}{t}. \] Or \(\lim_{t\to+\infty}\frac{\ln t}{t}=0\). Donc : \[ \lim_{x\to0}x\ln|x|=0. \] Comme on définit \(f(0)=0\), on a \(\lim_{x\to0}f(x)=f(0)\) : la fonction prolongée est continue en 0.
Conclusion : \(\boxed{\text{oui}}\).
Indice
Étudie \(\lim_{x\to0}x\ln|x|\). Pose \(|x|=1/t\) avec \(t\to+\infty\).
Exercice 17. Déterminer \(a\) pour que \(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\) prolongée par \(f(1)=a\) soit continue en 1.
Non vérifié
Conclusion : \(\boxed{a=2}\).
Indice
Calcule \(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\) en factorisant.
Exercice 18. Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^{1/3}}\).
Non vérifié
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^\alpha}=0. \] Ici \(\alpha=\frac{1}{3}\), donc :
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^{1/3}}=0. \] Conclusion : \(\boxed{0}\).
Indice
Croissances comparées : toute puissance \(x^\alpha\) (\(\alpha>0\)) domine \(\ln x\).
Exercice 19. Déterminer \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\ln x}\).
Non vérifié
\[ \frac{x}{\ln x}\xrightarrow[x\to+\infty]{}+\infty. \] Conclusion : \(\boxed{+\infty}\).
Indice
La fonction \(x\) croît beaucoup plus vite que \(\ln x\). Le quotient diverge.
Exercice 20. Étudier \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x}{\ln x}-\sqrt{x}\right)\).
Non vérifié
\[ \frac{\frac{x}{\ln x}}{\sqrt{x}}=\frac{x}{\sqrt{x}\,\ln x}=\frac{\sqrt{x}}{\ln x}. \] Or par croissances comparées, \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) domine \(\ln x\), donc : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x}}{\ln x}=+\infty. \] Cela signifie que \(\frac{x}{\ln x}\) est **beaucoup plus grand** que \(\sqrt{x}\) quand \(x\) est grand.
Donc la différence est dominée par le premier terme : \[ \frac{x}{\ln x}-\sqrt{x}\xrightarrow[x\to+\infty]{}+\infty. \] Conclusion : \(\boxed{+\infty}\).
Indice
Compare \(\frac{x}{\ln x}\) et \(\sqrt{x}\). Regarde le quotient \(\frac{\frac{x}{\ln x}}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{\ln x}\).