Quiz — Limites de fonctions (Tle spé)
Ce quiz de mathématiques en Terminale Spécialité permet de vérifier rapidement tes acquis sur Limites de fonctions. Les questions ciblent notamment lecture graphique, images et antécédents, variations, modélisation pour repérer les points à revoir.
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Quiz — Limites de fonctions (20 questions Bac — FINAL PREMIUM)
Réponds puis clique Vérifier (ou Tout vérifier). Version premium finale : limites usuelles, formes indéterminées, asymptotes, composées, croissances comparées et raisonnements type Bac.
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Q1. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}(3x^2-5x+1)\).
Non vérifié
Indice
À l'infini, dans un polynôme, le terme de plus haut degré domine tous les autres. Ici le terme dominant est \(3x^2\), positif quand \(x\to+\infty\).
Correction
On factorise mentalement par le terme dominant :
\[
3x^2-5x+1=x^2\left(3-\frac5x+\frac1{x^2}\right).
\]
Quand \(x\to+\infty\), on a \(x^2\to+\infty\) et
\[
3-\frac5x+\frac1{x^2}\to3>0.
\]
Donc
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}(3x^2-5x+1)=+\infty}.
\]
Q2. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to -\infty}(-2x^3+4x^2-7)\).
Non vérifié
Indice
Le terme dominant est \(-2x^3\). Attention : quand \(x\to-\infty\), on a \(x^3\to-\infty\), donc \(-2x^3\to+\infty\).
Correction
Le terme de plus haut degré impose la limite :
\[
-2x^3+4x^2-7=x^3\left(-2+\frac4x-\frac7{x^3}\right).
\]
Quand \(x\to-\infty\),
\[
x^3\to-\infty \quad\text{et}\quad -2+\frac4x-\frac7{x^3}\to-2.
\]
Produit de deux quantités négatives en valeur infinie :
\[
\boxed{+\infty}.
\]
Q3. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{5x^3-2x+1}{x^3+7x^2}\).
Non vérifié
Indice
Forme \(\frac{\infty}{\infty}\). Pour une fraction rationnelle, compare les degrés : ici degré 3 en haut et degré 3 en bas.
Correction
On divise numérateur et dénominateur par \(x^3\) :
\[
\frac{5x^3-2x+1}{x^3+7x^2}
=\frac{5-\frac2{x^2}+\frac1{x^3}}{1+\frac7x}.
\]
Quand \(x\to+\infty\), les fractions en \(1/x\) tendent vers 0, donc
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^3-2x+1}{x^3+7x^2}=5}.
\]
Q4. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{2x^2-1}{x^3+x}\).
Non vérifié
Indice
Le degré du numérateur est plus petit que celui du dénominateur. La fraction se comporte comme \(\frac{2x^2}{x^3}=\frac2x\).
Correction
On compare les termes dominants :
\[
\frac{2x^2-1}{x^3+x}\sim \frac{2x^2}{x^3}=\frac2x.
\]
Or
\[
\frac2x\to0 \quad\text{quand}\quad x\to+\infty.
\]
Donc
\[
\boxed{0}.
\]
Q5. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}\).
Non vérifié
Indice
On obtient d'abord une forme \(\frac00\). Factorise \(x^2-4\) avec l'identité remarquable \(a^2-b^2\).
Correction
On factorise :
\[
x^2-4=(x-2)(x+2).
\]
Pour \(x\neq2\),
\[
\frac{x^2-4}{x-2}=x+2.
\]
Donc
\[
\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4.
\]
Réponse : \(\boxed{4}\).
Q6. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}\).
Non vérifié
Indice
Utilise la factorisation \(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\).
Correction
On sait que
\[
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).
\]
Pour \(x\neq1\),
\[
\frac{x^3-1}{x-1}=x^2+x+1.
\]
Donc
\[
\lim_{x\to1}(x^2+x+1)=1+1+1=3.
\]
Réponse : \(\boxed{3}\).
Q7. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\).
Non vérifié
Indice
Forme \(\frac00\). Multiplie par le conjugué \(\sqrt{1+x}+1\).
Correction
On multiplie par le conjugué :
\[
\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\times\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}
=\frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}.
\]
Donc, pour \(x\neq0\),
\[
\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac1{\sqrt{1+x}+1}.
\]
En passant à la limite :
\[
\boxed{\frac12}.
\]
Q8. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}\).
Non vérifié
Indice
Faire apparaître la limite usuelle \(\displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1\), avec \(u=3x\).
Correction
On écrit
\[
\frac{\sin(3x)}{x}=3\cdot\frac{\sin(3x)}{3x}.
\]
Quand \(x\to0\), alors \(3x\to0\), donc
\[
\frac{\sin(3x)}{3x}\to1.
\]
Ainsi
\[
\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{x}=3}.
\]
Q9. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}\).
Non vérifié
Indice
Croissance comparée : toute puissance positive de \(x\) domine \(\ln x\) quand \(x\to+\infty\).
Correction
C'est une limite classique de croissance comparée :
\[
\ln x \ll x \quad\text{quand}\quad x\to+\infty.
\]
Donc
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0}.
\]
Plus généralement, pour tout \(a>0\),
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^a}=0.
\]
Q10. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{x^4}{e^x}\).
Non vérifié
Indice
Croissance comparée : l'exponentielle domine toute puissance de \(x\).
Correction
À l'infini,
\[
e^x \gg x^4.
\]
Donc
\[
\frac{x^4}{e^x}\to0.
\]
Réponse :
\[
\boxed{0}.
\]
Q11. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}(e^x-x^5)\).
Non vérifié
Indice
Ne réponds pas “\(\infty-\infty\)” : c'est une forme indéterminée. Il faut utiliser la croissance comparée.
Correction
On factorise par \(e^x\) :
\[
e^x-x^5=e^x\left(1-\frac{x^5}{e^x}\right).
\]
Or, par croissance comparée,
\[
\frac{x^5}{e^x}\to0.
\]
Donc la parenthèse tend vers 1, et \(e^x\to+\infty\). Ainsi
\[
\boxed{+\infty}.
\]
Q12. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}x\ln x\).
Non vérifié
Indice
Pose \(t=\frac1x\). Alors \(x\to0^+\) équivaut à \(t\to+\infty\), et \(x\ln x= -\frac{\ln t}{t}\).
Correction
On pose \(t=\frac1x\). Alors \(x=\frac1t\) et \(t\to+\infty\). Ainsi
\[
x\ln x=\frac1t\ln\left(\frac1t\right)=-\frac{\ln t}{t}.
\]
Or
\[
\frac{\ln t}{t}\to0.
\]
Donc
\[
\boxed{\lim_{x\to0^+}x\ln x=0}.
\]
La limite est atteinte par valeurs négatives, mais la limite vaut bien 0.
Q13. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to 2^+}\frac{1}{x-2}\).
Non vérifié
Indice
Quand \(x\to2^+\), alors \(x-2\to0^+\). L'inverse d'un très petit nombre positif tend vers \(+\infty\).
Correction
Si \(x\to2^+\), alors
\[
x-2\to0^+.
\]
Donc
\[
\frac1{x-2}\to+\infty.
\]
Réponse :
\[
\boxed{+\infty}.
\]
Q14. Pour \(f(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}\), donner l'équation de l'asymptote verticale.
Non vérifié
Indice
Une asymptote verticale apparaît souvent quand le dénominateur tend vers 0 et le numérateur ne tend pas vers 0.
Correction
Le dénominateur s'annule pour
\[
x-2=0\iff x=2.
\]
Le numérateur vaut alors \(3\times2+1=7\neq0\). Donc la fonction tend vers l'infini en \(2\), et l'asymptote verticale est
\[
\boxed{x=2}.
\]
Q15. Pour \(f(x)=\dfrac{2x^2+3x-1}{x^2+1}\), donner l'équation de l'asymptote horizontale en \(+\infty\).
Non vérifié
Indice
Les degrés du numérateur et du dénominateur sont égaux. La limite vaut le quotient des coefficients dominants.
Correction
On compare les termes dominants :
\[
\frac{2x^2+3x-1}{x^2+1}\sim \frac{2x^2}{x^2}=2.
\]
Donc
\[
\lim_{x\to+\infty}f(x)=2.
\]
L'asymptote horizontale est donc
\[
\boxed{y=2}.
\]
Q16. Soit \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}\). Donner l'équation de l'asymptote oblique en \(+\infty\).
Non vérifié
Indice
Réécris la fonction : \(\frac{x^2+1}{x}=x+\frac1x\).
Correction
On simplifie :
\[
f(x)=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac1x.
\]
Alors
\[
f(x)-x=\frac1x\to0 \quad\text{quand}\quad x\to+\infty.
\]
Donc la droite
\[
\boxed{y=x}
\]
est une asymptote oblique.
Q17. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)\).
Non vérifié
Indice
Commence par simplifier l'expression intérieure : \(\frac{x+1}{x}=1+\frac1x\).
Correction
On écrit
\[
\frac{x+1}{x}=1+\frac1x.
\]
Quand \(x\to+\infty\),
\[
1+\frac1x\to1.
\]
Par continuité de \(\ln\) en 1 :
\[
\ln\left(1+\frac1x\right)\to\ln(1)=0.
\]
Réponse : \(\boxed{0}\).
Q18. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{x}\).
Non vérifié
Indice
Faire apparaître la limite usuelle \(\displaystyle \lim_{u\to0}\frac{e^u-1}{u}=1\), avec \(u=2x\).
Correction
On écrit
\[
\frac{e^{2x}-1}{x}=2\cdot\frac{e^{2x}-1}{2x}.
\]
Quand \(x\to0\), alors \(2x\to0\), donc
\[
\frac{e^{2x}-1}{2x}\to1.
\]
Ainsi
\[
\boxed{2}.
\]
Q19. Déterminer \(a\) pour que \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{ax^2+3x-1}{x^2+1}\right)=4\).
Non vérifié
Indice
Quand les degrés sont égaux, la limite est le quotient des coefficients dominants : ici \(\frac{a}{1}\).
Correction
On compare les termes de plus haut degré :
\[
\frac{ax^2+3x-1}{x^2+1}\to \frac{a}{1}=a.
\]
On veut que cette limite soit 4, donc
\[
a=4.
\]
Réponse : \(\boxed{4}\).
Q20. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{2x+\sin x}{x}\).
Non vérifié
Indice
Sépare la fraction : \(\frac{2x+\sin x}{x}=2+\frac{\sin x}{x}\). Puis utilise l'encadrement \(-1\le \sin x\le1\).
Correction
On écrit
\[
\frac{2x+\sin x}{x}=2+\frac{\sin x}{x}.
\]
Or
\[
-1\le\sin x\le1.
\]
Donc, pour \(x>0\),
\[
-\frac1x\le\frac{\sin x}{x}\le\frac1x.
\]
Les deux bornes tendent vers 0, donc par le théorème des gendarmes :
\[
\frac{\sin x}{x}\to0.
\]
Ainsi
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+\sin x}{x}=2}.
\]
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