Quiz — Limites de fonctions (20 questions Bac — FINAL PREMIUM)
Réponds puis clique Vérifier (ou Tout vérifier). Version premium finale : limites usuelles, formes indéterminées, asymptotes, composées, croissances comparées et raisonnements type Bac.
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Q1. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}(3x^2-5x+1)\). Non vérifié
Indice
À l'infini, dans un polynôme, le terme de plus haut degré domine tous les autres. Ici le terme dominant est \(3x^2\), positif quand \(x\to+\infty\).
Correction
On factorise mentalement par le terme dominant :
\[
3x^2-5x+1=x^2\left(3-\frac5x+\frac1{x^2}\right).
\]
Quand \(x\to+\infty\), on a \(x^2\to+\infty\) et
\[
3-\frac5x+\frac1{x^2}\to3>0.
\]
Donc
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}(3x^2-5x+1)=+\infty}.
\]
Q2. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to -\infty}(-2x^3+4x^2-7)\). Non vérifié
Indice
Le terme dominant est \(-2x^3\). Attention : quand \(x\to-\infty\), on a \(x^3\to-\infty\), donc \(-2x^3\to+\infty\).
Correction
Le terme de plus haut degré impose la limite :
\[
-2x^3+4x^2-7=x^3\left(-2+\frac4x-\frac7{x^3}\right).
\]
Quand \(x\to-\infty\),
\[
x^3\to-\infty \quad\text{et}\quad -2+\frac4x-\frac7{x^3}\to-2.
\]
Produit de deux quantités négatives en valeur infinie :
\[
\boxed{+\infty}.
\]
Q3. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{5x^3-2x+1}{x^3+7x^2}\). Non vérifié
Indice
Forme \(\frac{\infty}{\infty}\). Pour une fraction rationnelle, compare les degrés : ici degré 3 en haut et degré 3 en bas.
Correction
On divise numérateur et dénominateur par \(x^3\) :
\[
\frac{5x^3-2x+1}{x^3+7x^2}
=\frac{5-\frac2{x^2}+\frac1{x^3}}{1+\frac7x}.
\]
Quand \(x\to+\infty\), les fractions en \(1/x\) tendent vers 0, donc
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^3-2x+1}{x^3+7x^2}=5}.
\]
Q4. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{2x^2-1}{x^3+x}\). Non vérifié
Indice
Le degré du numérateur est plus petit que celui du dénominateur. La fraction se comporte comme \(\frac{2x^2}{x^3}=\frac2x\).
Correction
On compare les termes dominants :
\[
\frac{2x^2-1}{x^3+x}\sim \frac{2x^2}{x^3}=\frac2x.
\]
Or
\[
\frac2x\to0 \quad\text{quand}\quad x\to+\infty.
\]
Donc
\[
\boxed{0}.
\]
Q5. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}\). Non vérifié
Indice
On obtient d'abord une forme \(\frac00\). Factorise \(x^2-4\) avec l'identité remarquable \(a^2-b^2\).
Correction
On factorise :
\[
x^2-4=(x-2)(x+2).
\]
Pour \(x\neq2\),
\[
\frac{x^2-4}{x-2}=x+2.
\]
Donc
\[
\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4.
\]
Réponse : \(\boxed{4}\).
Q6. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}\). Non vérifié
Indice
Utilise la factorisation \(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\).
Correction
On sait que
\[
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).
\]
Pour \(x\neq1\),
\[
\frac{x^3-1}{x-1}=x^2+x+1.
\]
Donc
\[
\lim_{x\to1}(x^2+x+1)=1+1+1=3.
\]
Réponse : \(\boxed{3}\).
Q7. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\). Non vérifié
Indice
Forme \(\frac00\). Multiplie par le conjugué \(\sqrt{1+x}+1\).
Correction
On multiplie par le conjugué :
\[
\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\times\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}
=\frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}.
\]
Donc, pour \(x\neq0\),
\[
\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac1{\sqrt{1+x}+1}.
\]
En passant à la limite :
\[
\boxed{\frac12}.
\]
Q8. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}\). Non vérifié
Indice
Faire apparaître la limite usuelle \(\displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1\), avec \(u=3x\).
Correction
On écrit
\[
\frac{\sin(3x)}{x}=3\cdot\frac{\sin(3x)}{3x}.
\]
Quand \(x\to0\), alors \(3x\to0\), donc
\[
\frac{\sin(3x)}{3x}\to1.
\]
Ainsi
\[
\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{x}=3}.
\]
Q9. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}\). Non vérifié
Indice
Croissance comparée : toute puissance positive de \(x\) domine \(\ln x\) quand \(x\to+\infty\).
Correction
C'est une limite classique de croissance comparée :
\[
\ln x \ll x \quad\text{quand}\quad x\to+\infty.
\]
Donc
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0}.
\]
Plus généralement, pour tout \(a>0\),
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^a}=0.
\]
Q10. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{x^4}{e^x}\). Non vérifié
Indice
Croissance comparée : l'exponentielle domine toute puissance de \(x\).
Correction
À l'infini,
\[
e^x \gg x^4.
\]
Donc
\[
\frac{x^4}{e^x}\to0.
\]
Réponse :
\[
\boxed{0}.
\]
Q11. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}(e^x-x^5)\). Non vérifié
Indice
Ne réponds pas “\(\infty-\infty\)” : c'est une forme indéterminée. Il faut utiliser la croissance comparée.
Correction
On factorise par \(e^x\) :
\[
e^x-x^5=e^x\left(1-\frac{x^5}{e^x}\right).
\]
Or, par croissance comparée,
\[
\frac{x^5}{e^x}\to0.
\]
Donc la parenthèse tend vers 1, et \(e^x\to+\infty\). Ainsi
\[
\boxed{+\infty}.
\]
Q12. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}x\ln x\). Non vérifié
Indice
Pose \(t=\frac1x\). Alors \(x\to0^+\) équivaut à \(t\to+\infty\), et \(x\ln x= -\frac{\ln t}{t}\).
Correction
On pose \(t=\frac1x\). Alors \(x=\frac1t\) et \(t\to+\infty\). Ainsi
\[
x\ln x=\frac1t\ln\left(\frac1t\right)=-\frac{\ln t}{t}.
\]
Or
\[
\frac{\ln t}{t}\to0.
\]
Donc
\[
\boxed{\lim_{x\to0^+}x\ln x=0}.
\]
La limite est atteinte par valeurs négatives, mais la limite vaut bien 0.
Q13. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to 2^+}\frac{1}{x-2}\). Non vérifié
Indice
Quand \(x\to2^+\), alors \(x-2\to0^+\). L'inverse d'un très petit nombre positif tend vers \(+\infty\).
Correction
Si \(x\to2^+\), alors
\[
x-2\to0^+.
\]
Donc
\[
\frac1{x-2}\to+\infty.
\]
Réponse :
\[
\boxed{+\infty}.
\]
Q14. Pour \(f(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}\), donner l'équation de l'asymptote verticale. Non vérifié
Indice
Une asymptote verticale apparaît souvent quand le dénominateur tend vers 0 et le numérateur ne tend pas vers 0.
Correction
Le dénominateur s'annule pour
\[
x-2=0\iff x=2.
\]
Le numérateur vaut alors \(3\times2+1=7\neq0\). Donc la fonction tend vers l'infini en \(2\), et l'asymptote verticale est
\[
\boxed{x=2}.
\]
Q15. Pour \(f(x)=\dfrac{2x^2+3x-1}{x^2+1}\), donner l'équation de l'asymptote horizontale en \(+\infty\). Non vérifié
Indice
Les degrés du numérateur et du dénominateur sont égaux. La limite vaut le quotient des coefficients dominants.
Correction
On compare les termes dominants :
\[
\frac{2x^2+3x-1}{x^2+1}\sim \frac{2x^2}{x^2}=2.
\]
Donc
\[
\lim_{x\to+\infty}f(x)=2.
\]
L'asymptote horizontale est donc
\[
\boxed{y=2}.
\]
Q16. Soit \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}\). Donner l'équation de l'asymptote oblique en \(+\infty\). Non vérifié
Indice
Réécris la fonction : \(\frac{x^2+1}{x}=x+\frac1x\).
Correction
On simplifie :
\[
f(x)=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac1x.
\]
Alors
\[
f(x)-x=\frac1x\to0 \quad\text{quand}\quad x\to+\infty.
\]
Donc la droite
\[
\boxed{y=x}
\]
est une asymptote oblique.
Q17. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)\). Non vérifié
Indice
Commence par simplifier l'expression intérieure : \(\frac{x+1}{x}=1+\frac1x\).
Correction
On écrit
\[
\frac{x+1}{x}=1+\frac1x.
\]
Quand \(x\to+\infty\),
\[
1+\frac1x\to1.
\]
Par continuité de \(\ln\) en 1 :
\[
\ln\left(1+\frac1x\right)\to\ln(1)=0.
\]
Réponse : \(\boxed{0}\).
Q18. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{x}\). Non vérifié
Indice
Faire apparaître la limite usuelle \(\displaystyle \lim_{u\to0}\frac{e^u-1}{u}=1\), avec \(u=2x\).
Correction
On écrit
\[
\frac{e^{2x}-1}{x}=2\cdot\frac{e^{2x}-1}{2x}.
\]
Quand \(x\to0\), alors \(2x\to0\), donc
\[
\frac{e^{2x}-1}{2x}\to1.
\]
Ainsi
\[
\boxed{2}.
\]
Q19. Déterminer \(a\) pour que \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{ax^2+3x-1}{x^2+1}\right)=4\). Non vérifié
Indice
Quand les degrés sont égaux, la limite est le quotient des coefficients dominants : ici \(\frac{a}{1}\).
Correction
On compare les termes de plus haut degré :
\[
\frac{ax^2+3x-1}{x^2+1}\to \frac{a}{1}=a.
\]
On veut que cette limite soit 4, donc
\[
a=4.
\]
Réponse : \(\boxed{4}\).
Q20. Calculer : \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{2x+\sin x}{x}\). Non vérifié
Indice
Sépare la fraction : \(\frac{2x+\sin x}{x}=2+\frac{\sin x}{x}\). Puis utilise l'encadrement \(-1\le \sin x\le1\).
Correction
On écrit
\[
\frac{2x+\sin x}{x}=2+\frac{\sin x}{x}.
\]
Or
\[
-1\le\sin x\le1.
\]
Donc, pour \(x>0\),
\[
-\frac1x\le\frac{\sin x}{x}\le\frac1x.
\]
Les deux bornes tendent vers 0, donc par le théorème des gendarmes :
\[
\frac{\sin x}{x}\to0.
\]
Ainsi
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+\sin x}{x}=2}.
\]