Exercices corrigés — Limites de fonctions (Tle spé)
Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en Terminale Spécialité sur Limites de fonctions. Tu vas t’entraîner sur lecture graphique, images et antécédents, variations, modélisation avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.
Série progressive Terminale Spécialité : limites en un réel et en ±∞, formes indéterminées, terme dominant, rationalisation, comparaison, gendarmes, compositions et asymptotes. Aucun développement limité.
Pour \(x<0\), \(\sqrt{x^2-6x+2}=(-x)\sqrt{1-6/x+2/x^2}\). Par conjugaison de \(\sqrt{x^2-6x+2}+x\), on obtient \(\frac{-6x+2}{\sqrt{x^2-6x+2}-x}\to3\).
\(x^2+2x-3=(x+3)(x-1)\), donc \(f(x)=\frac{x+3}{2x+1}\) sur son domaine.
En \(\pm\infty\), \(f\to1/2\). En \(-1/2\), le numérateur réduit tend vers \(5/2>0\): à gauche \(-\infty\), à droite \(+\infty\). En \(1\), limite finie \(4/3\).
Puisque \(f(x)=\frac{x+3}{2x+1}\) pour \(x\ne1\), les deux limites en \(1\) valent \(4/3\).
Asymptote verticale \(x=-1/2\) et horizontale \(y=1/2\) aux deux infinis. \(x=1\) n’est pas une asymptote.
Étudier la position relative de la courbe et de cette droite.
Indice
Repérez d’abord le domaine, les formes indéterminées et le signe. Méthode : limites usuelles.
Solution / explication détaillée
En \(+\infty\), \((x^2-3x)e^{-x}\to0\), donc \(f(x)\sim x+2\to+\infty\). En \(-\infty\), \(x^2-3x>0\) et \(e^{-x}\to+\infty\): le produit domine le terme \(x+2\), donc \(f\to+\infty\).
\(f(x)-(x+2)=(x^2-3x)e^{-x}\to0\).
L’asymptote oblique en \(+\infty\) est \(y=x+2\).
La différence \(x(x-3)e^{-x}\) a le signe de \(x(x-3)\): courbe au-dessus pour \(x<0\) ou \(x>3\), en dessous pour \(0<x<3\), intersections en \(0\) et \(3\).
Exercice 13
Paramètre et discontinuité
Terminale Spé · Type bac
Pour \(a\in\mathbb{R}\), soit \(f_a(x)=\dfrac{x^2+ax-6}{x-2}\) pour \(x\ne2\).
Calculer les limites en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Pour quelle valeur de \(a\) existe-t-il une limite finie lorsque \(x\to2\) ? La calculer.
Pour toute autre valeur de \(a\), calculer les limites en \(2^-\) et \(2^+\) en distinguant les cas.
Déterminer par division euclidienne une asymptote oblique en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Indice
Repérez d’abord le domaine, les formes indéterminées et le signe. Méthode : étude des signes.
Solution / explication détaillée
Division: \(f_a(x)=x+a+2+\frac{2a-2}{x-2}\). Ainsi limite \(+\infty\) en \(+\infty\), \(-\infty\) en \(-\infty\).
La limite est finie si \(2a-2=0\), soit \(a=1\); alors \(f_1(x)=x+3\) pour \(x\ne2\), donc limite \(5\).
Si \(a>1\), le reste \(2a-2>0\): limites \(-\infty\) à gauche et \(+\infty\) à droite. Si \(a<1\), signes inverses: \(+\infty\) à gauche et \(-\infty\) à droite.
Comme \(\frac{2a-2}{x-2}\to0\) aux deux infinis, \(y=x+a+2\) est asymptote oblique.
Exercice 14
Exponentielle et variations
Terminale Spé · Type bac
On pose \(f(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\).
Déterminer l’ensemble de définition et les limites aux deux infinis.
En déduire les asymptotes horizontales.
Montrer que \(f(-x)=-f(x)\).
Calculer \(f'(x)\), étudier son signe puis dresser le tableau de variations.
Déterminer l’image de \(\mathbb{R}\) par \(f\).
Indice
Repérez d’abord le domaine, les formes indéterminées et le signe. Méthode : termes dominants.
Solution / explication détaillée
\(e^x+1>0\), donc domaine \(\mathbb R\). Quand \(x\to+\infty\), diviser par \(e^x\): limite \(1\). Quand \(x\to-\infty\), \(e^x\to0\): limite \(-1\).
Asymptotes horizontales \(y=1\) à droite et \(y=-1\) à gauche.
Multiplier les fractions définissant \(f(-x)\) par \(e^x\): \(f(-x)=\frac{1-e^x}{1+e^x}=-f(x)\).
\(f'(x)=\frac{2e^x}{(e^x+1)^2}>0\); \(f\) est strictement croissante de \(-1\) vers \(1\).
La continuité et la stricte croissance montrent que l’image est \(]-1,1[\) (bornes jamais atteintes).
Exercice 15
Radical et asymptotes distinctes
Terminale Spé · Type bac
Soit \(f(x)=\sqrt{4x^2+3x+2}-2x\).
Justifier que \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\).
Calculer sa limite en \(+\infty\) par conjugaison, puis donner l’asymptote horizontale.
Vérifier que \(\displaystyle f(x)=\frac{3x+2}{\sqrt{4x^2+3x+2}+2x}\) pour \(x\ne-\frac23\).
Calculer la limite de \(f\) en \(-\infty\).
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\bigl(f(x)+4x\bigr)\) et en déduire une asymptote oblique en \(-\infty\).
Indice
Repérez d’abord le domaine, les formes indéterminées et le signe. Méthode : factorisation.
En \(+\infty\), conjugaison: \(f=\frac{3x+2}{\sqrt{4x^2+3x+2}+2x}\to3/4\). Asymptote \(y=3/4\).
L’identité vient de la différence de deux carrés et est valable lorsque le dénominateur conjugué est non nul, soit \(x\ne-2/3\); l’expression originale reste définie en ce point.
Pour \(x<0\), \(\sqrt{4x^2+3x+2}=(-x)\sqrt{4+3/x+2/x^2}\sim-2x\), donc \(f(x)\sim-4x\to+\infty\).
La courbe admet-elle la droite \(y=x\) comme asymptote en \(+\infty\) ? Justifier.
Indice
Repérez d’abord le domaine, les formes indéterminées et le signe. Méthode : termes dominants.
Solution / explication détaillée
En \(0^+\), \(-2\ln x\to+\infty\), donc \(f\to+\infty\). En \(+\infty\), \(f=x(1-2\ln x/x)\to+\infty\).
\(f'(x)=1-2/x=(x-2)/x\). Décroît sur \(]0,2]\), croît sur \([2,+\infty[\).
Minimum \(f(2)=2-2\ln2>0\) car \(\ln2<1\); donc \(f>0\).
\(f(x)/x=1-2\ln x/x\to1\).
Non: \(f(x)-x=-2\ln x\to-\infty\), donc pas d’asymptote \(y=x\). Le rapport tendant vers \(1\) ne suffit pas.
Exercice 22
Paramètre dans un logarithme
Terminale Spé · Type bac
Pour \(a\in\mathbb{R}\), on définit \(f_a(x)=\dfrac{\ln x-a(x-1)}{(x-1)^2}\) pour \(x>0\), \(x\ne1\).
Montrer que pour \(a\ne1\), la limite en \(1\) n’est pas finie et déterminer ses limites latérales.
Pour \(a=1\), déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to1}f_1(x)\) (on pourra utiliser une identité intégrale ou une étude de dérivée).
Calculer les limites de \(f_a\) en \(0^+\) et en \(+\infty\) pour tout \(a\in\mathbb{R}\).
Déterminer les asymptotes verticales éventuelles et l’asymptote horizontale en \(+\infty\).
Indice
Repérez d’abord le domaine, les formes indéterminées et le signe. Méthode : factorisation.
Solution / explication détaillée
Poser \(h=x-1\). Comme \(\ln(1+h)/h\to1\), \(f_a(x)=\frac1h(\frac{\ln(1+h)}h-a)\). Si \(a<1\), limite \(-\infty\) en \(1^-\) et \(+\infty\) en \(1^+\); si \(a>1\), signes inversés.
Pour \(a=1\), appliquer deux fois la règle de l’Hôpital n’est pas nécessaire: poser \(q(h)=\frac{\ln(1+h)-h}{h^2}\); \(\ln(1+h)-h=-\int_0^h \frac{t}{1+t}\,dt\). Après \(t=hu\), \(q(h)=-\int_0^1\frac{u}{1+hu}\,du\to-1/2\). On peut aussi utiliser le théorème des accroissements finis sur \(\ln(1+h)-h\) puis une limite dérivée.
En \(0^+\), \(\ln x\to-\infty\) et \((x-1)^2\to1\), donc \(f_a\to-\infty\). En \(+\infty\), écrire \(f_a=\frac{\ln x}{(x-1)^2}-a\frac1{x-1}\to0\).
Asymptote verticale \(x=0\) (au bord du domaine), et si \(a\ne1\), \(x=1\) aussi. Pour \(a=1\), trou prolongeable; asymptote horizontale \(y=0\) en \(+\infty\).
Exercice 23
Étude complète d'une fonction logarithmique
Terminale Spé · Type bac
On pose \(h(x)=\dfrac{\ln x}{x-1}\) pour \(x>0\), \(x\ne1\).
Calculer les limites de \(h\) en \(0^+\), en \(1\) et en \(+\infty\).
En déduire les éventuelles asymptotes et déterminer un prolongement continu en \(1\).
Calculer \(h'(x)\) pour \(x\ne1\) et montrer que son signe est celui de \(1-\frac1x-\ln x\).
En étudiant \(\varphi(x)=1-\frac1x-\ln x\), montrer que \(h\) est strictement décroissante sur chacun des intervalles \(]0,1[\) et \(]1,+\infty[\).
Dresser un tableau de variations et préciser l’ensemble des valeurs prises par la fonction prolongée.
Indice
Repérez d’abord le domaine, les formes indéterminées et le signe. Méthode : quantité conjuguée.
Solution / explication détaillée
En \(0^+\), \(\ln x\to-\infty\) et \(x-1\to-1\), donc \(+\infty\). En \(1\), \(\ln x/(x-1)\to1\). En \(+\infty\), \(\ln x/(x-1)\to0\).
Asymptote verticale \(x=0\) et horizontale \(y=0\) à droite; prolongement par \(h(1)=1\).
\(h'=\frac{(x-1)/x-\ln x}{(x-1)^2}=\frac{1-1/x-\ln x}{(x-1)^2}\), donc le signe est celui de \(\varphi\).
\(\varphi'(x)=\frac{1-x}{x^2}\). Ainsi \(\varphi\) croît sur \(]0,1[\), décroît sur \(]1,+\infty[\), et son maximum \(\varphi(1)=0\). Donc \(\varphi<0\) si \(x\ne1\) et \(h\) est strictement décroissante sur chaque intervalle.
La fonction prolongée est continue, décroissante de \(+\infty\) vers \(0\) (en passant par \(1\) en \(x=1\)). Son image est \(]0,+\infty[\).
Partie G — Défis avancés
Exercice 24
Logarithme et racine
Terminale Spé · Défi
Soit \(F(x)=\sqrt{x^2+x+1}-x-\ln\left(1+\frac1x\right)\) pour \(x>0\).
Déterminer la limite de \(F\) en \(+\infty\).
Calculer la limite de \(F\) en \(0^+\).
Vérifier que \(F(x)-\frac12\to0\) quand \(x\to+\infty\). En déduire une asymptote horizontale.
Indice
Repérez d’abord le domaine, les formes indéterminées et le signe. Méthode : croissances comparées.
Solution / explication détaillée
À l’infini, \(\sqrt{x^2+x+1}-x=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}+x}\to1/2\) et \(\ln(1+1/x)\to0\), donc \(F\to1/2\).
En \(0^+\), \(\sqrt{x^2+x+1}-x\to1\) mais \(\ln(1+1/x)\to+\infty\): donc \(F\to-\infty\).
\(F(x)-1/2\to0\) d’après la première question: l’asymptote horizontale à droite est \(y=1/2\).
Exercice 25
Exponentielle, logarithme et composition
Terminale Spé · Défi
Pour \(x>0\), on pose \(G(x)=\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{x+1}\).
Déterminer la limite de \(G\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
Étudier les variations de \(G\) et en déduire son signe.
En posant \(t=1/x\), étudier \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2G(x)\) (un calcul de dérivée ou une limite usuelle adaptée pourra être utilisé).
Indice
Repérez d’abord le domaine, les formes indéterminées et le signe. Méthode : composition.
Solution / explication détaillée
En \(0^+\), \(\ln(1+1/x)\to+\infty\) et \(1/(x+1)\to1\), donc \(G\to+\infty\). En \(+\infty\), les deux termes tendent vers \(0\), donc \(G\to0\).
\(G'(x)=-\frac1{x(x+1)}+\frac1{(x+1)^2}=-\frac1{x(x+1)^2}<0\). \(G\) décroît de \(+\infty\) vers \(0\), donc \(G>0\).
Poser \(t=1/x\). Alors \(x^2G=\frac{\ln(1+t)-t/(1+t)}{t^2}\). La dérivée du numérateur vaut \(t/(1+t)^2\); par l’identité intégrale \(\ln(1+t)-t/(1+t)=\int_0^t\frac{s}{(1+s)^2}\,ds\), puis \(s=tu\), la limite vaut \(\int_0^1u\,du=1/2\).
Partie H — Approfondissements : logarithmes et synthèses
Exercice 26
Quotients logarithmiques
Terminale Spé · Avancé
Déterminer le domaine de \(f(x)=\dfrac{\ln(x-1)}{x-2}\).
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)\).
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)\).
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et préciser les asymptotes parallèles aux axes.
Indice
Se placer sur \(x>1\), \(x\ne2\).
Poser \(u=x-2\) puis utiliser \(\ln(1+u)/u\to1\).
Le logarithme tend vers \(-\infty\) et le dénominateur vers \(-1\).
Comparer le logarithme et une puissance de \(x\).
Solution / explication détaillée
Le logarithme impose \(x-1>0\) et le dénominateur \(x-2\ne0\). Ainsi \(D_f=]1,2[\cup]2,+\infty[\).
Pour \(u=x-2\), \(x-1=1+u\) : \(f(x)=\ln(1+u)/u\to1\). La discontinuité en \(2\) est donc supprimable.
Lorsque \(x\to1^+\), \(\ln(x-1)\to-\infty\) et \(x-2\to-1\) ; par quotient, \(f(x)\to+\infty\).
Lorsque \(x\to+\infty\), \(\ln(x-1)/(x-2)\to0\) par croissance comparée. Les asymptotes sont \(x=1\) (verticale) et \(y=0\) (horizontale à droite) ; \(x=2\) n’est pas une asymptote.
Multiplier par le conjugué et diviser par \(x>0\).
Utiliser \(\ln a-\ln b=\ln(a/b)\).
Poser \(t=1/x\).
Poser \(u=x^{1/4}\).
Solution / explication détaillée
La conjugaison donne \(\dfrac{6x+2}{\sqrt{x^2+6x+2}+x}=\dfrac{6+2/x}{\sqrt{1+6/x+2/x^2}+1}\to3\).
On a \(\ln(x+2)-\ln x=\ln(1+2/x)\to\ln1=0\).
Pour \(t=1/x\to+\infty\), \(x\ln(2x)=\dfrac{\ln2-\ln t}{t}\to0\) par croissance comparée (par valeurs négatives).
Avec \(u=x^{1/4}\to+\infty\), \(\dfrac{(\ln x)^2}{\sqrt x}=\dfrac{16(\ln u)^2}{u^2}=16(\ln u/u)^2\to0\).
Exercice 28
Fonction logarithmique et variations
Terminale Spé · Type bac
Soit \(f(x)=x-1-\ln x\). Déterminer son domaine et ses limites en \(0^+\) et \(+\infty\).
Calculer \(f^{\prime}(x)\) et dresser son tableau de variations.
En déduire que \(\ln x\le x-1\) pour tout \(x>0\), avec le cas d’égalité.
Étudier \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x\) et dire si \(y=x-1\) est une asymptote.
Indice
On travaille sur \(]0,+\infty[\).
Dériver puis étudier \(1-1/x\).
Le minimum vaut zéro.
Comparer \(f(x)/(x)\) et \(f(x)-(x-1)\).
Solution / explication détaillée
Le domaine est \(]0,+\infty[\). Quand \(x\to0^+\), \(-\ln x\to+\infty\), donc \(f(x)\to+\infty\). Quand \(x\to+\infty\), \(f(x)=x(1-1/x-\ln x/x)\to+\infty\) puisque le facteur tend vers \(1\).
On a \(f^{\prime}(x)=1-1/x=(x-1)/x\). La dérivée est négative sur \(]0,1[\), nulle en \(1\), positive sur \(]1,+\infty[\). La fonction décroît de \(+\infty\) à \(0=f(1)\) puis croît vers \(+\infty\).
Comme \(f(x)\ge0\), on obtient \(\ln x\le x-1\), avec égalité uniquement pour \(x=1\).
On a \(f(x)/x=1-1/x-\ln x/x\to1\). Mais \(f(x)-(x-1)=-\ln x\to-\infty\) ; donc \(y=x-1\) n’est pas une asymptote oblique.
Factoriser \(e^{2x}\) à l’intérieur du logarithme.
Poser \(t=e^{-x}\) et exploiter \(\ln(1+t)/t\).
Reconnaître un taux d’accroissement.
Les puissances et les logarithmes sont dominés par l’exponentielle.
Solution / explication détaillée
Comme \(\ln(1+e^{2x})=2x+\ln(1+e^{-2x})\), la différence est \(\ln(1+e^{-2x})\to0\).
Pour \(t=e^{-x}\to+\infty\), on a \(e^x\ln(1+e^{-x})=\ln(1+t)/t\to0\).
Pour \(h(x)=\ln(1+e^x)\), \(h^{\prime}(x)=e^x/(1+e^x)\). La limite du taux d’accroissement en \(0\) vaut \(h^{\prime}(0)=1/2\).
On écrit \(\dfrac{x^3\ln x}{e^x}=\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)\left(\dfrac{x^4}{e^x}\right)\). Les deux facteurs tendent vers \(0\), donc la limite vaut \(0\).
Exercice 30
Synthèse type bac avec paramètre
Terminale Spé · Défi
Pour \(a\in\mathbb R\), on pose \(F_a(x)=\ln x-ax\) sur \(]0,+\infty[\). Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}F_a(x)\).
Discuter \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F_a(x)\) suivant le signe de \(a\).
Pour \(a>0\), calculer \(F_a^{\prime}(x)\) et déterminer son maximum.
Pour \(a>0\), discuter selon \(a\) le nombre de solutions de \(F_a(x)=0\).
Indice
La fonction logarithme tend vers \(-\infty\) en \(0^+\).
Pour \(a>0\), le terme linéaire domine le logarithme.
Résoudre \(1/x-a=0\).
Étudier le signe du maximum \(-\ln a-1\).
Solution / explication détaillée
Pour tout réel \(a\), \(ax\to0\) en \(0^+\) et \(\ln x\to-\infty\), donc \(F_a(x)\to-\infty\).
Si \(a>0\), \(\ln x-ax=x(\ln x/x-a)\to-\infty\). Si \(a=0\), \(F_0(x)=\ln x\to+\infty\). Si \(a<0\), \(F_a(x)=\ln x+|a|x\to+\infty\).
Pour \(a>0\), \(F_a^{\prime}(x)=1/x-a\), positive pour \(0<x<1/a\) et négative pour \(x>1/a\). Le maximum vaut \(F_a(1/a)=\ln(1/a)-1=-\ln a-1\).
La fonction est continue, strictement croissante puis décroissante, et tend vers \(-\infty\) aux deux bornes. Si \(0<a<e^{-1}\), le maximum est positif : deux solutions. Si \(a=e^{-1}\), le maximum est nul : une solution (\(x=e\)). Si \(a>e^{-1}\), le maximum est négatif : aucune solution.
Conseil Bac : commencer chaque limite par le domaine et la forme rencontrée ; justifier chaque passage à la limite.
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