Limites De Fonctions
TERMINALE-SPE • MATHS — Learna
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Cours — Limites de fonctions
Terminale Spécialité Maths • Limites en un point et à l’infini • formes indéterminées • comparaisons • asymptotes • continuité.
1) Objectifs et compétences attendues
Compétences à maîtriser
- Déterminer une limite en un point ou à l’infini.
- Distinguer limite finie, limite infinie, limite à gauche et limite à droite.
- Reconnaître les formes indéterminées et choisir une méthode adaptée.
- Utiliser les comparaisons, les encadrements et le théorème des gendarmes.
- Identifier une asymptote verticale, horizontale ou oblique.
- Relier limite et continuité pour calculer rapidement certaines limites.
Réflexes Bac
- On commence toujours par regarder le domaine de définition.
- On teste ensuite la substitution directe quand elle est possible.
- On repère les formes : \(0/0\), \(\infty/\infty\), \(\infty-\infty\), \(0\times\infty\).
- À l’infini, on cherche souvent le terme dominant.
- Près d’une valeur interdite, on étudie séparément la gauche et la droite.
Idée centrale : une limite décrit le comportement de \(f(x)\) lorsque \(x\) s’approche d’une valeur ou devient très grand en valeur absolue. On ne cherche pas seulement une valeur : on cherche un comportement.
2) Définitions fondamentales
Limite finie en un point
\[
\lim_{x\to a} f(x)=\ell
\]
signifie que lorsque \(x\) se rapproche de \(a\), les valeurs \(f(x)\) se rapprochent de \(\ell\).
Limite infinie en un point
\[
\lim_{x\to a} f(x)=+\infty
\quad\text{ou}\quad
\lim_{x\to a} f(x)=-\infty.
\]
Cela signifie que \(f(x)\) devient arbitrairement grand ou arbitrairement petit au voisinage de \(a\).
Limites unilatérales
- \(\displaystyle \lim_{x\to a^-}f(x)\) : \(x\) tend vers \(a\) avec \(x
- \(\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)\) : \(x\) tend vers \(a\) avec \(x>a\).
Condition d’existence
La limite \(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\) existe si et seulement si les deux limites unilatérales existent et sont égales :
\[
\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x).
\]
Limite à l’infini
Les écritures
\[
\lim_{x\to +\infty}f(x)=\ell,
\qquad
\lim_{x\to -\infty}f(x)=\ell
\]
traduisent le comportement de \(f(x)\) lorsque \(x\) devient très grand ou très négatif.
Exemple — Une limite qui n’existe pas
Soit \(f(x)=\dfrac{|x|}{x}\), définie sur \(\mathbb{R}^*\).
- Si \(x>0\), alors \(f(x)=1\), donc \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}f(x)=1\).
- Si \(x<0\), alors \(f(x)=-1\), donc \(\displaystyle \lim_{x\to 0^-}f(x)=-1\).
3) Limites usuelles à connaître
| Fonction | Limites importantes |
|---|---|
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac1x=0\), \(\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac1x=0\), \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac1x=+\infty\), \(\displaystyle \lim_{x\to 0^-}\frac1x=-\infty\) |
| \(x^n\), \(n\in\mathbb{N}^*\) | À \(+\infty\), \(x^n\to +\infty\). À \(-\infty\), le signe dépend de la parité de \(n\). |
| \(\sqrt{x}\) | \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\sqrt{x}=+\infty\) et \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}=0\) |
| \(e^x\) | \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}e^x=+\infty\), \(\displaystyle \lim_{x\to -\infty}e^x=0\) |
| \(\ln(x)\) | \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty\), \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty\) |
| \(\sin x\), \(\cos x\) | Fonctions bornées : \(-1\le \sin x\le 1\), \(-1\le \cos x\le 1\). Très utile avec les gendarmes. |
Très important : à l’infini, le terme dominant guide souvent la limite. Pour une fraction rationnelle \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\), on compare les degrés de \(P\) et \(Q\).
4) Opérations sur les limites
Cas directs
Si \(\displaystyle \lim f=\ell\) et \(\displaystyle \lim g=m\), alors, dans les cas autorisés :
\[
\lim(f+g)=\ell+m,
\qquad
\lim(f-g)=\ell-m,
\qquad
\lim(fg)=\ell m.
\]
Si \(m\neq 0\), alors :
\[
\lim\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{\ell}{m}.
\]
Fractions rationnelles à l’infini
| Cas | Conclusion |
|---|---|
| \(\deg(P)<\deg(Q)\) | \(\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}\to 0\) |
| \(\deg(P)=\deg(Q)\) | La limite est le quotient des coefficients dominants. |
| \(\deg(P)>\deg(Q)\) | La limite est souvent infinie ; on étudie le terme dominant et son signe. |
Exemple — Fonction rationnelle
\[
\lim_{x\to +\infty}\frac{3x-7}{x+2}=3.
\]
Le numérateur et le dénominateur sont de même degré. La limite est donc le quotient des coefficients dominants :
\[
\frac{3}{1}=3.
\]
5) Formes indéterminées
À reconnaître immédiatement
\[
\frac{0}{0}
\qquad
\frac{\infty}{\infty}
\qquad
\infty-\infty
\qquad
0\times\infty
\]
Erreur à éviter : écrire directement \(\dfrac{0}{0}=0\), \(\dfrac{\infty}{\infty}=1\) ou \(\infty-\infty=0\). Ce sont des formes indéterminées : il faut transformer l’expression.
6) Méthodes pour lever une indétermination
Factoriser
Utile pour simplifier un facteur commun dans une forme \(\dfrac{0}{0}\).
Conjuguer
Indispensable avec des racines du type \(\sqrt{A}-\sqrt{B}\).
Mettre au même dénominateur
Très utile pour une forme \(\infty-\infty\).
Terme dominant
À l’infini, on factorise souvent par la plus grande puissance ou l’expression dominante.
Exemple 1 — Factorisation
\[
\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}.
\]
La substitution donne \(\dfrac{0}{0}\). On factorise :
\[
x^2-4=(x-2)(x+2).
\]
Pour \(x\neq 2\),
\[
\frac{x^2-4}{x-2}=x+2.
\]
Donc :
\[
\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=4.
\]
Exemple 2 — Conjugaison
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}.
\]
On multiplie par le conjugué :
\[
\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}
=
\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}
=
\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}.
\]
Pour \(x\neq 0\),
\[
\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}.
\]
Donc :
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac12.
\]
Exemple 3 — Terme dominant
\[
\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^3-5x+1}{x^3+4x^2-7}.
\]
On factorise par \(x^3\) au numérateur et au dénominateur :
\[
\frac{2x^3-5x+1}{x^3+4x^2-7}
=
\frac{x^3\left(2-\frac{5}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)}{x^3\left(1+\frac4x-\frac{7}{x^3}\right)}.
\]
Donc :
\[
\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^3-5x+1}{x^3+4x^2-7}=\frac21=2.
\]
7) Comparaisons et théorème des gendarmes
Théorème des gendarmes
Si, au voisinage de \(a\),
\[
u(x)\le f(x)\le v(x)
\]
et si
\[
\lim_{x\to a}u(x)=\lim_{x\to a}v(x)=\ell,
\]
alors :
\[
\lim_{x\to a}f(x)=\ell.
\]
Comparaison avec une fonction qui tend vers \(+\infty\)
Si \(f(x)\ge g(x)\) au voisinage étudié et si \(g(x)\to +\infty\), alors \(f(x)\to +\infty\).
De même, si \(f(x)\le g(x)\) et \(g(x)\to -\infty\), alors \(f(x)\to -\infty\).
Exemple — Gendarmes classique
Comme \(-1\le \sin t\le 1\), on obtient, pour \(x\neq 0\) :
\[
-|x|\le x\sin\left(\frac1x\right)\le |x|.
\]
Or :
\[
\lim_{x\to 0}(-|x|)=0
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{x\to 0}|x|=0.
\]
Donc :
\[
\lim_{x\to 0}x\sin\left(\frac1x\right)=0.
\]
8) Croissances comparées
À \(+\infty\), l’exponentielle domine les puissances, et les puissances dominent le logarithme.
| Résultat | Interprétation |
|---|---|
| \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty\) | L’exponentielle domine toute puissance de \(x\). |
| \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{x^n}{e^x}=0\) | Une puissance est négligeable devant \(e^x\). |
| \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0\) | Le logarithme croît plus lentement que toute puissance positive. |
| \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}x^n\ln x=0\) | La puissance \(x^n\) l’emporte sur la divergence de \(\ln x\). |
Exemple — Exponentielle contre polynôme
\[
\lim_{x\to +\infty}\frac{x^3+2x}{e^x}=0.
\]
En effet, l’exponentielle \(e^x\) domine toute puissance de \(x\). Le numérateur est polynomial, donc il est négligeable devant \(e^x\).
9) Limites de fonctions composées
Principe
Si \(\displaystyle \lim_{x\to a}u(x)=b\) et si \(\displaystyle \lim_{X\to b}f(X)=\ell\), alors :
\[
\lim_{x\to a}f(u(x))=\ell.
\]
Exemple — Composée avec exponentielle
Calculer :
\[
\lim_{x\to +\infty} e^{-2x+1}.
\]
On pose \(u(x)=-2x+1\). Lorsque \(x\to +\infty\), on a \(u(x)\to -\infty\). Or :
\[
\lim_{X\to -\infty}e^X=0.
\]
Donc :
\[
\lim_{x\to +\infty} e^{-2x+1}=0.
\]
Exemple — Composée avec logarithme
\[
\lim_{x\to +\infty}\ln(3x^2+1).
\]
Lorsque \(x\to +\infty\), on a \(3x^2+1\to +\infty\). Or \(\ln X\to +\infty\) lorsque \(X\to +\infty\). Donc :
\[
\lim_{x\to +\infty}\ln(3x^2+1)=+\infty.
\]
10) Asymptotes
Asymptote verticale
La droite \(x=a\) est une asymptote verticale si :
\[
\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty
\quad\text{ou}\quad
\lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty.
\]
Asymptote horizontale
La droite \(y=\ell\) est une asymptote horizontale si :
\[
\lim_{x\to +\infty}f(x)=\ell
\quad\text{ou}\quad
\lim_{x\to -\infty}f(x)=\ell.
\]
Asymptote oblique
La droite \(y=mx+p\) est une asymptote oblique si :
\[
\lim_{x\to \pm\infty}\bigl(f(x)-(mx+p)\bigr)=0.
\]
En pratique, pour une fraction rationnelle, on utilise souvent une division euclidienne.
Exemple — Asymptote verticale
Pour \(f(x)=\dfrac{1}{x-2}\), on a :
\[
\lim_{x\to 2^-}\frac1{x-2}=-\infty
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{x\to 2^+}\frac1{x-2}=+\infty.
\]
Donc la droite \(x=2\) est une asymptote verticale.
Exemple — Asymptote oblique
\[
f(x)=\frac{2x^2+1}{x}=2x+\frac1x.
\]
Alors :
\[
f(x)-2x=\frac1x\xrightarrow[x\to \pm\infty]{}0.
\]
Donc la droite \(y=2x\) est une asymptote oblique à la courbe de \(f\).
11) Lien avec la continuité
Principe
Si \(f\) est définie en \(a\) et continue en \(a\), alors :
\[
\lim_{x\to a}f(x)=f(a).
\]
Les fonctions polynômes sont continues sur \(\mathbb{R}\). Les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine de définition. Les fonctions \(\exp\), \(\ln\), \(\sin\) et \(\cos\) sont continues sur leurs domaines respectifs.
Exemple — Cas d’un polynôme
Les polynômes sont continus sur \(\mathbb{R}\). Ainsi :
\[
\lim_{x\to 1}(x^3-2x+4)=1^3-2\times 1+4=3.
\]
12) Mini-formulaire final
Règles usuelles
\[
\lim(f+g)=\lim f+\lim g
\]
\[
\lim(fg)=\lim f\times\lim g
\]
\[
\lim\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{\lim f}{\lim g}
\quad\text{si}\quad \lim g\neq 0
\]
Asymptotes
\[
x=a \iff f(x)\to \pm\infty \text{ quand } x\to a^- \text{ ou } x\to a^+
\]
\[
y=\ell \iff f(x)\to \ell \text{ quand } x\to +\infty \text{ ou } x\to -\infty
\]
\[
y=mx+p \iff f(x)-(mx+p)\to 0
\]
Équivalents / limites classiques
\[
\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1
\]
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1
\]
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1
\]
Croissances comparées
\[
\frac{x^n}{e^x}\xrightarrow[x\to +\infty]{}0
\]
\[
\frac{\ln x}{x^n}\xrightarrow[x\to +\infty]{}0
\]
\[
x^n\ln x\xrightarrow[x\to 0^+]{}0
\]
Méthodes anti-indétermination
factoriser • conjuguer • mettre au même dénominateur • utiliser le terme dominant • utiliser les gendarmes • utiliser une croissance comparée • étudier le signe à gauche et à droite
Checklist “copie parfaite”
- Je commence par vérifier le domaine de définition.
- Je distingue une limite en un point, une limite à gauche, une limite à droite et une limite à l’infini.
- Je teste la substitution directe lorsque c’est possible.
- Si une forme indéterminée apparaît, je transforme l’expression.
- À l’infini, je cherche le terme dominant ou une croissance comparée.
- Près d’une valeur interdite, j’étudie le signe du dénominateur à gauche et à droite.
- Je conclus clairement, avec l’asymptote si elle existe.
Rappel notation française : intervalles \([a ; b]\), \([a ; b[\), \(]a ; b]\), \(]a ; b[\).