Limites de fonctions

Terminale Spécialité Maths — limites, asymptotes, continuité, lecture & interprétation graphique.

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Cours — Limites de fonctions
Terminale Spécialité Maths • Bac France
Limites en un point & à l’infini • Opérations • Formes indéterminées • Gendarmes • Asymptotes
1 colonne Méthodes Bac Pièges fréquents Asymptotes (V/H/Oblique)
Objectifs
  • Calculer des limites en un point (à gauche/droite) et à l’infini.
  • Maîtriser les opérations sur les limites et reconnaître les formes indéterminées.
  • Utiliser factorisation, conjugaison, comparaisons, th. des gendarmes.
  • Déterminer les asymptotes (verticale, horizontale, oblique).
Pré-requis express : simplification algébrique (factoriser), signes, dérivation (pour variations, optionnel), lecture graphique (tendance quand \(x\to a\) ou \(x\to\pm\infty\)).
1) Limite en un point

Soit \(f\) définie au voisinage de \(a\) (éventuellement pas en \(a\)).

Définition (idée)
  • \(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=\ell\) signifie : quand \(x\) se rapproche de \(a\), \(f(x)\) se rapproche de \(\ell\).
  • \(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=+\infty\) signifie : quand \(x\to a\), \(f(x)\) devient arbitrairement grand.
En Terminale, on utilise surtout les règles de calcul + des transformations (factoriser, conjuguer, comparer).
Limites à gauche / à droite
  • \(\displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x)\) : \(x\) approche \(a\) avec \(x<a\).
  • \(\displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x)\) : \(x\) approche \(a\) avec \(x>a\).
  • \(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)\) existe ssi \(\displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)\).
Exemple (limite finie et limites unilatérales)
Soit \(f(x)=\dfrac{|x|}{x}\) sur \(\mathbb{R}^\*\).
  • Si \(x>0\), \(f(x)=1\) donc \(\lim_{x\to 0^+} f(x)=1\).
  • Si \(x<0\), \(f(x)=-1\) donc \(\lim_{x\to 0^-} f(x)=-1\).
Donc \(\lim_{x\to 0} f(x)\) n’existe pas (les deux côtés diffèrent).
2) Limites à l’infini
  • \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=\ell\) : \(f(x)\) se stabilise vers \(\ell\) quand \(x\) devient très grand.
  • \(\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)=\ell\) : idem quand \(x\) devient très négatif.
  • \(\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty} f(x)=\pm\infty\) : la fonction diverge.
Réflexe Bac : pour les fonctions rationnelles \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\), comparer les degrés de \(P\) et \(Q\).
Méthode (rationnelles) — comparaison des degrés
Soit \(\displaystyle f(x)=\frac{a_n x^n+\cdots}{b_m x^m+\cdots}\) avec \(b_m\neq 0\).
  • Si \(n<m\) alors \(\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=0\).
  • Si \(n=m\) alors \(\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\frac{a_n}{b_m}\).
  • Si \(n>m\) alors \(f(x)\) diverge (souvent \(\pm\infty\)) et peut avoir une asymptote oblique/polynomiale.
3) Opérations sur les limites (règles)
Si \(\lim f=\ell\) et \(\lim g=m\) (finies)
  • \(\lim(f+g)=\ell+m\), \(\lim(f-g)=\ell-m\), \(\lim(fg)=\ell m\)
  • \(\displaystyle \lim \frac{f}{g}=\frac{\ell}{m}\) si \(m\neq 0\)
Même logique pour \(x\to a\), \(x\to a^\pm\), \(x\to\pm\infty\).
Formes indéterminées (attention) : \[ \frac{0}{0},\quad \infty-\infty,\quad 0\times\infty,\quad \frac{\infty}{\infty},\quad 1^\infty,\quad 0^0,\quad \infty^0. \] Dans ces cas : on transforme l’expression (factoriser, mettre au même dénominateur, conjuguer, comparer).
4) Boîte à outils (spécial \(\frac{0}{0}\) et \(\infty-\infty\))
A) Factoriser (réflexe n°1)

Si un même facteur tend vers \(0\) en haut et en bas, on le simplifie.

Ex : lim_{x→2} (x^2-4)/(x-2) → (x-2)(x+2)/(x-2) = x+2 donc limite = 4
\[ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+2)=4. \]
B) Conjuguer (racines)

Pour \(\sqrt{A}-\sqrt{B}\), multiplier par \(\sqrt{A}+\sqrt{B}\).

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)} =\lim_{x\to 0}\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)} =\frac{1}{2}. \]
C) Mettre au même dénominateur (\(\infty-\infty\))
\[ \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{2x+1}{x}-2\right) =\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{2x+1-2x}{x}\right) =\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0. \]
Astuce : transformer \(\infty-\infty\) en une fraction unique.
5) Comparaisons • Encadrements • Théorème des gendarmes
Théorème des gendarmes : si \(u(x)\le f(x)\le v(x)\) au voisinage de \(a\) et \(\lim_{x\to a}u(x)=\lim_{x\to a}v(x)=\ell\), alors \(\lim_{x\to a}f(x)=\ell\).
Exemple (classique Bac) : \(\sin x\) et \(x\)
Près de \(0\), on sait que \(-|x|\le \sin x \le |x|\). Donc, en divisant par \(x\) (avec prudence sur le signe), on obtient \[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. \] (résultat admis/attendu en Terminale ; on le réutilise pour des limites trigonométriques).
Piège : les gendarmes exigent un encadrement valide dans un voisinage (pas seulement “à l’œil” sur 2 valeurs).
6) Asymptotes
A) Asymptote verticale

La droite \(x=a\) est une asymptote verticale si \(\displaystyle \lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty\) ou \(\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty\).

Exemple
\[ f(x)=\frac{1}{x-3}\quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to 3^-}f(x)=-\infty,\ \lim_{x\to 3^+}f(x)=+\infty. \] Donc \(x=3\) est asymptote verticale.
B) Asymptote horizontale

La droite \(y=\ell\) est asymptote horizontale en \(+\infty\) si \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=\ell\) (et en \(-\infty\) si \(\lim_{x\to -\infty} f(x)=\ell\)).

\[ \lim_{x\to +\infty}\frac{2}{x}=0 \quad\Rightarrow\quad y=0\ \text{asymptote horizontale en }+\infty. \]
C) Asymptote oblique

La droite \(y=mx+p\) est asymptote oblique en \(+\infty\) si \[ \lim_{x\to +\infty}\bigl(f(x)-(mx+p)\bigr)=0. \]

Méthode Bac (très utilisée) : faire une division euclidienne (ou “séparer” en \(mx+p+\text{reste}\)).
Exemple (division rapide)
\[ f(x)=\frac{2x^2+1}{x}=2x+\frac{1}{x}. \] Or \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0\), donc \(y=2x\) est asymptote oblique en \(+\infty\).
Piège : une asymptote oblique n’existe pas si \(f(x)\) oscille sans se rapprocher d’une droite (ou si le “reste” ne tend pas vers 0).
7) Lien avec la continuité (utile Bac)
Si \(f\) est continue en \(a\), alors \[ \lim_{x\to a} f(x)=f(a). \] Donc pour une limite en un point, on teste d’abord : substitution directe (si le dénominateur ne vaut pas 0 et pas de racine “interdite”).
Exemple : continuité d’un polynôme
Les polynômes sont continus sur \(\mathbb{R}\). Donc \[ \lim_{x\to 1}(x^3-2x+4)=1^3-2\cdot 1+4=3. \]
8) Méthode Bac en 6 lignes (à appliquer à chaque limite)
  1. Identifier : \(x\to a\), \(x\to a^\pm\), \(x\to\pm\infty\).
  2. Tester substitution (si possible) : obtient-on une valeur finie ?
  3. Si forme indéterminée : transformer (factoriser / conjuguer / même dénominateur / degrés).
  4. Simplifier et recalculer la limite.
  5. Si besoin : comparaison / gendarmes.
  6. Conclusion + asymptote éventuelle.
Rappel “gain de temps” : quand c’est possible, factorise avant de développer. Ça évite les erreurs et accélère énormément (réflexe Bac).
9) Mini-exemples (corrigés rapides)
Ex 1 — \(\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{x^2-1}{x+1}\)
\[ \frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1 \quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to -1}(x-1)=-2. \]
Ex 2 — \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{3x-7}{x+2}\)
Degrés égaux : \[ \lim_{x\to +\infty}\frac{3x-7}{x+2}=\frac{3}{1}=3. \] Donc \(y=3\) est asymptote horizontale en \(+\infty\).
Ex 3 — \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\)
Résultat admis (Terminale) : \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\). (souvent via identité \(1-\cos x=2\sin^2(x/2)\) + \(\lim \sin u/u=1\)).
10) Pièges fréquents (à éviter)
  • Confondre \(\lim_{x\to a}\) et \(\lim_{x\to a^\pm}\) (surtout près d’une asymptote verticale).
  • “Simplifier” alors que le facteur commun vaut 0 hors voisinage (vérifier domaine !).
  • Oublier le signe quand on étudie \(\frac{1}{x-a}\) à gauche/droite de \(a\).
  • Développer partout au lieu de factoriser (perte de temps + erreurs).
  • Dire “asymptote” juste parce que la courbe est “près” : il faut une limite (verticale/horizontale/oblique).