Fiche de révision — Limites de fonctions
Terminale Spécialité Maths • Bac France
Limites en un point / à l’infini • Formes indéterminées • Asymptotes • Méthodes rapides
Limites en un point / à l’infini • Formes indéterminées • Asymptotes • Méthodes rapides
1 colonne
Méthodes Bac
Asymptotes
Pièges
A) Définitions express
Limite en un point :
\(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=\ell\) signifie : quand \(x\) se rapproche de \(a\), \(f(x)\) se rapproche de \(\ell\).
Limite infinie :
\(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=+\infty\) signifie : quand \(x\to a\), \(f(x)\) devient arbitrairement grand.
Unilatérales :
\(\displaystyle \lim_{x\to a^-}\) (gauche) et \(\displaystyle \lim_{x\to a^+}\) (droite).
La limite \(\lim_{x\to a}f(x)\) existe ssi les deux sont égales.
À l’infini :
\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=\ell\) : la fonction “se stabilise” vers \(\ell\).
B) Règles de calcul (à connaître)
| Situation | Conclusion |
|---|---|
| Si \(\lim f=\ell\) et \(\lim g=m\) (finies) | \(\lim(f\pm g)=\ell\pm m\), \(\lim(fg)=\ell m\), \(\displaystyle \lim\frac{f}{g}=\frac{\ell}{m}\) si \(m\neq 0\). |
| Fonctions continues en \(a\) | \(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a)\) (substitution directe). Réflexe #1 |
| Rationnelles \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) à l’infini | Comparer les degrés. Si degrés égaux : limite = ratio des coefficients dominants. |
Formes indéterminées :
\(\dfrac{0}{0}\), \(\infty-\infty\), \(0\times\infty\), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) (et formes exponentielles).
⇒ on transforme l’expression (factoriser, conjuguer, comparer…).
⇒ on transforme l’expression (factoriser, conjuguer, comparer…).
C) Boîte à outils Bac (anti \(\frac{0}{0}\) et anti \(\infty-\infty\))
1) Factoriser (le plus rentable)
- \(x^2-a^2=(x-a)(x+a)\)
- \(x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2)\)
- \(x^3+a^3=(x+a)(x^2-ax+a^2)\)
- \((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\)
Ex : (x^2-4)/(x-2) = (x-2)(x+2)/(x-2) = x+2
2) Conjuguer (racines)
- \(\sqrt{A}-\sqrt{B}\) ⇒ multiplier par \(\sqrt{A}+\sqrt{B}\)
Ex : (√(1+x)-1)/x
→ conjugué → x / (x(√(1+x)+1)) → 1/2
3) Mettre au même dénominateur (pour \(\infty-\infty\))
- Transformer en une fraction unique
Ex : (2x+1)/x - 2 = (2x+1-2x)/x = 1/x → 0
4) Terme dominant (à l’infini)
- Diviser par \(x^n\) où \(n\) est le plus grand degré
- Ou isoler \(x^n\) dans numérateur/dénominateur
Ex : (ax^2+...)/(x^2+...) → a
Conseil “gain de temps” : ne développe pas inutilement.
Si tu peux factoriser, fais-le : c’est plus rapide et plus sûr.
D) Comparaisons • Encadrements • Théorème des gendarmes
Si \(u(x)\le f(x)\le v(x)\) au voisinage de \(a\) et
\(\lim_{x\to a}u(x)=\lim_{x\to a}v(x)=\ell\),
alors \(\boxed{\lim_{x\to a}f(x)=\ell}\).
Classique Bac — \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\)
Résultat clé (admis/obtenu par encadrement) :
\[
\boxed{\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1}.
\]
Et donc, pour \(k\in\mathbb{R}\),
\[
\frac{\sin(kx)}{x}=k\cdot\frac{\sin(kx)}{kx}\ \Longrightarrow\
\boxed{\lim_{x\to 0}\frac{\sin(kx)}{x}=k}.
\]
E) Asymptotes (verticale / horizontale / oblique)
| Type | Condition (à retenir) |
|---|---|
| Verticale \(x=a\) |
\(\displaystyle \lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty\) ou \(\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty\).
Attention au signe |
| Horizontale \(y=\ell\) | \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=\ell\) (ou en \(-\infty\)). |
| Oblique \(y=mx+p\) |
\(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\bigl(f(x)-(mx+p)\bigr)=0\).
Division euclidienne |
Méthode oblique (en 3 lignes)
Pour \(f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) avec \(\deg P = \deg Q + 1\) :
faire la division \(P=Q(mx+p)+r\) avec \(\deg r<\deg Q\). Alors
\[
f(x)=mx+p+\frac{r(x)}{Q(x)}\quad \text{et}\quad \frac{r(x)}{Q(x)}\to 0.
\]
Donc asymptote : \(\boxed{y=mx+p}\).
F) Méthode Bac — Checklist “limite” (ultra efficace)
- Quel type ? \(x\to a\), \(x\to a^\pm\), \(x\to\pm\infty\).
- Substitution directe si possible (continuité).
- Si indéterminée : factoriser (ou conjuguer / même dénominateur / dominant).
- Simplifier, puis recalculer la limite.
- Si besoin : comparaison ou gendarmes.
- Conclure + asymptote éventuelle (V/H/oblique).
Piège Bac : ne jamais conclure “asymptote” sans une limite qui le prouve.
Et pour les unilatérales : toujours justifier le signe.
G) Mini-formulaire utile
- \(\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x}=0\), \(\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^n}=0\) pour \(n\ge 1\).
- \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\).
- \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty\).
- \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\) et \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^x=0\).
- Pour \(x>0\), \(\sqrt{x^2+ax}=x\sqrt{1+\frac{a}{x}}\) (très utile à \(+\infty\)).
Exemple flash : \(\sqrt{x^2+3x}-x\)
\[
\sqrt{x^2+3x}-x=\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}
=\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1}\xrightarrow[x\to+\infty]{}\frac{3}{2}.
\]