Limites De Fonctions
TERMINALE-SPE • MATHS — Learna
Suivez votre progression
Connectez-vous pour enregistrer votre progression et vos tentatives de quiz.
Fiche ultra-synthèse — Limites de fonctions (Terminale Spé)
Limites en un point • limites à l’infini • formes indéterminées • croissances comparées • méthodes rapides • asymptotes.
Objectif : aller vite et juste en contrôle / Bac.
Essentiel (à savoir par cœur)
1 Types de limites
À distinguer :
\(x\to a\)
\(x\to a^-\)
\(x\to a^+\)
\(x\to +\infty\)
\(x\to -\infty\)
La limite en \(a\) existe si les deux limites unilatérales existent et sont égales.
Piège : ne pas confondre \(\lim_{x\to a}\) avec \(\lim_{x\to a^-}\) ou \(\lim_{x\to a^+}\).
2 Cas directs
| Situation | Réflexe |
|---|---|
| fonction continue en \(a\) | substitution directe |
| polynôme en \(a\) | on remplace \(x\) par \(a\) |
| fraction avec dénominateur non nul | on remplace \(x\) par la valeur |
| rationnelle à l’infini | on compare les degrés |
Exemple :
\[
\lim_{x\to 1}(x^3-2x+4)=3.
\]
3 Formes indéterminées
À reconnaître immédiatement :
\[
\frac{0}{0},\qquad
\frac{\infty}{\infty},\qquad
\infty-\infty,\qquad
0\times\infty.
\]
Une forme indéterminée n’est jamais une conclusion.
Elle impose une transformation.
4 Asymptotes
Verticale : \(x=a\) si \(f(x)\to \pm\infty\) quand \(x\to a\).
Horizontale : \(y=\ell\) si \(f(x)\to \ell\) quand \(x\to \pm\infty\).
Oblique : \(y=mx+p\) si \(f(x)-(mx+p)\to 0\).
Horizontale : \(y=\ell\) si \(f(x)\to \ell\) quand \(x\to \pm\infty\).
Oblique : \(y=mx+p\) si \(f(x)-(mx+p)\to 0\).
Exemple :
\[
\frac{2x^2+1}{x}=2x+\frac{1}{x}
\Rightarrow y=2x \text{ asymptote oblique.}
\]
Méthodes (procédures rapides Bac)
A Méthode générale
- Identifier le type de limite.
- Tester la substitution directe.
- Repérer une éventuelle forme indéterminée.
- Choisir l’outil : factoriser, conjuguer, dénominateur commun, terme dominant.
- Conclure proprement.
Type → Test direct → Forme ? → Transformation → Conclusion
B Comparaison des degrés
| \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) | Conclusion |
|---|---|
| \(\deg(P)<\deg(Q)\) | limite \(=0\) |
| \(\deg(P)=\deg(Q)\) | quotient des coefficients dominants |
| \(\deg(P)>\deg(Q)\) | on étudie le terme dominant |
Exemple :
\[
\lim_{x\to +\infty}\frac{3x-7}{x+2}=3.
\]
C Factoriser
- Repérer un facteur commun.
- Factoriser numérateur et/ou dénominateur.
- Simplifier avant de passer à la limite.
\[
\frac{x^2-4}{x-2}
=
\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}
=x+2
\]
donc la limite en \(2\) vaut \(4\).
D Conjuguer
À utiliser avec une différence de racines :
\[
\sqrt{A}-\sqrt{B}.
\]
\[
\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}
=
\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}
=
\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}
\]
donc la limite en \(0\) vaut \(\dfrac12\).
E Théorème des gendarmes
Si
\[
u(x)\le f(x)\le v(x)
\]
et si \(u\) et \(v\) ont la même limite \(\ell\), alors \(f\) a aussi pour limite \(\ell\).
\[
-|x|\le x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\le |x|
\]
et les deux bords tendent vers \(0\), donc
\[
x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\to 0.
\]
F Asymptote oblique
- Faire une division euclidienne ou séparer les termes.
- Écrire \(f(x)=mx+p+r(x)\).
- Vérifier que \(r(x)\to 0\).
\[
\frac{2x^2+1}{x}=2x+\frac{1}{x}
\]
avec \(\dfrac1x\to 0\), donc asymptote : \(y=2x\).
Croissances comparées — réflexes Terminale Spé
Les croissances comparées servent surtout pour les limites avec
puissances, exponentielle et logarithme. L’idée : certaines fonctions
deviennent beaucoup plus grandes que d’autres quand \(x\to +\infty\).
1 Exponentielle contre puissances
Pour tout entier \(n\ge 1\), quand \(x\to +\infty\) :
\[
\frac{e^x}{x^n}\to +\infty
\qquad\text{et}\qquad
\frac{x^n}{e^x}\to 0.
\]
À retenir : l’exponentielle domine toute puissance de \(x\).
2 Puissances contre logarithme
Pour tout entier \(n\ge 1\), quand \(x\to +\infty\) :
\[
\frac{\ln x}{x^n}\to 0
\qquad\text{et}\qquad
\frac{x^n}{\ln x}\to +\infty.
\]
À retenir : toute puissance positive de \(x\) domine \(\ln x\).
3 Ordre de domination
\[
\ln x \ll x^a \ll e^x
\qquad (a>0,\ x\to +\infty)
\]
Le logarithme grandit lentement, les puissances grandissent plus vite,
et l’exponentielle grandit beaucoup plus vite.
4 Exemple type Bac
Calculer :
\[
\lim_{x\to +\infty}\frac{3x^4-2x+1}{e^x}.
\]
Correction : le numérateur se comporte comme \(3x^4\), mais \(e^x\) domine \(x^4\).
Donc
\[
\frac{3x^4-2x+1}{e^x}\to 0.
\]
Piège : les croissances comparées s’utilisent surtout lorsque \(x\to +\infty\).
Pour \(x\to -\infty\), on transforme souvent avec un changement de variable ou on étudie
directement les signes et les termes dominants.
Pièges classiques (à éviter)
1 Gauche / droite
Une limite en \(a\) n’existe pas forcément même si les deux côtés existent.
Il faut qu’ils soient égaux.
2 Forme indéterminée
\(\dfrac00\), \(\dfrac{\infty}{\infty}\), \(\infty-\infty\), \(0\times\infty\)
ne donnent aucune conclusion directe.
3 Asymptote verticale
Il faut étudier le signe à gauche et à droite.
Exemple : \(\dfrac{1}{x-a}\) change de signe selon le côté.
Réflexe : on ne développe pas inutilement.
En limites, on gagne souvent du temps en factorisant ou en conjuguant.
Mini-tests (30 secondes chacun) — corrigés
Q1 Continuïté
Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2-3x+1)\).
Corrigé : polynôme continu, donc \(4-6+1=-1\).
Q2 Factorisation
Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}\).
Corrigé : \(\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\), donc limite \(=6\).
Q3 Degrés
Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{5x^2-1}{2x^2+3}\).
Corrigé : degrés égaux, limite \(=\dfrac52\).
Q4 Infini
Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}\).
Corrigé : \(0\).
Q5 Verticale
Quelle asymptote pour \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-4}\) ?
Corrigé : asymptote verticale \(x=4\).
Q6 Conjugaison
Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\).
Corrigé : \(\dfrac12\).
Q7 Croissances comparées
Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{x^3}{e^x}\).
Corrigé : \(e^x\) domine \(x^3\), donc la limite vaut \(0\).
Checklist (avant contrôle / Bac)
Je sais faire
- Distinguer limite en un point, à gauche, à droite, à l’infini.
- Tester correctement la substitution directe.
- Reconnaître une forme indéterminée.
- Utiliser factorisation, conjugaison, terme dominant, gendarmes.
- Utiliser les croissances comparées : \(\ln x \ll x^a \ll e^x\).
- Déterminer une asymptote verticale, horizontale ou oblique.
- Relier continuité et calcul de limite dans les cas usuels.
Réflexes 20/20
1) Je commence toujours par le test direct.
2) Si j’ai une indéterminée, je transforme proprement.
3) Je conclus avec une phrase claire et l’asymptote s’il y en a une.
2) Si j’ai une indéterminée, je transforme proprement.
3) Je conclus avec une phrase claire et l’asymptote s’il y en a une.
À bannir : conclure trop vite sur une forme indéterminée, oublier les limites unilatérales, annoncer une asymptote sans la limite.