Fonctions Trigonometriques
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Quiz SOLID — Fonctions trigonométriques : identités • équations • inéquations • étude (25 questions)
Réponds puis clique Vérifier (ou Tout vérifier). Série SOLID type Bac • réponses exactes en radians.
Q1. Calculer exactement \(\sin\left(\tfrac{13\pi}{6}\right)\).
Non vérifié
Indice
\(\tfrac{13\pi}{6}=2\pi+\tfrac{\pi}{6}\).
Correction
\(\sin(\tfrac{13\pi}{6})=\sin(2\pi+\tfrac{\pi}{6})=\sin(\tfrac{\pi}{6})=\tfrac12\).
Q2. Calculer exactement \(\cos\left(\tfrac{7\pi}{4}\right)\).
Non vérifié
Indice
\(\tfrac{7\pi}{4}=2\pi-\tfrac{\pi}{4}\).
Correction
\(\cos(\tfrac{7\pi}{4})=\cos(2\pi-\tfrac{\pi}{4})=\cos(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\sqrt2}{2}\).
Q3. Calculer exactement \(\tan\left(\tfrac{3\pi}{4}\right)\).
Non vérifié
Indice
\(\tfrac{3\pi}{4}=\pi-\tfrac{\pi}{4}\).
Correction
\(\tan(\tfrac{3\pi}{4})=\tan(\pi-\tfrac{\pi}{4})=-\tan(\tfrac{\pi}{4})=-1\).
Q4. Donner une valeur exacte de \(\sin\left(\tfrac{5\pi}{12}\right)\).
Non vérifié
Indice
\(\tfrac{5\pi}{12}=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{6}\).
Correction
\(\sin(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{6})=\sin(\tfrac{\pi}{4})\cos(\tfrac{\pi}{6})+\cos(\tfrac{\pi}{4})\sin(\tfrac{\pi}{6})=\tfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\).
Q5. Calculer exactement \(\cos\left(-\tfrac{5\pi}{6}\right)\).
Non vérifié
Indice
\(\cos\) est paire.
Correction
\(\cos(-\tfrac{5\pi}{6})=\cos(\tfrac{5\pi}{6})=\cos(\pi-\tfrac{\pi}{6})=-\cos(\tfrac{\pi}{6})=-\tfrac{\sqrt3}{2}\).
Q6. Compléter : \(1+\tan^2 x = ?\) (sur le domaine où \(\tan\) est définie).
Non vérifié
Indice
Diviser \(\sin^2x+\cos^2x=1\) par \(\cos^2x\).
Correction
\(\sin^2x+\cos^2x=1\Rightarrow \tan^2x+1=\dfrac{1}{\cos^2x}\).
Q7. Simplifier \(\cos^2x-\sin^2x\).
Non vérifié
Indice
Formule du double-angle.
Correction
\(\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x\).
Q8. Simplifier \(2\cos^2x-1\).
Non vérifié
Indice
Autre forme de \(\cos(2x)\).
Correction
\(\cos(2x)=2\cos^2x-1\).
Q9. Exprimer \(\sin\left(\tfrac\pi2-x\right)\).
Non vérifié
Indice
Angles complémentaires.
Correction
\(\sin(\tfrac\pi2-x)=\cos x\).
Q10. Simplifier \(\dfrac{1-\cos^2x}{\cos^2x}\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(1-\cos^2x=\sin^2x\).
Correction
\(\dfrac{1-\cos^2x}{\cos^2x}=\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}=\tan^2x\).
Q11. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos x=\tfrac12\).
Non vérifié
Indice
Deux angles sur un tour.
Correction
\(\cos x=\tfrac12\iff x=\pm\tfrac{\pi}{3}+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).
Q12. Résoudre dans \([0;2\pi[\) : \(\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}\).
Non vérifié
Indice
Quadrants I et IV.
Correction
Dans \([0;2\pi[\), \(\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}\) pour \(x=\tfrac{\pi}{4}\) ou \(x=\tfrac{7\pi}{4}\).
Q13. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\sin(2x)=0\).
Non vérifié
Indice
Poser \(u=2x\).
Correction
\(\sin(2x)=0\iff 2x=k\pi\iff x=\tfrac{k\pi}{2}\), \(k\in\mathbb{Z}\).
Q14. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos(2x)=1\).
Non vérifié
Indice
\(\cos u=1\iff u=2k\pi\).
Correction
\(\cos(2x)=1\iff 2x=2k\pi\iff x=k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).
Q15. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\sin(2x)=\sin x\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\).
Correction
\(2\sin x\cos x=\sin x\iff \sin x(2\cos x-1)=0\). Donc \(\sin x=0\Rightarrow x=k\pi\), ou \(\cos x=\tfrac12\Rightarrow x=\pm\tfrac{\pi}{3}+2k\pi\).
Q16. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos(2x)=\sin x\).
Non vérifié
Indice
Poser \(u=\sin x\).
Correction
\(1-2\sin^2x=\sin x\iff 2u^2+u-1=0\). On obtient \(u=\tfrac12\) ou \(u=-1\), d’où les solutions annoncées.
Q17. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos^2x-\cos x-\tfrac34=0\).
Non vérifié
Indice
Poser \(u=\cos x\).
Correction
\(u^2-u-\tfrac34=0\). Les racines sont \(u=\tfrac32\) (impossible) et \(u=-\tfrac12\). Donc \(\cos x=-\tfrac12\).
Q18. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=1\).
Non vérifié
Indice
Attention au domaine.
Correction
Après simplification : \(\sin x-\cos x=1\). Cela conduit à \(\sqrt2\sin(x-\tfrac\pi4)=1\). On garde seulement \(x=\tfrac\pi2+2k\pi\) car \(x=\pi+2k\pi\) annule le dénominateur.
Q19. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\sin x=\cos x\).
Non vérifié
Indice
Diviser par \(\cos x\) si possible.
Correction
\(\sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\tfrac\pi4+k\pi\).
Q20. Résoudre dans \([0;2\pi[\) : \(\sin x\le -\tfrac12\).
Non vérifié
Indice
Repérer où le sinus est négatif et assez petit.
Correction
Dans \([0;2\pi[\), \(\sin x\le-\tfrac12\) sur \(\left[\tfrac{7\pi}{6};\tfrac{11\pi}{6}\right]\).
Q21. Résoudre dans \([0;2\pi[\) : \(\cos x\ge \tfrac12\).
Non vérifié
Indice
Le cosinus est l’abscisse.
Correction
Dans \([0;2\pi[\), on a \(\cos x\ge\tfrac12\) pour \(x\in[0;\tfrac\pi3]\cup[\tfrac{5\pi}3;2\pi[\).
Q22. Donner \((\cos x)'\).
Non vérifié
Indice
Formule de base.
Correction
\((\cos x)'=-\sin x\).
Q23. Sur \(\left]-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right[\), \(\tan\) est-elle croissante ou décroissante ?
Non vérifié
Indice
Étudier \((\tan x)'\).
Correction
\((\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2x}>0\), donc \(\tan\) est strictement croissante.
Q24. Donner le maximum de \(E(x)=2\sin x+3\cos x\).
Non vérifié
Indice
Amplitude : \(R=\sqrt{2^2+3^2}\).
Correction
On écrit \(E(x)=\sqrt{13}\sin(x+\varphi)\). Donc le maximum vaut \(\sqrt{13}\).
Q25. Une fonction \(g(t)=3\sin(\omega t)+2\) a une période \(T=6\). Donner \(\omega\).
Non vérifié
Indice
\(T=\dfrac{2\pi}{\omega}\).
Correction
\(\omega=\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}\).