Quiz SOLID — Fonctions trigonométriques : identités • équations • inéquations • étude (24 questions)
Réponds puis clique Vérifier (ou Tout vérifier). Série SOLID type Bac • réponses exactes (radians).
Q2. Calculer exactement \(\sin\left(\tfrac{13\pi}{6}\right)\).
Non vérifié
Indice
\(\tfrac{13\pi}{6}=2\pi+\tfrac{\pi}{6}\) et \(\sin\) est \(2\pi\)-périodique.
Correction
\(\sin(\tfrac{13\pi}{6})=\sin(2\pi+\tfrac{\pi}{6})=\sin(\tfrac{\pi}{6})=\tfrac12\).
Q3. Calculer exactement \(\cos\left(\tfrac{7\pi}{4}\right)\).
Non vérifié
Indice
\(\tfrac{7\pi}{4}=2\pi-\tfrac{\pi}{4}\) et \(\cos(2\pi-x)=\cos x\).
Correction
\(\cos(\tfrac{7\pi}{4})=\cos(2\pi-\tfrac{\pi}{4})=\cos(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\sqrt2}{2}\).
Q4. Calculer exactement \(\tan\left(\tfrac{3\pi}{4}\right)\).
Non vérifié
Indice
\(\tfrac{3\pi}{4}=\pi-\tfrac{\pi}{4}\) et \(\tan(\pi-x)=-\tan x\).
Correction
\(\tan(\tfrac{3\pi}{4})=\tan(\pi-\tfrac{\pi}{4})=-\tan(\tfrac{\pi}{4})=-1\).
Q5. Donner une valeur exacte de \(\sin\left(\tfrac{5\pi}{12}\right)\).
Non vérifié
Indice
\(\tfrac{5\pi}{12}=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{6}\) et formule \(\sin(a+b)\).
Correction
\(\sin(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{6})=\sin(\tfrac{\pi}{4})\cos(\tfrac{\pi}{6})+\cos(\tfrac{\pi}{4})\sin(\tfrac{\pi}{6})=\tfrac{\sqrt2}{2}\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}+\tfrac{\sqrt2}{2}\cdot\tfrac12=\tfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\).
Q6. Compléter : \(1+\tan^2 x = ?\) (sur le domaine où \(\tan\) est définie).
Non vérifié
Indice
Partir de \(\sin^2x+\cos^2x=1\) et diviser par \(\cos^2x\).
Correction
\(\sin^2x+\cos^2x=1\Rightarrow \tan^2x+1=\dfrac{1}{\cos^2x}\).
Q7. Simplifier \(\cos^2x-\sin^2x\).
Non vérifié
Indice
Formule double-angle.
Correction
\(\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x\).
Q8. Simplifier \(2\cos^2x-1\).
Non vérifié
Indice
Formule double-angle.
Correction
\(\cos(2x)=2\cos^2x-1\).
Q9. Exprimer \(\sin\left(\tfrac\pi2-x\right)\).
Non vérifié
Indice
Angles complémentaires.
Correction
\(\sin(\tfrac\pi2-x)=\cos x\).
Q10. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos x=\tfrac12\).
Non vérifié
Indice
Angles associés sur le cercle, période \(2\pi\).
Correction
\(\cos x=\tfrac12\iff x=\pm\tfrac{\pi}{3}+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).
Q11. Résoudre dans \([0;2\pi[\) : \(\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}\).
Non vérifié
Indice
Cosinus positif en quadrants I et IV.
Correction
Dans \([0;2\pi[\), \(\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}\) pour \(x=\tfrac{\pi}{4}\) ou \(x=\tfrac{7\pi}{4}\).
Q12. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\sin(2x)=0\).
Non vérifié
Indice
\(\sin u=0\iff u=k\pi\). Ici \(u=2x\).
Correction
\(\sin(2x)=0\iff 2x=k\pi\iff x=\tfrac{k\pi}{2}\), \(k\in\mathbb{Z}\).
Q13. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos(2x)=1\).
Non vérifié
Indice
\(\cos u=1\iff u=2k\pi\). Ici \(u=2x\).
Correction
\(\cos(2x)=1\iff 2x=2k\pi\iff x=k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).
Q14. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\sin(2x)=\sin x\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) puis factoriser.
Correction
On utilise \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\). Ainsi \(2\sin x\cos x=\sin x\iff \sin x(2\cos x-1)=0\). Donc \(\sin x=0\Rightarrow x=k\pi\) ou \(\cos x=\tfrac12\Rightarrow x=\pm\tfrac{\pi}{3}+2k\pi\).
Q15. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos(2x)=\sin x\).
Non vérifié
Indice
Remplacer \(\cos(2x)\) par \(1-2\sin^2x\) puis poser \(u=\sin x\).
Correction
On remplace \(\cos(2x)\) par \(1-2\sin^2x\). Ainsi \(1-2\sin^2x=\sin x\iff 2u^2+u-1=0\) avec \(u=\sin x\). Les solutions sont \(u=\tfrac12\) ou \(u=-1\). Donc \(x=\tfrac{\pi}{6}+2k\pi\) ou \(x=\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi\), ou encore \(x=\tfrac{3\pi}{2}+2k\pi\).
Q16. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos^2x-\cos x-\tfrac34=0\).
Non vérifié
Indice
Poser \(u=\cos x\in[-1;1]\), résoudre le polynôme, puis éliminer la racine impossible.
Correction
On pose \(u=\cos x\). Alors \(u^2-u-\tfrac34=0\) donc \(u=\tfrac32\) (impossible car \(u\in[-1;1]\)) ou \(u=-\tfrac12\). Ainsi \(\cos x=-\tfrac12\Rightarrow x=\tfrac{2\pi}{3}+2k\pi\) ou \(x=\tfrac{4\pi}{3}+2k\pi\).
Q17. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=1\).
Non vérifié
Indice
Domaine : \(1+\cos x\neq 0\). Puis \(\sin x=1+\cos x\Rightarrow \sin x-\cos x=1\).
Correction
Domaine : \(1+\cos x\neq 0\iff x\neq \pi+2k\pi\). Puis \(\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=1\iff \sin x=1+\cos x\iff \sin x-\cos x=1\). Or \(\sin x-\cos x=\sqrt2\,\sin(x-\tfrac{\pi}{4})\). Donc \(\sin(x-\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\sqrt2}{2}\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\) ou \(x=\pi+2k\pi\). Mais \(x=\pi+2k\pi\) est interdit, donc \(x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\).
Q18. Résoudre dans \([0;2\pi[\) : \(\sin x\le -\tfrac12\).
Non vérifié
Indice
Sur un tour, \(\sin x=-\tfrac12\) pour \(\tfrac{7\pi}{6}\) et \(\tfrac{11\pi}{6}\). En dessous entre ces deux angles.
Correction
Dans \([0;2\pi[\), \(\sin x\le-\tfrac12\) sur \(\left[\tfrac{7\pi}{6};\tfrac{11\pi}{6}\right]\).
Q19. Résoudre dans \([0;2\pi[\) : \(\cos x\ge \tfrac12\).
Non vérifié
Indice
Cosinus = abscisse : ≥ 1/2 autour de 0 (quadrants I et IV).
Correction
Dans \([0;2\pi[\), \(\cos x\ge\tfrac12\) pour \(x\in[0;\tfrac{\pi}{3}]\cup[\tfrac{5\pi}{3};2\pi[\).
Q20. Donner \((\cos x)'\).
Non vérifié
Indice
Formule de base.
Correction
\((\cos x)'=-\sin x\).
Q21. Sur \(\left]-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right[\), \(\tan\) est-elle croissante ou décroissante ?
Non vérifié
Indice
\((\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2x}>0\) sur l’intervalle.
Correction
Sur cet intervalle, \(\cos x\neq 0\) et \(\dfrac{1}{\cos^2x}>0\), donc \(\tan\) est strictement croissante.
Q22. Donner le maximum de \(E(x)=2\sin x+3\cos x\).
Non vérifié
Indice
Amplitude : \(R=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\).
Correction
On écrit \(E(x)=\sqrt{13}\sin(x+\varphi)\). Donc \(-\sqrt{13}\le E(x)\le \sqrt{13}\) et le maximum vaut \(\sqrt{13}\).
Q23. Donner le minimum de \(E(x)=2\sin x+3\cos x\).
Non vérifié
Indice
Même amplitude que la question précédente.
Correction
Même encadrement : minimum \(-\sqrt{13}\).
Q24. Sur \(\left]-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right[\), le signe de \(f(x)=\tan x-x\) est :
Non vérifié
Indice
Étudier \(f'(x)=\tan^2x\ge 0\) puis utiliser \(f(0)=0\).
Correction
On a \(f'(x)=(\tan x)'-1=\dfrac{1}{\cos^2x}-1=\tan^2x\ge 0\). Donc \(f\) est croissante sur \(\left]-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right[\) et \(f(0)=0\). Ainsi \(f(x)<0\) si \(x<0\), \(f(0)=0\), \(f(x)>0\) si \(x>0\).
Q25. Une fonction \(g(t)=3\sin(\omega t)+2\) a une période \(T=6\). Donner \(\omega\).
Non vérifié
Indice
Période : \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}\).
Correction
On a \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}\), donc \(\omega=\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}\).
Clavier