Exercices corrigés — Fonctions trigonométriques (Tle spé)

\[ \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)=\sin\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12. \] \[ \cos\left(-\frac{5\pi}{4}\right)=\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\cos\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}. \] \[ \tan\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\tan\left(2\pi-\frac{\pi}{6}\right)=\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{\sqrt3}=-\frac{\sqrt3}{3}. \]

Réponses : \(A=-\frac12\), \(B=-\frac{\sqrt2}{2}\), \(C=-\frac{\sqrt3}{3}\).

\[ \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) =\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right) =\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. \] \[ \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) =\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right) =\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}. \] \[ \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) =\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right) =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}. \]

Réponses : \(\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\), \(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\), \(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\).

\[ \sin x=\frac{\sqrt2}{2} \iff x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{ou}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi. \] Sur \([0;2\pi[\) : \(x=\frac{\pi}{4}\) ou \(x=\frac{3\pi}{4}\).

\[ \sin x=-\frac12 \iff x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{ou}\quad x=\frac{11\pi}{6}+2k\pi. \] Sur \([0;2\pi[\) : \(x=\frac{7\pi}{6}\) ou \(x=\frac{11\pi}{6}\).

\[ \cos x=\frac12 \iff x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi. \] \[ \cos x=-\frac{\sqrt3}{2} \iff x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi \quad\text{ou}\quad x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi. \] Comme \(\cos x\in[-1;1]\), l’équation \(\cos x=\frac32\) n’a aucune solution.

\[ \cos x(\sin x-1)=0 \iff \cos x=0 \text{ ou } \sin x=1. \] Donc \[ x=\frac{\pi}{2}+k\pi. \] (Le cas \(\sin x=1\) est déjà inclus.)

\[ 2\sin x\cos x=\sin x \iff \sin x(2\cos x-1)=0. \] Donc \[ x=k\pi \quad\text{ou}\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi. \]

\[ \sin x\ge \frac12 \iff x\in\left[\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}\right]. \] \[ \cos x\le -\frac{\sqrt2}{2} \iff x\in\left[\frac{3\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right]. \] \[ \tan x>0 \iff x\in\left]0;\frac{\pi}{2}\right[\cup\left]\pi;\frac{3\pi}{2}\right[. \]

\[ \cos(2x)=\frac12 \iff x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi. \] Sur \([0;2\pi[\) : \[ x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right\}. \]

\[ \sin(2x)=\sin x \iff 2\sin x\cos x=\sin x \iff \sin x(2\cos x-1)=0. \] Donc : \[ x=k\pi \quad\text{ou}\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi. \]

\[ \cos(2x)=\sin x \iff 1-2\sin^2x=\sin x \iff 2u^2+u-1=0 \text{ avec } u=\sin x. \] Donc \(u=\frac12\) ou \(u=-1\), d’où \[ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\ \frac{5\pi}{6}+2k\pi,\ \frac{3\pi}{2}+2k\pi. \]

\[ E(x)=3\sin x-4\cos x = 5\sin(x-\alpha) \] pour un certain \(\alpha\), car \(5^2=3^2+4^2\). Donc \[ -5\le E(x)\le 5. \]

\[ F(x)=2\sin x+3\cos x = \sqrt{13}\sin(x+\varphi) \] pour un certain \(\varphi\), car \(13=2^2+3^2\). Donc \[ -\sqrt{13}\le F(x)\le \sqrt{13}. \]

Réponses : \(E\in[-5;5]\), \(F\in[-\sqrt{13};\sqrt{13}]\).

\[ f'(x)=2\cos x-\sin x. \] On résout \[ 2\cos x-\sin x=0 \iff \tan x=2. \] Donc \[ x=\arctan(2)+k\pi. \] Sur \([0;2\pi]\), on a deux points critiques : \[ x_1=\arctan(2),\qquad x_2=\arctan(2)+\pi. \]

Si \(\theta=\arctan(2)\), alors \[ \sin\theta=\frac{2}{\sqrt5},\qquad \cos\theta=\frac{1}{\sqrt5}. \] Donc \[ f(\theta)=\sqrt5,\qquad f(\theta+\pi)=-\sqrt5. \] Et \[ f(0)=1,\qquad f(2\pi)=1. \]

Réponses : maximum \(\sqrt5\), minimum \(-\sqrt5\).

Axe moyen \(=2\Rightarrow B=2\). Amplitude \(=3\Rightarrow A=3\). La période vérifie \[ \frac{2\pi}{\omega}=6 \Rightarrow \omega=\frac{\pi}{3}. \] Donc \[ g(t)=3\sin\left(\frac{\pi}{3}t+\varphi\right)+2. \] Comme \(g(0)=2\), on a \(\sin\varphi=0\), donc \(\varphi=k\pi\). Pour que la fonction commence par augmenter, on choisit \(\varphi=0\).

Réponse : \[ \boxed{g(t)=3\sin\left(\frac{\pi}{3}t\right)+2.} \]

Posons \[ h(x)=x-\sin x. \] Alors \[ h'(x)=1-\cos x\ge 0 \] sur \([0;\frac{\pi}{2}]\), car \(0\le \cos x\le 1\). Donc \(h\) est croissante. Comme \[ h(0)=0, \] on en déduit \[ h(x)\ge 0 \iff \sin x\le x. \] L’égalité a lieu seulement pour \(x=0\).

\[ f'(x)=\frac{1}{\cos^2x}-1=\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=\tan^2x\ge 0. \] Donc \(f\) est croissante sur tout l’intervalle. Comme \[ f(0)=0, \] on obtient : \[ x<0 \Rightarrow f(x)<0, \qquad x>0 \Rightarrow f(x)>0. \]

\[ \cos(-x)=\cos x \Rightarrow f \text{ est paire, de période } 2\pi. \] \[ \sin(-x)=-\sin x \Rightarrow g \text{ est impaire, de période } 2\pi. \] \[ \tan(-x)=-\tan x \Rightarrow h \text{ est impaire, de période } \pi. \] Pour \(u(x)=2\cos(3x)-1\) : \[ u(-x)=2\cos(-3x)-1=2\cos(3x)-1=u(x), \] donc \(u\) est paire. Sa période est \[ T=\frac{2\pi}{3}. \]

\[ f'(x)=3\cos x+2\sin x. \] \[ g'(x)=2\cos(2x). \] \[ h'(x)=-3\sin(3x-1). \] \[ u'(x)=\frac{1}{\cos^2x}-1. \]

\[ f'(x)=-2\sin x. \] Sur \((0;\pi)\), \(\sin x>0\), donc \(f'(x)<0\) : \(f\) décroît. Sur \((\pi;2\pi)\), \(\sin x<0\), donc \(f'(x)>0\) : \(f\) croît.

Valeurs remarquables : \[ f(0)=1,\quad f(\pi)=-3,\quad f(2\pi)=1. \] Donc maximum \(=1\), minimum \(=-3\).

Zéros : \[ 2\cos x-1=0 \iff \cos x=\frac12 \iff x=\frac{\pi}{3} \text{ ou } \frac{5\pi}{3} \text{ sur } [0;2\pi]. \]

\[ \tan x=1 \iff x=\frac{\pi}{4}+k\pi. \] \[ \tan x=-\sqrt3 \iff x=-\frac{\pi}{3}+k\pi. \] \[ \tan(2x)=1 \iff 2x=\frac{\pi}{4}+k\pi \iff x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}. \]

\[ \sin x+\cos x=0 \iff \tan x=-1 \iff x=-\frac{\pi}{4}+k\pi. \]

\[ \sin x=\cos x \iff \tan x=1 \iff x=\frac{\pi}{4}+k\pi. \] Dans ces deux cas, aucune solution avec \(\cos x=0\), donc on ne perd rien.

Comme \[ -1\le \cos x\le 1, \] l’équation \(\cos x=m\) admet des solutions si et seulement si \[ \boxed{m\in[-1;1].} \]

Si \(m\in]-1;1[\), la droite \(y=m\) coupe le cercle (ou la courbe du cosinus) en deux points sur un tour, donc il y a exactement deux solutions dans \([0;2\pi[\).

\[ A=(1-\cos^2x)+3\cos^2x=1+2\cos^2x. \] \[ B=1-2\sin^2x=\cos(2x). \] \[ C=\frac{1-\cos^2x}{\cos^2x}=\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=\tan^2x. \]

(1)

Posons \(u=\cos x\). On résout : \[ 2u^2-u-1=0. \] On factorise : \[ 2u^2-u-1=(2u+1)(u-1). \] Donc \[ u=1 \quad\text{ou}\quad u=-\frac12. \] Ainsi : \[ \cos x=1 \iff x=0, \] \[ \cos x=-\frac12 \iff x=\frac{2\pi}{3} \text{ ou } \frac{4\pi}{3}. \]

(2)

\[ \sin x(1-2\cos x)=0 \] donne \[ \sin x=0 \iff x=0 \text{ ou } \pi, \] ou \[ \cos x=\frac12 \iff x=\frac{\pi}{3} \text{ ou } \frac{5\pi}{3}. \]

(3)

\[ \cos(2x)=0 \iff 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}. \] Sur \([0;2\pi[\), on obtient : \[ x\in\left\{\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right\}. \]

Réponses : (1) \(0,\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\) ; (2) \(0,\pi,\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\) ; (3) \(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\).