Fonctions trigonométriques | Fiches de révision — Terminale Spé Maths | Learna

Fiche de révision — Fonctions trigonométriques

L’essentiel du chapitre : cercle trigonométrique • sinus / cosinus / tangente • identités • équations • variations • modélisation.

Essentiel Cercle Valeurs Angles associés Identités Équations Variations Méthodes Bac Pièges Formulaire

1) L’essentiel à retenir absolument

Compétences-clés

Repérer un angle sur le cercle trigonométrique.
Convertir degrés ↔ radians.
Connaître les valeurs remarquables.
Utiliser les angles associés.
Résoudre \(\sin x=a\), \(\cos x=a\), \(\tan x=a\).
Étudier \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) et une fonction trigonométrique simple.
Lire une expression du type \(a\sin(bx+c)+d\).

Réflexes Bac

Réduire l’étude à un intervalle fondamental.
Exploiter la périodicité et la parité.
Ramener si possible à \(\sin x\) et \(\cos x\).
Utiliser le cercle pour placer les signes et les solutions.

2) Cercle trigonométrique et radians

Définition

À tout réel \(x\), on associe sur le cercle trigonométrique le point : \[ M=(\cos x ; \sin x). \] Ainsi :

\(\cos x\) = abscisse du point
\(\sin x\) = ordonnée du point

Conversions

\[ 2\pi = 360^\circ \] \[ \pi = 180^\circ \] \[ \text{degrés} \to \text{radians} : \times \frac{\pi}{180} \] \[ \text{radians} \to \text{degrés} : \times \frac{180}{\pi} \]

Deux angles qui diffèrent d’un multiple de \(2\pi\) donnent le même point : \[ x \equiv y \ [2\pi] \iff x=y+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

3) Valeurs remarquables à connaître par cœur

Angle	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)
\(\cos x\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac12\)	\(0\)
\(\sin x\)	\(0\)	\(\frac12\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(1\)
\(\tan x\)	\(0\)	\(\frac{1}{\sqrt3}\)	\(1\)	\(\sqrt3\)	non définie

Signes sur le cercle

Quadrant I : \(\cos x>0\), \(\sin x>0\)
Quadrant II : \(\cos x<0\), \(\sin x>0\)
Quadrant III : \(\cos x<0\), \(\sin x<0\)
Quadrant IV : \(\cos x>0\), \(\sin x<0\)

Tangent

\[ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \] Donc :

\(\tan x>0\) en quadrants I et III
\(\tan x<0\) en quadrants II et IV

4) Angles associés : tableau-réflexe

Expression	\(\cos\)	\(\sin\)	\(\tan\)
\(-x\)	\(\cos(-x)=\cos x\)	\(\sin(-x)=-\sin x\)	\(\tan(-x)=-\tan x\)
\(\pi-x\)	\(\cos(\pi-x)=-\cos x\)	\(\sin(\pi-x)=\sin x\)	\(\tan(\pi-x)=-\tan x\)
\(\pi+x\)	\(\cos(\pi+x)=-\cos x\)	\(\sin(\pi+x)=-\sin x\)	\(\tan(\pi+x)=\tan x\)
\(\frac{\pi}{2}-x\)	\(\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\)	\(\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x\)	\(\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\tan x}\)

Réflexe : réduire à un angle connu de \([0 ; \frac{\pi}{2}]\), puis placer le bon signe.

5) Identités trigonométriques indispensables

Identité fondamentale

\[ \cos^2x+\sin^2x=1 \]

Tangente

\[ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \qquad (\cos x\neq 0) \] \[ 1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x} \]

Formules d’addition

\[ \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b \] \[ \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b \] \[ \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b \] \[ \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b \]

Angles doubles

\[ \cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x \] \[ \sin(2x)=2\sin x\cos x \]

6) Équations usuelles

\(\cos x=a\)

\[ \cos x=a \iff x=\pm\arccos(a)+2k\pi \] avec \(a\in[-1 ; 1]\), \(k\in\mathbb{Z}\).

\(\sin x=a\)

\[ \sin x=a \iff \begin{cases} x=\arcsin(a)+2k\pi\\ x=\pi-\arcsin(a)+2k\pi \end{cases} \] avec \(a\in[-1 ; 1]\), \(k\in\mathbb{Z}\).

\(\tan x=a\)

\[ \tan x=a \iff x=\arctan(a)+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z} \]

Très important : pour \(\sin x=a\), il y a en général deux familles de solutions.

Méthodes utiles :

factoriser ;
transformer avec les identités ;
ramener tout à \(\sin x\) et \(\cos x\) ;
résoudre d’abord sur \([0 ; 2\pi[\), puis généraliser.

7) Dérivées, parité, périodicité, variations

Dérivées

\[ (\cos x)'=-\sin x \] \[ (\sin x)'=\cos x \] \[ (\tan x)'=\frac{1}{\cos^2x} \]

Parité / périodicité

\[ \cos(-x)=\cos x,\qquad \cos(x+2\pi)=\cos x \] \[ \sin(-x)=-\sin x,\qquad \sin(x+2\pi)=\sin x \] \[ \tan(-x)=-\tan x,\qquad \tan(x+\pi)=\tan x \]

Fonction	Domaine	Période	Parité	Variation utile
\(\cos\)	\(\mathbb{R}\)	\(2\pi\)	paire	décroissante sur \([0 ; \pi]\)
\(\sin\)	\(\mathbb{R}\)	\(2\pi\)	impaire	croissante sur \(\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]\)
\(\tan\)	\(\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}\)	\(\pi\)	impaire	croissante sur chaque \(\left]-\frac{\pi}{2}+k\pi ; \frac{\pi}{2}+k\pi\right[\)

8) Méthodes Bac

Étudier une fonction trigonométrique

déterminer le domaine ;
chercher une période ;
chercher une parité ;
calculer la dérivée ;
faire le tableau de signes puis les variations ;
calculer les valeurs remarquables.

Résoudre une équation

réécrire si besoin avec les identités ;
factoriser ;
résoudre sur \([0 ; 2\pi[\) ;
écrire ensuite les solutions générales ;
si l’énoncé impose un intervalle, filtrer à la fin.

Réflexe gagnant : quand une expression trigonométrique semble compliquée, on cherche d’abord si elle peut être transformée en produit, en somme simple, ou ramenée à une identité connue.

9) Pièges classiques

Pièges de calcul

oublier le signe d’un angle associé ;
oublier la deuxième famille de solutions pour \(\sin x=a\) ;
confondre période \(2\pi\) et période \(\pi\) ;
oublier que \(\tan x\) n’est pas toujours définie.

Pièges d’étude de fonction

étudier sur un intervalle trop grand alors qu’une période suffit ;
négliger la parité ;
mal utiliser la dérivée de \(\tan\) ;
ne pas préciser les asymptotes de \(\tan\).

10) Formulaire final

Identités essentielles

\[ \cos^2x+\sin^2x=1 \] \[ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \] \[ 1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x} \]

Dérivées

\[ (\cos x)'=-\sin x \] \[ (\sin x)'=\cos x \] \[ (\tan x)'=\frac{1}{\cos^2x} \]

Solutions générales

\[ \cos x=a \iff x=\pm\arccos(a)+2k\pi \] \[ \sin x=a \iff \begin{cases} x=\arcsin(a)+2k\pi\\ x=\pi-\arcsin(a)+2k\pi \end{cases} \] \[ \tan x=a \iff x=\arctan(a)+k\pi \] \[ k\in\mathbb{Z} \]

Formes à reconnaître

\[ a\cos(bx+c)+d \qquad \text{ou} \qquad a\sin(bx+c)+d \] Amplitude : \(|a|\)
Période : \(\dfrac{2\pi}{|b|}\) si \(b\neq 0\)

Checklist de révision

Je connais les conversions degrés / radians.
Je connais les valeurs remarquables et les signes.
Je sais utiliser les angles associés.
Je maîtrise \(\cos^2x+\sin^2x=1\) et \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\).
Je sais résoudre les équations usuelles.
Je sais étudier \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) et une fonction trigonométrique simple.
Je sais reconnaître amplitude, période et translation verticale dans une modélisation.

Conseil final : en trigonométrie, la réussite vient surtout de la rapidité sur les réflexes de base : cercle, signes, identités, solutions générales.