Fiche de révision — Fonctions trigonométriques
Trigonométrie • identités • équations/inéquations • variations • méthodes type Bac (Terminale Spé).
1L’essentiel (réflexes Bac)
Radians
Cercle unité
\(\sin^2+\cos^2=1\)
Formules d’addition
Solutions générales
Variations
Cercle trigonométrique
À \(x\in\mathbb{R}\) on associe \(M(\cos x;\sin x)\). Donc \[ -1\le \sin x\le 1,\qquad -1\le \cos x\le 1. \]
\[
\sin(x+2k\pi)=\sin x,\quad \cos(x+2k\pi)=\cos x \quad (k\in\mathbb{Z})
\]
Identité clé
\[
\boxed{\sin^2 x+\cos^2 x=1}
\]
C’est la base pour transformer et simplifier.
2Formules à connaître (priorité Bac)
Parité
\[
\cos(-x)=\cos x,\qquad \sin(-x)=-\sin x,\qquad \tan(-x)=-\tan x.
\]
Angles associés (les + rentables)
\[
\sin(x+\pi)=-\sin x,\qquad \cos(x+\pi)=-\cos x,\qquad \tan(x+\pi)=\tan x.
\]
\[
\sin\Big(x+\tfrac{\pi}{2}\Big)=\cos x,\qquad \cos\Big(x+\tfrac{\pi}{2}\Big)=-\sin x.
\]
\[
\sin(\pi-x)=\sin x,\qquad \cos(\pi-x)=-\cos x.
\]
Addition / soustraction
\[
\boxed{
\begin{aligned}
\cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\
\cos(a-b)&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\\
\sin(a+b)&=\sin a\cos b+\cos a\sin b\\
\sin(a-b)&=\sin a\cos b-\cos a\sin b
\end{aligned}}
\]
Doubles angles
\[
\cos(2x)=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x,\qquad \sin(2x)=2\sin x\cos x.
\]
3\(\tan\) : domaine + réflexes
Définition
\[
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\quad(\cos x\neq 0)
\]
Domaine
\[
\tan x\ \text{non définie si}\ \cos x=0
\iff x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\quad(k\in\mathbb{Z}).
\]
Identité utile
\[
1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}\quad(\cos x\neq 0).
\]
4Équations : solutions générales (à savoir écrire)
Réflexe 0 : condition d’existence
- \(\sin x=a\) ou \(\cos x=a\) : il faut \(|a|\le 1\). Si \(|a|>1\), aucune solution.
- \(\tan x=a\) : toujours possible (mais penser au domaine).
1) \(\sin x = a\)
\[
\sin x=a
\Longleftrightarrow
\begin{cases}
x=\arcsin(a)+2k\pi\\
x=\pi-\arcsin(a)+2k\pi
\end{cases}
\quad(k\in\mathbb{Z})
\]
2) \(\cos x = a\)
\[
\cos x=a
\Longleftrightarrow
x=\pm\arccos(a)+2k\pi
\quad(k\in\mathbb{Z})
\]
3) \(\tan x = a\)
\[
\tan x=a
\Longleftrightarrow
x=\arctan(a)+k\pi
\quad(k\in\mathbb{Z})
\]
Procédure Bac (très importante)
- Résoudre sur un intervalle fondamental (souvent \([0;2\pi[\) ou \((-\pi;\pi]\)).
- Écrire la solution générale avec \(+2k\pi\) (ou \(+k\pi\) pour \(\tan\)).
- Si on demande sur un intervalle \([a;b]\), ne garder que les \(x\) dedans.
5Variations (références indispensables)
Dérivées
\[
(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x,\qquad (\tan x)'=\frac{1}{\cos^2x}.
\]
Variations “référence”
- \(\sin\) est croissante sur \(\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\).
- \(\cos\) est décroissante sur \([0;\pi]\).
- \(\tan\) est strictement croissante sur \(\left]-\frac{\pi}{2}+k\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi\right[\).
Pour justifier une variation au Bac : « sur l’intervalle, la dérivée est de signe …, donc la fonction est … ».
6Méthodes Bac (ce qui rapporte des points)
Méthode 1 — Calcul rapide d’un sinus/cosinus
- Ramener l’angle dans \([0;2\pi[\) (modulo \(2\pi\)).
- Trouver l’angle de référence (dans \([0;\frac{\pi}{2}]\)).
- Utiliser les symétries (signes selon le quadrant).
Méthode 2 — Équations du type \(A\sin x + B\cos x = C\)
- Stratégie fréquente : isoler \(\sin x\) ou \(\cos x\) si possible.
- Sinon : transformation en amplitude (selon exercices) ou utilisation d’identités (addition/double angle).
- Éviter d’élever au carré sans vérification.
Pièges
- Oublier la condition \(|a|\le 1\) pour \(\sin x=a\) ou \(\cos x=a\).
- Oublier le domaine de \(\tan\) (valeurs interdites).
- Donner “une” solution au lieu de l’ensemble de solutions.
7Modélisation périodique (formule-type)
Modèles :
\[
y=A\sin(\omega x+\varphi)+B
\quad\text{ou}\quad
y=A\cos(\omega x+\varphi)+B
\]
- \(A\) : amplitude
- \(B\) : axe moyen
- \(\omega\) : pulsation, période \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}\)
- \(\varphi\) : déphasage
Réflexe : si la période est \(T\), alors \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}\).
Ultra résumé (à réciter)
Périodes : \(\sin,\cos\) → \(2\pi\) ; \(\tan\) → \(\pi\).
Parités : \(\cos\) paire, \(\sin,\tan\) impaires.
Identité : \(\sin^2+\cos^2=1\). Dérivées : \((\sin)'=\cos\), \((\cos)'=-\sin\), \((\tan)'=\frac1{\cos^2}\).
Équations : écrire les solutions générales avec \(+2k\pi\) (ou \(+k\pi\) pour \(\tan\)).
Parités : \(\cos\) paire, \(\sin,\tan\) impaires.
Identité : \(\sin^2+\cos^2=1\). Dérivées : \((\sin)'=\cos\), \((\cos)'=-\sin\), \((\tan)'=\frac1{\cos^2}\).
Équations : écrire les solutions générales avec \(+2k\pi\) (ou \(+k\pi\) pour \(\tan\)).