Fonctions trigonométriques | Cours — Terminale Spé Maths | Learna

Cours — Fonctions trigonométriques

Cercle trigonométrique • radians • sinus / cosinus / tangente • identités • équations • variations • modélisation périodique.

Objectifs Cercle trigo Valeurs remarquables Angles associés Identités Équations Variations Étude de fonctions Modélisation Formulaire

1) Objectifs et compétences attendues

Ce que tu dois maîtriser

Utiliser le cercle trigonométrique et repérer un angle en radians.
Passer de degrés à radians et inversement.
Connaître les valeurs remarquables de \(\sin\), \(\cos\) et \(\tan\).
Exploiter les angles associés et les symétries du cercle.
Utiliser les identités trigonométriques pour transformer une expression.
Résoudre des équations et inéquations trigonométriques.
Étudier les fonctions \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) et des fonctions du type \(a\sin(bx+c)+d\).
Faire de la modélisation périodique.

Pièges fréquents

Confondre période \(2\pi\) pour \(\sin\) et \(\cos\) avec période \(\pi\) pour \(\tan\).
Oublier que \(\tan x\) n’est pas définie quand \(\cos x=0\).
Écrire une seule famille de solutions pour \(\sin x=a\) alors qu’il y en a souvent deux.
Oublier les signes selon les quadrants.
Utiliser \(\sqrt{1-\cos^2x}\) sans tenir compte du signe de \(\sin x\).

Idée clé : en trigonométrie, on combine trois outils : le cercle trigonométrique, les identités algébriques, et l’étude de fonctions.

2) Cercle trigonométrique et mesure des angles

Définition

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\), orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre).

À tout réel \(x\), on associe un point \(M\) du cercle tel que \[ M=(\cos x ; \sin x). \]

Radians et degrés

Un tour complet correspond à : \[ 360^\circ = 2\pi \text{ radians}. \] Donc : \[ 180^\circ=\pi,\qquad 90^\circ=\frac{\pi}{2},\qquad 45^\circ=\frac{\pi}{4}. \]

Conversion : \[ \text{degrés} \to \text{radians} : \times \frac{\pi}{180} \qquad ; \qquad \text{radians} \to \text{degrés} : \times \frac{180}{\pi} \]

Exemple — Convertir des angles

\[ 60^\circ = 60\times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \] \[ 135^\circ = 135\times \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4} \] \[ \frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\times \frac{180}{\pi}=150^\circ \]

Deux angles qui diffèrent d’un multiple de \(2\pi\) correspondent au même point du cercle : \[ x \text{ et } x+2k\pi \quad (k\in\mathbb{Z}). \]

3) Valeurs remarquables

Ces valeurs doivent être connues parfaitement. Elles servent dans presque tout le chapitre.

Angle	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)
\(\cos x\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac12\)	\(0\)
\(\sin x\)	\(0\)	\(\frac12\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(1\)
\(\tan x\)	\(0\)	\(\frac{1}{\sqrt3}\)	\(1\)	\(\sqrt3\)	non définie

Signes selon le quadrant

Quadrant I : \(\cos x>0\), \(\sin x>0\)
Quadrant II : \(\cos x<0\), \(\sin x>0\)
Quadrant III : \(\cos x<0\), \(\sin x<0\)
Quadrant IV : \(\cos x>0\), \(\sin x<0\)

Tangent

\[ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \] donc le signe de \(\tan x\) dépend du signe du quotient.

Ainsi :

\(\tan x>0\) en quadrants I et III
\(\tan x<0\) en quadrants II et IV

4) Angles associés et symétries

Les formules d’angles associés permettent de retrouver très vite une valeur à partir d’un angle de référence.

Expression	\(\cos\)	\(\sin\)	\(\tan\)
\(-x\)	\(\cos(-x)=\cos x\)	\(\sin(-x)=-\sin x\)	\(\tan(-x)=-\tan x\)
\(\pi-x\)	\(\cos(\pi-x)=-\cos x\)	\(\sin(\pi-x)=\sin x\)	\(\tan(\pi-x)=-\tan x\)
\(\pi+x\)	\(\cos(\pi+x)=-\cos x\)	\(\sin(\pi+x)=-\sin x\)	\(\tan(\pi+x)=\tan x\)
\(\frac{\pi}{2}-x\)	\(\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\)	\(\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x\)	\(\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\tan x}\)

Exemple — Calcul rapide

\[ \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac12 \] \[ \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\cos\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{2} \]

Réflexe : on réduit d’abord l’angle à un angle de référence connu, puis on place le signe avec le quadrant.

5) Identités trigonométriques fondamentales

Identité fondamentale

\[ \boxed{\cos^2x+\sin^2x=1} \]

C’est l’identité la plus importante du chapitre.

Tangente

\[ \boxed{\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}} \qquad (\cos x\neq 0) \]

Donc : \[ 1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}. \]

Formules d’addition

\[ \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b \] \[ \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b \] \[ \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b \] \[ \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b \]

Angles doubles

\[ \cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x \] \[ \sin(2x)=2\sin x\cos x \]

Exemple — Transformer une expression

Simplifier : \[ A=\sin^2x+3\cos^2x \] On utilise \(\sin^2x=1-\cos^2x\) : \[ A=1-\cos^2x+3\cos^2x=1+2\cos^2x. \]

Résultat : \(\boxed{A=1+2\cos^2x}\)

6) Équations et inéquations trigonométriques

Équation \(\cos x=a\)

Si \(a\in[-1 ; 1]\), alors \[ \cos x=a \iff x=\pm \arccos(a)+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \] Si \(a\notin[-1 ; 1]\), il n’y a pas de solution.

Équation \(\sin x=a\)

Si \(a\in[-1 ; 1]\), alors \[ \sin x=a \iff \begin{cases} x=\arcsin(a)+2k\pi\\ x=\pi-\arcsin(a)+2k\pi \end{cases} \quad k\in\mathbb{Z}. \]

Équation \(\tan x=a\)

Pour tout réel \(a\), \[ \tan x=a \iff x=\arctan(a)+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

Méthodes utiles

Factoriser si possible.
Ramener tout à \(\sin x\) et \(\cos x\).
Utiliser \(\sin^2x+\cos^2x=1\).
Repérer les solutions sur \([0 ; 2\pi[\) puis généraliser.

Exemple — Résoudre \(2\sin x\cos x=\sin x\)

\[ 2\sin x\cos x=\sin x \] \[ \sin x(2\cos x-1)=0 \] Donc : \[ \sin x=0 \quad \text{ou} \quad \cos x=\frac12 \] D’où : \[ x=k\pi \quad \text{ou} \quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

Pour les inéquations, on travaille souvent sur le cercle ou à partir des courbes. On détermine d’abord les bornes sur un intervalle fondamental, puis on utilise la périodicité.

7) Dérivées, parité, périodicité et variations

Parité et périodicité

\[ \cos(-x)=\cos x \quad \text{: cos est paire} \] \[ \sin(-x)=-\sin x \quad \text{: sin est impaire} \] \[ \tan(-x)=-\tan x \quad \text{: tan est impaire} \] \[ \cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \sin(x+2\pi)=\sin x,\quad \tan(x+\pi)=\tan x \]

Dérivées

\[ (\cos x)'=-\sin x \] \[ (\sin x)'=\cos x \] \[ (\tan x)'=\frac{1}{\cos^2x} \]

Variations de \(\cos\)

Sur \([0 ; \pi]\), on a \(-\sin x\le 0\), donc \(\cos\) est décroissante.

\[ \cos(0)=1,\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,\qquad \cos(\pi)=-1 \]

Variations de \(\sin\)

Sur \(\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]\), on a \(\cos x\ge 0\), donc \(\sin\) est croissante.

\[ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,\qquad \sin(0)=0,\qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \]

Variations de \(\tan\)

Sur chaque intervalle \[ \left]-\frac{\pi}{2}+k\pi \; ; \; \frac{\pi}{2}+k\pi\right[ \] la fonction \(\tan\) est strictement croissante car \[ (\tan x)'=\frac{1}{\cos^2x}>0. \]

\(\tan\) admet des asymptotes verticales en \[ x=\frac{\pi}{2}+k\pi. \]

8) Étude de fonctions trigonométriques

Pour étudier une fonction trigonométrique, on suit toujours le même plan :

domaine de définition ;
période éventuelle ;
parité éventuelle ;
dérivée et signe ;
variations ;
valeurs remarquables, extrema, zéros.

Exemple complet — Étudier \(f(x)=2\cos x-1\)

Domaine : \(\mathbb{R}\).
Période : \(2\pi\).
Parité : \(f\) est paire car \(\cos\) est paire.

Dérivée : \[ f'(x)=-2\sin x. \]

Sur \([0 ; \pi]\), \(\sin x\ge 0\), donc \(f'(x)\le 0\) : \(f\) décroît sur \([0 ; \pi]\).
Sur \([\pi ; 2\pi]\), \(\sin x\le 0\), donc \(f'(x)\ge 0\) : \(f\) croît sur \([\pi ; 2\pi]\).

\[ f(0)=1,\qquad f(\pi)=-3,\qquad f(2\pi)=1 \]

Maximum : \(\boxed{1}\), minimum : \(\boxed{-3}\).

Formes usuelles à connaître

Les fonctions \[ x\mapsto a\cos(bx+c)+d \qquad \text{et} \qquad x\mapsto a\sin(bx+c)+d \] apparaissent très souvent.

Amplitude : \(|a|\)
Période : \(\dfrac{2\pi}{|b|}\) si \(b\neq 0\)
Translation verticale : \(d\)
Décalage horizontal : lié à \(c\)

9) Modélisation de phénomènes périodiques

Principe

Lorsqu’un phénomène se répète régulièrement, on peut souvent le modéliser par une fonction sinusoïdale : \[ y=A\cos(\omega x+\varphi)+B \qquad \text{ou} \qquad y=A\sin(\omega x+\varphi)+B. \]

Interprétation des paramètres

\(A\) : amplitude
\(B\) : valeur moyenne
\(\omega\) : pulsation
\(\varphi\) : phase initiale

La période vaut : \[ T=\frac{2\pi}{\omega}\quad (\omega>0). \]

Exemple — Déterminer la période

Pour \[ f(x)=3\sin\left(\frac{2\pi}{5}x\right)-1, \] on a \(\omega=\dfrac{2\pi}{5}\), donc \[ T=\frac{2\pi}{2\pi/5}=5. \]

Amplitude : \(\boxed{3}\), période : \(\boxed{5}\), axe moyen : \(\boxed{y=-1}\).

10) Formulaire essentiel

Définitions

\[ M=(\cos x ; \sin x) \] \[ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \] \[ \cos^2x+\sin^2x=1 \]

Dérivées

\[ (\cos x)'=-\sin x \] \[ (\sin x)'=\cos x \] \[ (\tan x)'=\frac{1}{\cos^2x} \]

Périodes et parités

\[ \cos(x+2\pi)=\cos x,\qquad \sin(x+2\pi)=\sin x,\qquad \tan(x+\pi)=\tan x \] \[ \cos(-x)=\cos x,\qquad \sin(-x)=-\sin x,\qquad \tan(-x)=-\tan x \]

Solutions générales

\[ \cos x=a \iff x=\pm\arccos(a)+2k\pi \] \[ \sin x=a \iff \begin{cases} x=\arcsin(a)+2k\pi\\ x=\pi-\arcsin(a)+2k\pi \end{cases} \] \[ \tan x=a \iff x=\arctan(a)+k\pi \qquad (k\in\mathbb{Z}) \]

Checklist “copie parfaite”

Je sais passer des degrés aux radians.
Je connais les valeurs remarquables et les signes sur le cercle.
Je maîtrise les angles associés.
Je sais utiliser \(\cos^2x+\sin^2x=1\) et \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\).
Je sais résoudre \(\sin x=a\), \(\cos x=a\), \(\tan x=a\).
Je sais étudier \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) et une fonction trigonométrique simple.
Je sais interpréter les paramètres d’une fonction du type \(a\sin(bx+c)+d\).

Rappel final : en trigonométrie, on ne cherche pas seulement à calculer. On doit aussi savoir reconnaître une structure, réduire un angle, utiliser la périodicité et justifier proprement.