Cours — Fonctions trigonométriques
Cercle trigonométrique • identités • équations/inéquations • fonctions et variations • méthodes type Bac.
Sommaire
0) Ce que tu dois savoir faire (niveau Bac)
Convertir
Utiliser le cercle
Identités
Résoudre des équations
Étudier sin/cos/tan
Interpréter graphiquement
- Passer degrés ↔ radians, utiliser les valeurs remarquables.
- Retrouver rapidement \(\sin\) et \(\cos\) d’un angle (associés / symétries).
- Transformer une expression trigonométrique (identités clés).
- Résoudre \(\sin x = a\), \(\cos x = a\), \(\tan x = a\) sur \(\mathbb{R}\) ou sur un intervalle.
- Étudier \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) : domaine, période, parité, variations, dérivées.
- Modéliser un phénomène périodique \(A\sin(\omega x+\varphi)+B\) ou \(A\cos(\omega x+\varphi)+B\).
1) Cercle trigonométrique : définitions et repères
1.1 Mesure en radians
Sur le cercle unité, la mesure en radians correspond à une longueur d’arc.
\[
2\pi\ \text{rad} = 360^\circ
\quad\Longrightarrow\quad
\pi\ \text{rad} = 180^\circ
\]
- \(x\) en radians → angle orienté.
- \(x + 2k\pi\) représente le même point sur le cercle (\(k\in\mathbb{Z}\)).
1.2 Définition de \(\cos\) et \(\sin\)
Sur le cercle unité, au réel \(x\) on associe le point \(M(x)=(\cos x;\sin x)\).
\[
\boxed{\cos x=\text{abscisse de }M}
\qquad
\boxed{\sin x=\text{ordonnée de }M}
\]
- \(-1\le \sin x\le 1\) et \(-1\le \cos x\le 1\).
- \(\sin\) et \(\cos\) sont \(2\pi\)-périodiques.
1.3 Valeurs remarquables (à connaître)
Table minimale (à étendre si tu veux).
| Angle | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac12\) | \(0\) |
| \(\sin\) | \(0\) | \(\frac12\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) |
| \(\tan\) | \(0\) | \(\frac{1}{\sqrt3}\) | \(1\) | \(\sqrt3\) | non défini |
⚡ Méthode express : retrouver les valeurs sans tableau
- Sur \([0;\frac{\pi}{2}]\), retenir les triangles \(30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ\) et \(45^\circ\!-\!45^\circ\!-\!90^\circ\).
- Puis utiliser les symétries du cercle (angles associés) pour les signes.
2) Angles associés : les réflexes
Formules à connaître
\[
\begin{aligned}
\cos(-x)&=\cos x, & \sin(-x)&=-\sin x, & \tan(-x)&=-\tan x\\
\cos(\pi-x)&=-\cos x, & \sin(\pi-x)&=\sin x, & \tan(\pi-x)&=-\tan x\\
\cos(\pi+x)&=-\cos x, & \sin(\pi+x)&=-\sin x, & \tan(\pi+x)&=\tan x\\
\cos\Big(\tfrac{\pi}{2}-x\Big)&=\sin x, &
\sin\Big(\tfrac{\pi}{2}-x\Big)&=\cos x, &
\tan\Big(\tfrac{\pi}{2}-x\Big)&=\frac{\cos x}{\sin x}
\end{aligned}
\]
Remarque : \(\tan\!\big(\tfrac{\pi}{2}-x\big)=\dfrac{1}{\tan x}\) seulement si \(\tan x\neq 0\).
Exemple (type Bac)
\[
\sin\Big(\tfrac{5\pi}{6}\Big)=\sin\Big(\pi-\tfrac{\pi}{6}\Big)=\sin\Big(\tfrac{\pi}{6}\Big)=\tfrac12.
\]
\[
\cos\Big(-\tfrac{7\pi}{4}\Big)=\cos\Big(\tfrac{7\pi}{4}\Big)=\cos\Big(2\pi-\tfrac{\pi}{4}\Big)=\cos\Big(\tfrac{\pi}{4}\Big)=\tfrac{\sqrt2}{2}.
\]
3) Identités fondamentales et transformations
3.1 Identité de Pythagore
\[
\boxed{\sin^2 x+\cos^2 x=1}
\]
Conséquence utile (si \(\cos x\neq 0\)) :
\[
1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}.
\]
3.2 Lien avec \(\tan\)
\[
\boxed{\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}}
\quad(\cos x\neq 0)
\]
Domaine :
\[
\tan x \text{ non définie si } \cos x=0 \iff x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi.
\]
3.3 Formules d’addition (très utilisées)
\[
\boxed{
\begin{aligned}
\cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\
\cos(a-b)&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\\
\sin(a+b)&=\sin a\cos b+\cos a\sin b\\
\sin(a-b)&=\sin a\cos b-\cos a\sin b
\end{aligned}}
\]
3.4 Doubles angles
\[
\boxed{
\begin{aligned}
\cos(2x) &= \cos^2 x-\sin^2 x = 2\cos^2 x-1 = 1-2\sin^2 x\\
\sin(2x) &= 2\sin x\cos x
\end{aligned}}
\]
Méthode Bac : “mettre tout en \(\sin\) et \(\cos\)”
Si une expression contient \(\tan\), remplacer :
\[
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},
\qquad
1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x},
\]
puis utiliser \(\sin^2x+\cos^2x=1\).
4) Équations trigonométriques : méthodes sûres
4.1 Résoudre \(\sin x=a\)
Condition : \(|a|\le 1\). Si \(|a|>1\) → aucune solution.
\[
\sin x=a
\Longleftrightarrow
\begin{cases}
x=\arcsin(a)+2k\pi\\
x=\pi-\arcsin(a)+2k\pi
\end{cases}
\quad(k\in\mathbb{Z})
\]
4.2 Résoudre \(\cos x=a\)
Condition : \(|a|\le 1\).
\[
\cos x=a
\Longleftrightarrow
x=\pm\arccos(a)+2k\pi
\quad(k\in\mathbb{Z})
\]
4.3 Résoudre \(\tan x=a\)
Toujours possible (\(a\in\mathbb{R}\)), période \(\pi\).
\[
\tan x=a \Longleftrightarrow x=\arctan(a)+k\pi
\quad(k\in\mathbb{Z})
\]
Toujours rappeler \(x\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi\).
4.4 Stratégies (équations mixtes)
- Factoriser si possible : ex. \(\sin x\cos x=0\).
- Utiliser \(\sin(2x)\) / \(\cos(2x)\) pour simplifier.
- Tout ramener en \(\sin x\) et \(\cos x\), puis \(\sin^2+\cos^2=1\).
- Substitution \(u=\sin x\) ou \(u=\cos x\) si on obtient un polynôme.
Exemple guidé : résoudre \(2\sin x\cos x=\sin x\) sur \(\mathbb{R}\)
\[
2\sin x\cos x=\sin x
\iff \sin x(2\cos x-1)=0.
\]
\[
\sin x=0 \iff x=k\pi,
\qquad
\cos x=\tfrac12 \iff x=\pm\tfrac{\pi}{3}+2k\pi.
\]
Piège : “élever au carré”
Si tu élèves au carré, tu peux créer de fausses solutions → toujours vérifier dans l’équation initiale.
Inéquations trig (méthode graphique Bac)
Pour une inéquation (ex. \(\sin x \ge a\)), la méthode la plus sûre :
- Tracer mentalement ou sur le cercle : positions où \(\sin x=a\).
- Identifier les arcs où \(\sin x\) est au-dessus / au-dessous.
- Donner la solution sur un intervalle puis étendre par périodicité \(2\pi\).
5) Fonctions \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) : propriétés et variations
5.1 Périodicité & parité
\[
\sin(x+2\pi)=\sin x,\quad \cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \tan(x+\pi)=\tan x
\]
\[
\sin(-x)=-\sin x,\quad \cos(-x)=\cos x,\quad \tan(-x)=-\tan x
\]
5.2 Dérivées (outil d’étude)
\[
(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x,\qquad (\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}
\]
Valables sur les domaines de définition (attention à \(\tan\)).
Variation de \(\sin\) sur \(\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\)
\(\cos x\ge 0\) sur cet intervalle → \(\sin\) est croissante.
\[
\sin\Big(-\tfrac{\pi}{2}\Big)=-1 \nearrow \sin(0)=0 \nearrow \sin\Big(\tfrac{\pi}{2}\Big)=1
\]
Variation de \(\cos\) sur \([0;\pi]\)
\(-\sin x\le 0\) sur \([0;\pi]\) → \(\cos\) est décroissante.
\[
\cos(0)=1 \searrow \cos\Big(\tfrac{\pi}{2}\Big)=0 \searrow \cos(\pi)=-1
\]
Variation de \(\tan\) (important)
Sur \(\left(-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right)\), \((\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2 x}>0\) donc \(\tan\) est strictement croissante.
\[
\lim_{x\to -\tfrac{\pi}{2}^+}\tan x=-\infty,\qquad \tan(0)=0,\qquad \lim_{x\to \tfrac{\pi}{2}^-}\tan x=+\infty
\]
Puis on répète par périodicité \(\pi\).
6) Étudier une fonction trigonométrique (méthode Bac)
Checklist
- Domaine (exclure \(\tfrac{\pi}{2}+k\pi\) si \(\tan\), ou si \(\cos x\) au dénominateur).
- Période et parité (réduire l’étude à un intervalle fondamental).
- Dérivée → signe → variations.
- Extrema + valeurs remarquables.
- Lecture graphique + symétries.
Exemple complet : étudier \(f(x)=2\cos x-1\)
Domaine : \(\mathbb{R}\). Période : \(2\pi\). Parité : \(f\) est paire.
\[
f'(x)=-2\sin x.
\]
Sur \([0;2\pi]\) : \(\sin x>0\) sur \((0;\pi)\) donc \(f'<0\) (décroissante),
et \(\sin x<0\) sur \((\pi;2\pi)\) donc \(f'>0\) (croissante).
\[
f(0)=1,\quad f\Big(\tfrac{\pi}{2}\Big)=-1,\quad f(\pi)=-3,\quad f\Big(\tfrac{3\pi}{2}\Big)=-1,\quad f(2\pi)=1.
\]
7) Modéliser un phénomène périodique
Modèle standard :
\[
y=A\sin(\omega x+\varphi)+B
\quad\text{ou}\quad
y=A\cos(\omega x+\varphi)+B
\]
- \(A\) : amplitude, \(B\) : axe moyen.
- \(\omega\) : pulsation, période \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}\).
- \(\varphi\) : déphasage.
Exemple : imposer une période \(T\)
Si la période doit être \(T\), alors \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}\).
\[
y=3\sin\Big(\frac{2\pi}{5}x\Big)-1
\quad\Rightarrow\quad
T=5,\ \text{amplitude }3,\ \text{axe moyen }-1.
\]
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