Quiz de maths Terminale Spécialité : Dérivation, convexité et continuité
TERMINALE-SPE • MATHS — Learna
Ce quiz de mathématiques en Terminale Spécialité permet de vérifier rapidement tes acquis sur Dérivation, convexité et continuité. Les questions ciblent notamment notions essentielles du chapitre, méthodes attendues en Terminale Spécialité, exemples guidés, exercices d’application pour repérer les points à revoir.
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Quiz de maths Terminale Spécialité : Dérivation, convexité et continuité
Quiz — Dérivation, convexité et continuité (20 questions vrai Bac — exp/ln)
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Q1. Sur \(]0;+\infty[\), on définit \(f(x)=x\ln(x)-e^{-x}\). Calculer \(f\prime(x)\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \((x\ln x)\prime=\ln x+1\) et \((e^{-x})\prime=-e^{-x}\). Attention au signe devant \(-e^{-x}\).
Correction
On dérive terme à terme :
\[
(x\ln x)\prime=\ln x+1
\]
et
\[
(-e^{-x})\prime=+e^{-x}.
\]
Donc
\[
f\prime(x)=\ln x+1+e^{-x}.
\]
Conclusion : \(\boxed{f\prime(x)=\ln x+1+e^{-x}}\).
Q2. Pour \(f(x)=x\ln(x)-e^{-x}\), calculer \(f\prime\prime(x)\).
Non vérifié
Indice
Dériver \(\ln x+1+e^{-x}\).
Correction
D’après la question précédente :
\[
f\prime(x)=\ln x+1+e^{-x}.
\]
Alors
\[
f\prime\prime(x)=\frac1x-e^{-x}.
\]
Conclusion : \(\boxed{f\prime\prime(x)=\frac1x-e^{-x}}\).
Q3. Sur \(]0;+\infty[\), justifier le signe de \(f\prime\prime(x)=\frac1x-e^{-x}\). Répondre par : positif ou négatif.
Non vérifié
Indice
Comparer \(\frac1x\) et \(e^{-x}\) revient à comparer \(1\) et \(xe^{-x}\).
Correction
On a
\[
\frac1x-e^{-x}>0
\Longleftrightarrow
1>xe^{-x}.
\]
Or la fonction \(x\mapsto xe^{-x}\) admet pour maximum \(\frac1e\), donc
\[
xe^{-x}\leq \frac1e<1.
\]
Ainsi
\[
f\prime\prime(x)>0.
\]
Conclusion : \(\boxed{\text{strictement positif}}\).
Q4. Pour \(f(x)=x\ln(x)-e^{-x}\), quelle propriété de \(f\prime\) découle de \(f\prime\prime(x)>0\) sur \(]0;+\infty[\) ?
Non vérifié
Indice
Si la dérivée de \(f\prime\) est positive, alors \(f\prime\) est croissante.
Correction
Comme
\[
f\prime\prime(x)>0
\]
pour tout \(x>0\), la fonction \(f\prime\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).
Conclusion : \(\boxed{f\prime\text{ est strictement croissante}}\).
Q5. Sur \(]0;+\infty[\), on pose \(g(x)=\dfrac{\ln x}{e^x}\). Donner une écriture sous forme de produit.
Non vérifié
Indice
Utiliser \(\frac1{e^x}=e^{-x}\).
Correction
On a
\[
\frac{\ln x}{e^x}=\ln x\times \frac1{e^x}=\ln x\,e^{-x}.
\]
Conclusion : \(\boxed{g(x)=\ln(x)e^{-x}}\).
Q6. Pour \(g(x)=\dfrac{\ln x}{e^x}\), calculer \(g\prime(x)\) sous forme factorisée.
Non vérifié
Indice
Dériver \(g(x)=\ln(x)e^{-x}\), puis factoriser par \(e^{-x}\).
Correction
On écrit
\[
g(x)=\ln(x)e^{-x}.
\]
Donc
\[
g\prime(x)=\frac1x e^{-x}-\ln(x)e^{-x}.
\]
Ainsi
\[
g\prime(x)=e^{-x}\left(\frac1x-\ln x\right).
\]
On peut aussi écrire
\[
g\prime(x)=\frac{e^{-x}}x\left(1-x\ln x\right).
\]
Conclusion : \(\boxed{g\prime(x)=e^{-x}\left(\frac1x-\ln x\right)}\).
Q7. Pour \(g(x)=\dfrac{\ln x}{e^x}\), l\’extremum est atteint lorsque \(x\ln x=\ ?\)
Non vérifié
Indice
Résoudre \(g\prime(x)=0\).
Correction
On a
\[
g\prime(x)=\frac{e^{-x}}x(1-x\ln x).
\]
Comme \(\frac{e^{-x}}x>0\), on résout
\[
1-x\ln x=0.
\]
Donc
\[
x\ln x=1.
\]
Conclusion : \(\boxed{1}\).
Q8. La fonction \(x\mapsto x\ln x\) est strictement croissante sur quel intervalle parmi \(]0;1[\), \(]1;+\infty[\) ? Répondre par l\’intervalle.
Non vérifié
Indice
Dériver \(x\ln x\).
Correction
Posons
\[
h(x)=x\ln x.
\]
Alors
\[
h\prime(x)=\ln x+1.
\]
Sur \(]1;+\infty[\), on a \(\ln x>0\), donc
\[
h\prime(x)>0.
\]
Ainsi \(x\mapsto x\ln x\) est strictement croissante sur \(]1;+\infty[\).
Conclusion : \(\boxed{]1;+\infty[}\).
Q9. Soit \(u(x)=e^x+x\ln x\) sur \(]0;+\infty[\). Calculer \(u\prime(x)\).
Non vérifié
Indice
Dériver \(e^x\) et \(x\ln x\).
Correction
On a
\[
(e^x)\prime=e^x
\]
et
\[
(x\ln x)\prime=\ln x+1.
\]
Donc
\[
u\prime(x)=e^x+\ln x+1.
\]
Conclusion : \(\boxed{u\prime(x)=e^x+\ln x+1}\).
Q10. Pour \(u(x)=e^x+x\ln x\), calculer \(u\prime\prime(x)\).
Non vérifié
Indice
Dériver \(e^x+\ln x+1\).
Correction
Comme
\[
u\prime(x)=e^x+\ln x+1,
\]
alors
\[
u\prime\prime(x)=e^x+\frac1x.
\]
Conclusion : \(\boxed{u\prime\prime(x)=e^x+\frac1x}\).
Q11. Pour \(u(x)=e^x+x\ln x\), compléter : \(u\) est ... sur \(]0;+\infty[\). Répondre : convexe ou concave.
Non vérifié
Indice
Regarder le signe de \(u\prime\prime(x)\).
Correction
On a
\[
u\prime\prime(x)=e^x+\frac1x.
\]
Pour tout \(x>0\),
\[
e^x>0 \quad \text{et} \quad \frac1x>0.
\]
Donc
\[
u\prime\prime(x)>0.
\]
La fonction \(u\) est donc strictement convexe sur \(]0;+\infty[\).
Conclusion : \(\boxed{\text{convexe}}\).
Q12. Donner l\’équation de la tangente à \(u(x)=e^x+x\ln x\) au point d\’abscisse \(1\).
Non vérifié
Indice
Calculer \(u(1)\) et \(u\prime(1)\).
Correction
On calcule :
\[
u(1)=e^1+1\ln(1)=e.
\]
Puis
\[
u\prime(1)=e^1+\ln(1)+1=e+1.
\]
L\’équation de la tangente est donc
\[
y=u\prime(1)(x-1)+u(1),
\]
soit
\[
y=(e+1)(x-1)+e.
\]
On peut aussi écrire
\[
y=(e+1)x-1.
\]
Conclusion : \(\boxed{y=(e+1)(x-1)+e}\).
Q13. Pour \(a>0\), on pose \(F_a(x)=e^x-a\ln x\). Calculer \(F_a\prime(x)\).
Non vérifié
Indice
Dériver \(-a\ln x\).
Correction
On dérive :
\[
(e^x)\prime=e^x
\]
et
\[
(-a\ln x)\prime=-\frac ax.
\]
Donc
\[
F_a\prime(x)=e^x-\frac ax.
\]
Conclusion : \(\boxed{F_a\prime(x)=e^x-\frac ax}\).
Q14. Pour \(F_a(x)=e^x-a\ln x\), quelle valeur de \(a\) rend la tangente horizontale en \(x=1\) ?
Non vérifié
Indice
Tangente horizontale signifie \(F_a\prime(1)=0\).
Correction
On impose
\[
F_a\prime(1)=0.
\]
Or
\[
F_a\prime(1)=e-a.
\]
Donc
\[
e-a=0 \iff a=e.
\]
Conclusion : \(\boxed{a=e}\).
Q15. Pour \(F(x)=e^x-e\ln x\), le minimum est atteint en quelle abscisse ?
Non vérifié
Indice
Résoudre \(F\prime(x)=0\), c’est-à-dire \(e^x=\frac ex\).
Correction
On a
\[
F\prime(x)=e^x-\frac ex.
\]
On résout
\[
F\prime(x)=0
\Longleftrightarrow
e^x=\frac ex
\Longleftrightarrow
xe^x=e.
\]
La fonction \(x\mapsto xe^x\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\), et \(x=1\) est solution.
Donc le minimum est atteint en
\[
\boxed{x=1}.
\]
Q16. On pose \(\varphi(x)=x+\ln x\) sur \(]0;+\infty[\). Calculer \(\varphi\prime(x)\).
Non vérifié
Indice
Dériver terme à terme.
Correction
On a
\[
\varphi\prime(x)=1+\frac1x=\frac{x+1}{x}.
\]
Conclusion : \(\boxed{\varphi\prime(x)=1+\frac1x}\).
Q17. Pour \(\varphi(x)=x+\ln x\), quelle propriété permet de justifier l\’unicité de la solution de \(\varphi(x)=0\) ?
Non vérifié
Indice
Étudier le signe de \(\varphi\prime(x)\).
Correction
Pour tout \(x>0\),
\[
\varphi\prime(x)=1+\frac1x>0.
\]
Donc \(\varphi\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\). Cette stricte croissance permet de garantir l\’unicité de la solution.
Conclusion : \(\boxed{\text{strictement croissante}}\).
Q18. Si \(\varphi(0{,}56)<0\) et \(\varphi(0{,}57)>0\), donner un encadrement de la solution \(\alpha\).
Non vérifié
Indice
Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
Correction
Comme \(\varphi\) est continue et change de signe entre \(0{,}56\) et \(0{,}57\), le théorème des valeurs intermédiaires donne une solution \(\alpha\) dans cet intervalle.
Ainsi
\[
0{,}56<\alpha<0{,}57.
\]
Conclusion : \(\boxed{0{,}56<\alpha<0{,}57}\).
Q19. On définit \(f(x)=\begin{cases}e^x+a & \text{si } x\le 1,\ b\ln x+x & \text{si } x>1.\end{cases}\) Déterminer \(b\) pour que \(f\) soit dérivable en \(1\).
Non vérifié
Indice
Comparer les dérivées à gauche et à droite en \(1\).
Correction
À gauche de \(1\), la dérivée de \(e^x+a\) vaut \(e^x\), donc
\[
f_g\prime(1)=e.
\]
À droite, la dérivée de \(b\ln x+x\) vaut
\[
\frac bx+1,
\]
donc
\[
f_d\prime(1)=b+1.
\]
La dérivabilité impose
\[
e=b+1.
\]
Donc
\[
b=e-1.
\]
Conclusion : \(\boxed{b=e-1}\).
Q20. Calculer \(\displaystyle \int_1^e \ln(x)\,dx\).
Non vérifié
Indice
Une primitive de \(\ln x\) est \(x\ln x-x\).
Correction
Une primitive de \(\ln x\) sur \(]0;+\infty[\) est
\[
x\ln x-x.
\]
Donc
\[
\int_1^e \ln(x)\,dx
=\left[x\ln x-x\right]_1^e.
\]
On calcule :
\[
e\ln e-e=e-e=0
\]
et
\[
1\ln 1-1=-1.
\]
Donc
\[
\int_1^e \ln(x)\,dx=0-(-1)=1.
\]
Conclusion : \(\boxed{1}\).
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