Dérivation, convexité et continuité

Étude complète, extremums, convexité, tangentes, optimisation, TVI (existence/unicité).

Cours Exercices Fiche Quiz
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Fiche — Dérivation, convexité et continuité
Bac : étude complète, extrema, tangentes, convexité/concavité, inflexion, continuité & TVI, optimisation. Version 1 colonne (lecture + impression).
Méthode Dérivation Tangentes Convexité TVI Optimisation Formulaire
1
Méthode Bac : étude complète d’une fonction
Checklist à suivre systématiquement (copie propre).
Étape À faire À écrire
Domaine Contraintes (log, racine, dénominateur…). « \(\mathcal D_f=\dots\) car … »
Limites Aux bornes du domaine + \(\pm\infty\), asymptotes. « \(\lim_{x\to a} f(x)=\dots\) »
Dérivée Calculer \(f'(x)\), factoriser, signe. « \(f'(x)=\dots\) donc … »
Variations Tableau de signes puis variations + valeurs. « \(f\) est croissante/décroissante… »
Extrema Zéros de \(f'\) + changement de signe. « max/min en … vaut … »
Convexité Calculer \(f''\) (ou variation de \(f'\)). « \(f''\ge 0\Rightarrow\) convexe »
Inflexion Changement de convexité (souvent \(f''\) change de signe). « point d’inflexion en … »
Tangente Écrire \(T_a\) et interpréter (pente, position). \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\)
Piège : \(f'(a)=0\) ne suffit pas pour conclure “min/max”. Il faut le changement de signe de \(f'\) (ou une étude de \(f''\) + contexte).
2
Dérivation : variations & extrema
Signe de \(f'\) ⇒ variations
Sur un intervalle \(I\) :
  • \(f'(x)\ge 0\Rightarrow f\) croissante sur \(I\).
  • \(f'(x)\le 0\Rightarrow f\) décroissante sur \(I\).
  • \(f'(x)>0\Rightarrow f\) strictement croissante ; \(f'(x)<0\Rightarrow\) strictement décroissante.
Extrema locaux : changement de signe
Si \(f'(a)=0\) :
  • \(f'\) : \(+\to-\) ⇒ maximum local en \(a\).
  • \(f'\) : \(-\to+\) ⇒ minimum local en \(a\).
  • Pas de changement ⇒ pas d’extremum (point stationnaire “plat”).
Astuce Bac : tableau de variations en 5 lignes
1) Domaine → 2) \(f'\) (factoriser) → 3) zéros/points interdits → 4) signe de \(f'\) → 5) variations + valeurs.
3
Tangentes : formule & interprétation
Formule
\[ T_a:\ y=f(a)+f'(a)(x-a). \]
Pente \(=f'(a)\), point de tangence \(A(a,f(a))\).
Linéarisation
\[ f(a+h)\approx f(a)+f'(a)\,h \quad (h\ \text{petit}). \]
Pièges : “tangente horizontale” ⇔ \(f'(a)=0\). “tangente de pente \(m\)” ⇔ \(f'(a)=m\).
4
Convexité, concavité, inflexion
Critère
Si \(f\) est deux fois dérivable sur \(I\) :
  • \(f''(x)\ge 0\Rightarrow f\) convexe sur \(I\).
  • \(f''(x)\le 0\Rightarrow f\) concave sur \(I\).
Équivalent : \(f\) convexe ⇔ \(f'\) croissante.
Point d’inflexion
\(I(a,f(a))\) est un point d’inflexion si la convexité change au voisinage de \(a\).
Souvent : \(f''(a)=0\) et \(f''\) change de signe en \(a\).
Attention : \(f''(a)=0\) seul ne suffit pas.
Inégalités par tangentes (à connaître)
  • Convexe ⇒ courbe au-dessus des tangentes : \(f(x)\ge T_a(x)\).
  • Concave ⇒ courbe au-dessous des tangentes : \(f(x)\le T_a(x)\).
Exemples : \[ e^x\ge 1+x,\qquad \ln x\le x-1\ (x>0). \]
5
Continuité & TVI : existence + unicité
Définition
\(f\) continue en \(a\) ⇔ \(\lim_{x\to a} f(x)=f(a)\).
Fonctions usuelles continues sur leur domaine (polynômes, rationnelles, exp, ln, trig…).
TVI (valeurs intermédiaires)
Si \(f\) est continue sur \([a,b]\), alors pour tout \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe \(c\in[a,b]\) tel que \(f(c)=k\).
En particulier, si \(f(a)f(b)\le 0\), il existe une solution de \(f(x)=0\) sur \([a,b]\).
Protocole Bac (à recopier)
  1. Poser \(h\) : « résoudre ⇔ \(h(x)=0\) ».
  2. \(h\) continue sur \([a,b]\). Calculer \(h(a)\), \(h(b)\).
  3. Si \(h(a)h(b)\le 0\) ⇒ existence (TVI).
  4. Montrer \(h'\) garde un signe ⇒ \(h\) monotone ⇒ unicité.
  5. Encadrer par dichotomie si demandé.
6
Optimisation : max/min sur un domaine
Méthode standard
  1. Modéliser : choisir \(x\), écrire \(F(x)\).
  2. Domaine : contraintes ⇒ intervalle (souvent fermé \([a,b]\)).
  3. Dériver : \(F'(x)\), zéros + signe.
  4. Comparer : points critiques + bornes si \([a,b]\).
  5. Conclusion : phrase + unité + arrondi.
Rappel : sur \([a,b]\) et si \(F\) est continue, le max/min existent. Sur un domaine non borné, il faut aussi étudier les limites.
7
Formulaire (Terminale)
Dérivées usuelles
\[ (x^n)'=nx^{n-1}\quad(n\in\mathbb N^*) \] \[ (\sqrt{x})'=\frac1{2\sqrt{x}}\ (x>0) \qquad (\ln x)'=\frac1x\ (x>0) \] \[ (e^x)'=e^x \qquad (\sin x)'=\cos x \qquad (\cos x)'=-\sin x \]
Règles
\[ (u+v)'=u'+v' \qquad (ku)'=ku' \] \[ (uv)'=u'v+uv' \qquad \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\ (v\neq0) \] \[ (u\circ v)'=(u'\circ v)\cdot v' \] \[ T_a:\ y=f(a)+f'(a)(x-a) \]
Convexité / TVI
\[ f''\ge 0 \Rightarrow f\ \text{convexe} \qquad f''\le 0 \Rightarrow f\ \text{concave} \] \[ f\ \text{continue sur }[a,b],\ f(a)f(b)\le 0 \Rightarrow \exists c\in[a,b],\ f(c)=0. \] \[ f\ \text{strictement monotone} \Rightarrow \text{solution unique}. \]
Checklist 10 secondes
  • Domaine ✅ Limites ✅
  • \(f'\) + signe ⇒ variations + extrema ✅
  • \(f''\) ⇒ convexité + inflexion (changement) ✅
  • Tangente si demandé ✅
  • Conclusion (unité/arrondi) ✅