Cours — Dérivation, convexité et continuité
Étude complète d’une fonction : domaine, limites, continuité, variations, extrema, tangentes, convexité/concavité, points d’inflexion, optimisation.
1) Objectifs Bac et plan de travail
Compétences attendues
- Calculer \(f'(x)\) et exploiter son signe pour un tableau de variations.
- Trouver extrema (valeurs max/min) et interpréter graphiquement.
- Déterminer l’équation de la tangente en un point.
- Calculer \(f''(x)\), étudier convexité/concavité, repérer un point d’inflexion.
- Utiliser continuité et théorèmes (TVI) pour existence/unicité de solutions.
- Résoudre des problèmes d’optimisation (géométrie, coût, distance, rendement…).
Pièges fréquents
- Domaine oublié (racine, log, dénominateur \(\neq0\), etc.).
- Confusion : \(f'(a)=0\) ne suffit pas ⇒ il faut analyser le signe de \(f'\) ou le contexte.
- Convexité : on conclut avec le signe de \(f''\) (ou variation de \(f'\)).
- Point d’inflexion : il faut changement de convexité (souvent \(f''\) change de signe).
2) Méthode : étude complète d’une fonction
| Étape | Ce qu’on fait (réflexes Bac) |
|---|---|
| 1 Domaine \(\mathcal D_f\) | Interdits : dénominateur \(=0\), radicande \(\ge 0\), \(\ln\) : argument \(>0\), etc. |
| 2 Limites / asymptotes | Aux bornes du domaine et à \(\pm\infty\). Asymptote verticale si \(\lim f=\pm\infty\). |
| 3 Continuité | Sur les intervalles du domaine (fonctions usuelles). Continuité en un point = limite = valeur. |
| 4 Dérivée \(f'\) | Calcul, simplification, puis étude du signe de \(f'\) (factoriser !). |
| 5 Variations & extrema | Tableau de variations. Extrema locaux si \(f'\) s’annule et change de signe. |
| 6 Tangentes | \(T_a:\ y=f(a)+f'(a)(x-a)\). Interprétation : pente \(f'(a)\). |
| 7 Seconde dérivée \(f''\) | Signe de \(f''\) ⇒ convexité/concavité. \(f''=0\) + changement de signe ⇒ inflexion. |
| 8 Exploitation (équations, opti) | TVI pour existence; variations pour unicité; optimisation par étude de fonction objectif. |
Astuce Bac : si tu dois montrer « une unique solution », fais :
existence (TVI ou changement de signe) + unicité (monotonie via \(f'\)).
3) Dérivation : définitions, propriétés, variations
Définition (rappel)
\(f\) est dérivable en \(a\) si la limite
\[
\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\]
existe. On note cette limite \(f'(a)\).
Interprétation : \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en \(a\).
Lien dérivée / variations
Sur un intervalle \(I\) :
- Si \(f'(x)\ge 0\) sur \(I\), alors \(f\) est croissante sur \(I\).
- Si \(f'(x)\le 0\) sur \(I\), alors \(f\) est décroissante sur \(I\).
- Si \(f'(x)> 0\) sur \(I\), alors \(f\) est strictement croissante.
Extrema locaux : si \(f'(a)=0\) et \(f'\) passe de \(+\) à \(-\), maximum local; de \(-\) à \(+\), minimum local.
Étudier le signe de \(f'\) : méthode
- Factoriser \(f'(x)\) dès que possible (produit/quotient) : le signe devient lisible.
- Repérer les zéros de \(f'\) et les valeurs interdites (domaine !).
- Faire un tableau de signes (facteurs) puis en déduire les variations.
Exemple 1 (type Bac) : variations + extrema
Soit \(f(x)=x^3-3x+1\) sur \(\mathbb R\).
- \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\).
- Signe : \(f'>0\) sur \((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\), \(f'<0\) sur \((-1,1)\).
- Donc \(f\) croît, décroît, puis croît. Extrema : max local en \(-1\), min local en \(1\).
- \(f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=3\), \(f(1)=1-3+1=-1\).
4) Tangente à la courbe en \(a\)
Formule
La tangente à \(\mathcal C_f\) en \(a\) a pour équation :
\[
T_a:\ y=f(a)+f'(a)(x-a).
\]
Si \(f'(a)=0\), la tangente est horizontale.
Lire une tangente (graphique)
- Pente \(m=f'(a)\) : si \(m>0\) elle monte, si \(m<0\) elle descend.
- La tangente « colle » à la courbe au voisinage de \(a\).
- Approche locale : \(f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h\) (pour \(h\) petit).
Exemple 2 : équation de tangente
\(f(x)=\ln x\) (sur \(x>0\)). Tangente en \(a=e\).
- \(f(e)=1\).
- \(f'(x)=\dfrac1x\) donc \(f'(e)=\dfrac1e\).
- \(\Rightarrow\ T_e:\ y=1+\dfrac1e(x-e)=\dfrac{x}{e}\).
5) Convexité, concavité, points d’inflexion
Critère via \(f''\)
Si \(f\) est deux fois dérivable sur un intervalle \(I\) :
- Si \(f''(x)\ge 0\) sur \(I\) ⇒ \(f\) est convexe sur \(I\).
- Si \(f''(x)\le 0\) sur \(I\) ⇒ \(f\) est concave sur \(I\).
Interprétation : convexe = « courbe vers le haut » (les tangentes sont en dessous), concave = « vers le bas ».
Point d’inflexion
Un point \(I(a,f(a))\) est un point d’inflexion si la convexité change au voisinage de \(a\).
Souvent : \(f''(a)=0\) et \(f''\) change de signe en \(a\).
Variante : si \(f'\) est croissante ⇒ \(f\) convexe; si \(f'\) décroissante ⇒ \(f\) concave.
Exemple 3 : convexité + inflexion
\(f(x)=x^3\) sur \(\mathbb R\).
- \(f'(x)=3x^2\), \(f''(x)=6x\).
- \(f''(x)<0\) si \(x<0\) ⇒ concave sur \((-\infty,0)\).
- \(f''(x)>0\) si \(x>0\) ⇒ convexe sur \((0,+\infty)\).
- Changement de signe en \(0\) ⇒ point d’inflexion en \(I(0,0)\).
6) Continuité (et TVI) : existence / unicité de solution
Définition
\(f\) est continue en \(a\) si
\[
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
\]
Sur un intervalle, on parle de continuité sur tout point de l’intervalle.
Les fonctions usuelles (polynômes, rationnelles sur leur domaine, exponentielle, logarithme, trigonométriques…) sont continues sur leur domaine.
TVI (Théorème des valeurs intermédiaires)
Si \(f\) est continue sur \([a,b]\), alors pour tout \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe \(c\in[a,b]\) tel que \(f(c)=k\).
En particulier, si \(f(a)\cdot f(b)\le 0\), il existe \(c\) tel que \(f(c)=0\).
Unicité : si en plus \(f\) est strictement monotone sur \([a,b]\), alors l’équation \(f(x)=k\) a au plus une solution.
Exemple 4 (Bac) : existence + unicité d’une solution
Montrer que l’équation \(e^x=x+2\) a une unique solution sur \(\mathbb R\).
Poser \(g(x)=e^x-x-2\) (continue sur \(\mathbb R\)).
Poser \(g(x)=e^x-x-2\) (continue sur \(\mathbb R\)).
- \(g(0)=1-0-2=-1<0\), \(g(2)=e^2-4>0\) ⇒ par TVI, il existe \(\alpha\in(0,2)\) tel que \(g(\alpha)=0\).
- \(g'(x)=e^x-1\ge 0\) et \(>0\) pour \(x>0\) ⇒ \(g\) est strictement croissante sur \([0,+\infty)\).
- Donc cette solution \(\alpha\in(0,2)\) est unique.
7) Optimisation : méthode générale
Schéma en 5 étapes (à appliquer systématiquement)
| Étape | Action |
|---|---|
| A Modéliser | Choisir une variable \(x\) (avec unité) et écrire la grandeur à optimiser \(F(x)\). |
| B Domaine | Déterminer l’intervalle de sens : contraintes géométriques, physiques, économiques. |
| C Dériver | Calculer \(F'(x)\), étudier son signe (factoriser) ⇒ variations. |
| D Conclure | Lire le max/min sur le tableau : sur un intervalle fermé, comparer aussi aux bornes. |
| E Interpréter | Donner la valeur optimale + phrase de conclusion + unité (et éventuellement arrondi). |
Exemple 5 : optimisation (niveau Bac)
On veut minimiser \(F(x)=x+\dfrac{9}{x}\) sur \(x>0\).
- Domaine : \(x>0\).
- \(F'(x)=1-\dfrac{9}{x^2}=\dfrac{x^2-9}{x^2}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x^2}\).
- Sur \(x>0\), le signe dépend de \(x-3\) : \(F\) décroît sur \((0,3)\) puis croît sur \((3,+\infty)\).
- Minimum atteint en \(x=3\) : \(F(3)=3+\dfrac{9}{3}=6\).
8) Outils classiques (souvent mobilisés en Terminale)
Rolle (rappel utile)
Si \(f\) est continue sur \([a,b]\), dérivable sur \((a,b)\) et \(f(a)=f(b)\),
alors il existe \(c\in(a,b)\) tel que \(f'(c)=0\).
TVM (théorème des accroissements finis)
Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \((a,b)\),
alors il existe \(c\in(a,b)\) tel que
\[
f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
\]
Interprétation : une tangente a la même pente que la sécante \([A(a,f(a)),B(b,f(b))]\).
9) Mini-formulaire (indispensable)
Dérivées usuelles
\[
(x^n)'=nx^{n-1}\quad(n\in\mathbb N^*)
\]
\[
(\sqrt{x})'=\frac1{2\sqrt{x}}\ (x>0)
\qquad (\ln x)'=\frac1x\ (x>0)
\]
\[
(e^x)'=e^x
\qquad (\sin x)'=\cos x
\qquad (\cos x)'=-\sin x
\]
Règles
\[
(u+v)'=u'+v'
\qquad (ku)'=ku'
\]
\[
(uv)'=u'v+uv'
\qquad \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\ (v\neq0)
\]
\[
(u\circ v)'=(u'\circ v)\cdot v'
\]
\[
T_a:\ y=f(a)+f'(a)(x-a)
\]
Convexité / inflexion
\[
f''\ge 0 \Rightarrow f\ \text{convexe}
\qquad
f''\le 0 \Rightarrow f\ \text{concave}
\]
\[
\text{Inflexion en }a \iff \text{changement de convexité (souvent } f'' \text{ change de signe).}
\]
Checklist “copie Bac” (à dérouler)
- Domaine annoncé clairement.
- Limites aux bornes + asymptotes si besoin.
- Dérivée calculée et factorisée.
- Signe de \(f'\) ⇒ tableau de variations + extrema (valeurs calculées).
- Tangente demandée ⇒ formule + simplification.
- Seconde dérivée ⇒ convexité/concavité + inflexion (avec justification).
- Conclusion : phrase + unité + arrondi si nécessaire.