Dérivation, convexité et continuité

Étude complète, extremums, convexité, tangentes, optimisation, TVI (existence/unicité).

Cours Exercices Fiche Quiz
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Exercices — Dérivation, convexité et continuité
Série Bac : étude complète, extrema, tangentes, convexité, inflexion, optimisation, équations (existence + unicité). Corrections détaillées sous chaque exercice.
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1
Étude complète d’une fonction rationnelle
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\) par \[ f(x)=\frac{x^2+2x+2}{x+1}. \]
  1. Déterminer \(\mathcal D_f\), puis étudier les limites en \(-1\) et en \(\pm\infty\). En déduire les asymptotes.
  2. Montrer que \(f(x)=x+1+\dfrac{1}{x+1}\). En déduire l’allure de \(\mathcal C_f\) à l’infini.
  3. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
  4. Déterminer l’équation de la tangente en \(x=0\).
Correction détaillée
1) Domaine & limites.
\(\mathcal D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).
Écriture utile : \(f(x)=x+1+\dfrac{1}{x+1}\).
Quand \(x\to -1^+\), \(\dfrac{1}{x+1}\to +\infty\) donc \(f(x)\to +\infty\).
Quand \(x\to -1^-\), \(\dfrac{1}{x+1}\to -\infty\) donc \(f(x)\to -\infty\).
Donc asymptote verticale : \(x=-1\).
Quand \(x\to\pm\infty\), \(\dfrac{1}{x+1}\to 0\) donc \(f(x)\sim x+1\) : asymptote oblique \(y=x+1\).
2) Allure à l’infini.
Comme \(f(x)=x+1+\dfrac{1}{x+1}\), la courbe est proche de la droite \(y=x+1\) et se place au-dessus si \(x>-1\) (car \(\frac{1}{x+1}>0\)) et au-dessous si \(x<-1\).
3) Dérivée & variations.
À partir de \(f(x)=x+1+\dfrac{1}{x+1}\) : \[ f'(x)=1-\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{(x+1)^2-1}{(x+1)^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1)^2}. \] Le dénominateur est \(>0\) sur \(\mathcal D_f\), donc le signe de \(f'\) est celui de \(x(x+2)\). Zéros : \(x=-2\) et \(x=0\).
  • \(f'>0\) sur \((-\infty,-2)\) puis \(f'<0\) sur \((-2,-1)\) et \((-1,0)\), puis \(f'>0\) sur \((0,+\infty)\).
Valeurs : \(f(-2)=\dfrac{4-4+2}{-1}=-2\), \(f(0)=\dfrac{2}{1}=2\).
Donc maximum local en \(-2\) (branche gauche) et minimum local en \(0\) (branche droite).
4) Tangente en 0.
\(f(0)=2\), \(f'(0)=1-\dfrac{1}{1}=0\).
\[ T_0:\ y=f(0)+f'(0)(x-0)=2. \] Tangente horizontale \(y=2\).
2
Étude : extrema + convexité + point d’inflexion
On considère \(f(x)=x^4-4x^3+4x\) sur \(\mathbb R\).
  1. Calculer \(f'(x)\), étudier son signe et dresser le tableau de variations.
  2. Déterminer les extrema locaux (abscisses et valeurs).
  3. Calculer \(f''(x)\) et étudier la convexité/concavité de \(f\). Déterminer les points d’inflexion.
  4. Tracer une esquisse cohérente de \(\mathcal C_f\) (pas besoin d’un tracé parfait).
Correction détaillée
1) Dérivée. \[ f'(x)=4x^3-12x^2+4=4(x^3-3x^2+1). \] L’étude exacte du signe peut se faire par analyse de \(x^3-3x^2+1\) (cubic). Pour un exercice Bac, on attend :
  • soit un encadrement des racines par calculs (valeurs testées),
  • soit un tableau de signes après factorisation si une racine évidente est trouvée,
  • soit l’usage d’une étude auxiliaire.
Ici, on remarque que \(x=1\) donne \(1-3+1=-1\neq 0\), pas de racine évidente. On peut néanmoins conclure proprement : la fonction admet au moins une racine réelle de \(f'\) (car cubic), et on peut situer numériquement les changements de signe.
Remarque pédagogique : pour garder la correction 100% exploitable en Bac « sans calculatrice », on choisit généralement des dérivées factorisables. Ici je te donne une correction avec encadrement des racines (méthode Bac).
Encadrement des zéros de \(f'\) (méthode TVI + monotonie).
Étudions \(g(x)=x^3-3x^2+1\). Alors \(f'(x)=4g(x)\) et le signe est celui de \(g\).
\[ g'(x)=3x^2-6x=3x(x-2). \] Donc \(g\) croît sur \((-\infty,0]\), décroît sur \([0,2]\), croît sur \([2,+\infty)\). Valeurs : \[ g(0)=1>0,\quad g(1)=-1<0,\quad g(2)=8-12+1=-3<0,\quad g(3)=27-27+1=1>0. \] Donc, par TVI :
  • une racine \(\alpha\in(0,1)\),
  • une racine \(\beta\in(2,3)\).
Et comme \(g\) est monotone sur \([0,2]\) puis \([2,+\infty)\), chacune est unique sur son intervalle. De plus \(g(x)>0\) pour \(x\ll 0\) et \(g\) croît sur \((-\infty,0]\) avec \(g(0)>0\) ⇒ pas de racine négative. Donc \(f'\) s’annule exactement en \(\alpha\in(0,1)\) et \(\beta\in(2,3)\). Signe : \(f'>0\) sur \((-\infty,\alpha)\), \(f'<0\) sur \((\alpha,\beta)\), \(f'>0\) sur \((\beta,+\infty)\). Donc \(f\) croît, décroît, croît.
2) Extrema.
Max local en \(x=\alpha\) et min local en \(x=\beta\). Les valeurs exactes ne sont pas « jolies » ; on peut donner une valeur approchée si autorisé. (En Bac, l’important est la méthode : signe de \(f'\) ⇒ extrema.)
3) Seconde dérivée et convexité. \[ f''(x)=12x^2-24x=12x(x-2). \] Donc :
  • \(f''>0\) sur \((-\infty,0)\cup(2,+\infty)\) ⇒ \(f\) convexe.
  • \(f''<0\) sur \((0,2)\) ⇒ \(f\) concave.
\(f''\) change de signe en \(0\) et \(2\) ⇒ points d’inflexion en \(I_1(0,f(0))=(0,0)\) et \(I_2(2,f(2))\). \[ f(2)=16-32+8=-8. \] Donc \(I_2(2,-8)\).
4) Esquisse. Utiliser : comportement à \(\pm\infty\) (dominante \(x^4\) ⇒ \(f(x)\to+\infty\)), variations (croît-décroît-croît), et convexité (convexe/concave/convexe) avec inflexions en \(0\) et \(2\).
3
Tangente et position relative (outil convexité)
Soit \(f(x)=\ln x\) définie sur \((0,+\infty)\).
  1. Déterminer l’équation de la tangente à \(\mathcal C_f\) en \(x=1\).
  2. Montrer que, pour tout \(x>0\), \(\ln x \le x-1\), avec égalité si et seulement si \(x=1\).
  3. Interpréter graphiquement cette inégalité.
Correction détaillée
1) Tangente en 1.
\(f(1)=0\), \(f'(x)=\dfrac1x\) donc \(f'(1)=1\).
\[ T_1:\ y=f(1)+f'(1)(x-1)=x-1. \]
2) Inégalité \(\ln x \le x-1\).
Considérons \(\varphi(x)=\ln x-(x-1)\) sur \((0,+\infty)\).
\[ \varphi'(x)=\frac1x-1=\frac{1-x}{x}. \] Donc \(\varphi'>0\) sur \((0,1)\) et \(\varphi'<0\) sur \((1,+\infty)\), ainsi \(\varphi\) admet un maximum en \(1\).
\(\varphi(1)=0\) ⇒ pour tout \(x>0\), \(\varphi(x)\le 0\) ⇔ \(\ln x\le x-1\).
Égalité seulement en \(x=1\) (maximum strict).
3) Interprétation.
La courbe de \(\ln\) est concave (car \(f''(x)=-\dfrac1{x^2}<0\)). Pour une fonction concave, la courbe est en dessous de ses tangentes : donc \(\ln x\le x-1\).
4
Équation : existence et unicité (TVI + dérivée)
On considère l’équation \((E)\) : \(\;x^3+x-1=0\).
  1. Montrer que \((E)\) admet au moins une solution réelle.
  2. Montrer que \((E)\) admet une unique solution réelle \(\alpha\).
  3. Donner un encadrement de \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près (méthode dichotomie).
Correction détaillée
Posons \(h(x)=x^3+x-1\), polynôme donc continu sur \(\mathbb R\).
\(h(0)=-1<0\) et \(h(1)=1+1-1=1>0\).
Par TVI, il existe \(\alpha\in(0,1)\) tel que \(h(\alpha)=0\).
Unicité.
\(h'(x)=3x^2+1>0\) sur \(\mathbb R\). Donc \(h\) est strictement croissante, donc l’équation \(h(x)=0\) a au plus une solution. Comme il en existe une, elle est unique.
Encadrement (dichotomie).
On calcule : \[ h(0.68)=0.68^3+0.68-1\approx 0.314+0.68-1\approx -0.006 \] \[ h(0.69)=0.69^3+0.69-1\approx 0.3285+0.69-1\approx 0.0185 \] Donc \(\alpha\in(0.68,0.69)\) (au centième près).
5
Optimisation : aire maximale (type Bac)
On veut fabriquer un rectangle de périmètre \(40\) (en cm). On note \(x\) la longueur et \(y\) la largeur.
  1. Exprimer \(y\) en fonction de \(x\), puis donner l’intervalle de variation de \(x\).
  2. Exprimer l’aire \(A(x)\) du rectangle en fonction de \(x\).
  3. Déterminer la valeur de \(x\) qui maximise l’aire, puis l’aire maximale.
Correction détaillée
Périmètre : \(2(x+y)=40\Rightarrow x+y=20\Rightarrow y=20-x\).
Contraintes : \(x>0\) et \(y>0\Rightarrow 20-x>0\Rightarrow x\in(0,20)\).
Aire : \(A(x)=x(20-x)=20x-x^2\) sur \((0,20)\).
\[ A'(x)=20-2x. \] \(A'(x)=0 \Rightarrow x=10\). Signe : \(A'>0\) si \(x<10\), \(A'<0\) si \(x>10\).
Donc maximum en \(x=10\), \(y=10\). Aire max : \[ A(10)=100\ \text{cm}^2. \]
Conclusion : l’aire maximale est obtenue pour un carré (ici \(10\times 10\)).
6
Optimisation : minimisation (fonction non triviale)
On étudie \(F(x)=x+\dfrac{16}{x}\) pour \(x>0\).
  1. Montrer que \(F\) admet un minimum sur \((0,+\infty)\).
  2. Déterminer ce minimum et la valeur de \(x\) qui le réalise.
  3. Interpréter avec une inégalité du type \(x+\dfrac{16}{x}\ge \dots\).
Correction détaillée
\[ F'(x)=1-\frac{16}{x^2}=\frac{x^2-16}{x^2}=\frac{(x-4)(x+4)}{x^2}. \] Sur \(x>0\), le signe dépend de \(x-4\). Donc \(F\) décroît sur \((0,4)\) puis croît sur \((4,+\infty)\). Minimum en \(x=4\).
\[ F(4)=4+\frac{16}{4}=8. \] Donc, pour tout \(x>0\), \(x+\dfrac{16}{x}\ge 8\), avec égalité ssi \(x=4\).
7
Convexité ⇒ inégalité par tangente
Soit \(f(x)=e^x\) sur \(\mathbb R\).
  1. Montrer que \(f\) est convexe sur \(\mathbb R\).
  2. Déterminer l’équation de la tangente en \(0\).
  3. Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\), \(e^x\ge 1+x\). (Indice : position relative)
Correction détaillée
\(f'(x)=e^x\) et \(f''(x)=e^x>0\) sur \(\mathbb R\). Donc \(f\) est convexe.
Tangente en \(0\) : \(f(0)=1\), \(f'(0)=1\).
\[ T_0:\ y=1+x. \]
Pour une fonction convexe, la courbe est au-dessus de ses tangentes. Donc \(e^x\ge 1+x\) pour tout \(x\). Égalité en \(x=0\).
8
Étude complète : logarithme + quotient
On considère \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\) définie sur \((0,+\infty)\).
  1. Étudier les limites en \(0^+\) et \(+\infty\).
  2. Calculer \(f'(x)\), étudier son signe et dresser le tableau de variations.
  3. Déterminer le maximum de \(f\) sur \((0,+\infty)\) et l’abscisse où il est atteint.
  4. Étudier la convexité de \(f\) et déterminer les éventuels points d’inflexion.
Correction détaillée
1) Limites.
Quand \(x\to 0^+\), \(\ln x\to -\infty\) et \(x\to 0^+\) donc \(\dfrac{\ln x}{x}\to -\infty\).
Quand \(x\to +\infty\), \(\ln x\) croît beaucoup plus lentement que \(x\) donc \(\dfrac{\ln x}{x}\to 0\).
2) Dérivée.
\[ f(x)=\ln x \cdot x^{-1}\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x}\cdot x^{-1}+\ln x\cdot(-x^{-2}) =\frac{1-\ln x}{x^2}. \] Sur \(x>0\), le signe dépend de \(1-\ln x\).
\(1-\ln x=0\iff \ln x=1\iff x=e\).
Donc \(f'>0\) sur \((0,e)\) et \(f'<0\) sur \((e,+\infty)\) : \(f\) croît puis décroît.
3) Maximum.
Maximum en \(x=e\) : \[ f(e)=\frac{\ln e}{e}=\frac{1}{e}. \]
4) Convexité.
\[ f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2} \quad\Rightarrow\quad f''(x)=\frac{d}{dx}\left((1-\ln x)x^{-2}\right) =(-\frac1x)x^{-2}+(1-\ln x)(-2)x^{-3}. \] \[ f''(x)= -x^{-3}-2(1-\ln x)x^{-3}=\frac{2\ln x-3}{x^3}. \] Signe : \(2\ln x-3=0\iff \ln x=\frac32\iff x=e^{3/2}\).
Donc \(f\) concave sur \((0,e^{3/2})\) puis convexe sur \((e^{3/2},+\infty)\).
Point d’inflexion en \(x=e^{3/2}\), d’ordonnée \[ f\!\left(e^{3/2}\right)=\frac{3/2}{e^{3/2}}=\frac{3}{2e^{3/2}}. \]
9
Paramètre : nombre de solutions (dérivation + convexité)
Pour \(m\in\mathbb R\), on considère l’équation \((E_m)\) : \[ x^2-2\ln x = m,\quad x>0. \] On pose \(\varphi(x)=x^2-2\ln x\) sur \((0,+\infty)\).
  1. Étudier les limites de \(\varphi\) en \(0^+\) et \(+\infty\).
  2. Étudier les variations de \(\varphi\).
  3. En déduire, selon \(m\), le nombre de solutions de \((E_m)\) dans \((0,+\infty)\).
Correction détaillée
\[ \lim_{x\to0^+}\varphi(x)=\lim_{x\to0^+}\left(x^2-2\ln x\right)=+\infty \] car \(-\ln x\to +\infty\).
\[ \lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=+\infty \] car \(x^2\) domine \(\ln x\).
\[ \varphi'(x)=2x-\frac{2}{x}=2\left(x-\frac1x\right)=\frac{2(x^2-1)}{x}. \] Sur \(x>0\), le signe dépend de \(x^2-1\).
Donc \(\varphi'<0\) sur \((0,1)\), \(\varphi'(1)=0\), \(\varphi'>0\) sur \((1,+\infty)\).
\(\varphi\) admet un minimum global en \(x=1\) : \[ \varphi(1)=1-2\ln 1=1. \]
3) Nombre de solutions.
La courbe de \(\varphi\) descend de \(+\infty\) jusqu’à \(1\) puis remonte vers \(+\infty\).
Donc :
  • si \(m<1\) : aucune solution ;
  • si \(m=1\) : une solution (double) \(x=1\) ;
  • si \(m>1\) : deux solutions (une dans \((0,1)\), l’autre dans \((1,+\infty)\)).
10
Exercice mix (Bac) : étude + tangente + optimisation
On considère \(f(x)=x e^{-x}\) sur \(\mathbb R\).
  1. Calculer \(f'(x)\) et étudier les variations de \(f\).
  2. Déterminer le maximum de \(f\) sur \(\mathbb R\) et l’abscisse correspondante.
  3. Calculer \(f''(x)\) puis étudier la convexité/concavité de \(f\). Déterminer le point d’inflexion.
  4. Déterminer l’équation de la tangente à \(\mathcal C_f\) au point d’abscisse \(0\).
Correction détaillée
1) Dérivée.
\(f(x)=x e^{-x}\). Produit : \[ f'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=e^{-x}(1-x). \] Comme \(e^{-x}>0\), le signe dépend de \(1-x\). Donc \(f\) croît sur \((-\infty,1)\) puis décroît sur \((1,+\infty)\).
2) Maximum.
Maximum en \(x=1\) : \[ f(1)=\frac{1}{e}. \]
3) Seconde dérivée.
\(f'(x)=e^{-x}(1-x)\). Produit : \[ f''(x)=(-e^{-x})(1-x)+e^{-x}(-1)=e^{-x}(x-2). \] Donc \(f''<0\) si \(x<2\) ⇒ concave sur \((-\infty,2)\), et \(f''>0\) si \(x>2\) ⇒ convexe sur \((2,+\infty)\).
Changement de signe en \(2\) ⇒ point d’inflexion : \[ I\left(2, f(2)\right)=\left(2,\frac{2}{e^2}\right). \]
4) Tangente en 0.
\(f(0)=0\), \(f'(0)=e^0(1-0)=1\).
\[ T_0:\ y=0+1(x-0)=x. \]
Bonus Bac : protocole “existence + unicité” (à recopier en copie)
  1. Définir une fonction \(h(x)\) telle que l’équation cherchée soit \(h(x)=0\).
  2. Dire : \(h\) est continue sur \([a,b]\) (justification).
  3. Calculer \(h(a)\) et \(h(b)\). Si \(h(a)h(b)\le 0\), conclure existence par TVI.
  4. Calculer \(h'(x)\) et montrer que \(h'\) garde un signe ⇒ \(h\) est strictement monotone ⇒ unicité.
  5. Encadrer la solution par dichotomie si demandé.