Quiz HARD 30 — Combinatoire & dénombrement (Type Bac) : inclusion-exclusion • mains • codes • anagrammes • conditionnelles
Réponds puis clique Vérifier (ou Tout vérifier). HARD 30 • Type Bac • expressions exactes (priorité) • pièges : “au moins”, contraintes doubles, successifs, mains.
Q2. Codes à 6 chiffres (0–9), répétition autorisée. Combien contiennent exactement deux 0 ? (expression)
Non vérifié
Indice
Choisir les positions des 0, puis remplir le reste sans 0.
Correction
Positions des 0 : \(\binom{6}{2}\). Les 4 autres positions : 9 choix (tout sauf 0).
\[ N=\binom{6}{2}9^4. \]
\[ N=\binom{6}{2}9^4. \]
Q3. Codes à 6 chiffres (0–9), répétition autorisée. Combien contiennent au moins un 0 et au moins un 7 ? (expression)
Non vérifié
Indice
Inclusion-exclusion : total − sans 0 − sans 7 + sans 0 et 7.
Correction
Total \(10^6\). Sans 0 : \(9^6\). Sans 7 : \(9^6\). Sans 0 ni 7 : \(8^6\).
\[ N=10^6-2\cdot9^6+8^6. \]
\[ N=10^6-2\cdot9^6+8^6. \]
Q4. Codes à 6 chiffres (0–9), répétition autorisée. Combien contiennent au moins un 0 et exactement un 7 ? (expression)
Non vérifié
Indice
Fixer la position du 7, puis “au moins un 0” sur les 5 autres cases (avec chiffres ≠7).
Correction
Position du 7 : \(\binom{6}{1}\). Sur les 5 autres positions : 9 choix (chiffres ≠7).
Imposer “au moins un 0” : \(9^5\) moins “aucun 0” : \(8^5\).
\[ N=\binom{6}{1}(9^5-8^5). \]
Imposer “au moins un 0” : \(9^5\) moins “aucun 0” : \(8^5\).
\[ N=\binom{6}{1}(9^5-8^5). \]
Q5. Codes à 5 chiffres (0–9), répétition autorisée. Combien ont une somme des chiffres égale à 1 ?
Non vérifié
Indice
Somme = 1 ⇒ un seul “1” et le reste “0”.
Correction
Somme 1 ⇔ exactement un chiffre vaut 1 et les 4 autres valent 0.
Choix de la position du “1” : \(\binom{5}{1}=5\).
Choix de la position du “1” : \(\binom{5}{1}=5\).
Q6. Mots de longueur 6 sur l’alphabet {A,B,C,D,E,F} (répétition autorisée). Combien contiennent au moins une fois A et au moins une fois B ? (expression)
Non vérifié
Indice
Inclusion-exclusion : total − sans A − sans B + sans A et B.
Correction
Total \(6^6\). Sans A : \(5^6\). Sans B : \(5^6\). Sans A ni B : \(4^6\).
\[ N=6^6-2\cdot5^6+4^6. \]
\[ N=6^6-2\cdot5^6+4^6. \]
Q7. Mots de longueur 7 sur l’alphabet {0,1,2}. Combien contiennent exactement 3 fois le chiffre 2 ? (expression)
Non vérifié
Indice
Choisir les positions des “2”, puis remplir le reste avec {0,1}.
Correction
Positions des 2 : \(\binom{7}{3}\). Les 4 autres positions : 2 choix (0 ou 1).
\[ N=\binom{7}{3}2^4. \]
\[ N=\binom{7}{3}2^4. \]
Q8. Jeu de 52 cartes. On tire 3 cartes successivement sans remise. Probabilité d’obtenir exactement 2 As (expression).
Non vérifié
Indice
L’événement dépend du multiensemble : compter en simultané.
Correction
Total \(\binom{52}{3}\). Favorables : 2 As parmi 4 et 1 non-As parmi 48.
\[ P=\frac{\binom{4}{2}\binom{48}{1}}{\binom{52}{3}}. \]
\[ P=\frac{\binom{4}{2}\binom{48}{1}}{\binom{52}{3}}. \]
Q9. Jeu de 52 cartes. Probabilité d’avoir au moins un As dans une main de 5 cartes (expression).
Non vérifié
Indice
Complément : aucun As.
Correction
Aucun As : choisir 5 cartes parmi les 48 non-As.
\[ P=1-\frac{\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}}. \]
\[ P=1-\frac{\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}}. \]
Q10. Urne : 7 blanches, 5 noires. Tirage simultané de 4. Probabilité d’obtenir au moins 3 blanches (expression).
Non vérifié
Indice
“au moins 3” = 3 ou 4.
Correction
Total \(\binom{12}{4}\). Favorables :
- 3 blanches + 1 noire : \(\binom{7}{3}\binom{5}{1}\)
- 4 blanches : \(\binom{7}{4}\).
\[ P=\frac{\binom{7}{3}\binom{5}{1}+\binom{7}{4}}{\binom{12}{4}}. \]
- 3 blanches + 1 noire : \(\binom{7}{3}\binom{5}{1}\)
- 4 blanches : \(\binom{7}{4}\).
\[ P=\frac{\binom{7}{3}\binom{5}{1}+\binom{7}{4}}{\binom{12}{4}}. \]
Q11. Urne : 6 blanches, 5 noires (11). On tire 4 simultanément. Calculer \(P(\text{3 blanches}\mid \text{au moins 2 blanches})\) (expression).
Non vérifié
Indice
Par comptage : \(P(A\mid B)=\#A/\#B\) avec \(A\subset B\).
Correction
\(\#A=\binom{6}{3}\binom{5}{1}\).
\(\#B=\binom{11}{4}-\binom{5}{4}-\binom{6}{1}\binom{5}{3}\) (on enlève 0 blanche et 1 blanche).
\[ P(A\mid B)=\frac{\#A}{\#B}. \]
\(\#B=\binom{11}{4}-\binom{5}{4}-\binom{6}{1}\binom{5}{3}\) (on enlève 0 blanche et 1 blanche).
\[ P(A\mid B)=\frac{\#A}{\#B}. \]
Q12. Main de 5 cartes (52). Probabilité d’avoir exactement une paire (et les 3 autres cartes de rangs tous différents) (expression).
Non vérifié
Indice
Choisir rang de la paire, couleurs, puis 3 rangs distincts et 1 carte par rang.
Correction
Total \(\binom{52}{5}\). Favorables : 13 choix du rang de la paire, \(\binom{4}{2}\) choix des couleurs, \(\binom{12}{3}\) choix des 3 rangs restants, et \(4^3\) choix des couleurs de ces 3 cartes.
\[ P=\frac{13\binom{4}{2}\binom{12}{3}4^3}{\binom{52}{5}}. \]
\[ P=\frac{13\binom{4}{2}\binom{12}{3}4^3}{\binom{52}{5}}. \]
Q13. Main de 5 cartes (52). Probabilité d’avoir exactement deux paires (et une 5e carte d’un troisième rang) (expression).
Non vérifié
Indice
Choisir 2 rangs pour les paires, choisir 2 cartes pour chaque rang, puis choisir le rang de la 5e carte et sa couleur.
Correction
Total \(\binom{52}{5}\). Favorables :
- choisir les 2 rangs des paires : \(\binom{13}{2}\)
- pour chaque paire : \(\binom{4}{2}\) choix ⇒ au carré
- choisir le rang de la 5e carte parmi les 11 restants : 11
- choisir sa couleur : 4
\[ P=\frac{\binom{13}{2}\binom{4}{2}^2\cdot 11\cdot 4}{\binom{52}{5}}. \]
- choisir les 2 rangs des paires : \(\binom{13}{2}\)
- pour chaque paire : \(\binom{4}{2}\) choix ⇒ au carré
- choisir le rang de la 5e carte parmi les 11 restants : 11
- choisir sa couleur : 4
\[ P=\frac{\binom{13}{2}\binom{4}{2}^2\cdot 11\cdot 4}{\binom{52}{5}}. \]
Q14. Main de 5 cartes (52). Probabilité d’avoir un brelan (exactement 3 cartes du même rang) et deux autres cartes de rangs différents entre eux et du brelan (expression).
Non vérifié
Indice
Choisir le rang du brelan, ses 3 couleurs, puis 2 rangs distincts parmi les 12 restants, puis 1 carte (couleur) par rang.
Correction
Total \(\binom{52}{5}\). Favorables : 13 choix du rang, \(\binom{4}{3}\) choix des 3 cartes, \(\binom{12}{2}\) choix des 2 rangs restants, et \(4^2\) choix des couleurs.
\[ P=\frac{13\binom{4}{3}\binom{12}{2}4^2}{\binom{52}{5}}. \]
\[ P=\frac{13\binom{4}{3}\binom{12}{2}4^2}{\binom{52}{5}}. \]
Q15. Main de 5 cartes (52). Probabilité d’avoir au moins un As et au moins un Roi (expression).
Non vérifié
Indice
Inclusion-exclusion sur “sans As” et “sans Roi”.
Correction
Total \(\binom{52}{5}\). Sans As : \(\binom{48}{5}\). Sans Roi : \(\binom{48}{5}\). Ni As ni Roi : \(\binom{44}{5}\).
\[ P=\frac{\binom{52}{5}-2\binom{48}{5}+\binom{44}{5}}{\binom{52}{5}}. \]
\[ P=\frac{\binom{52}{5}-2\binom{48}{5}+\binom{44}{5}}{\binom{52}{5}}. \]
Q16. On place 10 personnes en ligne. Deux personnes données doivent être côte à côte. Combien d’arrangements ?
Non vérifié
Indice
Bloc de 2 : 9 objets à permuter, puis ×2.
Correction
Bloc + 8 autres = 9 objets : \(9!\) et 2 ordres dans le bloc. Donc \(2\cdot 9!\).
Q17. On place 10 personnes en ligne. Trois personnes données doivent être côte à côte (les 3 ensemble). Combien ?
Non vérifié
Indice
Bloc de 3 : 8 objets à permuter, et 3! ordres dans le bloc.
Correction
Bloc (3 personnes) + 7 autres = 8 objets : \(8!\). À l’intérieur du bloc : \(3!\). Donc \(3!\cdot 8!\).
Q18. Anagrammes de « STATISTIQUE ». Combien avec les 3 lettres T toutes côte à côte ? (expression)
Non vérifié
Indice
Bloc (TTT) puis compter avec répétitions S×2 et I×2.
Correction
On forme le bloc (TTT). Il reste 9 objets : (TTT), S,S, I,I, A,Q,U,E. Répétitions : S×2, I×2.
\[ N=\frac{9!}{2!\,2!}. \]
\[ N=\frac{9!}{2!\,2!}. \]
Q19. Anagrammes de « MATHEMATIQUES ». Combien commencent par M et finissent par S ? (expression)
Non vérifié
Indice
Fixer M au début et S à la fin. Répétitions restantes : A×2 et T×2.
Correction
Après fixation de M et S, il reste 11 lettres, avec répétitions A×2 et T×2 (les autres simples).
\[ N=\frac{11!}{2!\,2!}. \]
\[ N=\frac{11!}{2!\,2!}. \]
Q20. Codes à 4 chiffres (0–9), répétition autorisée. Combien ont exactement une répétition (un chiffre apparaît exactement deux fois, les deux autres chiffres sont distincts entre eux et du chiffre répété) ? (expression)
Non vérifié
Indice
Choisir le chiffre répété, ses positions, puis choisir 2 chiffres distincts pour les autres positions.
Correction
Choisir le chiffre répété : 10. Positions : \(\binom{4}{2}\). Deux autres chiffres distincts parmi les 9 restants : 9 puis 8. Les deux places restantes sont déterminées.
\[ N=10\binom{4}{2}\cdot 9\cdot 8. \]
\[ N=10\binom{4}{2}\cdot 9\cdot 8. \]
Q21. Codes à 5 chiffres (0–9), répétition autorisée. Combien ont exactement 3 chiffres identiques et les 2 autres tous différents entre eux et du triple ? (expression)
Non vérifié
Indice
Choisir le chiffre du triple, positions, puis choisir 2 chiffres distincts pour les 2 autres places.
Correction
Choisir le chiffre du triple : 10. Choisir ses 3 positions : \(\binom{5}{3}\). Choisir les 2 autres chiffres distincts parmi les 9 restants : 9 puis 8. Les deux places restantes sont déterminées.
\[ N=10\binom{5}{3}\cdot 9\cdot 8. \]
\[ N=10\binom{5}{3}\cdot 9\cdot 8. \]
Q22. Nombre de triplets d’entiers \((a,b,c)\) avec \(a\ge0\), \(b\ge0\), \(c\ge0\) et \(a+b+c=12\) ?
Non vérifié
Indice
Fixer \(a\in\{0..12\}\) et compter les solutions de \(b+c=12-a\).
Correction
Pour un \(a\) fixé, \(b+c=12-a\) a \((12-a)+1\) solutions.
Somme : \(13+12+\cdots+1=\frac{13\cdot14}{2}=91\).
Somme : \(13+12+\cdots+1=\frac{13\cdot14}{2}=91\).
Q23. Nombre de solutions entières \((a,b,c)\) avec \(a\ge1\), \(b\ge0\), \(c\ge0\) et \(a+b+c=10\) ?
Non vérifié
Indice
Poser \(a=1+a'\) avec \(a'\ge0\).
Correction
Poser \(a=1+a'\). Alors \(a'+b+c=9\).
Comme ci-dessus : \(10+9+\cdots+1=55\).
Comme ci-dessus : \(10+9+\cdots+1=55\).
Q24. On lance 10 fois une pièce équilibrée. Probabilité d’obtenir exactement 6 piles (expression).
Non vérifié
Indice
Choisir les positions des piles parmi 10.
Correction
Il y a \(2^{10}\) suites équiprobables. Favorables : \(\binom{10}{6}\).
\[ P=\frac{\binom{10}{6}}{2^{10}}. \]
\[ P=\frac{\binom{10}{6}}{2^{10}}. \]
Q25. On lance 12 fois une pièce équilibrée. Probabilité d’obtenir au moins 10 piles (expression).
Non vérifié
Indice
“au moins 10” = 10 ou 11 ou 12.
Correction
\[
P=\frac{\binom{12}{10}+\binom{12}{11}+\binom{12}{12}}{2^{12}}.
\]
Q26. Main de 5 cartes. Sachant qu’elle contient au moins un As, probabilité qu’elle contienne exactement un As (expression).
Non vérifié
Indice
Par comptage : \(P(A\mid B)=\#A/\#B\) avec univers (mains) équiprobable.
Correction
Univers : mains de 5 cartes (équiprobables).
\(B\) : “au moins un As” : \(\#B=\binom{52}{5}-\binom{48}{5}\).
\(A\) : “exactement un As” : \(\#A=\binom{4}{1}\binom{48}{4}\).
\[ P(A\mid B)=\frac{\#A}{\#B}. \]
\(B\) : “au moins un As” : \(\#B=\binom{52}{5}-\binom{48}{5}\).
\(A\) : “exactement un As” : \(\#A=\binom{4}{1}\binom{48}{4}\).
\[ P(A\mid B)=\frac{\#A}{\#B}. \]
Q27. Urne : 8 rouges, 7 bleues (15). On tire 5 simultanément. Probabilité d’avoir au moins 4 rouges (expression).
Non vérifié
Indice
“au moins 4” = 4 ou 5.
Correction
Total \(\binom{15}{5}\). Favorables : (4 rouges + 1 bleue) ou (5 rouges).
\[ P=\frac{\binom{8}{4}\binom{7}{1}+\binom{8}{5}}{\binom{15}{5}}. \]
\[ P=\frac{\binom{8}{4}\binom{7}{1}+\binom{8}{5}}{\binom{15}{5}}. \]
Q28. Dans un groupe de 12 personnes, on forme un bureau (président, vice, trésorier, secrétaire). Combien de bureaux possibles ?
Non vérifié
Indice
Rôles ⇒ ordre compte : arrangement.
Correction
\[
A_{12}^{4}=12\times11\times10\times9=11880.
\]
Q29. Parmi 12 personnes, on choisit une délégation de 4 personnes puis on désigne un chef parmi ces 4. Combien de choix ? (expression)
Non vérifié
Indice
Choisir la délégation puis le chef dans la délégation.
Correction
\[
N=\binom{12}{4}\times 4=4\binom{12}{4}.
\]
Q30. Mots de longueur 8 sur l’alphabet {A,B,C,D} (répétition autorisée). Combien contiennent au moins une fois A, au moins une fois B et au moins une fois C ? (expression)
Non vérifié
Indice
Inclusion-exclusion sur l’ensemble des lettres manquantes parmi {A,B,C}.
Correction
Total \(4^8\).
Enlever ceux sans A, sans B, sans C : \(3\cdot 3^8\).
Rajouter ceux sans A et B (donc alphabet {C,D}) etc : \(3\cdot 2^8\).
Enlever ceux sans A,B,C (alphabet {D}) : \(1^8\).
\[ N=4^8-3\cdot3^8+3\cdot2^8-1^8. \]
Enlever ceux sans A, sans B, sans C : \(3\cdot 3^8\).
Rajouter ceux sans A et B (donc alphabet {C,D}) etc : \(3\cdot 2^8\).
Enlever ceux sans A,B,C (alphabet {D}) : \(1^8\).
\[ N=4^8-3\cdot3^8+3\cdot2^8-1^8. \]
Q31. Main de 5 cartes. Probabilité d’avoir exactement 2 cœurs (expression).
Non vérifié
Indice
Cœurs : 13 cartes, non-cœurs : 39 cartes.
Correction
Total \(\binom{52}{5}\). Favorables : 2 cœurs parmi 13 et 3 non-cœurs parmi 39.
\[ P=\frac{\binom{13}{2}\binom{39}{3}}{\binom{52}{5}}. \]
\[ P=\frac{\binom{13}{2}\binom{39}{3}}{\binom{52}{5}}. \]
Clavier