Combinatoire Et Denombrement
TERMINALE-SPE • MATHS — Learna
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Quiz bien avancé — Combinatoire & dénombrement (HARD 30)
Réponds puis clique Vérifier (ou Tout vérifier). Version auditée • bien avancée • HARD 30 • type Bac • expressions exactes + résultats numériques acceptés • pièges : complément, inclusion-exclusion, successifs, contraintes.
Q1. Codes à 6 chiffres (0–9), répétition autorisée. Combien contiennent exactement deux 0 ? (expression)
Non vérifié
Indice
Choisir les positions des 0, puis remplir les autres cases sans 0.
Correction
On choisit les 2 positions des zéros : \(\binom{6}{2}\). Puis on remplit les 4 autres positions avec un chiffre non nul : \(9^4\).
\[ N=\binom{6}{2}9^4. \]
\[ N=\binom{6}{2}9^4. \]
Q2. Mots de longueur 7 sur l’alphabet \(\{0,1,2\}\). Combien contiennent exactement 3 fois le chiffre 2 ? (expression)
Non vérifié
Indice
Choisir les positions des 2, puis remplir le reste avec 0 ou 1.
Correction
On choisit les 3 positions du chiffre 2 : \(\binom{7}{3}\). Les 4 autres positions sont remplies avec 0 ou 1, soit \(2^4\) possibilités.
\[ N=\binom{7}{3}2^4. \]
\[ N=\binom{7}{3}2^4. \]
Q3. On place 10 personnes en ligne. Deux personnes données doivent être côte à côte. Combien d’arrangements ?
Non vérifié
Indice
Former un bloc.
Correction
On forme un bloc avec les 2 personnes. On a alors 9 objets à ordonner : \(9!\). À l’intérieur du bloc, il y a 2 ordres possibles.
\[ N=2\cdot 9!. \]
\[ N=2\cdot 9!. \]
Q4. On place 10 personnes en ligne. Trois personnes données doivent être côte à côte. Combien d’arrangements ?
Non vérifié
Indice
Bloc de 3.
Correction
On forme un bloc de 3 personnes. On a alors 8 objets à ordonner : \(8!\). À l’intérieur du bloc, les 3 personnes peuvent être ordonnées de \(3!\) façons.
\[ N=3!\cdot 8!. \]
\[ N=3!\cdot 8!. \]
Q5. Nombre de triplets d’entiers \((a,b,c)\) avec \(a\ge0\), \(b\ge0\), \(c\ge0\) et \(a+b+c=12\) ?
Non vérifié
Indice
Fixer \(a\), puis compter les solutions de \(b+c=12-a\).
Correction
Pour un \(a\) fixé, l’équation \(b+c=12-a\) a \(13-a\) solutions. Donc :
\[
13+12+\cdots+1=\frac{13\cdot14}{2}=91.
\]
Q6. Nombre de solutions entières \((a,b,c)\) avec \(a\ge1\), \(b\ge0\), \(c\ge0\) et \(a+b+c=10\) ?
Non vérifié
Indice
Poser \(a=1+a'\).
Correction
On pose \(a=1+a'\) avec \(a'\ge0\). Alors \(a'+b+c=9\). Le nombre de solutions vaut :
\[
10+9+\cdots+1=55.
\]
Q7. Codes à 6 chiffres (0–9), répétition autorisée. Combien contiennent au moins un 0 et au moins un 7 ? (expression)
Non vérifié
Indice
Total − sans 0 − sans 7 + sans 0 ni 7.
Correction
Total : \(10^6\). Sans 0 : \(9^6\). Sans 7 : \(9^6\). Sans 0 ni 7 : \(8^6\).
\[ N=10^6-2\cdot9^6+8^6. \]
\[ N=10^6-2\cdot9^6+8^6. \]
Q8. Mots de longueur 6 sur l’alphabet \(\{A,B,C,D,E,F\}\), répétition autorisée. Combien contiennent au moins une fois A et au moins une fois B ? (expression)
Non vérifié
Indice
Même schéma d’inclusion-exclusion.
Correction
Total : \(6^6\). Sans A : \(5^6\). Sans B : \(5^6\). Sans A ni B : \(4^6\).
\[ N=6^6-2\cdot5^6+4^6. \]
\[ N=6^6-2\cdot5^6+4^6. \]
Q9. Main de 5 cartes. Probabilité d’avoir au moins un As (expression).
Non vérifié
Indice
Complément : aucune carte n’est un As.
Correction
Total : \(\binom{52}{5}\). Mains sans As : \(\binom{48}{5}\). Donc :
\[
P=1-\frac{\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}}.
\]
Q10. Urne : 7 blanches, 5 noires. Tirage simultané de 4. Probabilité d’obtenir au moins 3 blanches (expression).
Non vérifié
Indice
“Au moins 3” = 3 ou 4.
Correction
Total : \(\binom{12}{4}\).
Cas favorables : \[ \binom{7}{3}\binom{5}{1}+\binom{7}{4}. \] Donc \[ P=\frac{\binom{7}{3}\binom{5}{1}+\binom{7}{4}}{\binom{12}{4}}. \]
Cas favorables : \[ \binom{7}{3}\binom{5}{1}+\binom{7}{4}. \] Donc \[ P=\frac{\binom{7}{3}\binom{5}{1}+\binom{7}{4}}{\binom{12}{4}}. \]
Q11. Urne : 8 rouges, 7 bleues. On tire 5 simultanément. Probabilité d’avoir au moins 4 rouges (expression).
Non vérifié
Indice
“Au moins 4” = 4 ou 5.
Correction
Total : \(\binom{15}{5}\). Cas favorables :
\[
\binom{8}{4}\binom{7}{1}+\binom{8}{5}.
\]
Donc :
\[
P=\frac{\binom{8}{4}\binom{7}{1}+\binom{8}{5}}{\binom{15}{5}}.
\]
Q12. Mots de longueur 8 sur l’alphabet \(\{A,B,C,D\}\), répétition autorisée. Combien contiennent au moins une fois A, au moins une fois B et au moins une fois C ? (expression)
Non vérifié
Indice
Inclusion-exclusion sur A, B, C.
Correction
Total : \(4^8\).
On enlève sans A, sans B, sans C : \(3\cdot3^8\).
On rajoute sans deux lettres parmi A,B,C : \(3\cdot2^8\).
On enlève sans A, sans B et sans C : \(1\).
\[ N=4^8-3\cdot3^8+3\cdot2^8-1. \]
On enlève sans A, sans B, sans C : \(3\cdot3^8\).
On rajoute sans deux lettres parmi A,B,C : \(3\cdot2^8\).
On enlève sans A, sans B et sans C : \(1\).
\[ N=4^8-3\cdot3^8+3\cdot2^8-1. \]
Q13. Jeu de 52 cartes. On tire 3 cartes. Probabilité d’obtenir exactement 2 As (expression).
Non vérifié
Indice
2 As parmi 4 et 1 non-As parmi 48.
Correction
On compte les mains de 3 cartes :
\[
P=\frac{\binom{4}{2}\binom{48}{1}}{\binom{52}{3}}.
\]
Q14. Main de 5 cartes. Probabilité d’avoir exactement 2 cœurs (expression).
Non vérifié
Indice
2 cœurs et 3 non-cœurs.
Correction
Total : \(\binom{52}{5}\). Favorables : choisir 2 cœurs parmi 13 et 3 non-cœurs parmi 39 :
\[
P=\frac{\binom{13}{2}\binom{39}{3}}{\binom{52}{5}}.
\]
Q15. Urne : 6 blanches, 5 noires. On tire 4 simultanément. Calculer \(P(\text{3 blanches}\mid \text{au moins 2 blanches})\) (expression).
Non vérifié
Indice
Compter le numérateur et le dénominateur.
Correction
On note \(A\) : “exactement 3 blanches”, \(B\) : “au moins 2 blanches”.
\[ \#A=\binom{6}{3}\binom{5}{1}. \] Pour \(B\), on enlève les cas avec 0 blanche et 1 seule blanche : \[ \#B=\binom{11}{4}-\binom{5}{4}-\binom{6}{1}\binom{5}{3}. \] Donc \[ P(A\mid B)=\frac{\#A}{\#B}. \]
\[ \#A=\binom{6}{3}\binom{5}{1}. \] Pour \(B\), on enlève les cas avec 0 blanche et 1 seule blanche : \[ \#B=\binom{11}{4}-\binom{5}{4}-\binom{6}{1}\binom{5}{3}. \] Donc \[ P(A\mid B)=\frac{\#A}{\#B}. \]
Q16. Main de 5 cartes. Sachant qu’elle contient au moins un As, probabilité qu’elle contienne exactement un As (expression).
Non vérifié
Indice
Conditionnelle par comptage.
Correction
Si \(A\) = “exactement un As” et \(B\) = “au moins un As”, alors
\[
\#A=\binom{4}{1}\binom{48}{4},
\qquad
\#B=\binom{52}{5}-\binom{48}{5}.
\]
Ainsi :
\[
P(A\mid B)=\frac{\#A}{\#B}.
\]
Q17. Main de 5 cartes. Probabilité d’avoir au moins un As et au moins un Roi (expression).
Non vérifié
Indice
Inclusion-exclusion sur “sans As” et “sans Roi”.
Correction
Total : \(\binom{52}{5}\). Sans As : \(\binom{48}{5}\). Sans Roi : \(\binom{48}{5}\). Sans As ni Roi : \(\binom{44}{5}\).
\[ P=\frac{\binom{52}{5}-2\binom{48}{5}+\binom{44}{5}}{\binom{52}{5}}. \]
\[ P=\frac{\binom{52}{5}-2\binom{48}{5}+\binom{44}{5}}{\binom{52}{5}}. \]
Q18. Main de 5 cartes. Probabilité d’avoir exactement une paire (les 3 autres cartes de rangs tous différents) (expression).
Non vérifié
Indice
Rang de la paire, puis 3 autres rangs distincts.
Correction
Favorables :
- choix du rang de la paire : 13
- choix des 2 cartes : \(\binom{4}{2}\)
- choix de 3 rangs distincts parmi les 12 restants : \(\binom{12}{3}\)
- choix d’une couleur pour chacun : \(4^3\).
\[ P=\frac{13\binom{4}{2}\binom{12}{3}4^3}{\binom{52}{5}}. \]
\[ P=\frac{13\binom{4}{2}\binom{12}{3}4^3}{\binom{52}{5}}. \]
Q19. Main de 5 cartes. Probabilité d’avoir exactement deux paires (et une 5e carte d’un troisième rang) (expression).
Non vérifié
Indice
Deux rangs pour les paires, un troisième rang pour la carte isolée.
Correction
Favorables :
\[
\binom{13}{2}\binom{4}{2}^2\cdot11\cdot4.
\]
Donc :
\[
P=\frac{\binom{13}{2}\binom{4}{2}^2\cdot11\cdot4}{\binom{52}{5}}.
\]
Q20. Main de 5 cartes. Probabilité d’avoir un brelan exact (exactement 3 cartes du même rang) (expression).
Non vérifié
Indice
Choisir le rang du brelan, puis deux autres rangs distincts.
Correction
Favorables :
\[
13\binom{4}{3}\binom{12}{2}4^2.
\]
Donc :
\[
P=\frac{13\binom{4}{3}\binom{12}{2}4^2}{\binom{52}{5}}.
\]
Q21. Anagrammes de « STATISTIQUE ». Combien d’anagrammes distinctes peut-on former ? (expression)
Non vérifié
Indice
Compter les répétitions : S×2, T×3, I×2.
Correction
Le mot comporte 11 lettres, avec répétitions \(S\times2\), \(T\times3\), \(I\times2\). Donc :
\[
N=\frac{11!}{2!\,3!\,2!}.
\]
Q22. Anagrammes de « STATISTIQUE ». Combien avec les 3 lettres T toutes côte à côte ? (expression)
Non vérifié
Indice
Former un bloc (TTT).
Correction
Avec le bloc (TTT), on a 9 objets à permuter, avec répétitions \(S\times2\) et \(I\times2\). Donc :
\[
N=\frac{9!}{2!\,2!}.
\]
Q23. Anagrammes de « MATHEMATIQUES ». Combien commencent par M et finissent par S ? (expression)
Non vérifié
Indice
Après fixation, il reste encore trois familles de lettres répétées.
Correction
Dans MATHEMATIQUES, les lettres répétées sont : \(M\times2\), \(A\times2\), \(T\times2\), \(E\times2\).
Après avoir fixé un \(M\) au début et \(S\) à la fin, il reste 11 lettres, avec répétitions \(A\times2\), \(T\times2\), \(E\times2\).
\[ N=\frac{11!}{2!\,2!\,2!}. \]
Après avoir fixé un \(M\) au début et \(S\) à la fin, il reste 11 lettres, avec répétitions \(A\times2\), \(T\times2\), \(E\times2\).
\[ N=\frac{11!}{2!\,2!\,2!}. \]
Q24. Codes à 4 chiffres (0–9), répétition autorisée. Combien ont exactement un chiffre apparaissant deux fois, les deux autres chiffres étant distincts entre eux et du chiffre répété ? (expression)
Non vérifié
Indice
Chiffre répété, positions, puis deux autres chiffres distincts.
Correction
Choix du chiffre répété : 10. Choix de ses positions : \(\binom{4}{2}\). Choix des deux autres chiffres distincts parmi les 9 restants : 9 puis 8.
\[ N=10\binom{4}{2}\cdot9\cdot8. \]
\[ N=10\binom{4}{2}\cdot9\cdot8. \]
Q25. Codes à 5 chiffres (0–9), répétition autorisée. Combien ont exactement 3 chiffres identiques et les 2 autres tous différents entre eux et du triple ? (expression)
Non vérifié
Indice
Même logique avec un triple.
Correction
Choix du chiffre du triple : 10. Choix de ses 3 positions : \(\binom{5}{3}\). Choix des deux autres chiffres distincts parmi les 9 restants : 9 puis 8.
\[ N=10\binom{5}{3}\cdot9\cdot8. \]
\[ N=10\binom{5}{3}\cdot9\cdot8. \]
Q26. On lance 10 fois une pièce équilibrée. Probabilité d’obtenir exactement 6 piles (expression).
Non vérifié
Indice
Choisir les positions des piles.
Correction
Il y a \(2^{10}\) suites équiprobables. Favorables : \(\binom{10}{6}\). Donc :
\[
P=\frac{\binom{10}{6}}{2^{10}}.
\]
Q27. On lance 12 fois une pièce équilibrée. Probabilité d’obtenir au moins 10 piles (expression).
Non vérifié
Indice
“Au moins 10” = 10, 11 ou 12.
Correction
On additionne les 3 cas :
\[
P=\frac{\binom{12}{10}+\binom{12}{11}+\binom{12}{12}}{2^{12}}.
\]
Q28. Dans un groupe de 12 personnes, on forme un bureau (président, vice, trésorier, secrétaire). Combien de bureaux possibles ?
Non vérifié
Indice
Les rôles sont distincts.
Correction
Comme les rôles sont distincts, l’ordre compte :
\[
A_{12}^{4}=12\times11\times10\times9=11880.
\]
Q29. Parmi 12 personnes, on choisit une délégation de 4 personnes puis on désigne un chef parmi ces 4. Combien de choix ? (expression)
Non vérifié
Indice
Choisir le groupe puis le chef.
Correction
On choisit d’abord la délégation : \(\binom{12}{4}\), puis le chef parmi les 4 :
\[
N=4\binom{12}{4}.
\]
Q30. Codes à 5 chiffres \((x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\), avec \(0\le x_i\le 9\). Combien ont une somme des chiffres égale à 12 ?
Non vérifié
Indice
Compter d’abord les solutions positives ou nulles de \(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=12\), puis enlever les cas où un chiffre vaut au moins 10.
Correction
Sans contrainte supérieure, le nombre de solutions de
\[
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=12
\]
avec \(x_i\ge0\) vaut :
\[
\binom{12+5-1}{5-1}=\binom{16}{4}.
\]
On enlève les cas où un chiffre est au moins 10. Si \(x_i\ge10\), on pose \(y_i=x_i-10\). La somme restante vaut alors 2, donc il y a :
\[
\binom{2+5-1}{4}=\binom{6}{4}
\]
cas pour une position donnée. Il y a 5 choix pour le chiffre trop grand. Donc :
\[
N=\binom{16}{4}-5\binom{6}{4}=1745.
\]