Quiz — Combinatoire et dénombrement (Tle spé)
Ce quiz de mathématiques en Terminale Spécialité permet de vérifier rapidement tes acquis sur Combinatoire et dénombrement. Les questions ciblent notamment notions essentielles du chapitre, méthodes attendues en Terminale Spécialité, exemples guidés, exercices d’application pour repérer les points à revoir.
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Quiz de maths Terminale Spécialité : Combinatoire et dénombrement
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Quiz bien avancé — Combinatoire & dénombrement (HARD 30)
Réponds puis clique Vérifier (ou Tout vérifier). Version auditée • bien avancée • HARD 30 • type Bac • expressions exactes + résultats numériques acceptés • pièges : complément, inclusion-exclusion, successifs, contraintes.
Q1. Codes à 6 chiffres (0–9), répétition autorisée. Combien contiennent exactement deux 0 ? (expression)
Non vérifié
Indice
Choisir les positions des 0, puis remplir les autres cases sans 0.
Correction
On choisit les 2 positions des zéros : \(\binom{6}{2}\). Puis on remplit les 4 autres positions avec un chiffre non nul : \(9^4\).
\[ N=\binom{6}{2}9^4. \]
\[ N=\binom{6}{2}9^4. \]
Q2. Mots de longueur 7 sur l’alphabet \(\{0,1,2\}\). Combien contiennent exactement 3 fois le chiffre 2 ? (expression)
Non vérifié
Indice
Choisir les positions des 2, puis remplir le reste avec 0 ou 1.
Correction
On choisit les 3 positions du chiffre 2 : \(\binom{7}{3}\). Les 4 autres positions sont remplies avec 0 ou 1, soit \(2^4\) possibilités.
\[ N=\binom{7}{3}2^4. \]
\[ N=\binom{7}{3}2^4. \]
Q3. On place 10 personnes en ligne. Deux personnes données doivent être côte à côte. Combien d’arrangements ?
Non vérifié
Indice
Former un bloc.
Correction
On forme un bloc avec les 2 personnes. On a alors 9 objets à ordonner : \(9!\). À l’intérieur du bloc, il y a 2 ordres possibles.
\[ N=2\cdot 9!. \]
\[ N=2\cdot 9!. \]
Q4. On place 10 personnes en ligne. Trois personnes données doivent être côte à côte. Combien d’arrangements ?
Non vérifié
Indice
Bloc de 3.
Correction
On forme un bloc de 3 personnes. On a alors 8 objets à ordonner : \(8!\). À l’intérieur du bloc, les 3 personnes peuvent être ordonnées de \(3!\) façons.
\[ N=3!\cdot 8!. \]
\[ N=3!\cdot 8!. \]
Q5. Nombre de triplets d’entiers \((a,b,c)\) avec \(a\ge0\), \(b\ge0\), \(c\ge0\) et \(a+b+c=12\) ?
Non vérifié
Indice
Fixer \(a\), puis compter les solutions de \(b+c=12-a\).
Correction
Pour un \(a\) fixé, l’équation \(b+c=12-a\) a \(13-a\) solutions. Donc :
\[
13+12+\cdots+1=\frac{13\cdot14}{2}=91.
\]
Q6. Nombre de solutions entières \((a,b,c)\) avec \(a\ge1\), \(b\ge0\), \(c\ge0\) et \(a+b+c=10\) ?
Non vérifié
Indice
Poser \(a=1+a'\).
Correction
On pose \(a=1+a'\) avec \(a'\ge0\). Alors \(a'+b+c=9\). Le nombre de solutions vaut :
\[
10+9+\cdots+1=55.
\]
Q7. Codes à 6 chiffres (0–9), répétition autorisée. Combien contiennent au moins un 0 et au moins un 7 ? (expression)
Non vérifié
Indice
Total − sans 0 − sans 7 + sans 0 ni 7.
Correction
Total : \(10^6\). Sans 0 : \(9^6\). Sans 7 : \(9^6\). Sans 0 ni 7 : \(8^6\).
\[ N=10^6-2\cdot9^6+8^6. \]
\[ N=10^6-2\cdot9^6+8^6. \]
Q8. Mots de longueur 6 sur l’alphabet \(\{A,B,C,D,E,F\}\), répétition autorisée. Combien contiennent au moins une fois A et au moins une fois B ? (expression)
Non vérifié
Indice
Même schéma d’inclusion-exclusion.
Correction
Total : \(6^6\). Sans A : \(5^6\). Sans B : \(5^6\). Sans A ni B : \(4^6\).
\[ N=6^6-2\cdot5^6+4^6. \]
\[ N=6^6-2\cdot5^6+4^6. \]
Q9. Main de 5 cartes. Probabilité d’avoir au moins un As (expression).
Non vérifié
Indice
Complément : aucune carte n’est un As.
Correction
Total : \(\binom{52}{5}\). Mains sans As : \(\binom{48}{5}\). Donc :
\[
P=1-\frac{\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}}.
\]
Q10. Urne : 7 blanches, 5 noires. Tirage simultané de 4. Probabilité d’obtenir au moins 3 blanches (expression).
Non vérifié
Indice
“Au moins 3” = 3 ou 4.
Correction
Total : \(\binom{12}{4}\).
Cas favorables : \[ \binom{7}{3}\binom{5}{1}+\binom{7}{4}. \] Donc \[ P=\frac{\binom{7}{3}\binom{5}{1}+\binom{7}{4}}{\binom{12}{4}}. \]
Cas favorables : \[ \binom{7}{3}\binom{5}{1}+\binom{7}{4}. \] Donc \[ P=\frac{\binom{7}{3}\binom{5}{1}+\binom{7}{4}}{\binom{12}{4}}. \]
Q11. Urne : 8 rouges, 7 bleues. On tire 5 simultanément. Probabilité d’avoir au moins 4 rouges (expression).
Non vérifié
Indice
“Au moins 4” = 4 ou 5.
Correction
Total : \(\binom{15}{5}\). Cas favorables :
\[
\binom{8}{4}\binom{7}{1}+\binom{8}{5}.
\]
Donc :
\[
P=\frac{\binom{8}{4}\binom{7}{1}+\binom{8}{5}}{\binom{15}{5}}.
\]
Q12. Mots de longueur 8 sur l’alphabet \(\{A,B,C,D\}\), répétition autorisée. Combien contiennent au moins une fois A, au moins une fois B et au moins une fois C ? (expression)
Non vérifié
Indice
Inclusion-exclusion sur A, B, C.
Correction
Total : \(4^8\).
On enlève sans A, sans B, sans C : \(3\cdot3^8\).
On rajoute sans deux lettres parmi A,B,C : \(3\cdot2^8\).
On enlève sans A, sans B et sans C : \(1\).
\[ N=4^8-3\cdot3^8+3\cdot2^8-1. \]
On enlève sans A, sans B, sans C : \(3\cdot3^8\).
On rajoute sans deux lettres parmi A,B,C : \(3\cdot2^8\).
On enlève sans A, sans B et sans C : \(1\).
\[ N=4^8-3\cdot3^8+3\cdot2^8-1. \]
Q13. Jeu de 52 cartes. On tire 3 cartes. Probabilité d’obtenir exactement 2 As (expression).
Non vérifié
Indice
2 As parmi 4 et 1 non-As parmi 48.
Correction
On compte les mains de 3 cartes :
\[
P=\frac{\binom{4}{2}\binom{48}{1}}{\binom{52}{3}}.
\]
Q14. Main de 5 cartes. Probabilité d’avoir exactement 2 cœurs (expression).
Non vérifié
Indice
2 cœurs et 3 non-cœurs.
Correction
Total : \(\binom{52}{5}\). Favorables : choisir 2 cœurs parmi 13 et 3 non-cœurs parmi 39 :
\[
P=\frac{\binom{13}{2}\binom{39}{3}}{\binom{52}{5}}.
\]
Q15. Urne : 6 blanches, 5 noires. On tire 4 simultanément. Calculer \(P(\text{3 blanches}\mid \text{au moins 2 blanches})\) (expression).
Non vérifié
Indice
Compter le numérateur et le dénominateur.
Correction
On note \(A\) : “exactement 3 blanches”, \(B\) : “au moins 2 blanches”.
\[ \#A=\binom{6}{3}\binom{5}{1}. \] Pour \(B\), on enlève les cas avec 0 blanche et 1 seule blanche : \[ \#B=\binom{11}{4}-\binom{5}{4}-\binom{6}{1}\binom{5}{3}. \] Donc \[ P(A\mid B)=\frac{\#A}{\#B}. \]
\[ \#A=\binom{6}{3}\binom{5}{1}. \] Pour \(B\), on enlève les cas avec 0 blanche et 1 seule blanche : \[ \#B=\binom{11}{4}-\binom{5}{4}-\binom{6}{1}\binom{5}{3}. \] Donc \[ P(A\mid B)=\frac{\#A}{\#B}. \]
Q16. Main de 5 cartes. Sachant qu’elle contient au moins un As, probabilité qu’elle contienne exactement un As (expression).
Non vérifié
Indice
Conditionnelle par comptage.
Correction
Si \(A\) = “exactement un As” et \(B\) = “au moins un As”, alors
\[
\#A=\binom{4}{1}\binom{48}{4},
\qquad
\#B=\binom{52}{5}-\binom{48}{5}.
\]
Ainsi :
\[
P(A\mid B)=\frac{\#A}{\#B}.
\]
Q17. Main de 5 cartes. Probabilité d’avoir au moins un As et au moins un Roi (expression).
Non vérifié
Indice
Inclusion-exclusion sur “sans As” et “sans Roi”.
Correction
Total : \(\binom{52}{5}\). Sans As : \(\binom{48}{5}\). Sans Roi : \(\binom{48}{5}\). Sans As ni Roi : \(\binom{44}{5}\).
\[ P=\frac{\binom{52}{5}-2\binom{48}{5}+\binom{44}{5}}{\binom{52}{5}}. \]
\[ P=\frac{\binom{52}{5}-2\binom{48}{5}+\binom{44}{5}}{\binom{52}{5}}. \]
Q18. Main de 5 cartes. Probabilité d’avoir exactement une paire (les 3 autres cartes de rangs tous différents) (expression).
Non vérifié
Indice
Rang de la paire, puis 3 autres rangs distincts.
Correction
Favorables :
- choix du rang de la paire : 13
- choix des 2 cartes : \(\binom{4}{2}\)
- choix de 3 rangs distincts parmi les 12 restants : \(\binom{12}{3}\)
- choix d’une couleur pour chacun : \(4^3\).
\[ P=\frac{13\binom{4}{2}\binom{12}{3}4^3}{\binom{52}{5}}. \]
\[ P=\frac{13\binom{4}{2}\binom{12}{3}4^3}{\binom{52}{5}}. \]
Q19. Main de 5 cartes. Probabilité d’avoir exactement deux paires (et une 5e carte d’un troisième rang) (expression).
Non vérifié
Indice
Deux rangs pour les paires, un troisième rang pour la carte isolée.
Correction
Favorables :
\[
\binom{13}{2}\binom{4}{2}^2\cdot11\cdot4.
\]
Donc :
\[
P=\frac{\binom{13}{2}\binom{4}{2}^2\cdot11\cdot4}{\binom{52}{5}}.
\]
Q20. Main de 5 cartes. Probabilité d’avoir un brelan exact (exactement 3 cartes du même rang) (expression).
Non vérifié
Indice
Choisir le rang du brelan, puis deux autres rangs distincts.
Correction
Favorables :
\[
13\binom{4}{3}\binom{12}{2}4^2.
\]
Donc :
\[
P=\frac{13\binom{4}{3}\binom{12}{2}4^2}{\binom{52}{5}}.
\]
Q21. Anagrammes de « STATISTIQUE ». Combien d’anagrammes distinctes peut-on former ? (expression)
Non vérifié
Indice
Compter les répétitions : S×2, T×3, I×2.
Correction
Le mot comporte 11 lettres, avec répétitions \(S\times2\), \(T\times3\), \(I\times2\). Donc :
\[
N=\frac{11!}{2!\,3!\,2!}.
\]
Q22. Anagrammes de « STATISTIQUE ». Combien avec les 3 lettres T toutes côte à côte ? (expression)
Non vérifié
Indice
Former un bloc (TTT).
Correction
Avec le bloc (TTT), on a 9 objets à permuter, avec répétitions \(S\times2\) et \(I\times2\). Donc :
\[
N=\frac{9!}{2!\,2!}.
\]
Q23. Anagrammes de « MATHEMATIQUES ». Combien commencent par M et finissent par S ? (expression)
Non vérifié
Indice
Après fixation, il reste encore trois familles de lettres répétées.
Correction
Dans MATHEMATIQUES, les lettres répétées sont : \(M\times2\), \(A\times2\), \(T\times2\), \(E\times2\).
Après avoir fixé un \(M\) au début et \(S\) à la fin, il reste 11 lettres, avec répétitions \(A\times2\), \(T\times2\), \(E\times2\).
\[ N=\frac{11!}{2!\,2!\,2!}. \]
Après avoir fixé un \(M\) au début et \(S\) à la fin, il reste 11 lettres, avec répétitions \(A\times2\), \(T\times2\), \(E\times2\).
\[ N=\frac{11!}{2!\,2!\,2!}. \]
Q24. Codes à 4 chiffres (0–9), répétition autorisée. Combien ont exactement un chiffre apparaissant deux fois, les deux autres chiffres étant distincts entre eux et du chiffre répété ? (expression)
Non vérifié
Indice
Chiffre répété, positions, puis deux autres chiffres distincts.
Correction
Choix du chiffre répété : 10. Choix de ses positions : \(\binom{4}{2}\). Choix des deux autres chiffres distincts parmi les 9 restants : 9 puis 8.
\[ N=10\binom{4}{2}\cdot9\cdot8. \]
\[ N=10\binom{4}{2}\cdot9\cdot8. \]
Q25. Codes à 5 chiffres (0–9), répétition autorisée. Combien ont exactement 3 chiffres identiques et les 2 autres tous différents entre eux et du triple ? (expression)
Non vérifié
Indice
Même logique avec un triple.
Correction
Choix du chiffre du triple : 10. Choix de ses 3 positions : \(\binom{5}{3}\). Choix des deux autres chiffres distincts parmi les 9 restants : 9 puis 8.
\[ N=10\binom{5}{3}\cdot9\cdot8. \]
\[ N=10\binom{5}{3}\cdot9\cdot8. \]
Q26. On lance 10 fois une pièce équilibrée. Probabilité d’obtenir exactement 6 piles (expression).
Non vérifié
Indice
Choisir les positions des piles.
Correction
Il y a \(2^{10}\) suites équiprobables. Favorables : \(\binom{10}{6}\). Donc :
\[
P=\frac{\binom{10}{6}}{2^{10}}.
\]
Q27. On lance 12 fois une pièce équilibrée. Probabilité d’obtenir au moins 10 piles (expression).
Non vérifié
Indice
“Au moins 10” = 10, 11 ou 12.
Correction
On additionne les 3 cas :
\[
P=\frac{\binom{12}{10}+\binom{12}{11}+\binom{12}{12}}{2^{12}}.
\]
Q28. Dans un groupe de 12 personnes, on forme un bureau (président, vice, trésorier, secrétaire). Combien de bureaux possibles ?
Non vérifié
Indice
Les rôles sont distincts.
Correction
Comme les rôles sont distincts, l’ordre compte :
\[
A_{12}^{4}=12\times11\times10\times9=11880.
\]
Q29. Parmi 12 personnes, on choisit une délégation de 4 personnes puis on désigne un chef parmi ces 4. Combien de choix ? (expression)
Non vérifié
Indice
Choisir le groupe puis le chef.
Correction
On choisit d’abord la délégation : \(\binom{12}{4}\), puis le chef parmi les 4 :
\[
N=4\binom{12}{4}.
\]
Q30. Codes à 5 chiffres \((x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\), avec \(0\le x_i\le 9\). Combien ont une somme des chiffres égale à 12 ?
Non vérifié
Indice
Compter d’abord les solutions positives ou nulles de \(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=12\), puis enlever les cas où un chiffre vaut au moins 10.
Correction
Sans contrainte supérieure, le nombre de solutions de
\[
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=12
\]
avec \(x_i\ge0\) vaut :
\[
\binom{12+5-1}{5-1}=\binom{16}{4}.
\]
On enlève les cas où un chiffre est au moins 10. Si \(x_i\ge10\), on pose \(y_i=x_i-10\). La somme restante vaut alors 2, donc il y a :
\[
\binom{2+5-1}{4}=\binom{6}{4}
\]
cas pour une position donnée. Il y a 5 choix pour le chiffre trop grand. Donc :
\[
N=\binom{16}{4}-5\binom{6}{4}=1745.
\]
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