Combinatoire et dénombrement

Arrangements, permutations, combinaisons, dénombrement et probabilités — méthodes Bac.

Cours Exercices Fiche Quiz
Prévisualiser (PDF) Télécharger
Cours — Combinatoire et dénombrement
Terminale Spé Maths : principes de comptage, factorielle \(n!\), permutations, arrangements \(A_n^k\), combinaisons \(\binom{n}{k}\), tirages (avec/sans remise), probabilités (équiprobabilité) — méthodes Bac & pièges.
1) La méthode Bac : 3 questions qui évitent 90% des erreurs
1
L’ordre compte-t-il ?
  • Oui → permutations / arrangements.
  • Non → combinaisons.
Indices dans l’énoncé
« places », « classement », « président/vice », « code », « successivement » → souvent ordre OUI.
2
Avec ou sans remise ? (répétitions autorisées ?)
  • Sans remise : un objet ne peut pas être repris.
  • Avec remise : répétitions possibles.
Attention
« successivement » ne signifie pas forcément « avec remise » : il faut que ce soit écrit.
Situation Formule À reconnaître vite
Ordre OUI • sans remise \(\displaystyle A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}\) rôles distincts, classement, code sans répétition
Ordre NON • sans remise \(\displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\) groupe, équipe, comité, « choisir \(k\) »
Ordre OUI • avec remise \(\displaystyle n^k\) code avec répétition, tirages avec retour
Plan Bac
1) Identifier le modèle → 2) Compter \(\#\Omega\) → 3) Compter les favorables → 4) Probabilité si besoin.
2) Factorielle et permutations
Factorielle
\[ n! = n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1,\qquad 0!=1. \]
  • \((n+1)!=(n+1)n!\)
  • On simplifie souvent des quotients de factorielles.
Permutations
Nombre d’ordres possibles de \(n\) objets distincts :
\[ \# = n! \]
Exemple guidé — ranger 6 livres différents détail
6 choix pour la 1ʳᵉ place, puis 5, puis 4…
\[ 6\times5\times4\times3\times2\times1=6! \]
Piège
Permutation = on utilise tous les éléments et l’ordre compte.
3) Arrangements \(A_n^k\) (ordre OUI, sans remise)
Définition + formule
Choisir \(k\) éléments distincts parmi \(n\), en tenant compte de l’ordre.
\[ A_n^k = n(n-1)\cdots(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!} \]
  • Cas \(k=2\) : \(A_n^2=n(n-1)\).
  • Rôles distincts (président/vice/…): arrangement.
Exemple type Bac
Dans 28 élèves, on désigne président, secrétaire, trésorier.
\[ A_{28}^3 = 28\times 27\times 26 \]
Pourquoi l’ordre compte ici ? piège
Les rôles sont différents : permuter les noms change le résultat (qui est président, etc.).
4) Combinaisons \(\binom{n}{k}\) (ordre NON, sans remise)
Définition + formule
Choisir \(k\) éléments parmi \(n\), sans tenir compte de l’ordre.
\[ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]
  • Symétrie : \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\).
  • \(\binom{n}{0}=1\), \(\binom{n}{1}=n\), \(\binom{n}{n}=1\).
Lien arrangement ↔ combinaison
Choisir un groupe puis l’ordonner :
\[ A_n^k=\binom{n}{k}\,k! \]
Justification (très Bac) détail
\(\binom{n}{k}\) façons de choisir le groupe, puis \(k!\) façons de classer les \(k\) éléments.
Énoncé Modèle Expression
« former une équipe de 4 » combinaison \(\binom{n}{4}\)
« attribuer 3 rôles différents » arrangement \(A_n^3\)
« ranger tous les \(n\) objets » permutation \(n!\)
Piège
« successivement » n’implique pas toujours l’ordre pour le comptage : si on demande seulement « combien de groupes », c’est une combinaison.
5) Avec remise : répétitions autorisées
Ordre OUI + répétitions autorisées
\(k\) positions indépendantes, \(n\) choix à chaque position :
\[ \# = n^k \]
  • Code à 4 chiffres (0–9) avec répétition : \(10^4\).
  • Mot de passe de longueur 6 avec 26 lettres : \(26^6\).
Comparer à « sans remise »
Sans répétition, on épuise les choix :
\[ A_n^k = n(n-1)\cdots(n-k+1) \]
Piège classique
Ne pas confondre \(10^4\) (avec répétition) et \(A_{10}^4\) (sans répétition).
6) Probabilités par dénombrement (équiprobabilité)
Formule
Si tous les cas sont équiprobables :
\[ P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega} \]
Simultanément (ordre NON)
Une urne contient 6 rouges et 4 bleues. On tire 3 boules simultanément. Probabilité d’obtenir exactement 2 rouges.
\[ \#\Omega=\binom{10}{3},\qquad \#A=\binom{6}{2}\binom{4}{1} \]
\[ P(A)=\frac{\binom{6}{2}\binom{4}{1}}{\binom{10}{3}} \]
Successivement sans remise (ordre OUI)
On tire successivement 2 cartes d’un jeu de 52 sans remise. Probabilité d’obtenir « As puis Roi ».
\[ \#\Omega=A_{52}^2=52\times 51,\qquad \#A=4\times 4 \]
\[ P(A)=\frac{16}{52\times 51} \]
Traduction rapide
« simultanément » → \(\binom{n}{k}\).
« successivement sans remise » → \(A_n^k\).
« avec remise » → \(n^k\) (si l’ordre compte).
7) Identités utiles (à manipuler)
Relation de Pascal
\[ \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1} \]
Interprétation (simple et Bac) détail
Pour choisir \(k\) éléments parmi \(n\), on fixe un élément \(E\) : soit on ne prend pas \(E\) (\(\binom{n-1}{k}\)), soit on prend \(E\) et on choisit \(k-1\) parmi les \(n-1\) restants (\(\binom{n-1}{k-1}\)).
Rapports utiles (gain de temps)
  • \(\displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}\)
  • \(\displaystyle \frac{\binom{n}{k}}{\binom{n}{k-1}}=\frac{n-k+1}{k}\)
  • \(\displaystyle A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n\cdot A_{n-1}^{k-1}\)
Bac
Ces identités évitent les énormes factorielles (et les erreurs).
Objet Formule Quand l’utiliser
Permutation \(n!\) Ordonner tous les éléments
Arrangement \(A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}\) Choisir \(k\) éléments ordonnés (rôles, classement)
Combinaison \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) Choisir un groupe (ordre non pris en compte)
Avec remise \(n^k\) Répetitions autorisées (indépendance des positions)
✅ Checklist Bac (anti-pièges)
  • Ordre ? oui/non → arrangement vs combinaison.
  • Rôles distincts → ordre déguisé → arrangement.
  • Simultanément → \(\binom{n}{k}\).
  • Avec remise → répétitions → souvent \(n^k\).
  • En probas : écrire clairement \(\Omega\) et \(A\), puis \(P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega}\).
Erreur n°1
Mettre une combinaison alors que l’ordre compte (ou l’inverse). Toujours revenir aux 3 questions.