Combinatoire et dénombrement | Cours — Terminale Spé Maths | Learna

Cours — Combinatoire et dénombrement

Principes de comptage • p-uplets • factorielle • permutations • arrangements • combinaisons • anagrammes • tirages avec/sans remise • probabilités par dénombrement • lien loi binomiale.

Objectifs Méthode Bac Principes Factorielle Permutations Arrangements Combinaisons Avec / sans remise Anagrammes Probabilités Identités Loi binomiale Formulaire

1) Objectifs et réflexes à maîtriser

Compétences attendues

Reconnaître si l’ordre compte ou non.
Distinguer les cas avec remise et sans remise.
Utiliser correctement les principes additif/multiplicatif, \(n!\), \(A_n^k\), \(\binom{n}{k}\) et les anagrammes avec répétitions.
Compter un univers \(\Omega\) puis un événement \(A\).
Calculer une probabilité par la formule \[ P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega}. \]
Justifier clairement la méthode choisie dans une rédaction type Bac.

Erreurs fréquentes

Utiliser une combinaison alors que l’ordre compte.
Utiliser un arrangement alors qu’on ne demande qu’un groupe.
Oublier si les répétitions sont autorisées.
Confondre « simultanément » et « successivement ».
Écrire une formule sans expliquer pourquoi elle convient à la situation.

Réflexe Terminale : avant tout calcul, je réponds mentalement à trois questions : ordre ? remise ? nombre d’objets choisis ?

2) Méthode Bac : les 3 questions à se poser

Question 1 — L’ordre compte-t-il ?

Oui : rôles distincts, classement, code, succession ordonnée.
Non : groupe, équipe, comité, sélection sans hiérarchie.

Question 2 — Y a-t-il remise ?

Sans remise : un objet choisi disparaît du stock.
Avec remise : on peut réutiliser le même objet.

Question 3 — Combien d’objets choisit-on ?

C’est le nombre de places, de tirages, de rôles ou d’éléments à sélectionner.

Tableau de reconnaissance rapide

Situation	Outil
Ordonner tous les éléments	\(n!\)
Choisir \(k\) éléments, ordre OUI, sans remise	\(A_n^k\)
Choisir \(k\) éléments, ordre NON, sans remise	\(\binom{n}{k}\)
\(k\) choix indépendants parmi \(n\) possibilités	\(n^k\)

Mots-clés à repérer

Président, secrétaire, trésorier → ordre compte.
Former une équipe → ordre ne compte pas.
Simultanément → souvent combinaison.
Successivement → souvent ordre compte.
Avec remise / avec retour → répétitions possibles.

3) Principes fondamentaux de dénombrement

Principe additif

On additionne lorsque plusieurs cas sont incompatibles, c’est-à-dire lorsqu’ils ne peuvent pas se produire en même temps.

Si une situation peut se produire selon \(r\) cas disjoints, alors : \[ N=N_1+N_2+\cdots+N_r. \]

Principe multiplicatif

On multiplie lorsqu’une situation se construit par étapes successives.

Si l’étape 1 offre \(n_1\) choix, l’étape 2 offre \(n_2\) choix, etc., alors : \[ N=n_1\times n_2\times\cdots\times n_p. \]

Exemple — Principe additif

Une association choisit un responsable parmi 12 élèves de Terminale ou parmi 9 élèves de Première. Les deux catégories sont incompatibles. \[ N=12+9=21. \]

Résultat : \(\boxed{21}\) choix possibles.

Exemple — Principe multiplicatif

Un code est formé de 2 lettres puis de 3 chiffres. Chaque lettre a 26 possibilités et chaque chiffre a 10 possibilités. \[ N=26^2\times 10^3=676000. \]

Résultat : \(\boxed{676000}\) codes possibles.

Produit cartésien et \(p\)-uplets

Si un ensemble \(E\) contient \(n\) éléments, alors le nombre de listes ordonnées de longueur \(p\), avec répétition possible, est :

\[ \#(E^p)=n^p. \]

C’est le modèle des codes, mots de passe, tirages successifs avec remise.

Arbre de décision Bac

Question	Conséquence
L’ordre compte ?	Oui : liste / arrangement. Non : combinaison.
Répétition possible ?	Oui : puissances possibles. Non : stock qui diminue.
Tous les objets sont utilisés ?	Oui : permutation. Non : choix de \(k\) objets.

Phrase de rédaction : « La situation se construit en plusieurs étapes indépendantes, donc on applique le principe multiplicatif. »

4) La factorielle

Définition

Pour tout entier \(n\ge 1\), \[ n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\times 1. \] Par convention : \[ 0!=1. \]

Propriétés utiles

\[ (n+1)!=(n+1)\,n! \] \[ \frac{n!}{(n-1)!}=n \qquad (n\ge 1) \]

Exemple 1 — Calculer \(5!\)

\[ 5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120. \]

Résultat : \(\boxed{5!=120}\).

Attention : la factorielle ne s’applique ici qu’aux entiers naturels.

5) Permutations

Définition

Une permutation correspond à un ordre possible de tous les éléments. Si l’on dispose de \(n\) objets distincts, le nombre de permutations est : \[ n! \]

Exemple 2 — Ranger 6 livres différents

Il y a 6 choix pour la première place, puis 5, puis 4, etc. \[ 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=6! \] donc \[ \boxed{6!=720}. \]

Idée clé : permutation = on utilise tous les objets et l’ordre compte.

6) Arrangements \(A_n^k\)

Définition

Un arrangement correspond au choix de \(k\) éléments parmi \(n\), en tenant compte de l’ordre, sans remise.

\[ A_n^k=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!} \]

Dans certains manuels, \(A_n^k\) est présenté comme le nombre de listes de \(k\) éléments distincts choisies parmi \(n\).

Quand utiliser \(A_n^k\) ?

attribuer plusieurs rôles distincts ;
former un classement ;
tirer successivement sans remise quand l’ordre est important.

Exemple 3 — Président, secrétaire, trésorier parmi 28 élèves

Les rôles sont distincts, donc l’ordre compte. \[ A_{28}^3=28\times 27\times 26. \] On obtient : \[ 28\times 27\times 26=19656. \]

Résultat : \(\boxed{19656}\) possibilités.

7) Combinaisons \(\binom{n}{k}\)

Définition

Une combinaison correspond au choix de \(k\) éléments parmi \(n\), sans tenir compte de l’ordre, sans remise.

\[ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Propriétés utiles

\[ \binom{n}{0}=1,\qquad \binom{n}{1}=n,\qquad \binom{n}{n}=1 \] \[ \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} \]

Exemple 4 — Former une équipe de 4 parmi 12 élèves

Ici on choisit seulement un groupe : l’ordre ne compte pas. \[ \binom{12}{4}=\frac{12!}{4!\,8!} \] \[ \binom{12}{4}=\frac{12\times 11\times 10\times 9}{4\times 3\times 2\times 1}=495. \]

Résultat : \(\boxed{495}\) équipes possibles.

Attention : « choisir 4 élèves » et « placer 4 élèves à 4 postes » ne se traitent pas avec la même formule.

8) Tirages avec remise / sans remise

Sans remise

Chaque choix modifie le stock disponible. Le nombre de possibilités diminue au fur et à mesure.

Avec remise

Le nombre de possibilités reste constant à chaque étape. Si l’on effectue \(k\) choix parmi \(n\) possibilités, avec ordre, on obtient souvent : \[ n^k. \]

Exemple 5 — Code à 4 chiffres

Chaque chiffre peut être choisi parmi 10 possibilités (\(0\) à \(9\)), avec répétition autorisée : \[ 10^4=10000. \]

Résultat : \(\boxed{10000}\) codes possibles.

Exemple 6 — Tirer successivement 3 boules parmi 8 sans remise

Si l’ordre compte, on a : \[ A_8^3=8\times 7\times 6=336. \]

Résultat : \(\boxed{336}\) issues ordonnées.

9) Anagrammes et répétitions

Toutes les lettres sont distinctes

Si un mot contient \(n\) lettres toutes différentes, le nombre d’anagrammes est :

\[ n! \]

Certaines lettres se répètent

Si \(n_1,n_2,\ldots,n_r\) lettres identiques apparaissent par groupes, alors :

\[ \frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots n_r!} \]

Exemple 7 — Anagrammes du mot MAMAN

Le mot MAMAN contient 5 lettres. La lettre \(M\) apparaît 2 fois et la lettre \(A\) apparaît 2 fois. La lettre \(N\) apparaît 1 fois. \[ N=\frac{5!}{2!\,2!} =\frac{120}{4} =30. \]

Résultat : \(\boxed{30}\) anagrammes différentes.

Exemple 8 — Anagrammes du mot MATHEMATIQUES

Le mot MATHEMATIQUES contient 12 lettres. Les répétitions sont : \(M\) deux fois, \(A\) deux fois, \(T\) deux fois, \(E\) deux fois. Les autres lettres apparaissent une seule fois. \[ N=\frac{12!}{2!\,2!\,2!\,2!} =\frac{12!}{16}. \]

Résultat : \(\boxed{\dfrac{12!}{16}}\) anagrammes différentes.

Piège classique : si deux lettres identiques sont échangées, on ne crée pas une nouvelle anagramme. C’est pourquoi on divise par les factorielles des répétitions.

10) Probabilités par dénombrement

Principe

En situation d’équiprobabilité : \[ P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega} \] où \(\#\Omega\) est le nombre total de cas possibles et \(\#A\) le nombre de cas favorables.

Étapes de rédaction

décrire clairement l’univers \(\Omega\) ;
choisir la bonne formule de comptage ;
compter les cas favorables ;
former le quotient et simplifier si possible.

Attention

La formule \(\dfrac{\#A}{\#\Omega}\) n’est valable directement que si toutes les issues élémentaires sont équiprobables.

Exemple 9 — Tirage simultané de 3 boules parmi 10

Une urne contient 6 boules rouges et 4 boules bleues. On tire 3 boules simultanément. On cherche la probabilité d’obtenir exactement 2 rouges.

Univers : \[ \#\Omega=\binom{10}{3}. \] Cas favorables : \[ \#A=\binom{6}{2}\binom{4}{1}. \] Donc : \[ P(A)=\frac{\binom{6}{2}\binom{4}{1}}{\binom{10}{3}} =\frac{15\times 4}{120} =\frac{60}{120} =\frac12. \]

Résultat : \(\boxed{P(A)=\dfrac12}\).

Exemple 10 — Deux cartes successives sans remise

Dans un jeu de 52 cartes, on tire successivement 2 cartes sans remise. Probabilité d’obtenir « As puis Roi ».

Univers ordonné : \[ \#\Omega=A_{52}^2=52\times 51. \] Cas favorables : \[ \#A=4\times 4=16. \] Donc : \[ P(A)=\frac{16}{52\times 51}. \] On peut simplifier : \[ P(A)=\frac{4}{663}. \]

Résultat : \(\boxed{P(A)=\dfrac{4}{663}}\).

11) Identités utiles

Lien arrangement / combinaison

\[ A_n^k=\binom{n}{k}\,k! \]

On choisit un groupe de \(k\) éléments, puis on l’ordonne.

Relation de Pascal

\[ \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1} \]

Très utile dans les démonstrations et les simplifications.

Justification rapide de la relation de Pascal

Pour choisir \(k\) éléments parmi \(n\), on fixe un élément \(E\).

soit on ne prend pas \(E\) : \(\binom{n-1}{k}\) choix ;
soit on prend \(E\) : il reste à choisir \(k-1\) éléments parmi \(n-1\), soit \(\binom{n-1}{k-1}\) choix.

D’où : \[ \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}. \]

12) Lien avec la loi binomiale

Pourquoi les combinaisons apparaissent ?

Dans une répétition de \(n\) expériences indépendantes, obtenir exactement \(k\) succès signifie choisir les \(k\) positions où les succès apparaissent.

\[ \text{nombre de choix des positions}=\binom{n}{k}. \]

Formule à reconnaître

Si \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\), alors :

\[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}. \]

Exemple 11 — Exactement 3 succès en 8 répétitions

On répète 8 fois une expérience indépendante. La probabilité de succès à chaque essai est \(p\). Pour avoir exactement 3 succès :

on choisit les 3 positions des succès : \(\binom{8}{3}\) ;
les 3 succès donnent un facteur \(p^3\) ;
les 5 échecs donnent un facteur \((1-p)^5\).

Donc : \[ P(X=3)=\binom{8}{3}p^3(1-p)^5. \]

Idée clé : \(\binom{n}{k}\) compte les positions des succès.

13) Mini-formulaire à connaître

Comptage

\[ n!=n(n-1)\cdots 2\times 1,\qquad 0!=1 \] \[ A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!} \] \[ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \] \[ A_n^k=\binom{n}{k}k! \] \[ \#(E^p)=n^p \] \[ \text{anagrammes avec répétitions : }\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!} \]

Probabilités

\[ P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega} \] \[ \text{avec ordre et remise : } n^k \] \[ \text{ordre OUI sans remise : } A_n^k \] \[ \text{ordre NON sans remise : } \binom{n}{k} \] \[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \]

Checklist “copie parfaite”

Je commence par demander si l’ordre compte.
Je vérifie si le tirage est avec ou sans remise.
Je distingue clairement addition de cas et multiplication d’étapes.
Je choisis la bonne formule et je la justifie.
En probabilités, je définis clairement \(\Omega\) et \(A\).
Je simplifie les quotients avant de calculer de gros nombres si possible.
Pour les anagrammes, je divise par les factorielles des répétitions.
Je rédige proprement avec les notations mathématiques adaptées.

Dernier rappel : le plus grand piège en combinatoire est de confondre sélection et sélection ordonnée.