Combinatoire et dénombrement

Arrangements, permutations, combinaisons, dénombrement et probabilités — méthodes Bac.

Cours Exercices Fiche Quiz
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Exercices — Combinatoire et dénombrement (Premium • HARD)
Série très solide type Bac : contraintes, « au moins », complément, inclusion-exclusion, permutations avec répétitions, tirages successifs, probabilités par dénombrement (dont conditionnelles). Corrections détaillées dépliables (NO JS).
Consignes (Premium • HARD)
  • Réflexe : ordre ? remise ? « au moins » → complément.
  • Si l’énoncé impose deux conditions « au moins un … et au moins un … », pense à inclusion-exclusion.
  • Les corrections sont dépliables (CSP-safe, NO JS).
Modèle Expression Indices
Ordre OUI • sans remise \(\displaystyle A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}\) rôles distincts, classement, « puis » imposé
Ordre NON • sans remise \(\displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\) groupe, équipe, « simultanément »
Ordre OUI • avec remise \(\displaystyle n^k\) codes avec répétition, tirages avec retour
1
Codes à 6 chiffres (HARD) — complément & inclusion-exclusion
Répétitions autorisées.
On considère des codes de 6 chiffres (0–9), répétitions autorisées.
  1. Combien de codes contiennent au moins un 0 ?
  2. Combien de codes contiennent exactement deux 0 ?
  3. Combien de codes contiennent au moins un 0 et au moins un 7 ?
Correction détaillée ouvrir

1) Total \(10^6\). Sans 0 : \(9^6\). Donc :

\[ N_1=10^6-9^6 \]

2) Placer les 2 zéros : \(\binom{6}{2}\). Les 4 autres chiffres : 9 choix (tout sauf 0) :

\[ N_2=\binom{6}{2}\,9^4 \]

3) Inclusion-exclusion. Soit \(A\) : « aucun 0 », \(B\) : « aucun 7 ».

\(\#A=9^6\), \(\#B=9^6\), \(\#(A\cap B)=8^6\). Donc :

\[ N_3=10^6-\#A-\#B+\#(A\cap B)=10^6-2\cdot 9^6+8^6 \]

\[ \boxed{ \begin{aligned} 1)&\;10^6-9^6\\ 2)&\;\binom{6}{2}\,9^4\\ 3)&\;10^6-2\cdot 9^6+8^6 \end{aligned}} \]
Réflexe
« au moins un » → complément. Deux contraintes « au moins un X et au moins un Y » → inclusion-exclusion.
2
Comité (HARD) — contraintes de composition
Ordre NON.
Un club compte 9 filles et 7 garçons. On forme un comité de 6 personnes.
  1. Nombre total de comités.
  2. Nombre de comités avec au moins 2 garçons.
  3. Nombre de comités avec au moins 1 fille et au moins 1 garçon.
Correction détaillée ouvrir

1) Total : \(\binom{16}{6}\).

2) Somme des cas \(g=2\) à \(6\) :

\[ \sum_{g=2}^{6}\binom{7}{g}\binom{9}{6-g} \]

3) « au moins 1 de chaque » = total − tout filles − tout garçons :

\[ \binom{16}{6}-\binom{9}{6}-\binom{7}{6} \]

\[ \boxed{ \begin{aligned} 1)&\;\binom{16}{6}\\ 2)&\;\sum_{g=2}^{6}\binom{7}{g}\binom{9}{6-g}\\ 3)&\;\binom{16}{6}-\binom{9}{6}-\binom{7}{6} \end{aligned}} \]
Remarque Bac
Quand la condition est « au moins 1 de chaque », le complément est presque toujours le plus rapide.
3
Anagrammes (HARD) — permutations avec répétitions
Lettres répétées + contrainte.
On considère le mot STATISTIQUE.
  1. Combien d’anagrammes distinctes peut-on former ?
  2. Combien d’anagrammes distinctes commencent par la lettre \(S\) ?
Correction détaillée ouvrir

Le mot a 11 lettres. Multiplicités : \(S\) : 2, \(T\) : 3, \(I\) : 2 (les autres : 1).

1)

\[ N_1=\frac{11!}{2!\,3!\,2!} \]

2) On fixe \(S\) en 1ère position. Il reste 10 lettres avec \(T:3\), \(I:2\) (et \(S\) restant : 1, donc pas de division par \(S\)).

\[ N_2=\frac{10!}{3!\,2!} \]

\[ \boxed{ \begin{aligned} 1)&\;\dfrac{11!}{2!\,3!\,2!}\\[2mm] 2)&\;\dfrac{10!}{3!\,2!} \end{aligned}} \]
4
Urne (HARD) — exact + complément
Sans remise.
Une urne contient 5 boules rouges, 4 bleues et 3 vertes (12 boules). On tire 4 boules sans remise.
  1. Probabilité d’obtenir exactement 2 rouges.
  2. Probabilité d’obtenir au moins une verte.
Correction détaillée ouvrir

On peut compter par combinaisons (mêmes résultats pour les couleurs).

Total : \(\binom{12}{4}\).

1) 2 rouges parmi 5 et 2 non-rouges parmi 7 :

\[ P_1=\frac{\binom{5}{2}\binom{7}{2}}{\binom{12}{4}} \]

2) Complément : \(1-P(\text{aucune verte})\). Aucune verte = tirer 4 parmi 9 :

\[ P_2=1-\frac{\binom{9}{4}}{\binom{12}{4}} \]

\[ \boxed{ \begin{aligned} 1)&\;\dfrac{\binom{5}{2}\binom{7}{2}}{\binom{12}{4}}\\[2mm] 2)&\;1-\dfrac{\binom{9}{4}}{\binom{12}{4}} \end{aligned}} \]
Réflexe
« au moins une » → complément (souvent 2 lignes propres au Bac).
5
Anniversaires (HARD) — probabilité d’au moins un doublon
Complément.
On suppose 365 jours équiprobables (pas d’année bissextile). Dans une classe de 25 élèves, calculer la probabilité qu’il existe au moins deux élèves ayant le même anniversaire.
Correction détaillée ouvrir

Événement \(A\) : « au moins un doublon ». On calcule \(P(A)=1-P(A^c)\).

\(A^c\) : tous différents. Total : \(365^{25}\).

\[ \#(A^c)=365\cdot 364\cdots(365-24) \]

\[ P(A)=1-\frac{365\cdot 364\cdots(365-24)}{365^{25}} \]

\[ \boxed{ P(\text{au moins un doublon}) =1-\frac{365\cdot 364\cdots(365-24)}{365^{25}} } \]
Bac
L’expression exacte est souvent attendue ; le numérique peut être demandé en plus.
6
Cartes (HARD) — au moins un As ET au moins un Roi
Inclusion-exclusion.
On tire 5 cartes simultanément d’un jeu de 52 cartes. Calculer la probabilité d’obtenir au moins un As et au moins un Roi.
Correction détaillée ouvrir

Total : \(\binom{52}{5}\).

Soit \(A\) : aucun As → \(\binom{48}{5}\).

Soit \(B\) : aucun Roi → \(\binom{48}{5}\).

\(A\cap B\) : ni As ni Roi → 44 cartes → \(\binom{44}{5}\).

Favorables :

\[ \#F=\binom{52}{5}-2\binom{48}{5}+\binom{44}{5} \]

\[ \boxed{ P=\frac{\binom{52}{5}-2\binom{48}{5}+\binom{44}{5}}{\binom{52}{5}} } \]
7
Répartition (HARD+) — méthode Bac par cas
Aucune formule « hors programme » : uniquement changement de variable + somme.
On distribue 10 points entiers à 3 élèves \(A,B,C\) avec : \[ A\ge 2,\quad B\ge 1,\quad C\ge 0,\quad A+B+C=10. \] Combien de distributions possibles ?
Correction détaillée ouvrir

Posons \(A'=A-2\ge 0\), \(B'=B-1\ge 0\). Alors :

\[ A'+B'+C=7 \]

Pour un \(A'\) fixé, on a \(B'+C=7-A'\) : il y a \((7-A')+1\) solutions.

Total :

\[ \sum_{A'=0}^{7}(8-A')=64-\frac{7\cdot 8}{2}=36 \]

\[ \boxed{36\ \text{distributions possibles}} \]
8
Probabilité conditionnelle (HARD) — reconnaître \(A\subset B\)
Tirage simultané, dénombrement.
Une urne contient 6 blanches et 4 noires. On tire 3 boules simultanément. \[ A:\ \text{« exactement 2 blanches »},\qquad B:\ \text{« au moins 1 noire »}. \] Calculer \(P(A\mid B)\).
Correction détaillée ouvrir

Total : \(\#\Omega=\binom{10}{3}\).

\(\#A=\binom{6}{2}\binom{4}{1}\).

\(B\) : au moins 1 noire = complément de « 0 noire » = « 3 blanches » :

\[ \#B=\binom{10}{3}-\binom{6}{3} \]

Or \(A\subset B\). Donc :

\[ P(A\mid B)=\frac{\#A}{\#B} \]

\[ \boxed{ P(A\mid B)=\frac{\binom{6}{2}\binom{4}{1}}{\binom{10}{3}-\binom{6}{3}} } \]
Point Bac
Reconnaître \(A\subset B\) évite de recalculer \(A\cap B\) (car \(A\cap B=A\)).
9
Tirages successifs (HARD) — ordre + union de cas
Sans remise, évènement « dans n’importe quel ordre ».
On tire successivement 2 cartes d’un jeu de 52, sans remise. Calculer la probabilité d’obtenir un As et un Roi (dans n’importe quel ordre).
Correction détaillée ouvrir

Deux cas disjoints : (As puis Roi) OU (Roi puis As).

Total ordonné : \(52\times 51\).

As puis Roi : \(4\times 4=16\). Roi puis As : \(4\times 4=16\).

Donc favorables : \(32\).

\[ \boxed{ P=\frac{32}{52\times 51}=\frac{8}{663} } \]
10
Mots (HARD++) — bloc + répétitions
Stratégie du bloc (Bac très solide).
On forme des anagrammes du mot MATHEMATIQUES. On considère que les lettres identiques sont indiscernables. Combien d’anagrammes distinctes peut-on former dans lesquelles les deux lettres \(Q\) et \(U\) sont côte à côte (dans l’ordre \(QU\) ou \(UQ\)) ?
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Comptons d’abord les multiplicités dans « MATHEMATIQUES » (13 lettres).

On a : \(M\) : 2, \(A\) : 2, \(T\) : 2, \(E\) : 1, \(H\) : 1, \(I\) : 1, \(Q\) : 1, \(U\) : 1, \(S\) : 1.

On impose \(Q\) et \(U\) côte à côte : on crée un bloc \((QU)\) qui peut être \(QU\) ou \(UQ\) → facteur \(2\).

On permute alors 12 « objets » (le bloc + les 11 autres lettres), avec répétitions \(M,A,T\) chacune 2 fois.

\[ N = 2\times \frac{12!}{2!\,2!\,2!} \]

\[ \boxed{ N=2\times \frac{12!}{2!\,2!\,2!} } \]
Pièges
1) oublier le facteur \(2\) (ordre interne \(QU\) / \(UQ\)) ;
2) oublier de diviser par \(2!\) pour chaque lettre répétée.
✅ Fin — Série Premium HARD
  • Si tu veux, je te génère aussi : _quiz_hard20.blade.php (20 questions, indices + explications, même style).
  • Ou une version « sujet Bac complet » (Exercice 1–4 enchaînés + questions proba).