Fiche de révision — Combinatoire et dénombrement
Terminale Spé Maths • Arrangements • Permutations • Combinaisons • Tirages avec/sans remise • Probabilités (équiprobables)
• Méthodes Bac & pièges.
1) Checklist Bac (méthode en 10 secondes)
Les 3 questions clés
- Ordre ? (oui/non)
- Remise ? (répétitions autorisées ?)
- Combien d’objets ? (\(k\) parmi \(n\))
Réflexe
« au moins un » → complément ; deux contraintes → inclusion-exclusion.
Traduction éclair des mots
- Simultanément → ordre NON → \(\binom{n}{k}\)
- Rôles différents (président/vice/…) → ordre OUI → \(A_n^k\)
- Code / mot de passe → souvent ordre OUI
- Avec répétition → \(n^k\)
Proba équiprobable
\[
P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega}
\]
| Situation | Formule | Indices |
|---|---|---|
| Permutation (ordre OUI, tous les éléments) | \(\displaystyle n!\) | ranger/ordonner tous les objets |
| Arrangement (ordre OUI, sans remise) | \(\displaystyle A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}\) | rôles, classement, « puis » imposé |
| Combinaison (ordre NON, sans remise) | \(\displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\) | groupe/équipe, simultané |
| Avec remise (ordre OUI, répétitions) | \(\displaystyle n^k\) | codes avec répétition, tirage avec retour |
2) Formules essentielles (à savoir utiliser et simplifier)
Factorielle
\[
n!=n(n-1)\cdots 2\cdot 1,\qquad 0!=1
\]
- \((n+1)!=(n+1)n!\)
- On simplifie : \(\dfrac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)\cdots(n-k+1)\)
Lien arrangement ↔ combinaison
Choisir un groupe puis le classer :
\[
A_n^k=\binom{n}{k}\,k!
\]
Justification rapide (Bac) détail
\(\binom{n}{k}\) façons de choisir le groupe, puis \(k!\) façons de le mettre dans un ordre.
Deux identités utiles (gain de temps)
\[
\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}
\qquad\text{et}\qquad
\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}
\]
La 2ᵉ est la relation de Pascal (pratique en simplification et raisonnement).
3) Mini-exemples (types Bac) — à refaire vite
Exemple A — Bureau (arrangement)
Dans 28 élèves : président, vice, secrétaire.
\[
A_{28}^3=28\times 27\times 26
\]
Pourquoi ?
Rôles différents → l’ordre compte.
Exemple B — Équipe (combinaison)
Choisir 5 personnes parmi 18.
\[
\binom{18}{5}
\]
Pourquoi ?
On forme un groupe : permuter les 5 ne change rien.
Exemple C — Code (avec répétitions)
Code à 4 chiffres (0–9) avec répétition.
\[
10^4
\]
Piège
Sans répétition ce serait \(A_{10}^4\) (modèle différent).
Exemple D — « Au moins un 0 »
Codes à 6 chiffres (répétitions autorisées).
\[
\#(\ge 1\text{ zéro})=10^6-9^6
\]
Réflexe
« au moins un » → complément.
Exemple E — Probabilité par dénombrement
Urne : 7 blanches, 5 noires. On tire 4 simultanément. Probabilité d’avoir exactement 3 blanches.
\[
P=\frac{\binom{7}{3}\binom{5}{1}}{\binom{12}{4}}
\]
Pourquoi simultané → combinaisons ? détail
Les 4 boules sont prises « en bloc » : l’ordre d’apparition n’est pas distingué pour l’événement « 3 blanches ».
4) Pièges fréquents (Bac) + outils rapides
Pièges
- Confondre \(\binom{n}{k}\) et \(A_n^k\) (ordre non vs ordre oui).
- Lire « successivement » et croire automatiquement « avec remise » (faux).
- Oublier le complément pour « au moins un ».
- Oublier le + \(\#(A\cap B)\) dans inclusion-exclusion.
Inclusion-exclusion
\[
\#(A\cup B)=\#A+\#B-\#(A\cap B)
\]
Outils rapides
- \(\displaystyle \frac{\binom{n}{k}}{\binom{n}{k-1}}=\frac{n-k+1}{k}\) (pour simplifier)
- \(\displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}\) (calcul rapide)
- Pour « As et Roi » : total − sans As − sans Roi + sans As et sans Roi
Phrase Bac
« On compte d’abord l’univers \(\Omega\), puis les cas favorables, puis on applique \(P=\frac{\#A}{\#\Omega}\). »
Formule “à sortir” quand tu bloques
Si l’énoncé te dit « au moins un X et au moins un Y », écris :
\[
\#(\ge 1X \ \text{et}\ \ge 1Y)=\#\Omega-\#(\text{sans }X)-\#(\text{sans }Y)+\#(\text{sans }X \text{ et sans }Y)
\]
Plan express de révision (15 minutes)
- Refaire 3 fois : ordre ? remise ? complément ?
- Apprendre par cœur : \(n!\), \(A_n^k\), \(\binom{n}{k}\), \(n^k\).
- S’entraîner : 2 exos « au moins un » + 1 inclusion-exclusion + 1 proba urne.