Combinatoire et dénombrement | Fiches de révision — Terminale Spé Maths | Learna

Fiche de révision — Combinatoire et dénombrement

Terminale Spé Maths : choisir rapidement la bonne méthode de comptage, justifier la formule, éviter les pièges et rédiger proprement en probabilités.

Essentiel Principes Méthode Formules Anagrammes Probabilités Pièges Exemples Résumé mental Checklist

1) L’essentiel à retenir

Les 4 questions réflexes

L’ordre compte-t-il ?
La répétition est-elle possible ?
Choisit-on tous les objets ou seulement \(k\) objets ?
Les cas sont-ils disjoints ou les choix se font-ils par étapes ?

Reconnaissance immédiate

Ordre OUI + sans répétition → liste sans répétition / arrangement.
Ordre NON + sans répétition → combinaison.
Ordre OUI + répétition possible → p-uplet, souvent \(n^k\).
Tous les objets ordonnés → permutation.

Réflexe Bac : avant de calculer, je traduis l’énoncé en mots : groupe ? classement ? rôles ? tirages simultanés ? tirages successifs ? code ? anagramme ?

2) Principes fondamentaux de dénombrement

Principe additif

Si une situation peut se produire selon plusieurs cas incompatibles, on additionne.

\[ N=N_1+N_2+\cdots+N_p \]

Mot-clé : ou. Exemple : choisir une fille ou un garçon dans deux groupes séparés.

Principe multiplicatif

Si une situation se construit par étapes successives, on multiplie le nombre de choix possibles à chaque étape.

\[ N=n_1\times n_2\times \cdots \times n_p \]

Mot-clé : puis. Exemple : choisir une lettre puis un chiffre.

Exemple rapide — Code formé de 2 lettres puis 3 chiffres

Il y a 26 choix pour chaque lettre et 10 choix pour chaque chiffre. Donc : \[ 26^2\times 10^3=676000. \]

3) Méthode Bac pour choisir la bonne formule

1

L’ordre compte ?
Si échanger deux éléments change la situation, l’ordre compte.

2

Répétition possible ?
Avec remise, avec retour, code, mot de passe : souvent répétition possible.

3

Tous les objets ou seulement \(k\) ?
Tous ordonnés : permutation. Seulement \(k\) : arrangement ou combinaison.

4

Cas ou étapes ?
Cas disjoints : addition. Étapes successives : multiplication.

Situation	Ordre	Répétition	Formule
Ordonner tous les \(n\) objets	Oui	Non	\(n!\)
Choisir \(k\) objets avec rôles distincts	Oui	Non	\(A_n^k\)
Former un groupe de \(k\) objets	Non	Non	\(\binom{n}{k}\)
Faire \(k\) choix indépendants parmi \(n\) possibilités	Oui	Oui	\(n^k\)

Piège classique : « successivement » n’implique pas toujours que l’ordre compte dans la réponse finale. Si l’énoncé demande seulement un groupe final, l’ordre ne compte pas.

4) Résumé mental ultra-rapide

À retenir avant de choisir une formule :
Ordre + répétition possible \(\rightarrow n^k\)
Ordre + sans répétition \(\rightarrow A_n^k\)
Pas d’ordre + sans répétition \(\rightarrow \binom{n}{k}\)
Tous les éléments ordonnés \(\rightarrow n!\)
Cas disjoints \(\rightarrow\) addition
Étapes successives \(\rightarrow\) multiplication

Réflexe Bac : ne commence jamais par la formule. Commence par lire : ordre ? répétition ? cas ou étapes ?

5) Formules indispensables

Factorielle

\[ n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\times 1, \qquad 0!=1 \]

Permutation

\[ \text{Nombre de permutations de } n \text{ objets}=n! \]

Liste sans répétition / arrangement

\[ A_n^k=n(n-1)\cdots(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!} \]

Dans certains manuels, on dit simplement : nombre de listes de \(k\) éléments distincts parmi \(n\).

Combinaison

\[ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]

p-uplets / listes avec répétition

Si \(E\) contient \(n\) éléments, alors \(E^k\) est l’ensemble des listes ordonnées de longueur \(k\).

\[ \#(E^k)=n^k \]

Exemple : code à 4 chiffres → \(10^4\).

Lien utile

\[ A_n^k=\binom{n}{k}\,k! \]

Choisir un groupe de \(k\) éléments puis ordonner ses \(k\) éléments.

5) Anagrammes et répétitions

Lettres toutes distinctes

Si un mot contient \(n\) lettres toutes différentes, le nombre d’anagrammes est :

\[ n! \]

Lettres répétées

Si certaines lettres se répètent, il faut diviser par les permutations internes des lettres identiques.

\[ \frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!} \]

Exemple — Nombre d’anagrammes du mot MAMAN

Le mot MAMAN contient 5 lettres. La lettre M apparaît 2 fois, la lettre A apparaît 2 fois, et la lettre N apparaît 1 fois. Donc : \[ \frac{5!}{2!2!}=30. \]

7) Propriétés utiles à connaître

Combinaisons

\[ \binom{n}{0}=1,\qquad \binom{n}{1}=n,\qquad \binom{n}{n}=1 \] \[ \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} \]

Relation de Pascal

\[ \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1} \]

Pourquoi \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\) ?

Choisir \(k\) éléments parmi \(n\), c’est équivalent à choisir les \(n-k\) éléments qu’on ne prend pas.

8) Probabilités par dénombrement

Formule de base

Si les issues sont équiprobables : \[ P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega} \]

Plan de rédaction

Définir l’univers \(\Omega\).
Compter \(\#\Omega\).
Définir l’événement \(A\).
Compter \(\#A\).
Conclure avec le quotient.

Traductions rapides

Simultanément → souvent \(\binom{n}{k}\).
Successivement sans remise → souvent \(A_n^k\).
Avec remise → souvent \(n^k\).
Exactement \(k\) succès → souvent \(\binom{n}{k}\).

Lien avec la loi binomiale : dans \[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}, \] le coefficient \(\binom{n}{k}\) compte les positions possibles des \(k\) succès parmi les \(n\) expériences.

Attention : la formule \(\dfrac{\#A}{\#\Omega}\) suppose que les issues élémentaires sont toutes équiprobables.

9) Pièges à éviter absolument

Confusions fréquentes

Équipe de 3 personnes ≠ 3 rôles différents.
Code à 4 chiffres ≠ tirage sans répétition.
Tirage simultané ≠ tirage ordonné.
« Choisir » ne veut pas dire automatiquement combinaison : il faut lire tout l’énoncé.

Mots-clés trompeurs

successivement : souvent ordre OUI, mais pas toujours dans la question finale ;
simultanément : souvent ordre NON ;
président, vice-président, secrétaire : ordre déguisé ;
avec retour : répétitions possibles.

Astuce simple : si échanger deux noms ne change pas la situation, alors l’ordre ne compte pas.

Mot-clé “au moins un” : il est souvent plus rapide de compter le contraire. \[ P( ext{au moins un})=1-P( ext{aucun}). \]

10) Exemples express type Bac

Exemple 1 — Former un groupe de 5 élèves parmi 18

Ici on forme seulement un groupe, donc l’ordre ne compte pas : \[ \binom{18}{5}. \]

Exemple 2 — Attribuer 3 rôles différents parmi 18 élèves

Les rôles sont distincts, donc l’ordre compte : \[ A_{18}^3=18\times 17\times 16. \]

Exemple 3 — Code PIN à 4 chiffres

Chaque position peut contenir 10 chiffres, avec répétition : \[ 10^4. \]

Exemple 4 — Urne avec 6 rouges et 4 bleues : exactement 2 rouges sur 3 tirages simultanés

On tire simultanément 3 boules dans une urne contenant 6 rouges et 4 bleues. L’ordre ne compte pas. \[ \#\Omega=\binom{10}{3} \] Favorables : choisir 2 rouges parmi 6 et 1 bleue parmi 4. \[ \#A=\binom{6}{2}\binom{4}{1} \] Donc : \[ P(A)=\frac{\binom{6}{2}\binom{4}{1}}{\binom{10}{3}}=\frac{60}{120}=\frac12. \]

Exemple 5 — Mot de passe : 3 lettres puis 2 chiffres

Il y a 26 choix pour chaque lettre et 10 choix pour chaque chiffre. Les répétitions sont possibles : \[ 26^3\times 10^2. \]

Exemple 6 — Schéma binomial : positions des succès

Si on répète \(n\) expériences indépendantes et qu’on veut exactement \(k\) succès, alors \(\binom{n}{k}\) compte les positions des succès. Par exemple, pour exactement 3 succès sur 8 expériences : \[ \binom{8}{3}. \]

Exemple 7 — Cas disjoints : choisir dans un groupe A ou dans un groupe B

Un professeur veut choisir 2 élèves soit dans un groupe A de 8 élèves, soit dans un groupe B de 5 élèves. Les deux cas sont incompatibles : on utilise donc le principe additif. \[ N=\binom{8}{2}+\binom{5}{2}=28+10=38. \]

Conclusion : il y a \(\boxed{38}\) choix possibles.

Exemple 8 — « Au moins un » : utiliser le complémentaire

On lance 5 fois une pièce équilibrée. On cherche la probabilité d’obtenir au moins une fois pile. Le contraire de « au moins une fois pile » est « aucune fois pile », donc uniquement face. \[ P(\text{au moins un pile})=1-P(\text{aucun pile}). \] Comme les lancers sont indépendants : \[ P(\text{aucun pile})=\left(\frac12\right)^5=\frac1{32}. \] Donc : \[ P(\text{au moins un pile})=1-\frac1{32}=\frac{31}{32}. \]

Méthode très utile : dès qu’on lit au moins un, penser souvent au complémentaire.

11) Tableau résumé ultra-rapide

Nom	Quand ?	Formule
Principe additif	Cas incompatibles	\(N=N_1+N_2+\cdots+N_p\)
Principe multiplicatif	Étapes successives	\(N=n_1\times n_2\times\cdots\times n_p\)
Permutation	Ordonner tous les éléments	\(n!\)
Arrangement	Choisir \(k\) éléments ordonnés, sans répétition	\(A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}\)
Combinaison	Choisir \(k\) éléments non ordonnés, sans répétition	\(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)
p-uplet	\(k\) choix ordonnés avec répétition possible	\(n^k\)
Anagrammes avec répétitions	Objets identiques répétés	\(\dfrac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!}\)

12) Checklist finale avant le contrôle / Bac

Je sais distinguer ordre OUI / ordre NON.
Je sais repérer répétition possible / sans répétition.
Je sais reconnaître les cas disjoints et les étapes successives.
Je connais les formules de \(n!\), \(A_n^k\), \(\binom{n}{k}\), \(n^k\) et des anagrammes avec répétitions.
Je sais compter un univers et un événement favorable.
Je sais rédiger une probabilité sous la forme \[ P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega}. \]
Je vérifie toujours que ma formule correspond vraiment à la situation.

Dernier rappel : en combinatoire, la formule n’est jamais choisie “au hasard” : elle doit être justifiée par la lecture précise de l’énoncé.