Quiz — Calcul intégral (Tle spé)
Ce quiz de mathématiques en Terminale Spécialité permet de vérifier rapidement tes acquis sur Calcul intégral. Les questions ciblent notamment notions essentielles du chapitre, méthodes attendues en Terminale Spécialité, exemples guidés, exercices d’application pour repérer les points à revoir.
Cours
Cours de mathématiques en Terminale Spécialité : Calcul intégral
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Fiche de révision maths Terminale Spécialité : Calcul intégral
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Exercices corrigés de mathématiques en Terminale Spécialité : Calcul intégral
Quiz
Quiz de maths Terminale Spécialité : Calcul intégral
Terminale Spé
Chapitres
Quiz — Calcul intégral : primitives, aires, paramètres et IPP
Quiz niveau Terminale Spé — solide / avancé : intégrales directes,
primitives composées, aires, valeur moyenne, encadrements, paramètres et
intégration par parties. Les réponses doivent être exactes.
Q1. Calculer \(\displaystyle \int_0^2 (3x^2-4x+1)\,dx\).
Non vérifié
Indice
Commencer par une primitive : \(x^3-2x^2+x\).
Correction
\[
\int_0^2 (3x^2-4x+1)\,dx=[x^3-2x^2+x]_0^2=(8-8+2)-0=\boxed{2}.
\]
Q2. Calculer \(\displaystyle \int_1^4 \sqrt{x}\,dx\).
Non vérifié
Indice
Écrire \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), puis utiliser la puissance \(x^{3/2}\).
Correction
\[
\int_1^4 \sqrt{x}\,dx=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_1^4
=\frac{2}{3}(8-1)=\boxed{\frac{14}{3}}.
\]
Q3. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 e^{2x+1}\,dx\).
Non vérifié
Indice
Primitive composée : \(\int e^{ax+b}dx=\frac1a e^{ax+b}\).
Correction
\[
\int_0^1 e^{2x+1}\,dx=\left[\frac12 e^{2x+1}\right]_0^1
=\boxed{\frac{e^3-e}{2}}.
\]
Q4. Calculer \(\displaystyle \int_0^{\pi/3} \cos(3x)\,dx\).
Non vérifié
Indice
Une primitive de \(\cos(3x)\) est \(\frac13\sin(3x)\).
Correction
\[
\int_0^{\pi/3}\cos(3x)dx=\left[\frac13\sin(3x)\right]_0^{\pi/3}
=\frac13(\sin\pi-\sin0)=\boxed{0}.
\]
Q5. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 \frac{2x}{1+x^2}\,dx\).
Non vérifié
Indice
Reconnaître \(\frac{u'}{u}\) avec \(u(x)=1+x^2\).
Correction
\[
\int_0^1\frac{2x}{1+x^2}dx=[\ln(1+x^2)]_0^1=\boxed{\ln2}.
\]
Q6. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 \frac{x}{1+x^2}\,dx\).
Non vérifié
Indice
Il manque un facteur 2 : \(x=\frac12\cdot 2x\).
Correction
\[
\int_0^1\frac{x}{1+x^2}dx=\frac12[\ln(1+x^2)]_0^1=\boxed{\frac{\ln2}{2}}.
\]
Q7. Calculer \(\displaystyle \int_{-1}^{2} |x-1|\,dx\).
Non vérifié
Indice
Découper l’intégrale en \(1\), car \(x-1\) change de signe en \(1\).
Correction
\[
\int_{-1}^{2}|x-1|dx=\int_{-1}^{1}(1-x)dx+\int_1^2(x-1)dx
=2+\frac12=\boxed{\frac52}.
\]
Q8. Soit \(f(x)=x^2-4\). Calculer l’aire géométrique entre la courbe de \(f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=0\), \(x=3\).
Non vérifié
Indice
Attention : aire géométrique = intégrale de \(|f(x)|\). Le signe change en \(2\).
Correction
\[
A=\int_0^2(4-x^2)dx+\int_2^3(x^2-4)dx.
\]
Or
\[
\int_0^2(4-x^2)dx=\frac{16}{3},\qquad
\int_2^3(x^2-4)dx=\frac13.
\]
Donc \(\boxed{A=\frac{17}{3}}\).
Q9. Calculer l’aire comprise entre \(y=x\) et \(y=x^2\) sur \([0;1]\).
Non vérifié
Indice
Sur \([0;1]\), on a \(x\ge x^2\).
Correction
\[
A=\int_0^1(x-x^2)dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1
=\frac12-\frac13=\boxed{\frac16}.
\]
Q10. Calculer la valeur moyenne de \(f(x)=x^2\) sur \([1;3]\).
Non vérifié
Indice
La moyenne vaut \(\frac1{b-a}\int_a^b f(x)dx\).
Correction
\[
\overline f=\frac1{3-1}\int_1^3x^2dx
=\frac12\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3
=\frac12\cdot\frac{26}{3}=\boxed{\frac{13}{3}}.
\]
Q11. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 (x+1)e^{x^2+2x}\,dx\).
Non vérifié
Indice
Poser mentalement \(u=x^2+2x\), alors \(u'=2x+2=2(x+1)\).
Correction
\[
\int_0^1(x+1)e^{x^2+2x}dx
=\frac12\int_0^1(2x+2)e^{x^2+2x}dx
=\left[\frac12e^{x^2+2x}\right]_0^1
=\boxed{\frac{e^3-1}{2}}.
\]
Q12. Calculer \(\displaystyle \int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx\).
Non vérifié
Indice
Reconnaître la dérivée de \(\ln x\).
Correction
\[
\int_1^e\frac{\ln x}{x}dx=\left[\frac{(\ln x)^2}{2}\right]_1^e
=\frac{1^2}{2}-0=\boxed{\frac12}.
\]
Q13. On sait que \(1\le f(x)\le 3\) sur \([2;6]\). Donner le meilleur encadrement direct de \(\displaystyle \int_2^6 f(x)\,dx\). Répondre sous la forme \([a;b]\).
Non vérifié
Indice
Multiplier l’encadrement par la longueur de l’intervalle : \(6-2=4\).
Correction
\[
1\le f(x)\le3\Rightarrow \int_2^6 1dx\le\int_2^6f(x)dx\le\int_2^6 3dx.
\]
Donc \(\boxed{4\le I\le12}\), soit \(\boxed{[4;12]}\).
Q14. Si \(f\) est impaire, calculer \(\displaystyle \int_{-2}^{2} f(x)\,dx\).
Non vérifié
Indice
L’intégrale d’une fonction impaire sur \([-a;a]\) est nulle.
Correction
Par symétrie, les aires algébriques se compensent :
\[
\boxed{\int_{-2}^{2}f(x)dx=0}.
\]
Q15. Si \(f\) est paire et \(\displaystyle\int_0^3 f(x)dx=5\), calculer \(\displaystyle\int_{-3}^{3} f(x)dx\).
Non vérifié
Indice
Pour une fonction paire, l’intégrale sur \([-a;a]\) vaut deux fois celle sur \([0;a]\).
Correction
\[
\int_{-3}^{3}f(x)dx=2\int_0^3f(x)dx=2\times5=\boxed{10}.
\]
Q16. Déterminer \(a\) pour que \(\displaystyle \int_0^1 (ax+2)\,dx=4\).
Non vérifié
Indice
Calculer l’intégrale en fonction de \(a\), puis résoudre une équation.
Correction
\[
\int_0^1(ax+2)dx=\left[\frac a2x^2+2x\right]_0^1=\frac a2+2.
\]
Donc \(\frac a2+2=4\), d’où \(\boxed{a=4}\).
Q17. Déterminer \(a\) pour que la valeur moyenne de \(f(x)=ax+1\) sur \([0;2]\) soit égale à \(5\).
Non vérifié
Indice
La moyenne vaut \(\frac12\int_0^2(ax+1)dx\).
Correction
\[
\overline f=\frac12\left[\frac a2x^2+x\right]_0^2
=\frac12(2a+2)=a+1.
\]
On veut \(a+1=5\), donc \(\boxed{a=4}\).
Q18. Soit \(F(x)=\displaystyle\int_1^x (t^2+1)\,dt\). Calculer \(F'(x)\).
Non vérifié
Indice
Théorème fondamental : si \(F(x)=\int_a^x f(t)dt\), alors \(F'(x)=f(x)\).
Correction
On applique directement le théorème fondamental :
\[
\boxed{F'(x)=x^2+1}.
\]
Q19. Soit \(G(x)=\displaystyle\int_0^{x^2} e^t\,dt\). Calculer \(G'(x)\).
Non vérifié
Indice
Utiliser la dérivation composée : borne supérieure \(x^2\).
Correction
Si \(G(x)=\int_0^{u(x)} f(t)dt\), alors \(G'(x)=u'(x)f(u(x))\).
Ici \(u(x)=x^2\), donc
\[
\boxed{G'(x)=2xe^{x^2}}.
\]
Q20. Trouver une primitive de \(f(x)=x e^{-x^2}\).
Non vérifié
Indice
La dérivée de \(-x^2\) est \(-2x\).
Correction
\[
\int xe^{-x^2}dx=-\frac12e^{-x^2}+C.
\]
Une primitive est donc \(\boxed{-\frac12e^{-x^2}}\).
Q21. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 x e^x\,dx\).
Non vérifié
Indice
IPP : prendre \(u=x\) et \(v'=e^x\).
Correction
\[
\int_0^1xe^xdx=[xe^x]_0^1-\int_0^1e^xdx
=e-(e-1)=\boxed{1}.
\]
Q22. Calculer \(\displaystyle \int_1^e \ln x\,dx\).
Non vérifié
Indice
IPP : écrire \(\ln x=1\cdot\ln x\), avec \(u=\ln x\), \(v'=1\).
Correction
\[
\int\ln xdx=x\ln x-x+C.
\]
Donc
\[
\int_1^e\ln xdx=[x\ln x-x]_1^e=(e-e)-(0-1)=\boxed{1}.
\]
Q23. Calculer \(\displaystyle \int_0^{\pi} x\sin x\,dx\).
Non vérifié
Indice
IPP : \(u=x\), \(v'=\sin x\), donc \(v=-\cos x\).
Correction
\[
\int_0^{\pi}x\sin xdx=[-x\cos x]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos xdx
=\pi+0=\boxed{\pi}.
\]
Q24. Calculer \(\displaystyle \int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx\).
Non vérifié
Indice
IPP : \(u=x\), \(v'=\cos x\), donc \(v=\sin x\).
Correction
\[
\int_0^{\pi/2}x\cos xdx=[x\sin x]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin xdx
=\frac{\pi}{2}-1.
\]
Donc \(\boxed{\frac\pi2-1}\).
Q25. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 x^2e^x\,dx\).
Non vérifié
Indice
Faire deux IPP ou utiliser la primitive \(e^x(x^2-2x+2)\).
Correction
Par IPP répétée, une primitive est
\[
e^x(x^2-2x+2).
\]
Donc
\[
\int_0^1x^2e^xdx=[e^x(x^2-2x+2)]_0^1=e-2=\boxed{e-2}.
\]
Q26. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 x^2 e^{2x}\,dx\).
Non vérifié
Indice
IPP répétée. Une primitive possible est \(e^{2x}\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}+\frac14\right)\).
Correction
\[
\int x^2e^{2x}dx=e^{2x}\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}+\frac14\right)+C.
\]
Donc
\[
\int_0^1x^2e^{2x}dx=\frac{e^2}{4}-\frac14=\boxed{\frac{e^2-1}{4}}.
\]
Q27. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 x\ln(1+x)\,dx\).
Non vérifié
Indice
IPP : \(u=\ln(1+x)\), \(v'=x\).
Correction
\[
I=\left[\frac{x^2}{2}\ln(1+x)\right]_0^1-\frac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x}dx.
\]
Or \(\frac{x^2}{1+x}=x-1+\frac1{1+x}\). Donc
\[
\int_0^1\frac{x^2}{1+x}dx=\left[\frac{x^2}{2}-x+\ln(1+x)\right]_0^1=-\frac12+\ln2.
\]
Ainsi
\[
I=\frac12\ln2-\frac12\left(-\frac12+\ln2\right)=\boxed{\frac14}.
\]
Q28. Soit \(I_n=\displaystyle\int_0^1 x^n e^x\,dx\). Pour \(n\ge1\), quelle relation de récurrence obtient-on par IPP ?
Non vérifié
Indice
IPP avec \(u=x^n\), \(v'=e^x\).
Correction
\[
I_n=[x^ne^x]_0^1-n\int_0^1x^{n-1}e^xdx.
\]
Donc
\[
\boxed{I_n=e-nI_{n-1}}.
\]
Q29. Avec \(I_n=\displaystyle\int_0^1 x^n e^x\,dx\), sachant \(I_0=e-1\), calculer \(I_1\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(I_1=e-I_0\).
Correction
\[
I_1=e-I_0=e-(e-1)=\boxed{1}.
\]
Q30. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 \frac{x^3}{1+x^2}\,dx\).
Non vérifié
Indice
Diviser : \(\frac{x^3}{1+x^2}=x-\frac{x}{1+x^2}\).
Correction
\[
\frac{x^3}{1+x^2}=x-\frac{x}{1+x^2}.
\]
Donc
\[
\int_0^1\frac{x^3}{1+x^2}dx=\frac12-\frac12\ln2=\boxed{\frac{1-\ln2}{2}}.
\]
Q31. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{(x+1)^2}\,dx\).
Non vérifié
Indice
Une primitive de \((x+1)^{-2}\) est \(-(x+1)^{-1}\).
Correction
\[
\int_0^1\frac1{(x+1)^2}dx=\left[-\frac1{x+1}\right]_0^1=-\frac12+1=\boxed{\frac12}.
\]
Q32. On définit \(H(x)=\displaystyle\int_x^1 \ln(1+t^2)\,dt\). Calculer \(H'(x)\).
Non vérifié
Indice
La borne variable est en bas : \(\int_x^1 f(t)dt=-\int_1^x f(t)dt\).
Correction
\[
H(x)=\int_x^1f(t)dt\Rightarrow H'(x)=-f(x).
\]
Donc
\[
\boxed{H'(x)=-\ln(1+x^2)}.
\]
Q33. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 \frac{e^x}{(1+e^x)^2}\,dx\).
Non vérifié
Indice
Poser \(u=1+e^x\). Une primitive est \(-\frac1{1+e^x}\).
Correction
\[
\int\frac{e^x}{(1+e^x)^2}dx=-\frac1{1+e^x}+C.
\]
Donc
\[
\int_0^1\frac{e^x}{(1+e^x)^2}dx=-\frac1{1+e}+\frac12
=\boxed{\frac{e-1}{2(e+1)}}.
\]
Q34. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 (2x+1)\ln(x^2+x+1)\,dx\).
Non vérifié
Indice
Poser \(u=x^2+x+1\), alors \(du=(2x+1)dx\).
Correction
Avec \(u=x^2+x+1\), les bornes deviennent \(1\) et \(3\).
\[
\int_0^1(2x+1)\ln(x^2+x+1)dx=\int_1^3\ln u\,du.
\]
Or \(\int\ln u\,du=u\ln u-u\). Donc
\[
[u\ln u-u]_1^3=(3\ln3-3)-(0-1)=\boxed{3\ln3-2}.
\]
Q35. Calculer \(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin^2 x\,dx\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(\sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}{2}\).
Correction
\[
\int_0^{\pi/2}\sin^2xdx=\int_0^{\pi/2}\frac{1-\cos(2x)}2dx
=\left[\frac x2-\frac{\sin(2x)}4\right]_0^{\pi/2}
=\boxed{\frac\pi4}.
\]
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