Calcul Integral
TERMINALE-SPE • MATHS — Learna
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Quiz — Calcul intégral : primitives, aires, paramètres et IPP
Quiz niveau Terminale Spé — solide / avancé : intégrales directes,
primitives composées, aires, valeur moyenne, encadrements, paramètres et
intégration par parties. Les réponses doivent être exactes.
Q1. Calculer \(\displaystyle \int_0^2 (3x^2-4x+1)\,dx\).
Non vérifié
Indice
Commencer par une primitive : \(x^3-2x^2+x\).
Correction
\[
\int_0^2 (3x^2-4x+1)\,dx=[x^3-2x^2+x]_0^2=(8-8+2)-0=\boxed{2}.
\]
Q2. Calculer \(\displaystyle \int_1^4 \sqrt{x}\,dx\).
Non vérifié
Indice
Écrire \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), puis utiliser la puissance \(x^{3/2}\).
Correction
\[
\int_1^4 \sqrt{x}\,dx=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_1^4
=\frac{2}{3}(8-1)=\boxed{\frac{14}{3}}.
\]
Q3. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 e^{2x+1}\,dx\).
Non vérifié
Indice
Primitive composée : \(\int e^{ax+b}dx=\frac1a e^{ax+b}\).
Correction
\[
\int_0^1 e^{2x+1}\,dx=\left[\frac12 e^{2x+1}\right]_0^1
=\boxed{\frac{e^3-e}{2}}.
\]
Q4. Calculer \(\displaystyle \int_0^{\pi/3} \cos(3x)\,dx\).
Non vérifié
Indice
Une primitive de \(\cos(3x)\) est \(\frac13\sin(3x)\).
Correction
\[
\int_0^{\pi/3}\cos(3x)dx=\left[\frac13\sin(3x)\right]_0^{\pi/3}
=\frac13(\sin\pi-\sin0)=\boxed{0}.
\]
Q5. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 \frac{2x}{1+x^2}\,dx\).
Non vérifié
Indice
Reconnaître \(\frac{u'}{u}\) avec \(u(x)=1+x^2\).
Correction
\[
\int_0^1\frac{2x}{1+x^2}dx=[\ln(1+x^2)]_0^1=\boxed{\ln2}.
\]
Q6. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 \frac{x}{1+x^2}\,dx\).
Non vérifié
Indice
Il manque un facteur 2 : \(x=\frac12\cdot 2x\).
Correction
\[
\int_0^1\frac{x}{1+x^2}dx=\frac12[\ln(1+x^2)]_0^1=\boxed{\frac{\ln2}{2}}.
\]
Q7. Calculer \(\displaystyle \int_{-1}^{2} |x-1|\,dx\).
Non vérifié
Indice
Découper l’intégrale en \(1\), car \(x-1\) change de signe en \(1\).
Correction
\[
\int_{-1}^{2}|x-1|dx=\int_{-1}^{1}(1-x)dx+\int_1^2(x-1)dx
=2+\frac12=\boxed{\frac52}.
\]
Q8. Soit \(f(x)=x^2-4\). Calculer l’aire géométrique entre la courbe de \(f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=0\), \(x=3\).
Non vérifié
Indice
Attention : aire géométrique = intégrale de \(|f(x)|\). Le signe change en \(2\).
Correction
\[
A=\int_0^2(4-x^2)dx+\int_2^3(x^2-4)dx.
\]
Or
\[
\int_0^2(4-x^2)dx=\frac{16}{3},\qquad
\int_2^3(x^2-4)dx=\frac13.
\]
Donc \(\boxed{A=\frac{17}{3}}\).
Q9. Calculer l’aire comprise entre \(y=x\) et \(y=x^2\) sur \([0;1]\).
Non vérifié
Indice
Sur \([0;1]\), on a \(x\ge x^2\).
Correction
\[
A=\int_0^1(x-x^2)dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1
=\frac12-\frac13=\boxed{\frac16}.
\]
Q10. Calculer la valeur moyenne de \(f(x)=x^2\) sur \([1;3]\).
Non vérifié
Indice
La moyenne vaut \(\frac1{b-a}\int_a^b f(x)dx\).
Correction
\[
\overline f=\frac1{3-1}\int_1^3x^2dx
=\frac12\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3
=\frac12\cdot\frac{26}{3}=\boxed{\frac{13}{3}}.
\]
Q11. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 (x+1)e^{x^2+2x}\,dx\).
Non vérifié
Indice
Poser mentalement \(u=x^2+2x\), alors \(u'=2x+2=2(x+1)\).
Correction
\[
\int_0^1(x+1)e^{x^2+2x}dx
=\frac12\int_0^1(2x+2)e^{x^2+2x}dx
=\left[\frac12e^{x^2+2x}\right]_0^1
=\boxed{\frac{e^3-1}{2}}.
\]
Q12. Calculer \(\displaystyle \int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx\).
Non vérifié
Indice
Reconnaître la dérivée de \(\ln x\).
Correction
\[
\int_1^e\frac{\ln x}{x}dx=\left[\frac{(\ln x)^2}{2}\right]_1^e
=\frac{1^2}{2}-0=\boxed{\frac12}.
\]
Q13. On sait que \(1\le f(x)\le 3\) sur \([2;6]\). Donner le meilleur encadrement direct de \(\displaystyle \int_2^6 f(x)\,dx\). Répondre sous la forme \([a;b]\).
Non vérifié
Indice
Multiplier l’encadrement par la longueur de l’intervalle : \(6-2=4\).
Correction
\[
1\le f(x)\le3\Rightarrow \int_2^6 1dx\le\int_2^6f(x)dx\le\int_2^6 3dx.
\]
Donc \(\boxed{4\le I\le12}\), soit \(\boxed{[4;12]}\).
Q14. Si \(f\) est impaire, calculer \(\displaystyle \int_{-2}^{2} f(x)\,dx\).
Non vérifié
Indice
L’intégrale d’une fonction impaire sur \([-a;a]\) est nulle.
Correction
Par symétrie, les aires algébriques se compensent :
\[
\boxed{\int_{-2}^{2}f(x)dx=0}.
\]
Q15. Si \(f\) est paire et \(\displaystyle\int_0^3 f(x)dx=5\), calculer \(\displaystyle\int_{-3}^{3} f(x)dx\).
Non vérifié
Indice
Pour une fonction paire, l’intégrale sur \([-a;a]\) vaut deux fois celle sur \([0;a]\).
Correction
\[
\int_{-3}^{3}f(x)dx=2\int_0^3f(x)dx=2\times5=\boxed{10}.
\]
Q16. Déterminer \(a\) pour que \(\displaystyle \int_0^1 (ax+2)\,dx=4\).
Non vérifié
Indice
Calculer l’intégrale en fonction de \(a\), puis résoudre une équation.
Correction
\[
\int_0^1(ax+2)dx=\left[\frac a2x^2+2x\right]_0^1=\frac a2+2.
\]
Donc \(\frac a2+2=4\), d’où \(\boxed{a=4}\).
Q17. Déterminer \(a\) pour que la valeur moyenne de \(f(x)=ax+1\) sur \([0;2]\) soit égale à \(5\).
Non vérifié
Indice
La moyenne vaut \(\frac12\int_0^2(ax+1)dx\).
Correction
\[
\overline f=\frac12\left[\frac a2x^2+x\right]_0^2
=\frac12(2a+2)=a+1.
\]
On veut \(a+1=5\), donc \(\boxed{a=4}\).
Q18. Soit \(F(x)=\displaystyle\int_1^x (t^2+1)\,dt\). Calculer \(F'(x)\).
Non vérifié
Indice
Théorème fondamental : si \(F(x)=\int_a^x f(t)dt\), alors \(F'(x)=f(x)\).
Correction
On applique directement le théorème fondamental :
\[
\boxed{F'(x)=x^2+1}.
\]
Q19. Soit \(G(x)=\displaystyle\int_0^{x^2} e^t\,dt\). Calculer \(G'(x)\).
Non vérifié
Indice
Utiliser la dérivation composée : borne supérieure \(x^2\).
Correction
Si \(G(x)=\int_0^{u(x)} f(t)dt\), alors \(G'(x)=u'(x)f(u(x))\).
Ici \(u(x)=x^2\), donc
\[
\boxed{G'(x)=2xe^{x^2}}.
\]
Q20. Trouver une primitive de \(f(x)=x e^{-x^2}\).
Non vérifié
Indice
La dérivée de \(-x^2\) est \(-2x\).
Correction
\[
\int xe^{-x^2}dx=-\frac12e^{-x^2}+C.
\]
Une primitive est donc \(\boxed{-\frac12e^{-x^2}}\).
Q21. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 x e^x\,dx\).
Non vérifié
Indice
IPP : prendre \(u=x\) et \(v'=e^x\).
Correction
\[
\int_0^1xe^xdx=[xe^x]_0^1-\int_0^1e^xdx
=e-(e-1)=\boxed{1}.
\]
Q22. Calculer \(\displaystyle \int_1^e \ln x\,dx\).
Non vérifié
Indice
IPP : écrire \(\ln x=1\cdot\ln x\), avec \(u=\ln x\), \(v'=1\).
Correction
\[
\int\ln xdx=x\ln x-x+C.
\]
Donc
\[
\int_1^e\ln xdx=[x\ln x-x]_1^e=(e-e)-(0-1)=\boxed{1}.
\]
Q23. Calculer \(\displaystyle \int_0^{\pi} x\sin x\,dx\).
Non vérifié
Indice
IPP : \(u=x\), \(v'=\sin x\), donc \(v=-\cos x\).
Correction
\[
\int_0^{\pi}x\sin xdx=[-x\cos x]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos xdx
=\pi+0=\boxed{\pi}.
\]
Q24. Calculer \(\displaystyle \int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx\).
Non vérifié
Indice
IPP : \(u=x\), \(v'=\cos x\), donc \(v=\sin x\).
Correction
\[
\int_0^{\pi/2}x\cos xdx=[x\sin x]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin xdx
=\frac{\pi}{2}-1.
\]
Donc \(\boxed{\frac\pi2-1}\).
Q25. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 x^2e^x\,dx\).
Non vérifié
Indice
Faire deux IPP ou utiliser la primitive \(e^x(x^2-2x+2)\).
Correction
Par IPP répétée, une primitive est
\[
e^x(x^2-2x+2).
\]
Donc
\[
\int_0^1x^2e^xdx=[e^x(x^2-2x+2)]_0^1=e-2=\boxed{e-2}.
\]
Q26. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 x^2 e^{2x}\,dx\).
Non vérifié
Indice
IPP répétée. Une primitive possible est \(e^{2x}\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}+\frac14\right)\).
Correction
\[
\int x^2e^{2x}dx=e^{2x}\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}+\frac14\right)+C.
\]
Donc
\[
\int_0^1x^2e^{2x}dx=\frac{e^2}{4}-\frac14=\boxed{\frac{e^2-1}{4}}.
\]
Q27. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 x\ln(1+x)\,dx\).
Non vérifié
Indice
IPP : \(u=\ln(1+x)\), \(v'=x\).
Correction
\[
I=\left[\frac{x^2}{2}\ln(1+x)\right]_0^1-\frac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x}dx.
\]
Or \(\frac{x^2}{1+x}=x-1+\frac1{1+x}\). Donc
\[
\int_0^1\frac{x^2}{1+x}dx=\left[\frac{x^2}{2}-x+\ln(1+x)\right]_0^1=-\frac12+\ln2.
\]
Ainsi
\[
I=\frac12\ln2-\frac12\left(-\frac12+\ln2\right)=\boxed{\frac14}.
\]
Q28. Soit \(I_n=\displaystyle\int_0^1 x^n e^x\,dx\). Pour \(n\ge1\), quelle relation de récurrence obtient-on par IPP ?
Non vérifié
Indice
IPP avec \(u=x^n\), \(v'=e^x\).
Correction
\[
I_n=[x^ne^x]_0^1-n\int_0^1x^{n-1}e^xdx.
\]
Donc
\[
\boxed{I_n=e-nI_{n-1}}.
\]
Q29. Avec \(I_n=\displaystyle\int_0^1 x^n e^x\,dx\), sachant \(I_0=e-1\), calculer \(I_1\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(I_1=e-I_0\).
Correction
\[
I_1=e-I_0=e-(e-1)=\boxed{1}.
\]
Q30. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 \frac{x^3}{1+x^2}\,dx\).
Non vérifié
Indice
Diviser : \(\frac{x^3}{1+x^2}=x-\frac{x}{1+x^2}\).
Correction
\[
\frac{x^3}{1+x^2}=x-\frac{x}{1+x^2}.
\]
Donc
\[
\int_0^1\frac{x^3}{1+x^2}dx=\frac12-\frac12\ln2=\boxed{\frac{1-\ln2}{2}}.
\]
Q31. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{(x+1)^2}\,dx\).
Non vérifié
Indice
Une primitive de \((x+1)^{-2}\) est \(-(x+1)^{-1}\).
Correction
\[
\int_0^1\frac1{(x+1)^2}dx=\left[-\frac1{x+1}\right]_0^1=-\frac12+1=\boxed{\frac12}.
\]
Q32. On définit \(H(x)=\displaystyle\int_x^1 \ln(1+t^2)\,dt\). Calculer \(H'(x)\).
Non vérifié
Indice
La borne variable est en bas : \(\int_x^1 f(t)dt=-\int_1^x f(t)dt\).
Correction
\[
H(x)=\int_x^1f(t)dt\Rightarrow H'(x)=-f(x).
\]
Donc
\[
\boxed{H'(x)=-\ln(1+x^2)}.
\]
Q33. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 \frac{e^x}{(1+e^x)^2}\,dx\).
Non vérifié
Indice
Poser \(u=1+e^x\). Une primitive est \(-\frac1{1+e^x}\).
Correction
\[
\int\frac{e^x}{(1+e^x)^2}dx=-\frac1{1+e^x}+C.
\]
Donc
\[
\int_0^1\frac{e^x}{(1+e^x)^2}dx=-\frac1{1+e}+\frac12
=\boxed{\frac{e-1}{2(e+1)}}.
\]
Q34. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 (2x+1)\ln(x^2+x+1)\,dx\).
Non vérifié
Indice
Poser \(u=x^2+x+1\), alors \(du=(2x+1)dx\).
Correction
Avec \(u=x^2+x+1\), les bornes deviennent \(1\) et \(3\).
\[
\int_0^1(2x+1)\ln(x^2+x+1)dx=\int_1^3\ln u\,du.
\]
Or \(\int\ln u\,du=u\ln u-u\). Donc
\[
[u\ln u-u]_1^3=(3\ln3-3)-(0-1)=\boxed{3\ln3-2}.
\]
Q35. Calculer \(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin^2 x\,dx\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(\sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}{2}\).
Correction
\[
\int_0^{\pi/2}\sin^2xdx=\int_0^{\pi/2}\frac{1-\cos(2x)}2dx
=\left[\frac x2-\frac{\sin(2x)}4\right]_0^{\pi/2}
=\boxed{\frac\pi4}.
\]