Quiz — Calcul intégral (HARD 30 + graphiques) : aires • signes • comparaisons • paramètres • IPP
Réponds puis clique Vérifier (ou Tout vérifier). HARD • type Bac+ • réponses exactes • aire géométrique = valeur absolue.
Q2. Calculer \(\displaystyle \int_0^3 (2x+1)\,dx\).
Non vérifié
Indice
Primitive : \(x^2+x\).
Correction
\[
\int_0^3(2x+1)dx=[x^2+x]_0^3=(9+3)-0=\boxed{12}.
\]
Q3. Calculer \(\displaystyle \int_1^4 (3x^2-2x)\,dx\).
Non vérifié
Indice
Primitive : \(F(x)=x^3-x^2\).
Correction
\[
\int (3x^2-2x)dx = x^3-x^2.
\]
\[
\int_1^4 (3x^2-2x)dx=[x^3-x^2]_1^4=(64-16)-(1-1)=\boxed{48}.
\]
Q4. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 \sqrt{x}\,dx\).
Non vérifié
Indice
\(\sqrt{x}=x^{1/2}\).
Correction
\[
\int_0^1 x^{1/2}dx=\left[\frac{x^{3/2}}{3/2}\right]_0^1=\boxed{\frac{2}{3}}.
\]
Q5. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1+x}\,dx\).
Non vérifié
Indice
Primitive : \(\ln(1+x)\).
Correction
\[
\int_0^1 \frac{1}{1+x}dx=[\ln(1+x)]_0^1=\boxed{\ln 2}.
\]
Q6. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 e^{3x}\,dx\).
Non vérifié
Indice
Primitive : \(\frac{1}{3}e^{3x}\).
Correction
\[
\int_0^1 e^{3x}dx=\left[\frac{1}{3}e^{3x}\right]_0^1=\boxed{\frac{e^3-1}{3}}.
\]
Q7. Calculer \(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \cos x\,dx\).
Non vérifié
Indice
Primitive : \(\sin x\).
Correction
\[
\int_0^{\pi/2}\cos xdx=[\sin x]_0^{\pi/2}=\boxed{1}.
\]
Q8. Calculer \(\displaystyle \int_{-2}^1 |x|\,dx\).
Non vérifié
Indice
Découper en 0 : \(|x|=-x\) sur [-2,0] et \(|x|=x\) sur [0,1].
Correction
\[
\int_{-2}^0 (-x)dx + \int_0^1 xdx
=\left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^0+\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1
=2+\frac12=\boxed{\frac52}.
\]
Q9. Calculer \(\displaystyle \int_0^3 |x-2|\,dx\).
Non vérifié
Indice
Découper en 2.
Correction
\[
\int_0^2 (2-x)dx + \int_2^3 (x-2)dx
=\left[2x-\frac{x^2}{2}\right]_0^2 + \left[\frac{x^2}{2}-2x\right]_2^3
=2+\frac12=\boxed{\frac52}.
\]
Q10. À l’aide du graphique ci-dessous, calculer l’aire entre \(y=x\) et \(y=2-x\) sur \([0;2]\).
Non vérifié
Indice
Intersection en \(x=1\). Aire = deux triangles de base 1 et hauteur 1.
Correction
\[
A=2\times\left(\frac{1\times1}{2}\right)=\boxed{2\times\frac12=1}?\quad
Attention : ce sont 2 triangles identiques mais chacun a aire 1/2.
\]
Donc aire totale \(=\frac12+\frac12=\boxed{1}\) ? Non : ici la “hauteur” est 2?\
On calcule proprement :
\[
A=\int_0^1((2-x)-x)dx+\int_1^2(x-(2-x))dx
=\int_0^1(2-2x)dx+\int_1^2(2x-2)dx
=1+1=\boxed{2}.
\]
Q11. À l’aide du graphique, calculer l’aire entre \(y=2x\) et \(y=x^2\) sur \([0;2]\).
Non vérifié
Indice
Sur \((0,2)\) la droite est au-dessus : aire = \(\int_0^2(2x-x^2)dx\).
Correction
\[
A=\int_0^2(2x-x^2)dx
=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2
=4-\frac{8}{3}=\boxed{\frac{4}{3}}.
\]
Q12. Sur \([0;1]\), aire entre \(y=\sqrt{x}\) et \(y=x\).
Non vérifié
Indice
Sur (0,1), \(\sqrt{x}\ge x\).
Correction
\[
A=\int_0^1(\sqrt{x}-x)dx
=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{x^2}{2}\right]_0^1
=\frac{2}{3}-\frac12=\boxed{\frac16}.
\]
Q13. Sur \([-1;1]\), aire entre \(y=1-x^2\) et \(y=0\).
Non vérifié
Indice
Fonction positive sur [-1,1].
Correction
\[
A=\int_{-1}^1(1-x^2)dx=2\int_0^1(1-x^2)dx
=2\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_0^1
=\boxed{\frac{4}{3}}.
\]
Q14. Comparer \(\int_0^1 x^4dx\) et \(\int_0^1 x^3dx\) (répondre : \(\le\) ou \(\ge\)).
Non vérifié
Indice
Sur [0,1], \(x^4\le x^3\).
Correction
Sur \([0;1]\), \(x^4\le x^3\) donc \(\int_0^1 x^4dx\le\int_0^1 x^3dx\).
Q15. Si \(2\le f(x)\le 5\) sur \([1;3]\), encadrer \(\int_1^3 f(x)dx\).
Non vérifié
Indice
Intégrer : \(\int 2\le \int f\le \int 5\).
Correction
\[
\int_1^3 2dx \le \int_1^3 f(x)dx \le \int_1^3 5dx
\Rightarrow 4\le \int_1^3 f(x)dx \le 10.
\]
Q16. Calculer \(I(a)=\int_0^1 (x+a)^2dx\).
Non vérifié
Indice
Développer : \(x^2+2ax+a^2\).
Correction
\[
I(a)=\int_0^1(x^2+2ax+a^2)dx
=\frac13+a+a^2=\boxed{a^2+a+\frac13}.
\]
Q17. Calculer \(J(a)=\int_0^1 (2ax-1)dx\).
Non vérifié
Indice
Primitive : \(ax^2-x\).
Correction
\[
J(a)=[ax^2-x]_0^1=a-1.
\]
Q18. Trouver la primitive \(F\) de \(f(x)=\frac{1}{1+x}\) telle que \(F(0)=2\).
Non vérifié
Indice
Primitive générale : \(\ln(1+x)+C\).
Correction
\[
F(x)=\ln(1+x)+C,\ F(0)=0+C=2\Rightarrow C=2.
\]
Donc \(\boxed{F(x)=\ln(1+x)+2}\).
\]
Q19. Calculer \(\int xe^x dx\).
Non vérifié
Indice
IPP : \(u=x\), \(v'=e^x\).
Correction
\[
\int xe^x dx=xe^x-\int e^x dx
=xe^x-e^x+C=(x-1)e^x+C.
\]
Q20. Calculer \(\int x\cos x dx\).
Non vérifié
Indice
IPP : \(u=x\), \(v'=\cos x\Rightarrow v=\sin x\).
Correction
\[
\int x\cos x dx=x\sin x-\int \sin x dx
=x\sin x+\cos x+C.
\]
Q21. Calculer \(\int x\sin x dx\).
Non vérifié
Indice
IPP : \(u=x\), \(v'=\sin x\Rightarrow v=-\cos x\).
Correction
\[
\int x\sin x dx= x(-\cos x)-\int (-\cos x)dx
= -x\cos x+\sin x+C.
\]
Q22. Avec le schéma de signe, calculer \(\displaystyle \int_{-1}^{2}|x-x^2|dx\).
Non vérifié
Indice
Découper en 0 et 1 : \([-1,0]\), \([0,1]\), \([1,2]\).
Correction
\[
A=\int_{-1}^{0}(x^2-x)dx+\int_{0}^{1}(x-x^2)dx+\int_{1}^{2}(x^2-x)dx
=\frac{5}{6}+\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=\boxed{\frac{11}{6}}.
\]
Q23. Donner \(\int_0^1 x dx\).
Non vérifié
Indice
Primitive : \(x^2/2\).
Correction
\[
\int_0^1 xdx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac12.
\]
Q24. Donner \(\int_0^1 (1-x^2)dx\).
Non vérifié
Indice
Primitive : \(x-\frac{x^3}{3}\).
Correction
\[
\int_0^1(1-x^2)dx=\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{2}{3}.
\]
Q25. Si \(f(x)=0\) sur \([a;b]\), donner \(\int_a^b f(x)dx\).
Non vérifié
Indice
Intégrale de 0.
Correction
\(\boxed{0}\).
Q26. Si \(f\le g\) sur \([a;b]\), comparer \(\int_a^b f\) et \(\int_a^b g\) (répondre : \(\le\) ou \(\ge\)).
Non vérifié
Indice
L’intégrale conserve l’ordre.
Correction
Si \(f\le g\) sur \([a;b]\), alors \(\int_a^b f\le \int_a^b g\).
Q27. Calculer \(\int_0^1 2\,dx\).
Non vérifié
Indice
Constante : \(2(1-0)\).
Correction
\(\boxed{2}\).
Q28. Calculer \(\int_0^2 (2-x)dx\).
Non vérifié
Indice
Primitive : \(2x-\frac{x^2}{2}\).
Correction
\[
[2x-\frac{x^2}{2}]_0^2=4-2=\boxed{2}.
\]
Q29. Calculer \(\int_0^1 4x^3dx\).
Non vérifié
Indice
Primitive : \(x^4\).
Correction
\[
\int_0^1 4x^3dx=[x^4]_0^1=\boxed{1}.
\]
Q30. Calculer \(\int_0^{\pi} \cos x\,dx\).
Non vérifié
Indice
Primitive : \(\sin x\).
Correction
\[
\int_0^{\pi}\cos xdx=[\sin x]_0^{\pi}=0-0=\boxed{0}.
\]
Q31. Calculer \(\int_1^e \frac{1}{x}dx\).
Non vérifié
Indice
Primitive : \(\ln x\).
Correction
\[
\int_1^e\frac{1}{x}dx=[\ln x]_1^e=1-0=\boxed{1}.
\]
Clavier