Calcul intégral | Cours — Terminale Spé Maths | Learna

Cours — Calcul intégral

Terminale Spécialité Maths • Programme officiel de France
Aire sous une courbe • primitives • propriétés de l’intégrale • valeur moyenne • encadrements • intégration par parties (IPP).

Objectifs Définition Primitives Propriétés Aires Valeur moyenne Encadrements Méthodes IPP Méthodes Bac Formulaire

1) Objectifs et compétences attendues

Ce qu’il faut savoir faire

Interpréter une intégrale comme une aire algébrique.
Calculer une intégrale à l’aide d’une primitive.
Utiliser la linéarité, la relation de Chasles et la positivité.
Calculer une valeur moyenne sur un intervalle.
Encadrer une intégrale à partir d’un encadrement de fonction.
Utiliser une intégration par parties pour les produits du type \(x e^x\), \(x\ln x\), \(x\cos x\), etc.

Réflexes de copie

Identifier d’abord la nature : calcul direct, aire, moyenne, encadrement, IPP.
Écrire la primitive avant de remplacer les bornes.
Respecter l’ordre des bornes : \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\).
Pour une aire entre deux courbes, intégrer fonction du dessus − fonction du dessous.
Pour une IPP, choisir \(u\) pour que \(u'\) soit plus simple.

Idée centrale : l’intégrale permet de passer d’un problème continu à un calcul global : aire, accumulation, distance, moyenne ou probabilité continue dans certains prolongements.

2) Définition intuitive et notation

Soit \(f\) une fonction continue sur \([a ; b]\). L’intégrale \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\) représente une aire algébrique : les zones au-dessus de l’axe des abscisses sont positives, les zones au-dessous sont négatives.

Cas positif

Si \(f(x)\ge 0\) sur \([a ; b]\), alors :

\[ \int_a^b f(x)\,dx \]

est l’aire du domaine compris entre la courbe de \(f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=a\), \(x=b\).

Cas avec signe variable

Si \(f\) change de signe, l’intégrale n’est pas directement l’aire géométrique totale :

\[ \text{aire géométrique}=\int_a^c f(x)\,dx-\int_c^b f(x)\,dx \]

si \(f\ge 0\) sur \([a ; c]\) et \(f\le 0\) sur \([c ; b]\).

Piège fréquent : \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\) peut être négative. Une aire géométrique, elle, est toujours positive.

3) Lien fondamental avec les primitives

Si \(f\) est continue sur \([a ; b]\) et si \(F\) est une primitive de \(f\), alors :

\[ \boxed{\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)} \]

Exemple direct

Calculer :

\[ \int_1^3 (2x+1)\,dx \]

Une primitive de \(2x+1\) est \(F(x)=x^2+x\). Donc :

\[ \int_1^3 (2x+1)\,dx =F(3)-F(1) =(9+3)-(1+1)=10. \]

Exemple avec exponentielle

Calculer :

\[ \int_0^1 3e^{3x}\,dx \]

Une primitive est \(e^{3x}\). Ainsi :

\[ \int_0^1 3e^{3x}\,dx=e^3-1. \]

Test rapide : quand tu proposes une primitive \(F\), dérive-la mentalement : si \(F'(x)=f(x)\), alors le calcul est bon.

4) Primitives essentielles à maîtriser

Fonction \(f(x)\)	Une primitive \(F(x)\)	Conditions
\(k\)	\(kx\)	\(k\in\mathbb{R}\)
\(x^n\)	\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\)	\(n\neq -1\)
\(\dfrac1x\)	\(\ln\|x\|\)	sur un intervalle ne contenant pas \(0\)
\(e^x\)	\(e^x\)	sur \(\mathbb{R}\)
\(e^{ax+b}\)	\(\dfrac1a e^{ax+b}\)	\(a\neq 0\)
\(\cos x\)	\(\sin x\)	sur \(\mathbb{R}\)
\(\sin x\)	\(-\cos x\)	sur \(\mathbb{R}\)
\(\dfrac{u'}{u}\)	\(\ln\|u\|\)	\(u\neq0\)
\(u'e^u\)	\(e^u\)	\(u\) dérivable
\(u'u^n\)	\(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\)	\(n\neq -1\)

Attention : \(\displaystyle \int e^{3x}\,dx=\frac13e^{3x}+C\), pas \(e^{3x}+C\). Il faut compenser la dérivée de \(3x\).

5) Propriétés fondamentales de l’intégrale

Linéarité

Pour tous réels \(\alpha,\beta\) :

\[ \int_a^b(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx = \alpha\int_a^b f(x)\,dx+\beta\int_a^b g(x)\,dx. \]

Relation de Chasles

Pour \(c\in[a ; b]\) :

\[ \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx. \]

Inversion des bornes

\[ \int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx. \]

Positivité et ordre

Si \(f\ge0\) sur \([a ; b]\), alors :

\[ \int_a^b f(x)\,dx\ge0. \]

Si \(f\le g\), alors :

\[ \int_a^b f(x)\,dx\le \int_a^b g(x)\,dx. \]

6) Calculer une aire

Aire sous une courbe positive

Si \(f\ge0\) sur \([a ; b]\), alors :

\[ \mathcal A=\int_a^b f(x)\,dx. \]

Aire entre deux courbes

Si \(f(x)\ge g(x)\) sur \([a ; b]\), alors :

\[ \mathcal A=\int_a^b \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx. \]

Exemple détaillé — aire entre deux courbes

On cherche l’aire entre \(f(x)=x+2\) et \(g(x)=x^2\) sur \([0 ; 1]\). Sur \([0 ; 1]\), on a \(x+2\ge x^2\). Donc :

\[ \mathcal A=\int_0^1(x+2-x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac12+2-\frac13 = \frac{13}{6}. \]

Erreur classique : ne jamais écrire directement \(\int_a^b(f-g)\) sans vérifier quelle courbe est au-dessus. Si les courbes se croisent, il faut couper l’intervalle.

7) Valeur moyenne d’une fonction

Si \(f\) est continue sur \([a ; b]\), sa valeur moyenne sur \([a ; b]\) est :

\[ \boxed{m=\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx} \]

Interprétation

La valeur moyenne est la hauteur du rectangle de largeur \(b-a\) qui a la même aire algébrique que la courbe.

Exemple

Pour \(f(x)=x^2\) sur \([0 ; 3]\) :

\[ m=\frac1{3-0}\int_0^3x^2\,dx = \frac13\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac13\cdot9=3. \]

8) Encadrer une intégrale

Si \(m\le f(x)\le M\) sur \([a ; b]\), alors :

\[ \boxed{m(b-a)\le \int_a^b f(x)\,dx\le M(b-a)} \]

Exemple détaillé — encadrement par une inégalité

Sur \([0 ; 1]\), on sait que \(1\le e^x\le e\). Alors :

\[ \int_0^1 1\,dx\le \int_0^1 e^x\,dx\le \int_0^1 e\,dx. \]

Donc :

\[ 1\le \int_0^1 e^x\,dx\le e. \]

En réalité \(\int_0^1e^x\,dx=e-1\), et on vérifie bien \(1\le e-1\le e\).

Méthode Bac : pour prouver un encadrement d’intégrale, commence par prouver l’encadrement de la fonction, puis intègre chaque membre sur le même intervalle.

9) Méthodes de calcul d’intégrales

Méthode 1 — Primitive directe

À utiliser quand la primitive est immédiate :

\[ \int_0^2(3x^2-4x+1)\,dx = \left[x^3-2x^2+x\right]_0^2 = 8-8+2=2. \]

Méthode 2 — Reconnaître \(u'\times u^n\)

Exemple :

\[ \int_0^1 2x(x^2+1)^4\,dx = \left[\frac{(x^2+1)^5}{5}\right]_0^1 = \frac{32-1}{5} = \frac{31}{5}. \]

Méthode 3 — Reconnaître \(\dfrac{u'}{u}\)

Exemple :

\[ \int_0^1 \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \left[\ln(x^2+1)\right]_0^1 = \ln2. \]

Méthode 4 — Reconnaître \(u'e^u\)

Exemple :

\[ \int_0^1 2xe^{x^2}\,dx = \left[e^{x^2}\right]_0^1 = e-1. \]

Attention : une intégrale du type \(\int xe^x\,dx\) n’est pas une primitive composée simple. Il faut utiliser l’IPP.

10) Intégration par parties (IPP) — méthode avancée

Si \(u\) et \(v\) sont dérivables et si \(u'\) et \(v'\) sont continues sur \([a ; b]\), alors :

\[ \boxed{\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx} \]

Comment choisir \(u\) et \(v'\) ?

Choisir \(u\) pour que \(u'\) soit plus simple.
Choisir \(v'\) pour que \(v\) soit facile à trouver.
Très souvent : \(u=x\), \(u=\ln x\), \(u=x^2\).
Souvent \(v'=e^x\), \(v'=\cos x\), \(v'=\sin x\), \(v'=1\).

Quand utiliser l’IPP ?

Produit polynôme × exponentielle : \(\int x e^x\,dx\).
Produit polynôme × trigonométrique : \(\int x\cos x\,dx\).
Logarithme seul ou produit : \(\int \ln x\,dx\), \(\int x\ln x\,dx\).
Intégrales avec paramètre en sujet Bac.

Exemple 1 — Calculer \(\displaystyle \int_0^1 x e^x\,dx\)

On pose :

\[ u(x)=x,\qquad v'(x)=e^x. \]

Alors :

\[ u'(x)=1,\qquad v(x)=e^x. \]

Par IPP :

\[ \int_0^1 x e^x\,dx = \left[xe^x\right]_0^1-\int_0^1 e^x\,dx. \]

Donc :

\[ \int_0^1 x e^x\,dx = e-\left[e^x\right]_0^1 = e-(e-1)=1. \]

Conclusion : \(\displaystyle \boxed{\int_0^1 x e^x\,dx=1}\).

Exemple 2 — Calculer \(\displaystyle \int_1^e \ln x\,dx\)

Ici on écrit \(\ln x=\ln x\times 1\). On pose :

\[ u(x)=\ln x,\qquad v'(x)=1. \]

Alors :

\[ u'(x)=\frac1x,\qquad v(x)=x. \]

Par IPP :

\[ \int_1^e \ln x\,dx = \left[x\ln x\right]_1^e-\int_1^e x\cdot\frac1x\,dx. \]

Donc :

\[ \int_1^e \ln x\,dx = e-\int_1^e 1\,dx = e-(e-1)=1. \]

Conclusion : \(\displaystyle \boxed{\int_1^e \ln x\,dx=1}\).

Exemple 3 — Calculer \(\displaystyle \int_0^\pi x\cos x\,dx\)

On pose :

\[ u(x)=x,\qquad v'(x)=\cos x. \]

Alors :

\[ u'(x)=1,\qquad v(x)=\sin x. \]

Par IPP :

\[ \int_0^\pi x\cos x\,dx = \left[x\sin x\right]_0^\pi-\int_0^\pi \sin x\,dx. \]

Or \(\pi\sin\pi=0\) et \(0\sin0=0\). Donc :

\[ \int_0^\pi x\cos x\,dx = -\left[-\cos x\right]_0^\pi = -\bigl(-\cos\pi+\cos0\bigr) = -(1+1)=-2. \]

Conclusion : \(\displaystyle \boxed{-2}\).

Exemple 4 — Calculer \(\displaystyle \int_0^1 x^2e^x\,dx\)

Il faut faire deux IPP car le polynôme est de degré 2.
Première IPP avec \(u=x^2\) et \(v'=e^x\) :

\[ \int_0^1 x^2e^x\,dx = \left[x^2e^x\right]_0^1-\int_0^1 2xe^x\,dx = e-2\int_0^1 xe^x\,dx. \]

Or on a déjà calculé :

\[ \int_0^1 xe^x\,dx=1. \]

Donc :

\[ \int_0^1 x^2e^x\,dx=e-2. \]

Conclusion : \(\displaystyle \boxed{e-2}\).

Raccourci utile : pour \(\int P(x)e^x\,dx\), on dérive le polynôme plusieurs fois par IPP jusqu’à disparition.

11) Méthodes Bac — questions classiques

A) Montrer qu’une intégrale est positive

Pour montrer :

\[ \int_a^b f(x)\,dx\ge0 \]

il suffit souvent de montrer que \(f(x)\ge0\) sur \([a ; b]\).

B) Comparer deux intégrales

Pour prouver :

\[ \int_a^b f(x)\,dx\le\int_a^b g(x)\,dx, \]

montrer d’abord \(f(x)\le g(x)\) sur \([a ; b]\).

C) Utiliser une suite d’intégrales

Si :

\[ I_n=\int_0^1 x^n e^x\,dx, \]

une IPP avec \(u=x^n\) et \(v'=e^x\) donne souvent une relation de récurrence.

D) Aire avec changement de signe

Si \(f\) change de signe en \(c\), alors :

\[ \mathcal A= \int_a^c f(x)\,dx-\int_c^b f(x)\,dx. \]

Exemple Bac — suite d’intégrales avec IPP

On définit :

\[ I_n=\int_0^1 x^n e^x\,dx. \]

Pour \(n\ge1\), on pose \(u=x^n\) et \(v'=e^x\). Alors \(u'=nx^{n-1}\) et \(v=e^x\). Par IPP :

\[ I_n=\left[x^ne^x\right]_0^1-n\int_0^1x^{n-1}e^x\,dx. \]

Donc :

\[ \boxed{I_n=e-nI_{n-1}}. \]

Ce type de relation est très fréquent dans les sujets Bac.

12) Formulaire rapide

Intégrale et primitive

\[ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) \]

Linéarité

\[ \int_a^b(\alpha f+\beta g)= \alpha\int_a^bf+\beta\int_a^bg \]

Chasles

\[ \int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f \]

Valeur moyenne

\[ m=\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \]

Aire entre deux courbes

\[ \mathcal A=\int_a^b(\text{courbe du dessus}-\text{courbe du dessous})\,dx \]

Intégration par parties

\[ \int_a^b uv'=\left[uv\right]_a^b-\int_a^b u'v \]

Checklist “copie parfaite”

Je commence par identifier la méthode : primitive directe, aire, moyenne, encadrement ou IPP.
Je vérifie les bornes et je respecte l’ordre \(F(b)-F(a)\).
Pour une aire, je vérifie le signe ou l’ordre des deux courbes.
Pour une IPP, j’écris clairement \(u\), \(u'\), \(v'\), \(v\).
Je conclus avec une phrase et une valeur exacte simplifiée.

Notation française : utiliser les intervalles \([a ; b]\), \([a ; b[\), \(]a ; b]\), \(]a ; b[\).