Calcul intégral
Terminale Spécialité Maths • Cours complet premium
Intégrales définies • Aires • Propriétés • Méthodes Bac • Intégration par parties (IPP)
Intégrales définies • Aires • Propriétés • Méthodes Bac • Intégration par parties (IPP)
Objectifs
- Comprendre le sens d’une intégrale définie (aire algébrique).
- Savoir calculer une intégrale à l’aide d’une primitive.
- Calculer des aires géométriques et des aires entre deux courbes.
- Comparer et encadrer des intégrales.
- Utiliser l’intégration par parties dans des cas simples.
1. Intégrale définie
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a;b]\).
L’intégrale définie de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est :
\[
\int_a^b f(x)\,dx
\]
Elle représente une aire algébrique comprise entre la courbe de \(f\),
l’axe des abscisses et les droites \(x=a\) et \(x=b\).
2. Aire algébrique et aire géométrique
- Si \(f(x)\ge 0\) sur \([a;b]\) : \[ \int_a^b f(x)\,dx \ge 0 \]
- Si \(f(x)\le 0\) sur \([a;b]\), l’intégrale est négative.
- Si \(f\) change de signe, on découpe l’intervalle.
Aire géométrique :
\[
A=\int_a^b |f(x)|\,dx
\]
3. Théorème fondamental de l’analyse
Si \(f\) est continue sur \([a;b]\) et \(F\) est une primitive de \(f\), alors :
\[
\boxed{\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)}
\]
Phrase Bac :
« La fonction \(f\) étant continue sur \([a;b]\), on applique le théorème fondamental. »
« La fonction \(f\) étant continue sur \([a;b]\), on applique le théorème fondamental. »
4. Propriétés des intégrales définies
| Propriété | Formule | Commentaire |
|---|---|---|
| Bornes égales | \(\int_a^a f(x)\,dx=0\) | Aire nulle |
| Permutation | \(\int_a^b f=-\int_b^a f\) | Change le signe |
| Linéarité | \(\int (f+g)=\int f+\int g\) | Simplification |
| Constante | \(\int kf = k\int f\) | Sortir \(k\) |
| Additivité | \(\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b\) | Découpage |
5. Aire entre deux courbes
Si \(f(x)\ge g(x)\) sur \([a;b]\), l’aire entre les deux courbes vaut :
\[
\boxed{A=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx}
\]
6. Intégration par parties (IPP)
⚠️ Remarque programme :
L’IPP n’est pas explicitement exigée dans le programme officiel, mais elle est admise et utilisée dans de nombreux exercices et sujets d’entraînement.
L’IPP n’est pas explicitement exigée dans le programme officiel, mais elle est admise et utilisée dans de nombreux exercices et sujets d’entraînement.
Si \(u\) et \(v\) sont deux fonctions dérivables, alors :
\[
\boxed{\int u(x)\,v'(x)\,dx = u(x)v(x)-\int u'(x)\,v(x)\,dx}
\]
Méthode :
- Choisir \(u\) (se simplifie en dérivant).
- Choisir \(v'\) (facile à intégrer).
- Appliquer la formule.
7. Exemples d’intégration par parties
Calculer :
\[
\int x e^x\,dx
\]
On pose \(u=x\) et \(v'=e^x\).
Alors \(u'=1\) et \(v=e^x\).
\[
\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx
= x e^x - e^x + C
\]
\[
\boxed{(x-1)e^x + C}
\]
Checklist Bac
- Je vérifie que la fonction est continue.
- Je calcule avec \(F(b)-F(a)\).
- Je distingue aire algébrique et géométrique.
- Je sais calculer une aire entre deux courbes.
- Je sais utiliser l’IPP dans les cas simples.