Fiche de révision — Calcul intégral
Terminale Spécialité Maths • Formulaire complet • Méthodes Bac • Aires • IPP
Intégrales définies • Aire algébrique / géométrique • Intégration par parties
Intégrales définies • Aire algébrique / géométrique • Intégration par parties
À savoir absolument
- Si \(f\) est continue sur \([a;b]\), l’intégrale \(\int_a^b f(x)\,dx\) est définie.
- Théorème fondamental : \[ \boxed{\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)} \] où \(F\) est une primitive de \(f\).
- L’intégrale représente une aire algébrique.
- L’aire géométrique se calcule avec \(\int |f(x)|\,dx\).
Formulaire — intégrales usuelles
✅ À comprendre comme : « on choisit une primitive puis on fait \(F(b)-F(a)\) ».
| Fonction \(f(x)\) | Une primitive \(F(x)\) | Condition |
|---|---|---|
| Puissances | ||
| \(1\) | \(x\) | — |
| \(x^n\) \((n\neq -1)\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | — |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x\neq 0\) |
| Affines | ||
| \((ax+b)^n\) | \(\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}\) | \(a\neq 0\) |
| \(\dfrac{1}{ax+b}\) | \(\dfrac{1}{a}\ln|ax+b|\) | \(a\neq 0\) |
| Exponentielle | ||
| \(e^x\) | \(e^x\) | — |
| \(e^{ax}\) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax}\) | \(a\neq 0\) |
| Trigonométrie | ||
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | — |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | — |
Aires
- Aire sous une courbe (si \(f(x)\ge 0\)) : \[ A=\int_a^b f(x)\,dx \]
- Aire géométrique : \[ \boxed{A=\int_a^b |f(x)|\,dx} \]
- Aire entre deux courbes (si \(f\ge g\)) : \[ \boxed{A=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx} \]
Propriétés clés
- \(\int_a^a f(x)\,dx=0\)
- \(\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx\)
- \(\int_a^b (f+g)=\int_a^b f+\int_a^b g\)
- \(\int_a^b kf = k\int_a^b f\)
- \(\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f\)
- Si \(f\le g\), alors \(\int_a^b f \le \int_a^b g\)
Méthode Bac — calculer une intégrale
- Vérifier la continuité sur \([a;b]\).
- Trouver une primitive \(F\).
- Calculer \(F(b)-F(a)\).
- Soigner la rédaction et le signe.
Phrase Bac :
« La fonction est continue sur \([a;b]\), donc on applique le théorème fondamental. »
Intégration par parties (IPP)
⚠️ Hors programme strict, mais méthode admise dans les exercices d’entraînement.
Formule :
\[
\boxed{\int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx}
\]
Choix classique :
- \(u\) : polynôme (se simplifie en dérivant)
- \(v'\) : exponentielle ou trigonométrique
Exemples express
\[
\int_0^1 (3x^2-1)\,dx
= \big[x^3-x\big]_0^1
= \boxed{0}
\]
IPP :
\[
\int x e^x\,dx
= x e^x-\int e^x dx
= \boxed{(x-1)e^x+C}
\]
Pièges classiques
- Oublier les parenthèses dans \(F(b)-F(a)\).
- Confondre aire algébrique et aire géométrique.
- Oublier de vérifier qui est au-dessus pour une aire entre deux courbes.
- Mauvais choix de \(u\) dans l’IPP.
Checklist Bac
- Je sais calculer une intégrale avec \(F(b)-F(a)\).
- Je distingue aire algébrique / géométrique.
- Je sais calculer une aire entre deux courbes.
- Je connais la formule de l’IPP.