Calcul intégral | Fiches de révision — Terminale Spé Maths | Learna

Fiche solide — Calcul intégral

Terminale Spécialité Maths • Primitives • Intégrales définies • Aires • Valeur moyenne • Encadrements • IPP
Objectif : savoir calculer, interpréter et rédiger une intégrale proprement en situation Bac.

Essentiel Primitives Propriétés Aires Moyenne Encadrements IPP Méthodes Bac Pièges

1) L’essentiel à connaître

Intégrale définie

Si une fonction est continue sur \([a ; b]\), alors \(\int_a^b f(x)\,dx\) est un nombre réel. Cette intégrale mesure une aire algébrique.

si \(f\ge 0\), l’intégrale est positive ;
si \(f\le 0\), l’intégrale est négative ;
si \(f\) change de signe, il faut découper l’intervalle pour une aire géométrique.

Formule centrale

Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a ; b]\), alors \[ \boxed{\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)}. \]

Réflexe : continuité → primitive → bornes → conclusion.

2) Formulaire solide des primitives

Le plus important n’est pas de réciter : il faut reconnaître la forme de la fonction.

Forme de \(f(x)\)	Une primitive \(F(x)\)	Condition / remarque
Formes usuelles
\(k\)	\(kx\)	constante
\(x^n\), \(n\neq -1\)	\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\)	puissance
\(\dfrac1x\)	\(\ln\|x\|\)	sur un intervalle ne contenant pas 0
\(e^x\)	\(e^x\)	inchangée
\(\cos x\)	\(\sin x\)	attention au signe
\(\sin x\)	\(-\cos x\)	attention au signe
Compositions affines
\((ax+b)^n\), \(n\neq -1\)	\(\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}\)	\(a\neq0\)
\(\dfrac1{ax+b}\)	\(\dfrac1a\ln\|ax+b\|\)	\(a\neq0\)
\(e^{ax+b}\)	\(\dfrac1a e^{ax+b}\)	\(a\neq0\)
\(\cos(ax+b)\)	\(\dfrac1a\sin(ax+b)\)	\(a\neq0\)
\(\sin(ax+b)\)	\(-\dfrac1a\cos(ax+b)\)	\(a\neq0\)
Formes composées très utiles
\(u'(x)u(x)^n\)	\(\dfrac{u(x)^{n+1}}{n+1}\)	\(n\neq -1\)
\(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\)	\(\ln\|u(x)\|\)	\(u(x)\neq0\)
\(u'(x)e^{u(x)}\)	\(e^{u(x)}\)	forme \(u'e^u\)
\(u'(x)\cos(u(x))\)	\(\sin(u(x))\)	forme \(u'\cos u\)
\(u'(x)\sin(u(x))\)	\(-\cos(u(x))\)	forme \(u'\sin u\)

Piège : pour \(e^{3x-1}\), une primitive est \(\dfrac13 e^{3x-1}\), pas \(e^{3x-1}\).

Mini-exemples corrigés — primitives composées

\[ \int 2x e^{x^2}\,dx=e^{x^2}+C, \qquad \int \frac{2x+1}{x^2+x+3}\,dx=\ln(x^2+x+3)+C. \] Dans les deux cas, on reconnaît une forme \(u'\) associée à \(u\).

3) Propriétés des intégrales

Propriété	Formule	Utilité
Bornes égales	\(\int_a^a f(x)\,dx=0\)	largeur nulle
Inversion des bornes	\(\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx\)	changer l’ordre des bornes
Chasles	\(\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f\)	découper l’intervalle
Linéarité	\(\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g\)	séparer les calculs
Positivité	\(f\ge0\Rightarrow\int_a^b f\ge0\)	contrôler le signe
Comparaison	\(f\le g\Rightarrow\int_a^b f\le\int_a^b g\)	majorer/minorer

Phrase Bac : comme \(f\le g\) sur \([a ; b]\), alors par croissance de l’intégrale, \(\int_a^b f(x)\,dx\le\int_a^b g(x)\,dx\).

4) Aires : méthode propre

Aire sous une courbe

Si \(f(x)\ge0\) sur \([a ; b]\), alors \[ \boxed{A=\int_a^b f(x)\,dx}. \]

Aire entre deux courbes

Si \(f(x)\ge g(x)\) sur \([a ; b]\), alors \[ \boxed{A=\int_a^b (f(x)-g(x))\,dx}. \]

Si on ne sait pas quelle courbe est au-dessus, on étudie le signe de \(f-g\). Si le signe change, on découpe avec la relation de Chasles.

Exemple corrigé — aire avec changement de signe

Pour \(f(x)=x\) sur \([-1 ; 2]\), l’aire géométrique vaut \[ A=\int_{-1}^{0}(-x)\,dx+\int_0^2 x\,dx =\left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0}+\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 =\frac12+2=\boxed{\frac52}. \] L’intégrale algébrique \(\int_{-1}^{2}x\,dx\) ne donne pas directement cette aire.

5) Valeur moyenne

La valeur moyenne de \(f\) sur \([a ; b]\), avec \(a

Interprétation : \(m\) est la hauteur du rectangle de largeur \(b-a\) ayant la même aire algébrique.

Exemple corrigé — valeur moyenne de \(x^2\) sur \([0 ; 3]\)

\[ \int_0^3 x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=9, \qquad m=\frac1{3-0}\times9=\boxed{3}. \]

6) Encadrer une intégrale

Si, pour tout \(x\in[a ; b]\), on a \[ m\le f(x)\le M, \] alors \[ \boxed{m(b-a)\le\int_a^b f(x)\,dx\le M(b-a)}. \]

Avec une comparaison

Si \(0\le f(x)\le g(x)\), alors \[ 0\le\int_a^b f(x)\,dx\le\int_a^b g(x)\,dx. \]

Avec une suite d’intégrales

Pour \(I_n=\int_a^b f_n(x)\,dx\), on cherche souvent à encadrer \(f_n(x)\), puis on intègre l’encadrement.

7) IPP — Intégration par parties

Usage : l’IPP est une méthode avancée très utile pour les intégrales contenant un produit : polynôme × exponentielle, polynôme × trigonométrie, ou logarithme.

Forme indéfinie

\[ \boxed{\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx}. \]

Forme définie

\[ \boxed{\int_a^b u(x)v'(x)\,dx=\big[u(x)v(x)\big]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx}. \]

Bien choisir \(u\)

prendre \(u\) comme l’expression qui se simplifie en dérivant ;
souvent : \(u=x\), \(u=x^2\), \(u=\ln x\).

Bien choisir \(v'\)

prendre \(v'\) comme la partie facile à intégrer ;
souvent : \(e^x\), \(\sin x\), \(\cos x\), \(1\).

Exemple 1 — \(\int_0^1 xe^x\,dx\)

On pose \(u=x\) et \(v'=e^x\). Alors \(u'=1\) et \(v=e^x\). \[ \int_0^1 xe^x\,dx=\big[xe^x\big]_0^1-\int_0^1 e^x\,dx =e-(e-1)=\boxed{1}. \]

Exemple 2 — primitive de \(\ln x\)

Pour \(\int \ln x\,dx\), on écrit \(\ln x=\ln x\times 1\). On pose \(u=\ln x\), \(v'=1\). Alors \(u'=\dfrac1x\), \(v=x\). \[ \int \ln x\,dx=x\ln x-\int 1\,dx =\boxed{x\ln x-x+C}. \]

Exemple 3 — suite d’intégrales \(I_n=\int_0^1 x^n e^x\,dx\)

On pose \(u=x^n\) et \(v'=e^x\). Alors \(u'=nx^{n-1}\) et \(v=e^x\). \[ I_n=\big[x^n e^x\big]_0^1-n\int_0^1 x^{n-1}e^x\,dx. \] Pour \(n\ge1\), \(\big[x^n e^x\big]_0^1=e\), donc \[ \boxed{I_n=e-nI_{n-1}}. \] C’est une relation de récurrence classique.

8) Méthodes Bac rapides

Calcul direct

Identifier une primitive \(F\).
Écrire \(\int_a^b f(x)\,dx=[F(x)]_a^b\).
Calculer \(F(b)-F(a)\) avec parenthèses.
Conclure par une phrase.

Aire entre courbes

Résoudre \(f(x)=g(x)\) si l’intervalle n’est pas donné.
Étudier le signe de \(f-g\).
Intégrer la fonction du haut moins celle du bas.
Si changement de signe : découper.

Encadrement

Encadrer la fonction sur l’intervalle.
Intégrer tous les membres.
Utiliser \(b-a\) pour les constantes.

IPP

Repérer un produit difficile.
Choisir \(u\) qui se simplifie par dérivation.
Choisir \(v'\) facile à primitiver.
Appliquer \([uv]_a^b-\int u'v\).

9) Pièges classiques à éviter

Calculs

Oublier les parenthèses dans \(F(b)-F(a)\).
Oublier le facteur \(\dfrac1a\) dans une primitive de \(e^{ax+b}\).
Écrire une primitive fausse de \(\sin x\) : c’est \(-\cos x\).
Utiliser \(\ln x\) sans vérifier que \(x>0\) ou sans intervalle adapté.

Interprétation

Confondre intégrale algébrique et aire géométrique.
Ne pas vérifier quelle courbe est au-dessus.
Ne pas découper si une fonction change de signe.
Oublier l’unité d’aire si le contexte est géométrique ou physique.

Erreur très fréquente : si \(f\) est négative sur une partie de l’intervalle, \(\int f\) peut être plus petite que l’aire réelle. Pour une aire, il faut une quantité positive.

10) Checklist finale

Je sais calculer \(\int_a^b f(x)\,dx\) avec une primitive.
Je connais les primitives usuelles et composées.
Je sais utiliser linéarité, Chasles, positivité et comparaison.
Je distingue intégrale algébrique et aire géométrique.
Je sais calculer une aire entre deux courbes.
Je sais calculer une valeur moyenne.
Je sais encadrer une intégrale.
Je sais appliquer une IPP simple ou une IPP définie.

Copie parfaite : continuité → primitive → calcul propre → interprétation → conclusion.